Supraleitung - Ginzburg-Landau-Theorie

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Kerstin Otto
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1 Supraleitung - Ginzburg-Landau-Theorie Stefan Nagel Zusammenfassung Die Ginzburg-Landau-Theorie zur Beschreibung der Supraleitung ist eine phänomenologische Theorie, welche die makroskopischen Eigenschaften von Supraleitern erklärt. Ausgangspunkt ist die Landau Theorie der Phasenübergänge (Ordnungsparameter). Sie gilt nahe des kritischen Punktes und ist besonders für ein Verständnis von Typ-I und Typ-II Supraleitern geeignet. 1 Einführung 1.1 Geschichte 1908: Heliumverüssigung durch H. K. Onnes (Leiden) 1911: Entdeckung der Supraleitung (H.K. Onnes; Leiden) {1913 Nobelpreis} 1933: Meissner-Ochsenfeld-Eekt (B = 0 im SL) 1935: London-Theorie (phänomenologisch) : Ginzburg-Landau-Theorie (phänomenologisch) {003 Nobelpreis, Ginzburg} 1957: BCS-Theorie nach Bardeen, Cooper und Schrieer (mikroskopisch) {Nobelpreis 197} 1986: Hochtemperatur-Supraleiter (z.b. 133 K in HgBa Ca Cu 3 O 8 ) {Nobelpreis 1987} 005: Erster Generator mit Hochtemperatur-Supraleiter in Betrieb genommen. (4 MVA Leistung) 1. Theorien der Supraleitung Ginzburg-Landau-Theorie phänomenologisch Grundlage ist Landau-Theorie der Phasenübergänge berücksichtigt Quanteneekte 1

2 BCS-Theorie mikroskopisch Grundlage ist Elektronen-Phononen Wechselwirkung Ladungsträger sind sog. Cooper-Paare Ginzburg-Landau-Theorie (GLT).1 Allgemeines.1.1 Annahmen der GLT 1. Eine Wellenfunktion Ψ( r, t) beschreibt die Gesamtheit der supraleitenden Ladungsträger (kohärenter Zustand). Ψ ist der (komplexe) Ordnungsparamter der supraleitenden Phase 3. Ψ = n s ist die Dichte der supraleitenden Ladungsträger 4. Die GLT gilt nahe des kritischen Punktes (kleine Ψ). Ordnungsparameter 1. Dient zur quantitativen Charakterisierung beim Durchgang eines Phasenüberganges. Unterhalb des kritischen Punktes: Ψ = 0 3. Oberhalb des kritischen Punktes: Ψ = 0 Wenn ein Körper durch einen Phasenübergang zweiter Art geht, geht Ψ kontinuierlich gegen Null. Die GL-Theorie erlaubt die räumliche Variation von n S..3 Einfachster Fall: homogener Supraleiter ohne mag. Feld Ordnungsparamter Ψ ist unabhängig von r. (Taylor-) Entwicklung der freien Energiedichte in Ordnungen von Ψ um den kritischen Punkt T c F s0 = F n + α Ψ + 1 β Ψ (1) Genügend nahe bei T c ist Ψ klein Entwicklung kann (in guter Näherung) nach dem Term Ψ 4 abgebrochen werden. Ungerade Terme treten nicht auf, da die Funktion analytisch sein muss. Für Ψ 0 = α β () wird F s0 minimal (im supraleitenden Bereich). (F s0 = F n α β ) β > 0, ansonsten wäre die Freie Energie bei beliebig groÿen Werten von Ψ minimal

3 .3.1 Temperaturabhängigkeit von α und β α(t ): aus Ψ 0 = α β Ψ 0 = 0 für T = T c α = 0 bei T = T c Ψ 0 > 0 für T < T c α < 0 bei T < T c in 1. Ordnung α (T T c ) β(t ): aus Ψ 0 = α und β α < 0 bei T < T c β > 0 bei T < T c aus der Forderung, dass Ψ 0 minimal bei T = T c und F s0 > F n bei T > T c folgt α > 0, β > 0 für T > T c in 1. Ordnung β = const. Setze und (s. Abb. 1) α(t ) = α 0 ( T T c 1); α 0 > 0 (3) β = β 0 = const. (4) Abbildung 1: Ginzburg-Landau Freie Energie Funktion für T > T c (α > 0) und für T < T c (α < 0). Die Markierungen zeigen die Gleichgewichtspositionen. Hier ist Ψ der Einfachheithalber als reel angenommen..3. Temperaturabhängigkeit des Ordnungsparameters Setzt man die Gleichungen (3) und (4) in () ein so sieht man: ) Ψ (1 TTc (5) nahe T c. In Abb. ist ein typischer Verlauf des Ordnungsparameters gezeigt. 3

4 Abbildung : Typische Änderung eines Ordnungsparameters mit der Temperatur.4 Allgemeiner Fall: inhomogener Supraleiter im Magnetfeld Erweiterung der phänomenologischen Beschreibung durch den Ansatz für die Gibbs-Funktion des SL unter der Berücksichtung einer möglichen räumlichen Variation von Ψ. inhomogener SL Ψ( r) externes Magnetfeld H 0 Gibbs'sche freie Energiedichte G = F B H 0 Dadurch erhält man neue Terme: kinetische Energie der supraleitenden Ladungsträger Einuss des Gradienten Ψ p m 1 m s i Ψ Einuss von Magnetfeldern 1. Gradiententerm 1 ( m s i q sa)ψ berücksichtigt mögliche räumliche Variation der Dichte der supraleitenden Ladungsträger und des Magnetfeldes im Inneren des Supraleiters.. Feldverdrängung im Supraleiter 1 µ 0 B 0 B i ; B = rot A erfasst Energie, die nötig ist um das Magnetfeld von B 0 (auÿerhalb des SL) auf B i zu ändern (in Meissner-Phase B i = 0) 4

5 Gesamt ergibt sich: G s = G n + α Ψ + 1 β Ψ µ 0 B 0 B i +.5 Problemstellung + 1 m s ( i q s A)Ψ B H 0 (6) Es werden Dierentialgleichungen für Ψ( r) und A( r) gesucht, die die Gibbs'sche Freie Energie G = GdV minimieren α, β mit meÿbaren Gröÿen identizieren.6 GL-Gleichungen Minimierung von G durch Variationsprinzip δg = 0, Variation nach Ψ liefert die 1. und Variation nach A die. Ginzburg-Landau-Gleichung. Variation nach Ψ liefert Variation nach A liefert αψ + β Ψ Ψ + 1 m s ( i q s A) Ψ = 0 (7) j s = iq s m s (Ψ Ψ Ψ Ψ ) q s m s Ψ A (8) Die Lösung der GL-Gleichungen ermöglicht die Bestimmung der Stromverteilung und der Magnetfeldverteilung für spezielle Fälle..7 Normierung Für die Durchführung von Rechnungen verwendet man üblicherweise die normierte Wellenfunktion: dimensionslose Wellenfunktion ψ( r) = Ψ( r) Ψ 0 mit Ψ 0 = n s = α β mit den formalen Denitionen ξ = λ = folgen die normierten GL-Gleichungen und m s α m s n s qsµ = m sβ 0 µ 0 qs α (9) (10) ψ + ψ ψ + ξ (i + π Φ 0 A) ψ (11) j s = iφ 0 4πµ 0 (ψ ψ ψ ψ ) 1 µ 0 λ ψ A (1) 5

6 .8 Charakteristische Längen Physikalische Bedeutung von ξ und λ.8.1 ξ = m s α Ist die Abklinglänge des Ordnungsparameters (s. Abb. 3). Unter Verwendung von α = α 0 ( T T c 1) erhält man ξ GL = m s α = ξ GL,0 1 T T c.8. λ L = msβ µ 0 q s α Entspricht der Abklinglänge für Magnetfelder (s. Abb. 3) im SL (vgl. Londonsche Eindringtiefe) und hat die selbe Temperaturabhängigkeit wie ξ. Abbildung 3: Charakteristische Längen ξ und λ.9 Ginzburg-Landau-Parameter Das Verhältnis der beiden charakteristischen Längen ist deniert als der Ginzburg- Landau-Parameter κ = λ L ξ GL (13) Der Wert κ = 1 trennt Supraleiter 1. und. Art. 6

7 .9.1 Typ I - Supraleiter κ < 1 Meiÿner-Ochsenfeld-Eekt: Supraleiter ist idealer Diamagnet (χ = 1) Magnetfeld wird vollständig aus dem Inneren des SL verdrängt Eindringtiefe λ L in den Supraleiter wird wieder normalleitend, wenn das Magnetfeld oder die Stromdichte einen kritischen Wert übersteigt.9. Typ II - Supraleiter κ > 1 Zwei bestimmende Magnetfeldstärken (H c,1 < H c, ) (es existiert Hysterese) unterhalb von H c,1 ähnlich Typ I - SL H c,1 < H < H c, (H c,1 H c, ): Magnetischer Fluÿ dringt in die Probe ein und es bilden sich Fluÿschläuche im SL. Man spricht hier von der Shubnikov-Phase, die Flussschläuche bilden ein sog. Abrikosov- Gitter (Dreiecksgitter, s. Abb. 4) H > H c, : Probe wird normalleitend H c,1 < H < H c, (H c, H c,1 ): Oberächensupraleitung Abbildung 4: Dreiecksgitter der Flusslinien, die durch die Deckäche eines supraleitenden Zylinders treten. Die Austrittspunkte der Flusslinien sind mit kleinen ferromagnetischen Teilchen markiert (Eisenkolloid, Ø T eilchen 0, µm)(s. Lit. [10]) 7

8 3 Kritische Exponenten Um die Divergenzen zu charakterisieren, die bei kontinuierlichen Phasenübergängen auftauchen, deniert man sog. kritische Exponenten. (s. 1. Vortrag). Zusätzlich zu den vier kritischen Exponenten α, β, γ, δ der Landau-Theorie kommen bei der Ginzburg-Landau-Theorie noch ν und η als kritische Exponenten dazu. Mit zwei kritischen Exponenten kann man über die Skalenrelationen (s. 1. Vortrag) alle anderen kritischen Exponenten bestimmen. Für die Wärmekapazität c V gilt: c v T T c α (14) Für α erhält man somit: Für den Ordnungsparameter gilt: α = 0 Nach Gleichung (5) gilt: Ψ (T c T ) β β = 1 (15) Der kritische Exponent bei der Korrelationslänge ist ν. In unserem Fall ergibt sich aus ξ GL (1 T ) 1/ (16) T c Der kritische Exponent ν zu ν = 1 Der kritische Exponent γ für die magnetische Suszeptibilität ist: γ = 1 Für den kritischen Exponenten δ ergibt sich: δ = 3 Und für den letzten kritischen Exponenten η erhält man η = 0 Die kritischen Exponenten hängen nur ab von: 1. der Dimension des Systems. der Reichweite der Teilchen-Wechselwirkung 3. der Spindimensionalität 8

9 Literatur [1] J.C. Tolédano, P. Tolédano; The Landau Theory of Phase Transitions; World Scientic Publishing [] J. Berger, J. Rubinstein; Connectivity and Superconductivity; Springer Verlag [3] W. Nolting; Grundkurs Theoretische Physik 6 - Statistische Physik; Springer Verlag [4] L.D. Landau, E.M. Lifschitz; Statistische Physik - Teil 1; Akademie Verlag [5] L.D. Landau, E. M. Lifschitz; Statistische Physik - Teil ; Akademie Verlag [6] F. Schwabl; Statistische Mechanik; Springer Verlag [7] M. Tinkham; Introduction to Superconductivity; McGraw-Hill [8] K.H. Homann, Q. Tang; Ginzburg-Landau Phase Transition Theory and Superconductivity; Birkhäuser Verlag [9] D. R. Tilley, J. Tilley; Superuidity and Superconductivity; Van Nostrand Reinhold Company [10] Ch. Kittel; Einführung in die Festkörperphysik; Oldenbourg Verlag 9

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