Seminar zur speziellen Betriebswirtschaftslehre Kreditrisiko Thema 4 Backtesting von Portfoliomodellen für Kreditrisiko Vortrag von Igor Grinberg, Kai Hartmanshenn und Stephan Pueschel am 30.01.2002 Gliederung 1. Hintergrund 2. Das Modell von Lopez und Saidenberg 3. Das Modell von Löffler und Frerichs 4. Kritischer Vergleich der Modelle 2
Hintergrund Eine Hauptaufgabe von Kreditinstituten: Quantifizierung finanzieller Risiken zur Bestimmung der Eigenkapitalunterlegung Eine mögliche Risikoquelle: Kreditrisiko Grad der Wertschwankungen in Schuldeninstrumenten und Derivaten aufgrund von Wertveränderungen der zu Grunde liegenden Kreditqualität. (Lopez/Saidenberg 1999) Einschätzung des Risikos erfolgt über Kreditrisikomodelle (KRM) 3 Probleme und Lösungsansätze 2 resultierende Probleme: Beobachtungszeitraum unzureichend für KRM (Erforderlich: ca. 250 Jahre!) Alternative Ansätze zur Datenbeschaffung Beurteilung der Schätzgenauigkeit von KRM Backtesting 4
Backtesting Vergleich tatsächlicher Realisierungen mit den Schätzungen aus dem KRM Verfahrensweise differiert im Detail bei den Kreditinstituten Beurteilung der Modellgüte durch Ampelansatz 5 Gliederung 1. Hintergund 2. Das Modell von Lopez und Saidenberg 2.1 Erzeugung von Ausfallverteilungen per Simulation 2.2 Bewertungsmethoden für erwartete Ausfälle 2.3 Schwachpunkte 3. Das Modell von Löffler und Frerichs 4. Kritischer Vergleich der Modelle 6
Notation N Anzahl der Kredite im Banken-Portfolio At Barwert der Kredite im Zeitpunkt t (Nx1-Vektor) w b Gewichte der Kreditanteile des Banken-Portfolios (Nx1-Vektor) P bt = w bt A t Wert des Kredit-Portfolios von Bank b im Zeitpunkt t mit w T als transponierte Gewichte. P bt+1 =P bt+1 -P bt =w bt A t =w bt (A t+1 -A t ) = w bt A t+1 Wertveränderung des Kreditportfolios Verteilungsschätzung: F m ( P ) ˆ bt 1 7 Gliederung 1. Hintergrund 2. Das Modell von Lopez und Saidenberg 2.1 Erzeugung von Ausfallverteilungen per Simulation 2.2 Bewertungsmethoden für erwartete Ausfälle 2.3 Schwachpunkte 3. Das Modell von Löffler und Frerichs 4. Kritischer Vergleich der Modelle 8
Idee Zur Schätzung der Verteilungsfunktion Fˆ m ( P bt 1 ) werden viele Beobachtungsdaten von Kreditportfolioausfällen benötigt: Erzeugung per Simulation wegen Datenmangel Daraus Erzeugung von Kreditausfallverteilungen für Portfolios 9 Vorgehensweise I 1. Es wird ein Kreditdatensatz über T Jahre mit N Krediten gewählt. 2. Für jedes Jahr t gibt (0,1) den Prozentsatz der in das restrukturierte Portfolio aufgenommenen Kredite an. 3. Der (Nx1) Gewichtungsvektor w i unseres restrukturierten Portfolios i wird durch N-maliges ziehen aus dem gleichverteilten Intervall [0,1] erzeugt. 4. Für jede Ziehung über dem Prozentsatz wird der Kredit mit einem Gewicht von 0 im Portfolio gewichtet, im umgekehrten Fall wird ein Gewicht von 1 gewählt. 10
Vorgehensweise II 5. Wie von der in der Einführung des Kapitels 2 genannten Grundstruktur bekannt, können wir jetzt mit einem KRM m eine Prognose Fˆ m ( P ) der kumulierten bt 1 Verteilungsfunktion durchführen. 6. Für jedes der T Jahre wird R-mal mit zurücklegen gezogen, wobei R hinreichend groß zu wählen sei. 7. Ergebnis sind (T*R) prognostizierte Ausfallverteilungen zum Bewerten von KRM, d.h. R-mal so viele wie im Grundmodell. 11 Gliederung 1. Hintergund 2. Das Modell von Lopez und Saidenberg 2.1 Erzeugung von Ausfallverteilungen per Simulation 2.2 Bewertungsmethoden für erwartete Ausfälle 2.3 Schwachpunkte 3. Das Modell von Löffler und Frerichs 4. Kritischer Vergleich der Modelle 12
Bewertungsmethodik I Idee: Genauigkeitsvergleich zwischen den vom KRM prognostizierten Ausfällen und der tatsächlich beobachtbaren Ausfälle der restrukturierten Portfolios ˆ mit bezeichne den Erwartungswert von Fˆ m ( P bt 1 ), T Lit 1 wi At 1 gibt die beobachteten Kreditausfälle an, welche sich im restrukturierten Portfolio im Zeitpunkt t+1 ereignen, e mit+1 stellt den Prognosefehler dar. 13 Bewertungsmethodik II H 0 : e mit 1 L it 1 ˆ mit Test durch Regression: Lit 1 ˆ it 1 it 1 =0 und =1 impliziert einen Prognosefehler von durchschnittlich null 14
Die Zählmethode I 1. Prognosefehler beider Modelle werden quadriert e 2 mit+1 2. Nullhypothese H 2 E 2 : E e e 0 1 2 3. Zähle Anzahl Ereignisse mit e 2 1it+1 > e2 2it+1 n 1 4. Verwerfe H 0 dann, wenn der Wert (n 1 /Q) auf einem Signifikanzniveau von 5% außerhalb liegt von 1 1 2 [ 2 0,5 Q ;0,5 Q ]. (Q=Gesamtzahl Vergleiche) 15 Die Zählmethode II Mächtigkeit des Tests zwar gering, aber robust gegenüber Kovarianz zwischen den Prognosefehlern Heteroskedastizität 16
Die Summen/Differenzen- Regression Bei dieser Methode werden die Differenzen des Prognosefehlers e mit+1 analysiert S it+1 Summe von den e 1it+1 - und e 2it+1 Prognosefehlern D it+1 Differenz der e 1it+1 - und e 2it+1 - Prognosefehler 1. Regression: S it+1 = + D it+1 + it+1 2. H 0 : =0, Überprüfung mit t-test 3. Sollte H 0 verworfen werden Modelle nicht identisch Auswahl des Modells mit geringerer Prognosevarianz 17 Gliederung 1. Hintergund 2. Das Modell von Lopez und Saidenberg 2.1 Erzeugung von Ausfallverteilungen per Simulation 2.2 Bewertungsmethoden für erwartete Ausfälle 2.3 Schwachpunkte 3. Das Modell von Löffler und Frerichs 4. Kritischer Vergleich der Modelle 18
Schwachpunkte (1) Oft keine beobachtbaren Marktpreise für Wertveränderungen Preisfindung nach Bewertungsmodellen ermöglicht Fehlbewertung (2) Veränderungen der Portfoliogewichte nicht berücksichtigt (3) Makroökonomische Struktur wird beibehalten (4) Statische Bewertung der Performance (5) Unabhängigkeit der Prognosefehler? Teil 3 19 Gliederung 1. Hintergund 2. Das Modell von Lopez und Saidenberg 3. Das Modell von Löffler und Frerichs 4. Kritischer Vergleich der Modelle 20
Das Modell von Frerichs/Löffler Empirischer Test eines Kreditrisikomodells Basierend auf dem Modell von Lopez und Saidenberg Test der Güte des Modells auf Grundlage der Standardnormalverteilung 21 Gliederung 1. Hintergund 2. Das Modell von Lopez und Saidenberg 3. Das Modell von Löffler und Frerichs 3.1 Methode der Datenbeschaffung 3.2 Aufbau des Tests 3.3 Backtesting des Modells 3.4 Schwachpunkte 4. Kritischer Vergleich der Modelle 22
Methode der Datenbeschaffung Ziel: Simulation von Kreditportfolios über die Zeit Grundlage des Modells ist ein zweiperiodiges CreditMetrics Modell Die Untersuchung geht von einem Asset Value Ansatz (Vermögensänderungen) aus 23 Methode der Datenbeschaffung II Vermögensänderungen auf Grundlage eines systematischen Faktors Z und einem unternehmensspezifischen Faktors Z soll den Zyklus der Wirtschaft darstellen und ist wie standardnormalverteilt. Berechnung der standardnormalverteilten Vermögensänderungen durch folgende Formel: 24
Methode der Datenbeschaffung III ~ A i w Z i ~ ~ 2 i i 1 w ~ iid N(0,1) A i stellt die Vermögensänderung dar. w ist der Gewichtungsfaktor,der die Stärke des Einflusses des einzelnen Faktors angibt. w ist konstant und gibt die Korrelation zwischen den Asset Veränderungen der Kreditnehmer an. 25 Methode der Datenbeschaffung IV Ausfall, wenn Vermögen eine vorher festgelegte Schwelle unterschreitet. Diese Schwelle wird definiert über die Inverse der Standardnormalverteilung und einer unbedingten Ausfallwahrscheinlichkeit p : ~ A i < 1 ( p i ) 26
Methode der Datenbeschaffung V Berechnung von bedingten Ausfallwahrscheinlichkeiten p/z mit p i 1 ( pi ) wz 1 i ( p i ) wi Z / Z = Prob i = ~ iid N(0,1) 2 2 1 wi 1 w i Ergebnisse binomialverteilte Zufallsvariablen (Term 1), die mit Hilfe der Standardnormalverteilung standardisierte Ausfallwahrscheinlichkeiten ergeben. Anwendung der Monte Carlo Simulation auf Kredite. Ziel: Simulation der Verteilung der Ausfälle. 27 Gliederung 1. Hintergund 2. Das Modell von Lopez und Saidenberg 3. Das Modell von Löffler und Frerichs 3.1 Methode der Datenbeschaffung 3.2 Aufbau des Tests 3.3 Backtesting des Modells 3.4 Schwachpunkte 4. Kritischer Vergleich der Modelle 28
Aufbau des Tests Verwendung aller bekannten Informationen, nicht nur die außerhalb der kritischen Schwelle. Ziel: zusätzliche Informationen führen zu besseren Aussagen über Annahme und Ablehnung des jeweiligen Modells. Ziel: Testen auf Standardnormalverteilung. 29 Aufbau des Tests II Verwendung des Tests von Berkowitz zum Nachweis der Standardnormalverteilung. x t ^ F ( y t ) y1 ^ f ( u) du ~ iid U(0,1) f (u) = geschätzte Wahrscheinlichkeit für u Ausfälle. U (.) steht für gleichverteilte Funktion. geschätzte Verteilung = wahre Verteilung => x ist gleichverteilt. 30
Aufbau des Tests III Verwendung der Inversen der Standardnormalverteilung zur Standardisierung der Ergebnisse. 1 z t ( x t ) ~ N(0,1). wenn Funktion U wirklich gleichverteilt, dann Transformation von z zu N ~ (0,1) verteilt. 31 Aufbau des Tests IV Vorteil des Test: durch mehr Informationen kann man komplette Verteilung testen, nicht nur kritischen Bereich. Nachteil: eigentlich bringt das Mehr an Informationen keinen wesentlichen Vorteil, da hauptsächlich nur der kritische Bereich interessiert und nicht die gesamte Verteilung. 32
Gliederung 1. Hintergund 2. Das Modell von Lopez und Saidenberg 3. Das Modell von Löffler und Frerichs 3.1 Methode der Datenbeschaffung 3.2 Aufbau des Tests 3.3 Backtesting des Modells 3.4 Schwachpunkte 4. Kritischer Vergleich der Modelle 33 Backtesting des Modells Basisfall: variierende Korrelation Asset Korrelation des wahren Modells beträgt w = 5% Nullhypothese lautet: Wann lehnt man ein Modell korrekterweise ab? 34
Backtesting des Modells II Verwendung eines Likelihood Ratio Test. Zweck des Tests: Test auf Korrelation der Ausfälle über die Zeit Test, ob z standardnormalverteilt ist mit N ~ (0,1) Ergebnis macht Aussagen über die Güte des verwendeten Modells bzw. über die Güte der Verteilung von z. 35 Backtesting des Modells III Ergebnis gibt an, ob Standardnormalverteilung vorliegt oder nicht und ob somit die Nullhypothese abgelehnt wird oder nicht. Fehlerniveau bei dem LR Test von 10%, d.h. es wird ein Typ I Fehler von 10% angenommen. Testergebnis bei 5% Korrelationannahme mit 13% akzeptabel. 36
Backtesting des Modells IV Veränderung der Korrelation im Modell auf 0%. Überprüfung des Tests mit einer Modellkorrelation von 0% gegen das wahre Modell mit 5%. Modell wird in 100% der Fälle abgelehnt. 37 Gliederung 1. Hintergund 2. Das Modell von Lopez und Saidenberg 3. Das Modell von Löffler und Frerichs 3.1 Methode der Datenbeschaffung 3.2 Aufbau des Tests 3.3 Backtesting des Modells 3.4 Schwachpunkte 4. Kritischer Vergleich der Modelle 38
Beurteilung des Modells Gegenüber dem Basismodell von Lopez und Saidenberg befriedigende Güte. Auch mit kurzen Historien gute Ergebnisse Immer noch massive verallgemeinernde Annahmen nötig 39 Gliederung 1. Hintergrund 2. Das Modell von Lopez und Saidenberg 3. Das Modell von Löffler und Frerichs 4. Kritischer Vergleich der Modelle 40
Probleme der Vergleichbarkeit von KRM Konsens bezüglich der theoretischen Grundkonzepte Unterschiedliche Resultate Es bestehen keine signifikante Unterschiede Keine grundsätzliche Präferenzen für bestimmten Ansatz 41 Grundlegende Unterschiede zw. KRM Einteilung in drei Teilbereiche: (1) Risikodefinition Welche Risiken werden modelliert? (2) Technische Konzeption Verteilungsannahmen, Berechnungsverfahren und Approximationsverfahren (3) Empirische Datenbasis Inputdaten für die Schätzung der benötigten Parameter 42
Gliederung 1. Hintergrund 2. Das Modell von Lopez und Saidenberg 3. Das Modell von Löffler und Frerichs 4. Kritischer Vergleich 4.1. Datenerwerb durch Simulation 4.2. Graphische Modelldarstellungen 4.3. Kritik 43 Lopez/Saidenberg Querschnittsdatenanalyse Vorteile relativ einfach und schnell durchführbar große Anzahl von prognostizierten Ausfallverteilungen (T*R) 44
Lopez/Saidenberg Nachteile Wahl des Prozentsatzes ist willkürlich Annahme der Unabhängigkeit der Kreditausfälle ist zweifelhaft Einschränkung der Datenmenge im Zeitablauf Statische Bewertung der Performance 45 Frerichs/Löffler Monte-Carlo Carlo-Simulation Vorteile Sehr gute Ergebnisse trotz kurzer Historie (10 Jahren) Nachteile Großer Zeit- und Kapazitätsaufwand Erschwerte Durchführung von Sensitivitätsanalysen 46
Gliederung 1. Hintergrund 2. Das Model von Lopez und Saidenberg 3. Das Model von Löffler und Frerichs 4. Kritischer Vergleich der Modelle 4.1 Datenerwerb durch Simulation 4.2. Graphische Modelldarstellungen 4.3. Kritik 47 Das Modell von Lopez und Seidenberg Graphische Darstellung
Datenbeschaffung durch Simulation Ergebnis: Prognose der Ausfallverteilungen (T*R) Bewertung der Prognosekraft der erwarteten Ausfälle Bewertung der Prognosekraft der kritischen Werte Bewertung der Prognosekraft der Ausfallverteilungen Nullhypothese Nullhypothese Nullhypothese Test Mincer-Zarnowitz Regression Likelihood-Ratio- Testfunktion Likelihood-Ratio- Testfunktion Test 1 Test 2 Modellvergleich Zählmethode Sum./ Dif.-Regression Spezielles Bonferroni- Seminar Kreditrisiko Schranken-Test Bonferroni- 49 Schranken-Test Das Modell von Löffler und Frerichs Graphische Darstellung
Berechnung der Ausfallwahrscheinlichkeiten (Asset-Value-Ansatz) Bildung von Extrem-Portfolios Monte-Carlo-Simulation Portfolio A Portfolio B Fall mit variierender Korrelation Variation anderer Variablen bei konstanter Korrelation Datensimulation Datensimulation Berkowitz-Test (Überprüfung der Normalverteilung) Überprüfung, ob die Qantile gleichverteilt sind Überprüfung, ob die Ergebnisse aus der Dichtefunktion normalverteilt sind Likelihood-Ratio-Test (Überprüfung der Güte des Modells) 51 Gliederung 1. Hintergrund 2. Das Modell von Lopez und Saidenberg 3. Das Modell von Löffler und Frerichs 4. Kritischer Vergleich 4.1. Datenerwerb durch Simulation 4.2. Graphische Modelldarstellungen 4.3. Kritik 52
Kritik Fundamentale Unterschiede (1) Lopez/Saidenberg Verwendung der Informationen, die für den Kreditausfall interessant sind Frerichs/Löffler Berücksichtigung alle möglichen Ausfälle 53 Kritik Pro Verbesserte Aussagen über die Annahme oder Ablehnung eines Test Contra Unnötiger Aufwand zur Beschaffung unbrauchbarer Informationen 54
Kritik Fundamentale Unterschiede (2) Lopez/Saidenberg Annahme: Prognosefehler der restrukturierten Portfolios sind voneinander unabhängig Frerichs/Löffler Kritik an der Annahme von Lopez/Saidenberg: Variierung der Korrelation und anderer Variablen (Backtesting) 55 Gliederung 1. Hintergrund 2. Das Modell von Lopez und Saidenberg 3. Das Modell von Löffler und Frerichs 4. Kritischer Vergleich 56
Zusammenfassung Die Arbeit von Frerichs/Löffler weist eine sehr zufriedenstellende Güte auf Einige Schwachpunkte des Ansatzes von Lopez/Saidenberg wurden behoben Beide Ansätze benötigen verallgemeinernde Annahmen 57 Zusammenfassung Beide Methoden zur Bewertung von KRM sind sehr innovativ aufgedeckte Schwachstellen geben den Anreiz in diesem Gebiet zu forschen und verbesserte Modelle zu präsentieren 58