Klausur Mathematik. Note:

Fachhochschule Südwestfalen Fachhochschule Münster Hochschule Bochum Verbundstudiengang Wirtschaftsingenieurwesen Hochschule Bochum Hochschule für Technik und Wirtschaft Klausur Mathematik Datum: 18.09.2010 Uhrzeit: 12:00-15:00 Hilfsmittel: Formelsammlung, Taschenrechner Name: Matrikelnummer: Note: Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 Gesamt zu erreichende Punkte 20 20 25 20 20 25 25 25 180 erreichte Punkte Hinweise: (1) Schreiben Sie bitte auf das Deckblatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. (2) Die Klausur besteht aus 8 Aufgaben (Seiten dieser Klausur: 15). Bitte prüfen Sie die Klausurunterlagen zu Beginn auf Vollständigkeit. (3) Als Hilfsmittel sind nur eine Formelsammlung und ein Taschenrechner zugelassen. (4) Bitte schreiben Sie die Lösungsherleitung in die dafür vorgesehenen Kästchen; bei Bedarf können mit entsprechender Kennzeichnung auch die letzten drei Seiten dieser Klausur einbezogen werden. Zu Nebenrechnungen können die Rückseiten verwendet werden (die bei der Korrektur nicht berücksichtigt werden). Schreiben Sie deutlich und machen Sie eindeutig kenntlich (klare Streichung), welcher Text nicht gewertet werden soll. Unleserliche Schrift gilt als fehlerhaft und wird zur Bewertung nicht einbezogen. Geben Sie die Antworten im ganzen Satz an und unterstreichen Sie Ihr Ergebnis doppelt. (5) Auch wenn zur Lösung der Taschenrechner eingesetzt wird, muss der Lösungsweg vollständig und nachvollziehbar sein. (6) Die Benutzung von Bleistiften sowie Rotstiften ist unzulässig. (7) Wenn eine Aufgabenstellung unklar erscheint, so sind hierzu sinnvolle Annahmen zur weiteren Behandlung der Aufgabe zu machen und zu dokumentieren. (8) Bitte denken Sie daran, dass wir im Interesse einer fairen Prüfung gezwungen sind, Täuschungsversuche (Abschreiben vom Nachbarn, unerlaubte Hilfsmittel) mit dem Ausschluss aus der Klausur (Klausur nicht bestanden!) zu ahnden. (9) Falls Sie in der letzten Viertelstunde vor Ende der Klausur fertig werden, sollten Sie auf Ihrem Platz sitzen bleiben, um Ihre Kommilitonen nicht in der Endphase der Klausur zu stören. Viel Erfolg!

Klausur: Mathematik 18.09.2010 Seite 2 1. Aufgabe (20 Punkte) x (a) Welche reellen x erfüllen die Ungleichung 7 x 2? (b) Überprüfen Sie, ob zu zwei Aussagen A und B die Aussageverbindung A B zu A B und zu ( A B) logisch äquivalent ist.

Klausur: Mathematik 18.09.2010 Seite 3 2. Aufgabe (20 Punkte) Zur Ansparung eines Kapitals über 12 volle Jahre werden Ihnen folgende zwei Varianten angeboten: (1) Anfangskapital: 25. 000 Euro, Verzinsung nachschüssig zu 4, 2 % (2) Jährliche Rate: 2. 700 Euro nachschüssig, Verzinsung zu 4, 05 % (a) Welches Angebot führt nach 12 Jahren auf ein höheres Endkapital? (b) Wie müsste das Anfangskapital bei Variante (1), wie die Rate bei Variante (2) gewählt werden, damit man nach 12 Jahren jeweils auf den Endwert 42. 000 Euro kommt?

Klausur: Mathematik 18.09.2010 Seite 4 (c) Bei welchem Zinssatz führt Variante (1) nach 12 Jahren auf den Endwert 42.000 Euro? (d) Wieviel Jahre müsste das Angebot (2) laufen, damit schließlich ein Wert in Höhe von 49. 500 Euro zur Verfügung steht?

Klausur: Mathematik 18.09.2010 Seite 5 3. Aufgabe (25 Punkte) (a) Gegeben seien 1 A 2 4 3 5, 1 B 1 0 1 2, 1 c. 2 Bestimmen Sie die Größen und so, dass die Matrixgleichung 9 A T B c erfüllt ist. 0 (b) Das lineare Gleichungssystem der Form A x b bestehe aus 3 Gleichungen in 4 Unbekannten. Beurteilen Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind (wobei eine unkorrekte Antwort negativ gewertet wird): Ein solches System kann eindeutig lösbar sein. richtig falsch Ein solches System kann Widersprüche enthalten. richtig falsch Der Rang von A ist kleiner als 4. richtig falsch Der Vektor b enthält 4 Komponenten. richtig falsch Die Matrix A ist von der Ordnung ( 3,4). richtig falsch

Klausur: Mathematik 18.09.2010 Seite 6 4. Aufgabe (20 Punkte) Lösen Sie das folgende lineare Optimierungsproblem graphisch: 2x x max z 1 2 x1 2x 2 x x 2 1 x 4x 2 1 x, x 2 1 4 2 7 0

Klausur: Mathematik 18.09.2010 Seite 7 5. Aufgabe (20 Punkte) (a) Bei der Produktion eines Gutes können maximal 1000 Mengeneinheiten hergestellt werden. Die Produktionskosten betragen 50 Euro pro Einheit zzgl. 3000 Euro Fixkosten. Für welche Ausbringungsmenge sind die variablen Stückkosten minimal? (b) Bestimmen Sie die Preis-Absatz-Funktion p(x) als Umkehrfunktion von 1 x(p) 100 p. 3 Geben Sie den ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich zu p(x) an.

Klausur: Mathematik 18.09.2010 Seite 8 6. Aufgabe (25 Punkte) Die Gewinnfunktion in Abhängigkeit der Produktionsmenge x eines Gutes [in kg ] sei gegeben durch G(x) 0.2x 4x 22400x 12000 [ ]. (a) Begründen Sie, dass zwischen x 0 und x 1 3 2 eine Gewinnschwelle liegt. (b) Bestimmen Sie diese Gewinnschwelle näherungsweise durch zwei Schritte mit dem Newton-Verfahren (Startwert x 0 0. 5 ).

Klausur: Mathematik 18.09.2010 Seite 9 (c) Aus Kapazitätsgründen können pro betrachteter Zeiteinheit maximal 180 Mengeneinheiten des Gutes produziert werden. Für welche Ausbringungsmenge x wird der Gewinn maximal?

Klausur: Mathematik 18.09.2010 Seite 10 7. Aufgabe (25 Punkte) Ein Unternehmen, das zwei Produkte herstellt, besitzt die Kostenfunktion 1 2 (x,x ) (x x ) 20(x x ) 10000 K 1 2 2 1 2 1 2 und die Erlösfunktion 2 2 E(x, x ) 500x x 600x 2. 1 2 1 1 2 x 2 Welche Ausbringungsmengen der zwei Produkte maximieren den Gewinn?

Klausur: Mathematik 18.09.2010 Seite 11 8. Aufgabe (25 Punkte) 1 (a) Wenn die Grenzkosten durch 16x 600 x 2 3 und der Grenzerlös durch 1700 10 x gegeben sind, wie lauten dann die Erlösfunktion und die Gewinnfunktion, wenn keine Fixkosten anfallen?

Klausur: Mathematik 18.09.2010 Seite 12 (b) Bestimmen Sie die Menge aller Stammfunktionen zu t e (t) 0.5 t e g.

Klausur: Mathematik 18.09.2010 Seite 13 Weitere Berechnungen: