Ökonomerie - Eine Einführung 5. Auflage Ludwig von Auer 28. März 2011
Inhalsverzeichnis 1
1 Einleiung 1 1.1 BrauchmanÖkonomeriker?... 2 1.2 WasisÖkonomerie?... 2 1.3 DievierAufgabenderÖkonomerie... 3 1.3.1 Spezifikaion... 3 1.3.2 Schäzung... 4 1.3.3 Hypohesenes..... 8 1.3.4 Prognose... 8 1.4 AufbauderLehrveransalung... 9 1.5 Daenmaerial... 10 2
2 Spezifikaion 1 2.1 A-Annahmen... 3 2.1.1 Erser Schri: Formulierung eines plausiblen linearenmodells... 3 2.1.2 Zweier und drier Schri: Hinzufügung eines BeobachungsindexundeinerSörgröße... 5 2.1.3 FormulierungderA-Annahmen... 9 2.2 SaisischesRepeioriumI... 13 2.2.1 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeisvereilung 13 2.2.2 ErwarungswereinerZufallsvariable... 18 2.2.3 VarianzeinerZufallsvariable... 20 2.2.4 Bedinge und gemeinsame Wahrscheinlichkeisvereilung... 22 2.2.5 KovarianzzweierZufallsvariablen... 26 2.2.6 Rechenregeln für Erwarungswer und Varianz.. 31 3
2.2.7 Eine spezielle Wahrscheinlichkeisvereilung: Die Normalvereilung... 35 2.3 B-Annahmen... 36 2.3.1 Begründungen für die Exisenz der Sörgröße... 36 2.3.2 FormulierungderB-Annahmen... 37 2.4 SaisischesRepeioriumII... 45 2.4.1 Sichproben-MielwereinerVariable... 45 2.4.2 Sichproben-VarianzeinerVariable... 46 2.4.3 Sichproben-Kovarianz zweier Variablen..... 47 2.5 C-Annahmen... 48 4
3 Schäzung I: Punkschäzung 1 3.1 KQ-Mehode eineillusraion... 5 3.2 KQ-Mehode einealgebraischeformulierung... 9 3.2.1 SummederResiduenquadrae... 9 3.2.2 HerleiungderSchäzformeln... 12 3.3 Inerpreaion der KQ-Schäzer bα und β b... 23 3.4 Besimmheismaß R 2... 24 3.4.1 GrafischeVeranschaulichung... 24 3.4.2 DefiniiondesBesimmheismaßes... 31 3.4.3 BerechnungdesBesimmheismaßes... 33 5
4 Indikaoren für die Qualiä von Schäzverfahren 1 4.1 SaisischerHinergrund... 3 4.1.1 Warum is y einezufallsvariable?... 3 4.1.2 Warum sind die KQ-Schäzer bα und β b Zufallsvariablen?... 6 4.2 Zwei Krierien: Unverzerrhei und Effizienz... 7 4.3 Unverzerrhei und EffizienzderKQ-Mehode... 11 4.4 SaisischesRepeioriumIII... 16 4.4.1 Sandard-Normalvereilung... 16 4.4.2 χ 2 -Vereilung... 19 4.4.3 -Vereilung... 21 4.4.4 F -Vereilung... 24 4.5 Wahrscheinlichkeisvereilungen der KQ-Schäzer bα und β b 26 4.5.1 Wahrscheinlichkeisvereilung von y... 26 4.5.2 Wahrscheinlichkeisvereilungen von bα und β b... 28 6
5 Schäzung II: Inervallschäzer 1 5.1 InervallschäzerundihreInerpreaion... 3 5.2 Inervallschäzer für β bei bekannem σ 2... 6 5.3 Inervallschäzer für β bei unbekannem σ 2... 14 5.3.1 HerleiungdesInervallschäzers... 14 5.3.2 InerpreaiondesInervallschäzers... 22 5.3.3 AussagekrafvonInervallschäzern... 24 5.4 Inervallschäzer für α... 25 7
6 Hypohesenes 1 6.1 ZweiseiigerHypohesenes... 2 6.1.1 Ein grafisches Enscheidungsverfahren... 3 6.1.2 Ein analyisches Enscheidungsverfahren..... 7 6.1.3 Zusammenhang zwischen analyischem und grafischem Vorgehen... 13 6.2 EinseiigerHypohesenes... 16 6.2.1 Ein grafisches Enscheidungsverfahren... 16 6.2.2 Ein analyisches Enscheidungsverfahren..... 18 6.3 p -Wer... 24 6.4 Wahl der geeigneen Nullhypohese und des geeigneen Signifikanzniveaus... 26 6.4.1 Sraegie A: Nullhypohese behaupe Gegeneil der Anfangsvermuung... 27 6.4.2 Sraegie B: Nullhypohese simm mi Anfangsvermuungüberein... 30 8
6.4.3 TrennschärfevonTess... 32 6.4.4 AnmerkungenzuzweiseiigenTess... 34 9
7 Prognose 1 7.1 Punkprognose... 2 7.1.1 PrognosewerundPrognosefehler... 2 7.1.2 VerlässlichkeiderPunkprognose... 4 7.2 Prognoseinervall... 7 10
8 Spezifikaion 2 8.1 A-Annahmen... 4 8.1.1 Erser Schri...... 4 8.1.2 ZweierunddrierSchri... 9 8.1.3 FormulierungderA-Annahmen... 10 8.2 B-Annahmen... 11 8.2.1 FormulierungderB-Annahmen... 11 8.2.2 InerpreaionderB-Annahmen... 13 8.3 C-Annahmen... 14 11
9 Schäzung 1 9.1 Punkschäzer bα, β b 1 und β b 2... 5 9.2 Inerpreaion der Schäzer bα, β b 1 und β b 2... 11 9.2.1 FormaleInerpreaion... 11 9.2.2 ÖkonomischeInerpreaion... 12 9.3 AuonomeVariaionderexogenenVariablen... 14 9.3.1 Korrelaion zwischen den exogenen Variablen.. 14 9.3.2 BerechnungderauonomenVariaion... 20 9.4 Informaionsverarbeiung der KQ-Mehode und Besimmheismaß R 2... 23 9.4.1 DefiniiondesBesimmheismaßes... 23 9.4.2 BerechnungdesBesimmheismaßes... 25 9.4.3 Besimmheismaß und Venn-Diagramme..... 27 9.4.4 KQ-Mehode als zweisufigerprozess... 29 9.4.5 PariellesBesimmheismaß... 37 12
9.5 Unverzerrhei und EffizienzderKQ-Mehode... 39 9.5.1 Erwarungswer und Varianz der KQ-Schäzer bα und β b k... 39 9.5.2 InerpreaionderFormeln... 41 9.5.3 Schäzformeln für var(bα), var( β b k ) und var( β b 1, β b 2 ) 42 9.5.4 BLUE- bzw. BUE-Eigenschaf der KQ-Schäzer. 44 9.6 Wahrscheinlichkeisvereilungen der KQ-Schäzer bα und β b k 45 9.6.1 Wahrscheinlichkeisvereilung der y... 45 9.6.2 Wahrscheinlichkeisvereilungen der Schäzer bα und bβ k... 47 9.7 Inervallschäzer... 48 13
10 Hypohesenes 1 10.1 Tesen einer Linearkombinaion von Parameern: -Tes. 2 10.1.1Zweiseiiger-Tes... 2 10.1.2 Einseiiger -Tes... 8 10.2 Simulaner Tes mehrerer Linearkombinaionen von Parameern: F -Tes... 9 10.2.1EinewichigeNullhypohese... 10 10.2.2TeseinerallgemeinenNullhypohese... 16 10.3 Zusammenhang zwischen -Tes und F -Tes bei L=1.. 18 10.3.1 Zweiseiiger F-Tes einer einzelnen Linearkombinaion... 18 10.3.2 Probleme des F -Tess bei einseiigen Hypohesen 21 10.4 Zusammenhang zwischen -Tes und F -Tes bei L=2.. 23 10.4.1NumerischesBeispiel... 24 14
10.4.2 Unerschied zwischen individuellen und simulanen Parameeress... 26 15
11 Prognose 1 11.1Punkprognose... 2 11.1.1PrognosewerundPrognosefehler... 2 11.1.2VerlässlichkeiderPunkprognose... 4 11.2Prognoseinervall... 8 16
12 Präsenaion der Schäzergebnisse und deren compuergesüze Berechnung 1 12.1CompuergesüzeökonomerischeAnalyse... 2 12.1.1ÖkonomerischeSofware... 2 12.1.2InerpreaiondesCompueroupus... 4 12.2PräsenaionvonSchäzergebnissen... 5 17
13 Verlezung der Annahme A1: Fehlerhafe Auswahl der exogenen Variablen 1 13.1KonsequenzenderAnnahmeverlezung... 3 13.1.1 Auslassen relevaner Variablen... 6 13.1.2VerwendungirrelevanerVariablen... 12 13.2 Diagnose und Neu-Spezifikaion... 16 13.2.1 Korrigieres Besimmheismaß R 2... 17 13.2.2WeiereKennzahlen:AIC,SCundPC... 20 13.2.3 F -Tes... 22 13.2.4 -Tes... 23 13.2.5 Zusammenhang zwischen korrigierem Besimmheismaß, F -Tes und -Tes... 24 13.2.6 Ungeneseer F -Tes... 27 13.3 Spezifikaions-Mehodologien... 30 13.3.1Seinmez-versusMaurer-Mehodologie... 30 18
13.3.2 Wichiges Problem bei der Variablenauswahl... 31 19
14 Verlezung der Annahme A2: Nich-lineare Wirkungszusammenhänge 1 14.1KonsequenzenderAnnahmeverlezung... 6 14.2EinigealernaiveFunkionsformen... 6 14.2.1Semi-logarihmischesModell... 7 14.2.2InversesModell... 8 14.2.3Exponenial-Modell... 10 14.2.4LogarihmischesModell... 12 14.2.5Log-inversesModell... 15 14.2.6QuadraischesModell... 16 14.2.7EinevergleichendeAnwendung... 17 14.3 Diagnose und Neu-Spezifikaion... 19 14.3.1 Regression Specificaion Error Tes (RESET).. 19 14.3.2 Besimmheismaß R 2... 26 14.3.3Box-Cox-Tes... 27 20
Kapiel 1 Einleiung
v. Auer, Ökonomerie 1 2 1.1 Brauch man Ökonomeriker? 1.2 Was is Ökonomerie? Ökonomische Theorien werden der empirischen Realiä gegenübergesell. Es exisieren zwei Richungen der empirischen Forschung: 1) experimenelle Empirie 2) hisorische Empirie Die Ökonomerie analysier anhand von beobachbaren Daen (ökonomische Realiä) ökonomische Wirkungszusammenhänge (ökonomische Theorie). Dabei greif sie auf Mehoden zurück, die in der saisischen Theorie enwickel wurden.
v. Auer, Ökonomerie 1 3 1.3 Die vier Aufgaben der Ökonomerie Beispiel: Es soll der numerische Zusammenhang zwischen der Höhe des Rechnungsberages und der Höhe des Trinkgeldes unersuch werden. Das ökonomische Modell laue: y = f(x) 1.3.1 Spezifikaion a) Funkionale Spezifikaion y = βx (1.1) y = βx (1.2) y = βx + u. (1.3) b) Sörgrößen-Spezifikaion c) Variablen-Spezifikaion Das vollsändig spezifiziere Modell (1.3) is das ökonomerische Modell.
v. Auer, Ökonomerie 1 4 1.3.2 Schäzung Numerische Illusraion 1.1 Es seien zwei Gäse beobache worden. Dabei bezeichne x den Rechnungsberag und y das Trinkgeld (beides in Euro): Gas 1 : (x 1 =10,y 1 =2) Gas 2 : (x 2 =30,y 2 =3). Es wurde im ökonomerischen Modell unersell, dass beide Gäse den gleichen Wer β besizen. Sind bei den beiden Gäsen Söreinflüsse wirksam geworden? Numerische Illusraion 1.2 Welche Were für β sind plausibel?
v. Auer, Ökonomerie 1 5 Der Schäzwer für β wird durch β b bezeichne. Das geschäze Modell (Variane I) laue: by = βx b. (1.4) Die geschäze Sörung (genann: Residuum) laue: bu = y by (1.5) = y βx b. Umsellen liefer das geschäze Modell (Variane II): y = βx b + bu. (1.6)
v. Auer, Ökonomerie 1 6 Numerische Illusraion 1.3 Für β b =0, 15 laue das geschäze Modell: by = 0, 15 x (Variane I) (1.7) y = 0, 15 x + bu (Variane II) Folglich ergib sich: für Gas 1 : by 1 = 0, 15 10 = 1, 5 bu 1 = y 1 by 1 =2 1, 5=0, 5 für Gas 2 : by 2 = 0, 15 30 = 4, 5 bu 2 = y 2 by 2 =3 4, 5= 1, 5.
v. Auer, Ökonomerie 1 7 Ökonomisches Modell Spezifikaion Ökonomerisches Modell Schäzung Geschäzes Modell Hypohesenes Prognose Abbildung 1.1: Die vier Aufgaben ökonomerischer Analyse.
v. Auer, Ökonomerie 1 8 1.3.3 Hypohesenes Auf Basis des geschäzen Modells lassen sich verschiedene Hypohesen überprüfen. 1.3.4 Prognose Numerische Illusraion 1.4 Welches Trinkgeld würde ein Gas schäzungsweise geben, der im Wer von 40 Euro speis? Für β b =0, 15 und x 0 =40ergib sich aus dem geschäzen Modell (Variane I): by 0 =0, 15 40 = 6.
v. Auer, Ökonomerie 1 9 1.4 Aufbau der Lehrveransalung Die Annahmen der funkionalen Spezifikaion werden als A-Annahmen, dieder Sörgrößen-Spezifikaion als B-Annahmen und die der Variablen-Spezifikaion als C-Annahmen bezeichne. Teil I is dem einfachen linearen Regressionsmodell gewidme (Kapiel 2 bis 7). Teil II beschäfig sich mi dem muliplen linearen Regressionsmodell (Kapiel 8 bis 12). Teil III unersuch die Probleme, die sich aus den verschiedenen möglichen Annahmeverlezungen ergeben (Kapiel 13 bis 21). Teil IV is zwei weierführenden Bereichen der Ökonomerie gewidme (Kapiel 22 und 23).
v. Auer, Ökonomerie 1 10 1.5 Daenmaerial Es exisieren drei Typen von Daen: Zeireihendaen Querschnisdaen Paneldaen. Tabelle 1.1: Daenpaare (x =Rechnungsberag,y =Trinkgeld;beides in Euro) von 9 beobacheen Gäse. Sammgas 1 Sammgas 2 Sammgas 3 1. Abend (x 1,y 1 )=(10, 2) (x 2,y 2 )=(20, 2) (x 3,y 3 )=(25, 4) 2. Abend (x 4,y 4 )=(30, 3) (x 5,y 5 )=(35, 3) (x 6,y 6 )=(41, 6) 3. Abend (x 7,y 7 )=(50, 7) (x 8,y 8 )=(14, 2) (x 9,y 9 )=(17, 2)
Kapiel 2 Spezifikaion
v. Auer, Ökonomerie 2 2 Beispiel: Es wird weierhin das Trinkgeldbeispiel berache. 20 Gäse wurden beobache. Die ensprechenden Daen sind in der folgenden Tabelle wiedergegeben. Tabelle 2.1: Die Daen von 20 beobacheen Gäsen. x y x y 1 10,00 2,00 11 60,00 7,00 2 30,00 3,00 12 47,50 5,50...... 10 12,50 1,00 20 20,00 2,50
v. Auer, Ökonomerie 2 3 2.1 A-Annahmen Mi Hilfe der A-Annahmen erfolg die funkionale Spezifikaion des ökonomerischen Modells. 2.1.1 Erser Schri: Formulierung eines plausiblen linearen Modells y = f(x) (ökonomisches Modell) (2.1) y = α + βx. (2.2) Gleichung (2.2) beschreib einen linearen aber nich nowendigerweise proporionalen Zusammenhang.
v. Auer, Ökonomerie 2 4 Trinkgeld y 10 8 6 4 6 {z } 20 2 0 }α 0 20 40 60 R β 20 -Rechnungsberag x Abbildung 2.1: Der wahre Zusammenhang zwischen Rechnungsberag x und Trinkgeld y.
v. Auer, Ökonomerie 2 5 2.1.2 Zweier und drier Schri: Hinzufügung eines Beobachungsindex und einer Sörgröße Die Hinzufügung eines Beobachungsindex liefer: y = α + βx für =1, 2,..., 20. (2.3) Aus Abbildung 2.2 is ersichlich, dass Söreinflüsse aufgereen sind.
v. Auer, Ökonomerie 2 6 y 6 10 8 6 4 2 0 0 20 40 60 - x Abbildung 2.2: Die Daen des Trinkgeld-Beispiels in grafischer Form.
v. Auer, Ökonomerie 2 7 Das zum ökonomischen Modell korrespondierende ökonomerische Modell laue: y = α + βx + u für =1, 2,..., 20. (2.4) Dabei werden die Parameer α und β als Regressionsparameer bezeichne. Die Variable u is als eine Sörgröße definier. Ihre grafische Inerpreaion is in Abbildung 2.3 wiedergegeben.
v. Auer, Ökonomerie 2 8 y 6 10 8 6 u 19 { 4 2 y 19 µ α + βx 19 0 0 20 40 60 R - x Abbildung 2.3: Der Zusammenhang zwischen beobacheem Wer y, Sörgröße u und ungesörem Einfluss α + βx.
v. Auer, Ökonomerie 2 9 2.1.3 Formulierung der A-Annahmen DasökonomerischeModelllauee: y = α + βx + u (2.4) Annahme a1 Es fehlen keine relevanen exogenen Variablen und die exogene Variable x is nich irrelevan. Annahme a2 Der wahre Zusammenhang zwischen x und y is linear. Annahme a3 Die Parameer α und β sind für alle T Beobachungen (x,y ) konsan.
v. Auer, Ökonomerie 2 10 y 6 10 8 6 4 2 0 0 20 40 60 - x Abbildung 2.4: Eine Punkwolke, die auf eine Verlezung der A- Annahmen hindeue.
v. Auer, Ökonomerie 2 11 y 6 10 8 6 4 2 0 0 20 40 60 - x Abbildung 2.5: Eine weiere Punkwolke, die auf eine Verlezung der A- Annahmen hindeue.
v. Auer, Ökonomerie 2 12 y 6 10 8 6 4 2 0 0 20 40 60 - x Abbildung 2.6: Eine weiere Punkwolke, die auf eine Verlezung der A- Annahmen hindeue.
v. Auer, Ökonomerie 2 13 2.2 Saisisches Repeiorium I 2.2.1 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeisvereilung Wie viele mögliche Ausprägungen besiz die Zufallsvariable: u 1 = Geworfene Augenzahl bei einmaligem Würfeln? Welche Wahrscheinlichkei besiz jede einzelne Ausprägung? Wie viele mögliche Ausprägungen besiz die Zufallsvariable: u 2 = Summe der geworfenen Augenzahlen bei zweimaligem Würfeln?
v. Auer, Ökonomerie 2 14 Die Wahrscheinlichkei für die Ausprägung 2 berägbeiu 2 : f(2) = (1/6) (1/6) = 1/36. Die Wahrscheinlichkei für die Ausprägung 3 beräg f(3) = 2 (1/6) (1/6) = 2/36. Jeder der möglichen Ausprägungen von u 2 kann eine Wahrscheinlichkei ihres Aufreens zugeordne werden. Man bezeichne diese Zuordnung als die Wahrscheinlichkeisvereilung der Zufallsvariable u 2.
v. Auer, Ökonomerie 2 15 f(u 2 ) 6/36 6 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 - u 2 Abbildung 2.7: (Teil a) Eine diskree Wahrscheinlichkeisvereilung.
v. Auer, Ökonomerie 2 16 f(u 4 ) 2 6 1 0 0-1 u 4 Abbildung 2.7: (Teil b) Eine seige Wahrscheinlichkeisvereilung.
v. Auer, Ökonomerie 2 17 Man unerscheide zwischen diskreen Zufallsvariablen und seigen Zufallsvariablen. Ein weieres Beispiel für eine diskree Zufallsvariable is: u 3 = Summe der geworfenen Augenzahlen bei 100.000 mal Würfeln Ein Beispiel für eine seige Zufallsvariable is: u 4 = eine reelle Zahl aus dem Inervall [0, 1].
v. Auer, Ökonomerie 2 18 2.2.2 Erwarungswer einer Zufallsvariable Der Erwarungswer der Zufallsvariable u laue: E(u) = NX f(u i ) u i. (2.5) i=1 Dabei bezeichne f(u i ) die Wahrscheinlichkei, mi der die Ausprägung i der Zufallsvariable u beobache wird.
v. Auer, Ökonomerie 2 19 Numerische Illusraion 2.1 Für die Zufallsvariable u = Geworfene Augenzahl bei einmaligem Würfeln gil N =6. Der Erwarungswer beräg E(u) = 6X 6X 1/6 u i =1/6 u i =1/6(1+2+3+4+5+6)=3, 5. i=1 i=1 Wahrscheinlichkeien müssen sich zu 1 addieren: NX f(u i )=1. i=1 Der Erwarungswer E(u) is das mi den Wahrscheinlichkeien f(u i ) gewichee Miel aller möglichen Ausprägungen der Zufallsvariable u.
v. Auer, Ökonomerie 2 20 2.2.3 Varianz einer Zufallsvariable Die Varianz einer Zufallsvariable miss die Sreuung der Zufallsvariable um ihren Erwarungswer: var(u) = NX f(u i )(u i E(u)) 2. (2.6) i=1 Numerische Illusraion 2.2 Da im Würfel Beispiel E(u) =3, 5, ergib sich: var(u) = 1 6 6, 25 + 1 6 2, 25 + 1 6 0, 25 + 1 6 0, 25 + 1 6 2, 25 + 1 6, 25 6 = 2, 91666.
v. Auer, Ökonomerie 2 21 Die quadriere Abweichung (u E(u)) 2 kann als Zufallsvariable aufgefass werden, wobei E(u) zufallsunabhängig is: f(u i )=f (u i E(u)) 2. Folglich kann die Varianz auch in der Form var(u) = ausgedrück werden, bzw. NX f (u i E(u)) 2 (u i E(u)) 2 (2.7) i=1 var(u) =E (u E(u)) 2. (2.8) Die Wurzel der Varianz bezeichne man als Sandardabweichung (engl.: sandard deviaion): sd(u) = p var(u).
v. Auer, Ökonomerie 2 22 2.2.4 Bedinge und gemeinsame Wahrscheinlichkeisvereilung Gegeben seien die Zufallsvariablen u 1 = Geworfene Augenzahl bei einmaligem Würfeln u 6 = Anzahl der naürlichen Zahlen, durch welche die geworfene Augenzahl eilbar is. Tabelle 2.2: Ausprägungen der Zufallsvariablen u 1 und u 6 im Zufallsexperimen einmaliges Würfeln. Zufallsvariable Ausprägung u 1 1 2 3 4 5 6 u 6 1 2 2 3 2 4
v. Auer, Ökonomerie 2 23 Für u 1 läss sich eine bedinge Wahrscheinlichkeisvereilung definieren: f(u 1i u 6j ). Sie ordne bei gegebenem Wer u 6j jeder möglichen Ausprägung von u 1 die Wahrscheinlichkei ihres Aufeens zu. Für vorgegebenes u 6j =2ergib sich die folgende bedinge Wahrscheinlichkeisvereilung: f(u 1i =1 u 6j =2) = 0 f(u 1i =2 u 6j =2) = 1/3 f(u 1i =3 u 6j =2) = 1/3 f(u 1i =4 u 6j =2) = 0 f(u 1i =5 u 6j =2) = 1/3 f(u 1i =6 u 6j =2) = 0
v. Auer, Ökonomerie 2 24 Die gemeinsame Wahrscheinlichkeisvereilung f(u 1i,u 6j ) ordne jeder möglichen Ausprägungskombinaion (u 1i,u 6j ) eine Wahrscheinlichkei ihres Aufreens zu. Es gil: f(u 1i,u 6j )=f(u 1i u 6j ) f(u 6j )=f(u 6j u 1i ) f(u 1i ). (2.9) Numerische Illusraion 2.3 Die Wahrscheinlichkei für das Aufreen der Ausprägungskombinaion u 1i =3und u 6j =2ergib sich gemäß der Gleichung (2.9) aus f(u 1i =3,u 6j =2)=f(u 1i =3 u 6j =2) f(u 6j =2)=1/3 1/2 =1/6 oder alernaiv aus f(u 1i =3,u 6j =2)=f(u 6j =2 u 1i =3) f(u 1i =3)=1 1/6 =1/6.
v. Auer, Ökonomerie 2 25 Tabelle 2.3: Gemeinsame Wahrscheinlichkeien der Zufallsvariablen u 1 und u 6. u 1i 1 2 3 4 5 6 1 1/6 0 0 0 0 0 u 6j 2 0 1/6 1/6 0 1/6 0 3 0 0 0 1/6 0 0 4 0 0 0 0 0 1/6
v. Auer, Ökonomerie 2 26 2.2.5 Kovarianz zweier Zufallsvariablen Unkorrelierhei Ein posiiver Zusammenhang beseh, wenn endenziell (u 1i E (u 1 )) > 0 (u 6j E (u 6 )) > 0 (u 1i E (u 1 )) < 0 (u 6j E (u 6 )) < 0. Ein negaiver Zusammenhang beseh, wenn endenziell (u 1i E (u 1 )) > 0 (u 6j E (u 6 )) < 0 (u 1i E (u 1 )) < 0 (u 6j E (u 6 )) > 0. Die Kovarianz der beiden Zufallsvariablen formalisier diesen Zusammenhang: XN 1 XN 6 cov(u 1,u 6 ) = f(u 1i,u 6j ) [(u 1i E (u 1 )) (u 6j E (u 6 ))] (2.10) i=1 j=1 = E [(u 1 E (u 1 )) (u 6 E (u 6 ))]. (2.11)
v. Auer, Ökonomerie 2 27 Beräg die Kovarianz 0, dann üben die beiden Zufallsvariablen keinen linearen Einfluss aufeinander aus. Sie sind dann unkorrelier. Numerische Illusraion 2.4 Der Erwarungswer von u 1 besiz den Wer E(u 1 )=3, 5. Füru 6 erhäl man: E(u 6 )= 1 6 1+3 6 2+1 6 3+1 4=2, 333 6 und mi Hilfe von Tabelle 2.3 cov(u 1,u 6 ) = 1 6 (-2, 5) (-1, 333) + 1 6 (-1, 5) (-0, 333) + 1 (-0, 5) (-0, 333) + 6 + 1 6 (0, 5) (0, 666) + 1 6 (1, 5) (-0, 333) + 1 (2, 5) (1, 666) 6 = 1, 333.
v. Auer, Ökonomerie 2 28 Korrelaionskoeffizien Gegeben seien die Zufallsvariablen u 5 = Körpergröße eines erwachsenen Engländers, u 7 = Schuhgröße eines erwachsenen Engländers. Der Korrelaionskoeffizien der Zufallsvariablen u 5 und u 7 laue: Es gil immer 1 cor(u 5,u 7 ) 1. cor(u 5,u 7 )= cov(u 5,u 7 ) sd(u 5 ) sd(u 7 ). (2.12)
v. Auer, Ökonomerie 2 29 Unabhängigkei Zufallsvariablen, die weder einen linearen noch einen nich-linearen Einfluss aufeinander ausüben, werden als saisisch unabhängig bezeichne. Ein Beispiel: u 1 = Geworfene Augenzahl bei Würfel 1 und u 2 = Geworfene Augenzahl bei Würfel 2.
v. Auer, Ökonomerie 2 30 Die Kennnis der asächlich beobacheen Ausprägung der ersen Zufallsvariable gib keinerlei zusäzliche Informaionen über die Ausprägung der anderen Zufallsvariable: Es ergib sich aus (2.9) und (2.13): f(u 1i u 2j )=f(u 1i ). (2.13) f(u 1i,u 2j )=f(u 1i u 2j ) f(u 2j )=f(u 1i ) f(u 2j ). (2.14)
v. Auer, Ökonomerie 2 31 2.2.6 Rechenregeln für Erwarungswer und Varianz Erwarungswer Es seien u 1 und u 2 zwei Zufallsvariablen und x 1 und x 2 zwei Konsanen. Dann gil: E(x 1 ) = x 1 (2.15) E(x 1 u 1 ) = x 1 E(u 1 ) (2.16) E(u 1 + u 2 ) = E(u 1 )+E(u 2 ) (2.17) und dami E(x 1 + x 2 u 2 )=x 1 + x 2 E(u 2 ). (2.18)
v. Auer, Ökonomerie 2 32 Im Regelfall gil: E(u 1 u 2 ) 6= E(u 1 ) E(u 2 ). Nur wenn u 1 und u 2 unkorrelier oder sogar voneinander unabhängig sind, gil: E(u 1 u 2 )=E(u 1 ) E(u 2 ). (2.19) Es gil immer: E[E(u)] = E(u).
v. Auer, Ökonomerie 2 33 Varianz Die Zufallsvariable u 3 ergebe sich aus den anderen Größen gemäß u 3 = x 1 u 1 + x 2 u 2. Es gil folgende Regel: var(u 3 )=x 2 1var(u 1 )+x 2 2var(u 2 )+2x 1 x 2 cov(u 1,u 2 ). (2.20) Für den Spezialfall u 3 = x 1 + x 2 u 2 (also u 1 =1)ergibsich: var(u 3 )=x 2 2var(u 2 ). (2.21)
v. Auer, Ökonomerie 2 34 Kovarianz Die Kovarianz der zuvor definieren Zufallsvariable u 3 und einer Zufallsvariable u 4 laue: cov(u 3,u 4 ) = cov(x 1 u 1 + x 2 u 2,u 4 ) = x 1 cov(u 1,u 4 )+x 2 cov(u 2,u 4 ). (2.22) Ein Blick auf Definiion (2.11) zeig, dass Kovarianzen immer symmerisch sind: cov(u 3,u 4 )=cov(u 4,u 3 ) (2.23)
v. Auer, Ökonomerie 2 35 2.2.7 Eine spezielle Wahrscheinlichkeisvereilung: Die Normalvereilung Die Gesal der Normalvereilunghäng ähnel Abbildung 2.7. Die Gesal is ausschließlich vom Erwarungswer und der Varianz der Zufallsvariable u ab: u N (E(u),var(u)).
v. Auer, Ökonomerie 2 36 2.3 B-Annahmen Annahmen, die im Rahmen der Sörgrößen-Spezifikaion, also bezüglich der Variablen u geroffen werden, werden hier als B-Annahmen bezeichne. 2.3.1 Begründungen für die Exisenz der Sörgröße Die verwendeen Daen enhalen Erhebungs- und Messfehler. Besimme erklärende Variablen sind nich berücksichig. Das menschliche Verhalen enhäl selbs ein Zufallselemen.
v. Auer, Ökonomerie 2 37 2.3.2 Formulierung der B-Annahmen Jede der T Sörgrößen u sell eine eigene Zufallsvariable dar. Annahme b1 Die Sörgröße u ha für alle Beobachungen einen Erwarungswer von 0, das heiß, E(u )=0, für =1, 2,...,T. (2.24) Annahme b2 Die Sörgröße u ha für alle Beobachungen eine konsane Varianz, das heiß, var(u )=σ 2, für =1, 2,..., T. (2.25) Falls Annahme b2 verlez is, sprich man von heeroskedasischen (oder nich homoskedasischen) Sörgrößen.
v. Auer, Ökonomerie 2 38 y 6 10 8 6 4 2 d d d d d d d d R d d d d d d d d d dd d 0 0 20 40 60 - x Abbildung 2.8: Konsaner Messfehler bei der Erfassung von y.
v. Auer, Ökonomerie 2 39 y 6 10 8 6 4 2 0 0 20 40 60 R - x Abbildung 2.9: Eine Punkwolke, die auf heeroskedasische Sörgrößen hindeue.
v. Auer, Ökonomerie 2 40 Annahme b3 Die Sörgrößen sind nich korrelier, das heiß, cov(u,u s )=0, (2.26) für alle 6= s sowie =1, 2,..., T und s =1, 2,.., T. Is Annahme b3 erfüll, dann sag man, dass keine Auokorrelaion vorlieg. Annahme b4 Die Sörgrößen u sind normalvereil, das heiß, u N(0,var(u )), für =1, 2,..., T.
v. Auer, Ökonomerie 2 41 y 6 10 8 6 4 2 0 0 20 40 60 R - x Abbildung 2.10: Eine Punkwolke, die auf Sörgrößen hindeue, welche nich normalvereil sind.
v. Auer, Ökonomerie 2 42 f(u ) 6 - u Abbildung 2.11: Eine mögliche Wahrscheinlichkeisvereilung einer nich normalvereilen Sörgröße u.
v. Auer, Ökonomerie 2 43 Wenn die Annahmen b1 bis b3 erfüll sind, dann sprich man vom weißen Rauschen der Sörgrößen. Wenn alle vier B-Annahmen erfüll sind, dann ha jede der T Zufallsvariablen u die gleiche Wahrscheinlichkeisvereilung: für alle =1, 2,..., T. u UN (0,σ 2 ), (2.27)
v. Auer, Ökonomerie 2 44 f(u ) 6 f(u 1 ) f(u 2 ) 1 y f(u 3 ) x 1 u 3 r A R x 2 x 3 q x Abbildung 2.12: Eine Veranschaulichung des Annahmenkomplexes b1 b4.
v. Auer, Ökonomerie 2 45 2.4 Saisisches Repeiorium II 2.4.1 Sichproben-Mielwer einer Variable Der arihmeische Sichproben-Mielwer der T Beobachungen x 1,x 2,...,x T laue: x = 1 TX x, T =1
v. Auer, Ökonomerie 2 46 2.4.2 Sichproben-Varianz einer Variable Der Durchschni der quadraischen Abweichungen vom Sichproben-Mielwer x beräg: dvar(x) = 1 T 1 TX (x x) 2 = 1 T 1 S xx, =1 wobei S xx = P T =1 (x x) 2 als Variaion der Variable x bezeichne wird. Die Sichproben-Sandardabweichung laue: bsd(x) = p dvar(x).
v. Auer, Ökonomerie 2 47 2.4.3 Sichproben-Kovarianz zweier Variablen Für die T Beobachungspaare (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),...,(x T,y T ) laue die Sichproben-Kovarianz: ccov(x, y) = 1 T 1 TX (x x)(y y) = 1 T 1 S xy. =1 Dabei bezeichne S xy = P T =1 (x x)(y y) die Kovariaion. Der Sichproben-Korrelaionskoeffizien laue: ccor(x, y) = ccov(x, y) bsd(x) bsd(y) = S xy /(T 1) p Sxx /(T 1) ps yy /(T 1) = S xy Sxx ps yy.
v. Auer, Ökonomerie 2 48 2.5 C-Annahmen Die Variablen-Spezifikaion geschieh durch das Formulieren der C-Annahmen. Annahme c1 Die exogene Variable x is keine Zufallsvariable, sondern kann wie in einem Experimen konrollier werden. Annahme c2 Die exogene Variable x weis nich für alle Beobachungen den gleichen Wer auf: S xx > 0. Für eine Schäzung der wahren Gerade R müssen mindesens zwei Beobachungen vorliegen: T 2.