Analysis III Wintersemester 2003/2004. W. Ebeling

Analysis III Wintersemester 2003/2004 W. Ebeling 1

c Wolfgang Ebeling Institut für Algebraische Geometrie Leibniz Universität Hannover Postfach 6009 30060 Hannover E-mail: ebeling@math.uni-hannover.de

1 Integration von Treppenfunktionen 1 1 Integration von Treppenfunktionen Wir wollen nun das Integral für Funktionen einführen, die auf einer Teilmenge des R n definiert sind. Dabei wollen wir gleich einen allgemeineren Integralbegriff betrachten als den aus Analysis I bekannten. Wir wollen nämlich auch unbeschränkte Funktionen integrieren Limesbildung und Integration auch bei nicht gleichmäßiger Konvergenz vertauschen können. Der geeignete Integralbegriff dazu ist der Begriff des Lebesgue-Integrals. Diesen Begriff wollen wir nun einführen. Wir werden dazu analog zu der Einführung des Integrals einer stetigen Funktion auf einem kompakten Intervall in Analysis I vorgehen. Die entscheidenden Schritte sind (1) Definition des Integrals einer Treppenfunktion. (2) Approximation einer gegebenen Funktion f durch eine Folge von Treppenfunktionen. (3) Definition des Integrals von f als Grenzwert der Integrale einer approximierenden Folge von Treppenfunktionen. Wir beginnen nun mit Schritt (1). Eine Treppenfunktion in Analysis I war eine Funktion einer Veränderlichen, die konstant auf Intervallen war. Wir übertragen nun den Begriff des Intervalls auf den R n. In R kennen wir folgende Intervalle: Beschränkte Intervalle: a, b R, a b, Unbeschränkte Intervalle: (a, b) [a, b), (a, b] [a, b] (offen) (halboffen) (abgeschlossen) (, b), (, b], (a, ), [a, ), (, ) = R. Mit eingeschlossen ist dabei die leere Menge: = (a, b) = [a, b) = (a, b] für a = b. Definition Ein Quader Q R n ist das kartesische Produkt Q = I 1... I n = {x R n x j I j, j = 1,..., n} von n beschränkten Intervallen aus R. Ein Quader heißt leer, wenn eins der Intervalle leer ist. Ein nicht leerer Quader heißt ausgeartet, wenn eins der Intervalle zu einem Punkt entartet ist. Man skizziere den Fall n = 2!

1 Integration von Treppenfunktionen 2 Satz 1.1 Der Durchschnitt einer beliebigen Familie von Quadern ist ein Quader. Beweis. Dieser Satz gilt in R: als unteren Eckpunkt nimmt man das Supremum aller unteren Eckpunkte, als oberen Eckpunkt das Infimum aller oberen Eckpunkte. Damit gilt der Satz koordinatenweise und damit auch für Quader des R n. Die Vereinigung von Quadern ist dagegen im Allgemeinen kein Quader (Beispiel?). Definition Eine Menge M R n heißt zulässig, wenn es paarweise disjunkte Quader Q 1,..., Q r gibt, so dass M = r k=1 Q k. Satz 1.2 Sind M und N zulässige Mengen, so ist auch ihr Durchschnitt M N eine zulässige Menge. Beweis. Da M und N zulässig sind, gibt es Quader P 1,..., P r und Q 1,..., Q s, so dass r M = P k, P k P l =, k l, N = k=1 s m=1 Q m, Q m Q n =, m n. Es gilt nun ( r ) ( s ) M N = P k Q m = k,m(p k Q m ). k=1 m=1 Die Quader P k Q m sind paarweise disjunkt, denn (P k Q m ) (P l Q n ) P k P l und Q m Q n k = l und m = n. zulässig, so ist auch ihr Durch- Korollar 1.1 Sind die Mengen M 1,..., M r schnitt r k=1 M k zulässig. Beweis. durch vollständige Induktion nach r. Satz 1.3 Die Differenz Q\Q zweier Quader Q und Q des R n ist eine zulässige Menge. Beweis. (n = 2) Es sei Q = I J und Q = I J. Dann gibt es paarweise disjunkte Intervalle I 0, I 1, I 2 R mit der Eigenschaft I \ I = I 1 I 2, I I = I 0.

1 Integration von Treppenfunktionen 3 Analog gibt es paarweise disjunkte Intervalle J 0, J 1, J 2 R mit J \ J = J 1 J 2, J J = J 0. Wegen I = (I \ I ) (I I ) gilt I = I 0 I 1 I 2. Analog gilt Daraus folgt J = J 0 J 1 J 2. Q = I J = k,l I k J l, Q Q = (I I ) (J J ) = I 0 J 0, Q \ Q = Q \ (Q Q ) = I k J l. (k,l) (0,0) Man überzeuge sich davon, dass die rechts vereinigten Mengen paarweise disjunkt sind. Satz 1.4 Ist Q R n ein Quader und M R n eine zulässige Menge, dann ist auch Q \ M zulässig. Beweis. Nach Voraussetzung gibt es paarweise disjunkte Quader Q 1,..., Q r, so dass M = r k=1 Q k. Es gilt nun Q \ M = Q \ r Q k = k=1 r (Q \ Q k ). Nach Satz 1.3 sind die Mengen Q \ Q k zulässig, nach Korollar 1.1 damit auch Q \ M. Satz 1.5 Sind die Mengen M, N R n zulässig, so ist auch die Menge M \ N zulässig. Beweis. Da ein Quader beschränkt ist, ist auch M beschränkt, also in einem Quader Q R n enthalten. Es gilt k=1 M \ N = M (Q \ N). Nach Satz 1.4 ist Q \ N und nach Satz 1.2 damit auch M (Q \ N) zulässig. Satz 1.6 Sind die Mengen M, N R n zulässig, so ist auch die Menge M N zulässig. Beweis. Es ist M N = (M N) (M \ N) (N \ M) und die rechts stehenden Mengen sind paarweise disjunkt. Der Satz folgt damit aus Satz 1.2 und Satz 1.5 (wie?).

1 Integration von Treppenfunktionen 4 Korollar 1.2 Sind die Mengen M 1,..., M r zulässig, so ist auch ihre Vereinigung r k=1 M k zulässig. Beweis. durch vollständige Induktion nach r. Definition Das Volumen v(q) des Quaders Q = I 1... I n ist das Produkt seiner Kantenlängen: v(q) := λ(i 1 )... λ(i n ). (Dabei ist λ(i j ) die Länge des Intervalls I j, vgl. Analysis I. Ein Intervall J mit den Eckpunkten a, b, a b, hat die Länge λ(j) = b a.) Statt v(q) schreiben wir manchmal auch v n (Q). Bemerkung 1.1 Ist Q ausgeartet, so gilt v(q) = 0. Definition Eine Funktion t : R n R heißt Treppenfunktion auf R n, wenn es endlich viele paarweise disjunkte Quader Q 1,..., Q r gibt, so dass gilt: (i) t ist auf jedem Q k, k = 1,..., r, konstant. (ii) t(x) = 0 für alle x R n \ r k=1 Q k. Die Menge aller Treppenfunktionen auf R n bezeichnen wir mit L 0 (R n ). Satz 1.7 Sind t 1,..., t m Treppenfunktionen auf R n, so gibt es endlich viele paarweise disjunkte Quader Q 1,..., Q r, so dass (i) t i ist konstant auf Q k für jedes i und k. (ii) t i (x) = 0 für alle x R n \ r k=1 Q k und jedes i. Beweis. Es sei M i die Vereinigung der Quader, auf denen die Treppenfunktion t i konstant ist, i = 1,..., m. Dann ist M i zulässig. Nach Korollar 1.2 ist auch die Vereinigung m k=1 M k zulässig, also die Vereinigung endlich vieler paarweise disjunkter Quader Q 1,..., Q r. Indem wir die Durchschnitte mit den ursprünglichen Quadern bilden, erhalten wir ein System von Quadern mit den gewünschten Eigenschaften. Satz 1.8 Für s, t L 0 (R n ) gilt: (i) s + t L 0 (R n ). (ii) λs L 0 (R n ) für alle λ R. (iii) s L 0 (R n ). Beweis. Man wähle nach Satz 1.7 ein gemeinsames System von paarweise disjunkten Quadern für s und t. Auf diesen Quadern sind dann auch die Funktionen aus (i) (iii) konstant. Korollar 1.3 Die Menge L 0 (R n ) bildet einen Vektorraum über R.

1 Integration von Treppenfunktionen 5 Definition Die charakteristische Funktion einer Menge A R n ist die Funktion 1 A : R n R mit { 1 für x A, 1 A (x) := 0 für x R n \ A. Bemerkung 1.2 Jede Treppenfunktion auf R n kann als Linearkombination von charakteristischen Funktionen von Quadern dargestellt werden: r t = c k 1 Qk, c k R. k=1 Umgekehrt ist jede solche Linearkombination eine Treppenfunktion (Q 1,..., Q r brauchen dabei nicht paarweise disjunkt zu sein). Definition Unter dem Integral einer Treppenfunktion t = r k=1 c k1 Qk versteht man die Zahl r t(x) dx := c k v(q k ). R n Satz 1.9 Die Definition des Integrals hängt nicht von der Darstellung der Treppenfunktion ab. k=1 Beweis. Angenommen t = r c k1 Q k = k=1 s l=1 c l 1 Q l. Nach Satz 1.7 gibt es paarweise disjunkte Quader Q 1,..., Q p, so dass und jedes Q j Dann gilt und Q i t = p c k 1 Qk k=1 ist Vereinigung von gewissen Q k. Es sei Q j = k I j Q k. c jv(q j) = c jv r c jv(q j) = j=1 Entsprechend folgt s i=1 r j=1 c i v(q i ) = k I j Q k k I j c jv(q k ) = = c j v(q k ), k I j p c k v(q k ). k=1 p c k v(q k ). k=1 Wir zeigen nun Eigenschaften dieses Integrals.

2 Abzählbarkeit und Nullmengen 6 Satz 1.10 (Linearität) Es seien s, t L 0 (R n ), λ R. Dann gilt: (i) R n (s + t)(x) dx = R n s(x) dx + R n t(x) dx. (ii) R n λs(x) dx = λ R n s(x) dx. Beweis. Übergang zu gemeinsamem System von Quadern für s und t, darauf ausrechnen, wie in Analysis I. Bemerkung 1.3 Dieser Satz besagt, dass das Integral R n L 0 (R n ) R ist. dx eine Linearform Satz 1.11 (Monotonie) Sind s, t L 0 (R n ) mit s t, so ist s(x) dx t(x) dx. R n R n Beweis. Wie bei Satz 1.10, wobei zu beachten ist: v(q) 0 für jeden Quader Q. Korollar 1.4 Für t L 0 (R n ) gilt t(x) dx t(x) dx. R R n n Beweis. Übungsaufgabe. 2 Abzählbarkeit und Nullmengen In der Lebesgueschen Integrationstheorie braucht man gewisse Mengen, die Nullmengen, nicht zu beachten im folgenden Sinne: Ändert man eine integrierbare Funktion auf einer Nullmenge ab, so ändert sich ihr Integral nicht. Bevor wir Nullmengen einführen, wollen wir noch einiges über die Abzählbarkeit von Mengen nachtragen. Definition Eine nichtleere Menge M heißt abzählbar, wenn es eine surjektive Abbildung N M gibt, d.h. wenn eine Folge (x n ) n N existiert mit M = {x n n N}. Eine nichtleere Menge heißt überabzählbar, wenn sie nicht abzählbar ist. Beispiel 2.1 Beispiele für abzählbare Mengen: endliche Mengen, N, Z. Satz 2.1 Die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen M k, k N, ist wieder abzählbar.

2 Abzählbarkeit und Nullmengen 7 Beweis. Es sei M k = {x kl l N}. Wir schreiben die Elemente der Vereinigungsmenge k N M k in einem quadratisch unendlichen Schema an: M 0 : x 00 x 01 x 02 x 03... M 1 : x 10 x 11 x 12 x 13... M 2 : x 20 x 21 x 22 x 23... M 3 : x 30 x 31 x 33..... x 32.. Die Abzählungsvorschrift ist durch die Pfeile angedeutet und erfasst alle Elemente der Vereinigungsmenge. Korollar 2.1 Die Menge Q aller rationalen Zahlen ist abzählbar. Beweis. Für jede natürliche Zahl k 1 sind die Mengen { m } A k := m Z k abzählbar. Nun gilt Q = k 1 A k. Daher ist nach Satz 2.1 auch Q abzählbar. Satz 2.2 Die Menge R aller reellen Zahlen ist überabzählbar. Beweis. Wir verwenden das sogenannte Cantorsche Diagonalverfahren. Es genügt zu zeigen, dass das Intervall (0, 1) nicht abzählbar ist. Angenommen, (0, 1) sei abzählbar. Dann gibt es eine Folge (x n ) n 1 reeller Zahlen, so dass (0, 1) = {x n n 1}. Die Dezimalbruchentwicklungen der Zahlen x n seien x 1 = 0, a 11 a 12 a 13... x 2 = 0, a 21 a 22 a 23... x 3 = 0, a 31 a 32 a 33... Wir definieren nun eine Zahl c (0, 1) durch die Dezimalentwicklung wobei c k := c = 0, c 1 c 2 c 3..., { 5, falls akk 5, 4, falls a kk = 5. Insbesondere gilt c k a kk für alle k 1. Nach Annahme existiert ein n 1 mit x n = c. Daraus folgt aber a nn = c n, ein Widerspruch.

2 Abzählbarkeit und Nullmengen 8 Aufgabe 2.1 (a) Man zeige, dass jedes nichtleere offene Intervall (a, b) überabzählbar ist. (b) Man zeige, dass die Menge der irrationalen Zahlen überabzählbar ist. Definition Eine Menge M R n heißt (Lebesgue-)Nullmenge, wenn es zu jedem ε > 0 eine Folge von Quadern Q 1, Q 2,... gibt, so dass M k=1 Q k und k=1 v(q k) < ε. Satz 2.3 Ist M 1, M 2,... eine Folge von Nullmengen, so ist auch k=1 M k eine Nullmenge. Beweis. Es sei ε > 0 vorgegeben. Da M k eine Nullmenge ist, gibt es Q k1, Q k2,..., so dass M k j=1 Q kj und j=1 v(q kj) < ε (k = 1, 2,...). Daraus folgt 2 k M k k=1 k=1 j=1 Q kj und k,j v(q kj ) k=1 ε 2 k = ε. Da die abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen wieder abzählbar ist (Satz 2.1), ist M eine Nullmenge. Beispiel 2.2 Für x 0 R n ist {x 0 } eine Nullmenge. Ebenso ist jede abzählbare Teilmenge des R n eine Nullmenge, z.b. auch Q n = {x R n x i Q}. Definition Es sei D R n. Eine Funktion f : D R heißt fast überall definiert auf D, wenn es eine Nullmenge M D gibt, so dass f auf D \ M definiert ist. Definition Es sei D R n. Zwei Funktionen f, g : D R heißen fast überall gleich (in Zeichen f = v g), wenn es eine Nullmenge M D gibt, so dass f D \M = g D\M (d.h. wenn {x D f(x) g(x)} eine Nullmenge ist). Beispiel 2.3 Die auf D = [0, 1] erklärte Dirichlet-Funktion { 1 für x rational, f(x) = 0 für x irrational, ist fast überall gleich zur Nullfunktion. Definition Eine Folge (f k ) k N von Funktionen f k : R n R heißt fast überall konvergent gegen eine Funktion f : R n R, wenn es eine Nullmenge M R n gibt, so dass für alle x R n \ M die Folge (f k (x)) k N gegen f(x) konvergiert. Aufgabe 2.2 Man vergleiche die Begriffe fast überall konvergent, punktweise konvergent und gleichmäßig konvergent.

3 Das Lebesgue-Integral 9 3 Das Lebesgue-Integral Wir führen nun die Schritte (2) und (3) des am Anfang von 1 beschriebenen Programms aus. Definition Mit L + (R n ) bezeichnen wir die Menge aller Funktionen f : R n R mit der folgenden Eigenschaft: Es gibt eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen (t k ) k N, die fast überall gegen f konvergiert und deren Integralfolge ( t R n k (x) dx) k N beschränkt ist. Satz 3.1 Es sei f L + (R n ) und (t k ) k N eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen mit beschränkter Integralfolge, die fast überall gegen f konvergiert. Dann hat die Integralfolge ( R n t k (x) dx) k N einen Grenzwert in R und dieser ist unabhängig von der gewählten Folge (t k ). Definition Dieser Grenzwert heißt das (Lebesgue-)Integral von f: f(x) dx := lim R n k t k (x) dx. R n Zum Beweis von Satz 3.1 benötigen wir zwei Hilfssätze: Satz 3.2 Es sei (s k ) k N eine Folge von Treppenfunktionen mit (i) s 0 s 1... 0, (ii) (s k ) konvergiert fast überall gegen die Nullfunktion. Dann gilt lim s k (x) dx = 0. k R n Zum Beweis dieses Satzes brauchen wir ein Lemma. Lemma 3.1 Es sei Q R n ein Quader. Dann gibt es zu jedem ε > 0 einen offenen Quader Q mit Q Q und v(q ) v(q) < ε. Beweis. Übungsaufgabe. Beweis von Satz 3.2. Nach (i) gilt s 0 (x) dx R n s 1 (x) dx... R n 0 dx = 0. R n Daher existiert lim k R n s k (x) dx und ist 0. Es reicht daher zu zeigen: Zu jedem ε > 0 gibt es ein k 0 N, so dass R n s k0 (x) dx < ε. Es sei also ε > 0 vorgegeben.

3 Das Lebesgue-Integral 10 (a) Da s 0 nur endlich viele Werte hat, gibt es wegen (i) ein M > 0 mit s k (x) < M für alle x R n und k N. (b) Es sei N die Menge aller x R n, für die s k (x) nicht gegen 0 konvergiert. Nach (ii) ist N eine Nullmenge. Daher gibt es eine Folge von Quadern P 1, P 2,... mit N P µ und v(p µ ) < ε 6M. µ=1 Nach Lemma 3.1 gibt es für jedes µ = 1, 2,... einen offenen Quader Pµ mit P µ Pµ und v(pµ) v(p µ ) < ε 2 µ 6M. Dann gilt v(pµ) µ=1 µ=1 ( v(p µ ) + µ=1 ε ) 2 µ < ε 6M 6M + ε 6M = ε 3M. (c) Da s 0 0 nur auf endlich vielen Quadern, gibt es einen kompakten Quader Q 0 mit s 0 (x) = 0 für x Q 0, also wegen (i) s k (x) = 0 für alle x R n \ Q 0 und k N. (d) Für jede Funktion s k gibt es nun eine Zerlegung von Q 0 in endlich viele paarweise disjunkte Quader Q (k) 1, Q(k) 2,..., Q(k) r k, auf denen s k konstant ist. Betrachte die Folge Es sei Q (0) 1,..., Q(0) r 0, Q (1) 1,..., Q(1) r 1,... Q 1, Q 2, Q 3,... die Teilfolge der Quader Q (k) ε ρ, auf denen s k (x) < 3v(Q gilt. 0)+1 Setze h i = k falls Q i = Q (k) ρ. Dann ist Q i Konstanzquader für die Treppenfunktion s hi und es gilt s hi (x) < ε 3v(Q 0 ) + 1 für alle x Q i und i = 1, 2,.... Nach Lemma 3.1 gibt es offene Quader Q i (i = 1, 2,...) mit Q i Q i und (v(q i ) v(q i )) < ε 3M. i=1 Behauptung 3.1 Q 0 Pµ Q µ. µ=1 i=1

3 Das Lebesgue-Integral 11 Beweis. x N x Pµ (nach (b)) µ=1 x Q 0 \ N lim k s k(x) = 0 (nach (ii)) k 0 N s k0 (x) < i N x Q i Q i. ε 3v(Q 0 ) + 1 Da Q 0 kompakt ist, gibt es nach Heine-Borel ein m N, so dass Q 0 = m m Pµ µ=1 i=1 Q µ m m m Pµ Q µ (Q i \ Q i ). µ=1 i=1 i=1 Wir definieren nun neue Treppenfunktionen, mit Hilfe derer wir die Integrale über die Treppenfunktionen s k abschätzen: { M für x P t µ (x) := µ, 0 für x Pµ, µ = 1,..., m, t(x) := u i (x) := Behauptung 3.2 { ε 3v(Q 0)+1 für x m i=1 Q i, 0 für x m i=1 Q i, { M für x Q i \ Q i, 0 für x Q i \ Q i, h := max(h 1, h 2,..., h m ) s h m m t µ + t + µ i auf R n. µ=1 i=1 i = 1,..., m, Beweis. Da alle rechts stehenden Funktionen nicht negativ sind, genügt es zu zeigen, dass für jedes x R n mindestens eine der rechts stehenden Funktionen s h. x Q 0 s h (x) = 0. x Q 0 x P µ oder x Q i oder x Q I \ Q i : x Pµ t µ (x) = M > s h (x) (nach (a)) x Q i ε s h (x) s hi (x) < 3v(Q 0 ) + 1 = t(x) x Q i \ Q i u i (x) = M > s h (x) (nach (a)).

3 Das Lebesgue-Integral 12 Aus der Behauptung folgt s h (x) dx R n m m t µ (x) dx + R n t(x) dx + R n u i (x) dx. R n µ=1 i=1 Es gilt t µ (x) dx = Mv(P µ ), µ = 1,..., m, R n ε t(x) dx = (t 1 Q0 )(x) dx R n R 3v(Q n 0 ) + 1 v(q 0) < ε 3. Nach Satz 1.3 gibt es paarweise disjunkte Quader R (i) 1,..., R(i) p i mit Q i \ Q i = p i ρ=1 R (i) ρ. Daraus folgt p i u i (x) dx = M v(r ρ (i) ) = M(v(Q i ) v(q i )). R n ρ=1 Insgesamt ergibt sich s h (x) dx R n < M ( m v(pµ) + ε m ) 3 + M (v(q i ) v(q i )) µ=1 i=1 < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Satz 3.3 Es seien (s k ) k N und (t k ) k N zwei monoton wachsende Folgen von Treppenfunktionen mit beschränkter Integralfolge. Die Folge (s k ) k N konvergiere fast überall gegen eine Funktion f, die Folge (t k ) k N fast überall gegen eine Funktion g und es gelte f g. Dann gilt lim s k (x) dx lim t k (x) dx. k R n k R n Bevor wir diesen Satz beweisen, führen wir noch folgende Notation ein: Ist f : R n R eine beliebige Funktion, so bezeichnen wir mit f +, f die Funktionen mit f + (x) = max{f(x), 0}, f (x) = max{ f(x), 0} für alle x R n (Skizze!). Es gilt f = f + f, f = f + + f. Beweis von Satz 3.3. Wir werden Satz 3.2 auf eine geeignete Folge von Treppenfunktionen anwenden. Es sei k N beliebig, aber fest gewählt. Definiere u m := (s k t m ) +, m = 0, 1, 2,....

3 Das Lebesgue-Integral 13 Wir zeigen, dass die Folge (u m ) m N die Voraussetzungen von Satz 3.2 erfüllt. Da t m t m+1 ist u m u m+1. Somit ist (u m ) m N eine monoton fallende Folge von Treppenfunktionen. Die Folge (s k ) k N konvergiere außerhalb der Nullmenge N 1 gegen f und (t k ) k N außerhalb der Nullmenge N 2 gegen g. Es sei N := N 1 N 2. Dann gilt für x R n \ N s 0 (x) s 1 (x)... s k (x) f(x) s k (x) t m (x) f(x) t m (x) lim (s k(x) t m (x)) f(x) g(x) 0. m lim u m(x) = lim (s k t m ) + (x) = 0. m m Nach Satz 3.2 gilt Nun gilt lim u m (x) dx = 0. m R n s k t m (s k t m ) + = u m s k (x) dx t m (x) dx R n R n u m (x) dx für alle m N R n s k (x) dx lim t m (x) dx 0 R n m R n s k (x) dx lim R n m t m (x) dx. R n Da dies für alle k N gilt, folgt lim k R n s k (x) dx lim m R n t m (x) dx. Beweis von Satz 3.1. Es sei (s m ) m N eine weitere monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen mit beschränkter Integralfolge, die fast überall gegen f konvergiert. Dann folgt aus Satz 3.3 also lim m lim k s m (x) dx lim R n k t k (x) dx lim R n m t k (x) dx, R n R n s m (x) dx, lim s m (x) dx = lim t k (x) dx. m R n k R n Wir notieren einige Eigenschaften dieses Integral.

3 Das Lebesgue-Integral 14 Satz 3.4 (i) Sind f, g L + (R n ), so ist auch f + g L + (R n ) und für das Integral von f + g gilt: (f + g)(x) dx = R n f(x) dx + R n g(x) dx. R n (ii) Ist f L + (R n ) und λ 0 eine reelle Zahl, so ist auch λf L + (R n ) und für das Integral von λf gilt: (λf)(x) dx = λ f(x) dx. R n R n Beweis. (i) Nach Voraussetzung gibt es monoton wachsende Folgen von Treppenfunktionen s 0 s 1 s 2... und t 0 t 1 t 2... mit beschränkter Integralfolge, die fast überall gegen f bzw. g konvergieren. Dann konvergiert die Folge (s k + t k ) k N fast überall gegen die Funktion f + g. Da (s k + t k ) k N ebenfalls eine monoton wachsende Folge mit beschränkter Integralfolge ist, folgt f + g L + (R n ). Ferner gilt (f + g)(x) dx = lim (s k + t k )(x) dx R n k R ( n ) = lim s k (x) dx + t k (x) dx (Satz 1.10(i)) k R n R n = lim s k (x) dx + lim t k (x) dx k R n k R n = f(x) dx + g(x) dx. R n R n (ii) Nach Voraussetzung gibt es eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen s 0 s 1 s 2... mit beschränkter Integralfolge, die fast überall gegen f konvergiert. Wegen λ 0 ist auch (λs k ) k N eine monoton wachsende Folge mit beschränkter Integralfolge. Diese Folge konvergiert fast überall gegen λf. Ferner gilt (λf)(x) dx = lim (λs k )(x) dx R n k R n = lim λ s k (x) dx(satz 1.10(ii)) k R n = λ lim s k (x) dx k R n = λ f(x) dx. R n Die Menge L + (R n ) ist aber kein Vektorraum: Zum Beispiel gehört die Funktion { x 1 für x > 0, f : R R mit f(x) = 0 für x 0, zu L + (R n ), nicht aber f. Wir erweitern daher L + (R n ) durch Einführen neuer Funktionen zu einem Vektorraum.

3 Das Lebesgue-Integral 15 Definition Eine Funktion f : R n R heißt (Lebesgue-)integrierbar, wenn es zwei Funktionen g, h L + (R n ) gibt, so dass f = g h gilt. Die Menge aller integrierbaren Funktionen bezeichnen wir mit L 1 (R n ). Ist f L 1 (R n ) mit f = g h, g, h L + (R n ), so definieren wir das (Lebesgue-)Integral von f durch f(x) dx := R n g(x) dx R n h(x) dx. R n Das Integral ist unabhängig von der gewählten Darstellung von f als Differenz (Beweis Übungsaufgabe). Notation Andere Schreibweisen: f(x)d n x, f(x)dx 1 dx n, f dx. Satz 3.5 (i) Sind f, g L 1 (R n ), so ist auch f +g L 1 (R n ) und für das Integral von f + g gilt: (f + g)(x) dx = R n f(x) dx + R n g(x) dx. R n (ii) Ist f L 1 (R n ) und λ eine reelle Zahl, so ist auch λf L 1 (R n ) und für das Integral von λf gilt: (λf)(x) dx = λ f(x) dx. R n R n Beweis. (i) Es sei f = f 1 f 2, g = g 1 g 2, f 1, f 2, g 1, g 2 L + (R n ). Dann gilt f + g = (f 1 + g 1 ) (f 2 + g 2 ) L 1 (R n ), da nach Satz 3.4(i) f 1 + g 1, f 2 + g 2 L + (R n ). Ferner gilt (f + g) dx = (f 1 + g 1 ) dx (f 2 + g 2 ) dx = f 1 dx + g 1 dx f 2 dx g 2 dxsatz 3.4(i) = f 1 dx f 2 dx + g 1 dx g 2 dx = f dx + g dx. (ii) Es sei f = f 1 f 2, f 1, f 2 L + (R n ). λ 0 λf 1 λf 2 L 1 (R n ), λ < 0 λf = ( λ)f 2 ( λ)f 1 L 1 (R n ). Den Rest des Beweises lassen wir als Übungsaufgabe. (Wieder ist eine Fallunterscheidung nötig.) Korollar 3.1 Die Menge L 1 (R n ) ist ein reeller Vektorraum und das Integral : L 1 (R n ) R ist eine Linearform auf L 1 (R n ).

3 Das Lebesgue-Integral 16 Satz 3.6 (Monotonie) Sind f, g L 1 (R n ) und ist f g, so gilt f(x) dx g(x) dx. R n R n Beweis. (a) Aus Satz 3.3 folgt, dass ein entsprechender Satz für f, g L + (R n ) gilt. (b) Es sei f = f 1 f 2, g = g 1 g 2, f 1, f 2, g 1, g 2 L + (R n ). f g f 1 f 2 g 1 g 2 f 1 + g 2 g 1 + f 2 f 1 dx + g 2 dx f 1 dx f 2 dx f dx g dx. g 1 dx + g 1 dx f 2 dx g 2 dx Satz 3.7 Mit f und g liegen auch die Funktionen max(f, g), min(f, g), f +, f und f in L 1 (R n ) und es gilt f(x) dx f(x) dx. R R n n Beweis. (a) Wir zeigen zunächst, dass mit f, g L + (R n ) auch max(f, g) L + (R n ). Nach Voraussetzung gibt es monoton wachsende Folgen von Treppenfunktionen s 0 s 1 s 2... und t 0 t 1 t 2... mit beschränkter Integralfolge, die fast überall gegen f bzw. g konvergieren. Dann ist auch (max(s k, t k )) k N eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen, die fast überall gegen die Funktion max(f, g) konvergiert. Wir müssen zeigen, dass diese Folge eine beschränkte Integralfolge besitzt. Es ist Wegen s k s 0 0 gilt also max(s k, t k ) max(s + k, t+ k ) s+ k + t+ k. s + k = ((s k s 0 ) + s 0 ) + s k s 0 + s + 0, t + k = ((t k t 0 ) + t 0 ) + t k t 0 + t + 0, max(s k, t k ) s k + t k + ( s 0 + s + 0 t 0 + t + 0 ). Da die Integralfolgen von (s k ) und (t k ) nach oben beschränkt sind, ist dies auch die Integralfolge von (max(s k, t k )). (b) Wir zeigen, dass mit f L 1 (R n ) auch f + = max(f, 0) L 1 (R n ). Es sei f = f 1 f 2, f 1, f 2 L + (R n ). Dann gilt f + + f 2 = max(f, 0) + f 2 = max(f + f 2, f 2 ).

4 Der Satz von Beppo Levi 17 Wegen f + f 2 = f 1 folgt f + = max(f 1, f 2 ) f 2. Nach (a) gilt max(f 1, f 2 ) L + (R n ). Deswegen folgt f + L 1 (R n ). (c) Wir zeigen: f, g L 1 (R n ) max(f, g) L 1 (R n ). Dies folgt aus max(f, g) = max(f g, 0) + g = (f g) + + g. (d) Aus min(f, g) = max( f, g) folgt, dass mit f und g auch min(f, g) in L 1 (R n ) liegt. Den Beweis der übrigen Aussagen überlassen wir als Übungsaufgabe. Wir wollen nun auch das Lebesgue-Integral über Teilmengen des R n definieren. Es sei D R n, f : D R eine Funktion und A D. Definition Die triviale Fortsetzung f A von f ist die Funktion f A : R n R mit { f(x) für x A, f A (x) := 0 für x R n \ A. Definition Eine Funktion f : D R heißt integrierbar über A D, falls die triviale Fortsetzung f A über R n integrierbar ist. In diesem Fall heißt f(x) dx := f A (x) dx A R n das Lebesgue-Integral von f über A. Die Menge aller über A integrierbaren Funktionen bezeichnen wir mit L 1 (A). Die Sätze 3.5, 3.6 und 3.7 übertragen sich sinngemäß auch auf Integrale über eine Menge A R n. 4 Der Satz von Beppo Levi Dadurch, dass wir bei monoton wachsenden Folgen von Treppenfunktionen mit beschränkter Integralfolge die Grenzfunktionen bildeten, konnten wir L 0 (R n ) zu L + (R n ) erweitern. Könnte man nun mit derselben Methode L + (R n ) bzw. L 1 (R n ) noch mehr vergrößern? Die folgenden Sätze zeigen, dass die Antwort auf diese Frage nein ist. Satz 4.1 Es sei s 0, s 1, s 2,... eine Folge von Treppenfunktionen mit (i) s 0 s 1 s 2... (ii) Es gibt ein B R mit R n s k (x) dx < B für alle k N. Dann konvergiert die Folge (s k ) k N fast überall gegen eine Funktion f L + (R n ). Beweis. Wir zeigen, dass die Menge N aller x R n, für die (s k (x)) k N divergent ist, eine Nullmenge ist. Da die Folge (s k (x)) k N monoton wachsend ist, liegt

4 Der Satz von Beppo Levi 18 Konvergenz genau dann vor, wenn die Folge nach oben beschränkt ist. Somit gilt N = {x R n (s k (x)) nicht beschränkt}. Zu zeigen: N ist Nullmenge. Es sei ε > 0 vorgegeben. O. B. d. A. s 0 0 (falls s 0 < 0 betrachte s k = s k s 0 ). Es sei E k := {x R n s k (x) > 2B ε }. Da s k s k+1, gilt E k E k+1. Es gilt N k=0 E k: Für jedes x N existiert ein k 0 N mit x E k0, denn sonst wäre für alle k s k (x) 2B ε, d.h. (s k(x)) wäre nach oben beschränkt und somit x N. Jedes E k ist Vereinigung von endlich vielen paarweise disjunkten Quadern, nämlich den Konstanzquadern von s k mit s k (x) > 2B ε. Also ist E k zulässig und nach Satz 1.5 damit auch E k \ E k 1. Also gibt es paarweise disjunkte Quader Q 1, Q 2,... mit E 0 = E 1 \ E 0 =.. E k+1 \ E k = m 0 Q j j=1 m 1 j=m 0+1. m k+1 j=m k +1 Q j Q j Da E k 1 E k, gilt E k = m k j=1 Q j. Wir definieren nun eine Folge von Treppenfunktionen (k = 0, 1, 2,...) { 2B t k (x) = ε für x E k, 0 für x R n \ E k. Dann gilt wegen s 0 0 und nach Definition von E k s k (x) t k (x) für alle x R n, k = 0, 1,..., und Es folgt also B > s k dx t k dx = 2B ε 2B ε m k v(q j ) < B, j=1 m k v(q j ) < ε 2. j=1 m k v(q j ). j=1

4 Der Satz von Beppo Levi 19 Da dies für alle k gilt, folgt v(q j ) ε 2 < ε. j=1 Wegen N k=1 E k = j=1 Q j folgt, dass N eine Nullmenge ist. Satz 4.2 Es sei f 0, f 1, f 2,... eine fast überall monoton wachsende Folge von Funktionen aus L + (R n ) mit beschränkter Integralfolge. Dann konvergiert die Folge (f k ) k N fast überall gegen eine Funktion f, die Funktion f liegt in L + (R n ) und es gilt f(x) dx = lim R n k f k (x) dx. R n Beweis. Da f j L + (R n ), gibt es Treppenfunktionen s ij mit s 00 s 10 s 20... v f 0 s 01 s 11 s 21... v f 1.. s 0j s 1j s 2j... v f j. und lim i s ij (x) = f j (x) bis auf x aus einer Nullmenge N j. Wir konstruieren nun eine neue Folge von Treppenfunktionen durch: s k := max{s kj 0 j k}. Man überlegt sich leicht, dass dies wieder Treppenfunktionen sind. Für sie gilt: (a) s 0 s 1 s 2... (b) s k v f k, also s k dx f k dx < B. Nach Satz 4.1 konvergiert die Folge (s k ) fast überall gegen eine Funktion f L + (R n ). Behauptung Es gilt f j f außerhalb der Nullmenge N = j=0 N j {x R n (s k (x)) divergent} für alle j = 0, 1,.... Beweis. Angenommen es gibt ein x 0 R n \N und ein j N mit f j (x 0 ) > f(x 0 ). Da lim i s ij (x 0 ) = f j (x 0 ), gibt es ein i 0 N, so dass für alle i i 0 gilt: Daraus folgt f j (x 0 ) s ij (x 0 ) > f(x 0 ). s i (x 0 ) = max{s ij (x 0 ) 0 j i} s i0j(x 0 ) > f(x 0 ). für alle i max{i 0, j} im Widerspruch zu s i v f. Es gilt also s j v f j v f und damit lim j f j = v f.

4 Der Satz von Beppo Levi 20 Für die Integrale folgt daraus s j dx f j dx fdx, f dx = lim j s j dx lim j f j dx f dx, also lim j f j dx = f dx. Wir können nun in Satz 4.2 die Klasse L + (R n ) durch L 1 (R n ) ersetzen. Dies liefert den Satz von Beppo Levi. Satz 4.3 (Satz von Beppo Levi) Es sei f 0, f 1, f 2,... eine fast überall monoton wachsende Folge von Funktionen aus L 1 (R n ) mit beschränkter Integralfolge. Dann konvergiert die Folge (f k ) k N fast überall gegen eine Funktion f, die Funktion f liegt in L 1 (R n ) und es gilt f(x) dx = lim f k (x) dx. R n k R n Für den Beweis dieses Satzes benötigen wir noch einen Hilfssatz. Lemma 4.1 Es sei f L 1 (R n ). Dann gibt es zu jedem ε > 0 Funktionen g, h L + (R n ) mit f = g h, h v 0 und h dx < ε. Beweis. Da f L 1 (R n ), gibt es f 1, f 2 L + (R n ) mit f = f 1 f 2. Es sei s 0 s 1... eine Folge von Treppenfunktionen mit beschränkter Integralfolge, so dass lim i s i = v f 2. Dann gilt s i dx = f 2 dx. lim i Daher gibt es ein i N, so dass 0 f 2 dx s i dx = (f 2 s i ) dx < ε. Setzen wir nun g := f 1 s i, h := f 2 s i, so gilt: g, h L + (R n ), f = g h, h v 0 (da s i v f 2 ) und h dx < ε. Beweis des Satzes von Beppo Levi. Man konstruiert zunächst geeignete Hilfsfunktionen:

4 Der Satz von Beppo Levi 21 (a) Setze k 0 = f 0 k j = f j f j 1, j = 1, 2,... ; k j L 1 (R n ). Nach Lemma 4.1 gibt es für jedes j Funktionen g j, h j L + (R n ) mit k j = g j h j, h j v 0 und h j dx 1 2 j+1. (b) Setze H j = h 0 +... + h j. Dann gilt H j L + (R n ) für alle j = 0, 1,..., H 0 v H 1 v... und H j dx 1 2 + 1 4 +... + 1 < 1. 2j+1 Nach Satz 4.2 konvergiert (H j ) fast überall gegen eine Funktion H L + (R n ). (c) Setze G j = g 0 +... + g j. Dann gilt G j = j i=0 k i + H j = f j + H j, G j L + (R n ) für alle j = 0, 1,..., G 0 v G 1 v... und G j dx = f j dx + H j dx B + 1 (B gemeinsame Schranke aller f j dx). Nach Satz 4.2 konvergiert (G j ) fast überall gegen eine Funktion G L + (R n ). Mittels dieser Hilfsfunktionen können wir nun wie folgt schließen: Die Folge (f j ) = (G j H j ) konvergiert fast überall gegen die Funktion f = v G H, also f L 1 (R n ), und für das Integral gilt f dx = G dx H dx = lim G j dx lim j dx (Satz 4.2) j j ( ) = lim G j dx H j dx j = lim (G j H j ) dx (Satz 3.5) j = lim j f j dx. Wir wollen nun zeigen, dass eine stetige Funktion f : Q R, wobei Q ein kompakter Quader in R n ist, in L 1 (Q), ja sogar in L + (Q) liegt, und damit der neue Integralbegriff mit dem in Analysis I für stetige Funktionen im Fall n = 1 eingeführten Begriff übereinstimmt. Wir wollen sogar noch etwas allgemeinere Funktionen betrachten.

4 Der Satz von Beppo Levi 22 Definition Es sei D R n. Eine Funktion f : D R heißt fast überall stetig, wenn es eine Nullmenge N D gibt, so dass f D\N stetig ist (d.h. x 0 D \ N ε > 0 δ > 0 x D \ N x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε.) Beispiel 4.1 Es sei D = R. Die Dirichlet-Funktion { 1 für x rational, f(x) = 0 für x irrational, ist in keinem Punkt aus R stetig, aber fast überall stetig: Q ist abzählbar, also Nullmenge und f R\Q 1 ist stetig. Für einen Quader Q = I 1... I n R n bezeichne d(q) das Maximum aller Kantenlängen von Q, also d(q) := max{λ(i k ) k = 1,..., n}. Eine endliche Menge Z = {Q 1,..., Q r } von paarweise disjunkten Quadern Q 1,..., Q r mit Q = r j=1 Q j nennen wir eine Zerlegung von Q. Die Zahl d(z) := max{d(q j ) j = 1,..., r} nennen wir den Feinheitsgrad der Zerlegung Z. Eine Folge von Zerlegungen (Z k ) heißt ausgezeichnet, wenn lim k d(z k ) = 0 gilt. Eine Zerlegung Z heißt Verfeinerung von Z (in Zeichen Z Z), wenn jedes Q j aus Z Vereinigung gewisser Q k aus Z ist. Satz 4.4 Es sei Q R n ein Quader und f : Q R eine beschränkte fast überall stetige Funktion. Dann ist f L + (Q). Beweis. Es sei N eine Nullmenge, so dass f Q\N stetig ist. Weiter sei Z = {Q 1,..., Q r } eine Zerlegung von Q. Zu dieser Zerlegung definieren wir eine Treppenfunktion { inf{f(ξ) ξ Qj \ N} für x Q s(x) = j, 0 für x R n \ Q. Das Integral s dx = r inf{f(ξ) ξ Q j \ N} v(q j ) j=1 nennen wir auch die Untersumme von f zur Zerlegung Z. Geht man zu einer Verfeinerung Z = {Q 1,..., Q p} über und betrachtet die zugehörige Treppenfunktion s, so gilt s(x) s (x) für jedes x Q, da das Infimum einer Menge kleiner oder gleich dem Infimum einer Teilmenge ist. Es sei nun Z 0, Z 1,... eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge, so dass Z i+1 eine Verfeinerung von Z i ist, und s i sei die wie oben der Zerlegung Z i zugeordnete Treppenfunktion. Dann gilt s 0 s 1....

4 Der Satz von Beppo Levi 23 Da f nach Voraussetzung beschränkt ist, gibt es ein M R, so dass f(x) < M für alle x Q. Somit gilt auch Also folgt s i (x) < M für alle x Q und i N. s i dx M v(q), d.h. die zugehörige Integralfolge ist beschränkt. Nach Satz 4.1 konvergiert daher die Folge (s k ) k N fast überall gegen eine Funktion g. Wir müssen nun noch zeigen, dass f und g fast überall gleich sind, d.h. dass lim k s k = v f. Es sei zu diesem Zweck x 0 Q \ N und ε > 0 beliebig vorgegeben. Da f in x 0 stetig ist, gibt es ein δ > 0, so dass für alle x Q \ N gilt: x x 0 max < δ f(x) f(x 0 ) < ε 2. Da lim k d(z k ) = 0, gibt es ein k 0 N, so dass für alle k > k 0 gilt: d(z k ) < δ. Falls x 0 Q (k) j gilt also für alle k > k 0 x x 0 max d(z k ) < δ für alle x Q (k) j, also auch und daher ξ x 0 max < δ für alle ξ Q (k) j \ N, f(ξ) f(x 0 ) < ε 2. Da s k (x 0 ) = inf{f(ξ) ξ Q (k) j \ N}, folgt s k (x 0 ) f(x 0 ) ε 2 < ε. Also folgt lim k s k (x 0 ) = f(x 0 ). Da dies für alle x 0 lim k s k = v f und somit f L + (Q). Q \ N gilt, folgt Korollar 4.1 Ist Q ein kompakter Quader und f : Q R stetig, so ist f integrierbar und es gilt sogar f L + (Q). Wir geben eine Anwendung des Satzes von Beppo Levi. Definition Eine Ausschöpfung einer Menge A ist eine aufsteigende Folge A 0 A 1 A 2... von Teilmengen A k A mit A = A k. k=0

5 Der Satz von Lebesgue 24 Satz 4.5 (Integration durch Ausschöpfung) Es sei A R n, f eine fast überall auf A definierte Funktion und (A k ) eine Ausschöpfung von A, so dass f über jedes A k integrierbar ist. Dann gilt: f ist genau dann über A integrierbar, wenn die Folge der Integrale ( A k f dx) beschränkt ist. In diesem Fall gilt A f(x) dx = lim f(x) dx. k A k Beweis. : Ist f über A integrierbar, so ist auch f über A integrierbar und es gilt f dx f dx für alle k N. A k A : Es sei zunächst f 0. Dann ist (f Ak ) eine fast überall monoton wachsende Folge integrierbarer Funktionen mit beschränkter Integralfolge, die fast überall gegen f A konvergiert. Nach dem Satz von Beppo Levi ist also f A integrierbar und A f dx = f A dx = lim k f Ak dx = lim f dx. k A k Im allgemeinen Fall wenden wir die vorherigen Argumente auf f = f + f an. Aufgabe 4.1 Man zeige, dass die Funktion f : (0, ) R, f(x) = sin x x, nicht über (0, ) Lebesgue-integrierbar ist, aber das uneigentliche Integral im Sinne von Analysis I sin x x dx existiert. 5 Der Satz von Lebesgue 0 Der Konvergenzsatz von Lebesgue stellt klar, unter welchen Bedingungen Integration und Grenzwertbildung vertauschbar sind. Für den Beweis dieses Satzes benötigen wir den folgenden Satz. Satz 5.1 Es sei f 0, f 1,... eine Folge von Funktionen aus L 1 (R n ). (i) Gibt es eine Funktion F L 1 (R n ) mit f k v F für alle k N, dann ist sup{f 0, f 1,...} fast überall definiert und gehört zu L 1 (R n ). (ii) Gibt es eine Funktion G L 1 (R n ) mit G v f k für alle k N, dann ist inf{f 0, f 1,...} fast überall definiert und gehört zu L 1 (R n ). Beweis. (i) Es sei g k := sup{f 0, f 1,..., f k }. Dann gilt: g k L 1 (R n ) für alle k N (nach Satz 3.7), g 0 g 1.... Aus g k v F folgt außerdem g k dx F dx für alle k N.

5 Der Satz von Lebesgue 25 Damit sind die Voraussetzungen des Satzes von Beppo Levi erfüllt. Es folgt daher, dass die Folge (g k ) fast überall gegen eine Funktion f L 1 (R n ) konvergiert. (ii) Folgt unmittelbar aus (i), da sup{ f 0, f 1,...} = inf{f 0, f 1,...}. Satz 5.2 (Satz von Lebesgue) Es sei f 0, f 1,... eine Folge von Funktionen aus L 1 (R n ), die fast überall gegen eine Funktion f konvergiert. Außerdem gebe es eine Funktion g L 1 (R n ) mit f k g (Majorante) für alle k N. Dann ist f L 1 (R n ) und es gilt f dx = lim f k dx. k Beweis. Es sei g k = v sup{f k, f k+1, f k+2,...}, h k = v inf{f k, f k+1, f k+2,...}, k N. Die Existenz von g k und h k folgt dabei aus Satz 5.1. Dann gilt (a) ±g k, h k L 1 (R n ) für alle k N (nach Satz 5.1). (b) h 0 v h 1 v..., g 0 v g 1 v.... (c) lim k h k = v f, lim k ( g k ) = v f. (Beweis: Da die Folge (f k ) k N fast überall gegen f konvergiert, gibt es eine Nullmenge N, so dass für alle ε > 0 und x R n \ N es ein k 0 N gibt, so dass für alle k k 0 gilt: und somit auch f k (x) f(x) < ε h k (x) f(x) ε. Entsprechend auch für g k und f.) (d) h k dx g 0 dx, ( g k ) dx ( h 0 )dx für alle k N wegen h k v g 0 und g k v h 0. Nach (a) (d) sind für die Funktionenfolgen (h k ) k N und ( g k ) k N die Voraussetzungen des Satzes von Beppo Levi erfüllt. Es folgt demnach f L 1 (R n ) und f dx = lim h k dx, ( f) dx = lim ( g k ) dx. k k Nun gilt h k v f k v g k h k dx f k dx g k dx. Also ergibt sich lim k f k dx = f dx. Wir geben nun Anwendungen des Satzes von Lebesgue.

5 Der Satz von Lebesgue 26 Satz 5.3 Es sei f 0, f 1,... eine Folge von Funktionen aus L 1 (R n ), die fast überall gegen eine Funktion f konvergiert. Gibt es eine Funktion g L 1 (R n ) mit f < v g, so gehört auch f zu L 1 (R n ). Bemerkung 5.1 Es braucht aber i. A. nicht mehr f dx = lim k fk dx zu gelten (Beispiel in den Hausaufgaben). Beweis. Setze f k = min{g, max(f k, g)}. Es wird von f k also alles abgeschnitten, was oberhalb von g und unterhalb von g liegt: f k (x) falls g(x) f k (x) g(x), fk (x) = g(x) falls f k (x) > g(x), g(x) falls f k (x) < g(x). Nach Konstruktion gilt nun für alle x außerhalb einer Nullmenge N und für alle k N f(x) fk (x) f(x) f k (x) (da g v f v g). Also gilt auch lim f k = v f. k Nach Satz 3.7 gilt fk L1 (R n ) für alle k N. Nach Konstruktion gilt ferner fk g für alle k N. Der Satz von Lebesgue liefert dann die Behauptung. Wir kommen noch einmal auf die Integration von stetigen Funktionen zurück. Es sei Q R n ein kompakter Quader, f : Q R stetig, Z = {Q 1,..., Q r } eine Zerlegung von Q. Außerdem sei für k = 1,..., r inf{f(x) x Q k } η k sup{f(x) x Q k }. Wegen der Stetigkeit von f auf Q gibt es ein ξ k Q k für das f(ξ k ) = η k ist. Eine Summe r S = f(ξ k )v(q k ) k=1 nennt man eine Riemannsche Summe zu f und Z. Dann gilt Satz 5.4 Es sei Q R n ein kompakter Quader, f : Q R stetig. Ist (Z m ) m N eine ausgezeichnete Folge von Zerlegungen und S m eine Riemannsche Summe zu Z m, dann gilt lim S m = f dx, m d.h. die Riemannschen Summen konvergieren gegen das Integral von f. Beweis. Wie beim Beweis von Satz 4.4 definieren wir zu einer Zerlegung Z und einer Wahl von η k eine Treppenfunktion s(x) := η k für x Q k. Dann gilt S = s dx. Dann definiert die Zerlegungsfolge (Z m ) eine Folge von Treppenfunktionen (s m ). Nach dem Beweis von Satz 4.4 konvergiert die Folge (s m ) fast überall gegen f.

6 Parameterabhängige Integrale 27 Wegen der Stetigkeit von f auf kompaktem Definitionsbereich ist f beschränkt, also gibt es ein M R mit f(x) < M für alle x R n, also auch s m < M für alle m N. Daraus folgt nach dem Satz von Lebesgue f dx = lim s m dx = lim S m. m m Satz 5.5 (Lemma von Fatou) Es sei (f k ) k N eine Folge von integrierbaren Funktionen mit f k v 0 für alle k N, die fast überall gegen eine Funktion f konvergiert, und es gelte f k dx A für alle k. Dann ist f integrierbar und es gilt f dx A. Beweis. Es sei h k := inf{f k, f k+1,...}. Nach Satz 5.1 ist h k L 1 (R n ). Die Folge (h k ) k N ist monoton wachsend und hat eine beschränkte Integralfolge. Nach dem Satz von Beppo Levi konvergiert sie also fast überall gegen eine Funktion g L 1 (R n ) und es gilt g dx A. Es bleibt also zu zeigen: g = v lim k h k = v f. Wegen lim k f k = v f gibt es eine Nullmenge N, so dass für alle x R n \ N und ε > 0 ein k 0 existiert mit f(x) f k (x) < ε für alle k k 0. Dann gilt auch f(x) h k (x) < ε. 6 Parameterabhängige Integrale Als Anwendung des Satzes von Lebesgue betrachten wir nun parameterabhängige Integrale. Ein parameterabhängiges Integral ist ein Integral von der Form b a f(x, t) dx, z.b. 0 tx sin x e dx (t > 0). x Allgemeiner betrachten wir: A R n eine Teilmenge, I R ein Intervall und eine Funktion f : A I R (x, t) f(x, t). Satz 6.1 Die Abbildung f : A I R habe die folgenden Eigenschaften: (i) Für jedes t I ist die Funktion x f(x, t) über A integrierbar.

6 Parameterabhängige Integrale 28 (ii) Für jedes x A ist die Funktion t f(x, t) stetig. (iii) Es gibt eine Funktion g L 1 (A) mit Dann ist die Funktion F : I R mit F (t) = stetig. f(x, t) g(x) für alle t I, x A. A f(x, t) dx Beweis. Zum Beweis der Stetigkeit von F in t 0 I ist zu zeigen: Für jede Folge (t k ) k 1 aus I mit t k t 0 für alle k 1 und lim k t k = t 0 gilt lim F (t k) = F (t 0 ). k Es sei (t k ) k 1 eine solche Folge. Wir betrachten die Folge der Funktionen Dann gilt f k : A R, f k (x) = f(x, t k ), k = 0, 1,.... (a) f k L 1 (A), k = 0, 1,... nach (i). (b) Nach (ii) konvergiert die Folge (f k ) punktweise gegen die Funktion f 0 : A R, f 0 (x) = f(x, t 0 ). (c) Nach (iii) gilt f k g für alle k. Nach dem Satz von Lebesgue folgt lim F (t k) = lim f k dx = ( lim f k) dx k k A A k = f 0 dx = f(x, t 0 ) dx = F (t 0 ). A A Satz 6.2 (Differentiation unter dem Integralzeichen) Es sei I = (a, b) und f : A (a, b) R habe die folgenden Eigenschaften: (i) Für jedes t (a, b) ist die Funktion x f(x, t) über A integrierbar. (ii) Für jedes x A ist die Funktion f partiell nach t differenzierbar. (iii) Es gibt ein g L 1 (A) mit f (x, t) t g(x) für alle t (a, b), x A.

7 Messbare Funktionen und Mengen 29 Dann ist die Funktion x f t (x, t 0) für jedes feste t 0 (a, b) integrierbar über A, die durch F (t) = f(x, t) dx A definierte Funktion F : (a, b) R ist differenzierbar in (a, b) und bezüglich ihrer Ableitung gilt: F (t 0 ) = d [ ] f f(x, t) dx dt q A t (x, t 0) dx. t=t 0 = Beweis. Es sei t 0 (a, b) und (t k ) k 1 eine Folge aus (a, b) mit t k t 0 für alle k = 1, 2,... und lim k t k = t 0. Wegen der Linearität des Integrals folgt dann F (t k ) F (t 0 ) f(x, t k ) f(x, t 0 ) = dx. t k t 0 t k t 0 Wir setzen A f k (x) := f(x, t k) f(x, t 0 ) t k t 0. Dann ist f k über A integrierbar und die Folge (f k ) konvergiert punktweise gegen die Funktion x t f(x, t 0). Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es für jedes k ein τ k zwischen t 0 und t k, so dass f(x, t k ) f(x, t 0 ) t k t 0 = t f(x, τ k). Nach Voraussetzung folgt f k g. Also folgen die Behauptungen aus dem Satz von Lebesgue: Die Funktion x t f(x, t 0) ist über A integrierbar und es gilt Aufgabe 6.1 Man zeige F (t 0 ) = F (t k ) F (t 0 ) lim k t k t 0 = ( lim k) dx = k 0 A A = lim f k dx k A t f(x, t 0) dx. tx sin x e x dx = arctan t + π 2. 7 Messbare Funktionen und Mengen Wir untersuchen zunächst messbare Funktionen. Definition Eine Funktion f : R n R heißt messbar, wenn es eine Folge (s k ) k N von Treppenfunktionen gibt, die fast überall gegen f konvergiert. Satz 7.1 Jede integrierbare Funktion ist auch messbar.

7 Messbare Funktionen und Mengen 30 Beweis. Schreibe f L 1 (R n ) als f = f 1 f 2, f 1, f 2 L + (R n ). Dann gibt es monoton wachsende Folgen von Treppenfunktionen s 0, s 1,... und t 0, t 1,... mit beschränkter Integralfolge, die fast überall gegen f 1 bzw. f 2 konvergieren. Dann gilt f = v lim (s k t k ). k Bemerkung 7.1 Die Umkehrung von Satz 7.1 gilt i.a. nicht, siehe Hausübungen. Aus Satz 5.3 folgt: Satz 7.2 Es sei f messbar und g integrierbar und f v g. Dann ist f integrierbar. Korollar 7.1 Es sei f messbar und f integrierbar. Dann ist f integrierbar. Korollar 7.2 Es sei f integrierbar, g messbar und beschränkt. Dann ist f g integrierbar. Beweis. Da g beschränkt ist, gibt es ein M R mit g M. Also folgt f g f M und f M L 1 (R n ). Damit folgt die Behauptung aus Satz 7.2. Satz 7.3 (i) Die messbaren Funktionen bilden eine R-Algebra, d.h. mit f und g sind auch f ± g, f g und λf für jedes λ R messbar. (ii) Mit f und g sind auch die Funktionen max(f, g), min(f, g), f +, f und f messbar. Beweis. Dies folgt aus den entsprechenden Sätzen für Treppenfunktionen durch Limesbildung. Wir betrachten nun messbare und integrierbare Mengen. Definition Eine Menge M R n heißt integrierbar (bzw. messbar), wenn die charakteristische Funktion 1 M integrierbar (bzw. messbar) ist. Definition Ist M integrierbar, so heißt v(m) := 1 M dx das Maß von M. Diese Definition ist mit der Definition des Volumens eines Quaders verträglich: Ist Q ein Quader, so ist 1 Q eine Treppenfunktion mit einem einzigen Konstanzquader Q und die Definition ergibt v(q) = 1 v(q). Satz 7.4 Sind M, N messbar, so auch M N, M N und M \ N.

7 Messbare Funktionen und Mengen 31 Beweis. Es gilt 1 M N = 1 M 1 N, 1 M N = max(1 M, 1 N ), 1 M\N = 1 M (1 1 N ). Damit folgt die Behauptung aus Satz 7.3. Satz 7.5 Es sei M eine offene Teilmenge des R n und f : M R eine stetige Funktion. Dann ist die triviale Fortsetzung f M messbar. Beweis. Es ist zu zeigen, dass es eine Folge von Treppenfunktionen (s k ) k 1 mit lim k s k (x) = f M (x) für alle x R n gibt. Dazu teilen wir für jedes k = 1, 2,... den R n in disjunkte Würfel der Kantenlänge 1 k ein wie folgt: Jedes n-tupel (m 1,..., m n ) ganzer Zahlen definiert einen Würfel { x R n m i k x i m } i + 1 k der Kantenlänge 1 k. Diese abzählbar unendlich vielen Würfel bilden für festes k ein Würfelgitter. Nun definieren wir eine Treppenfunktion s k : Die Konstanzquader Q (k) j von s k seien diejenigen Würfel, die in M enthalten sind und außerdem noch im Würfel {x R n x max < k} liegen (Letzteres, damit man nur endlich viele Konstanzquader hat). Für x aus einem solchen Konstanzquader Q (k) j sei s k (x) = f M (ξ), wobei ξ ein fest gewählter Punkt aus Q (k) j ist. Dann gilt für alle x M: lim k s k (x) = f M (x). Denn für jedes x M gibt es ein k 0, so dass für jedes k k 0 der Punkt x in einem der Konstanzquader Q (k) j liegt. Wegen der Stetigkeit von f M auf M ergibt sich dann lim k s k (x) = f M (x). Für alle x M ist lim k s k (x) = 0 = f M (x), da x in keinem Q (k) j Damit konvergiert die Folge (s k ) gegen f M. Korollar 7.3 Ist M R n offen oder abgeschlossen, so ist M messbar. liegt. Beweis. Ist M offen, so ist die Funktion f, die auf M konstant den Wert 1 hat, stetig in jedem Punkt aus M. Nach Satz 7.5 ist daher 1 M = f M messbar. Ist M abgeschlossen, so ist R n \ M offen und messbar. Damit ist auch M = R n \ (R n \ M) messbar. Satz 7.6 Ist M R n messbar und beschränkt, so ist M integrierbar. Beweis. Nach Voraussetzung gibt es einen Quader Q mit M Q. Es gilt M = M Q, also 1 M = 1 M 1 Q. Nach Korollar 7.2 ist 1 M integrierbar. Korollar 7.4 Jede offene oder abgeschlossene beschränkte Teilmenge des R n ist integrierbar. Satz 7.7 Ist M R n eine offene und beschränkte Menge und f : M R eine stetige beschränkte Funktion, so ist das Integral f dx definiert. M Beweis. Übungsaufgabe.

8 Der Satz von Fubini 32 8 Der Satz von Fubini Für die Berechnung von Integralen im R n ist der Satz von Fubini sehr wichtig. Nach ihm darf unter bestimmten Voraussetzungen nämlich variablenweise integriert werden, womit die Berechnung mehrdimensionaler Integrale auf die von eindimensionalen Integralen zurückgeführt ist. Wir schreiben R n = R p R q. Die Koordinaten von R p bezeichnen wir mit x, die von R q mit y. Also sind (x, y) die Koordinaten von R n. Satz 8.1 (Satz von Fubini) Es sei f : R p R q R eine integrierbare Funktion. Dann gilt: (i) Für alle x außerhalb einer Nullmenge N 1 R p ist die Funktion f x : R q R, y f(x, y), über R q integrierbar. (ii) Die somit fast überall definierte Funktion F : R p R mit F (x) := f x (y)dy = f(x, y)dy R q R q ist über R p integrierbar. (iii) Es gilt f(x, y) d(x, y) = R n R p ( ) f(x, y) dy dx. R q Wegen der Symmetrie in x und y der Voraussetzungen erhält man die folgende Vertauschungsformel ( ) f(x, y) dy dx = R p R q R q ( ) f(x, y) dx dy. R p Warnung Die Funktion f wird als integrierbar vorausgesetzt. I.A. gilt diese Formel nicht: siehe Hausübungen. Nun zum Beweis des Satzes von Fubini. Wir geben zunächst das Beweisprogramm an. Wir werden zeigen: 1. Schritt: Ist Q R n ein Quader, dann gilt der Satz für die charakteristische Funktion 1 Q. 2. Schritt: Gilt der Satz für f, g L 1 (R n ), so auch für αf + βg, α, β R. (Dann gilt der Satz von Fubini für Treppenfunktionen, die ja Linearkombinationen gewisser 1 Q sind.) 3. Schritt: Es sei f 0 v f 1 v... eine fast überall monoton wachsende Folge aus L 1 (R n ) mit beschränkter Integralfolge. Gilt der Satz für alle f k, so gilt er auch für f = v lim k f k L 1 (R n ). (Daher gilt der Satz für alle Funktionen aus L + (R n ), für Funktionen aus L 1 (R n ) folgt er dann aus Schritt 2.) Nun der Beweis: 1. Schritt: Es sei Q = Q 1 Q 2, wobei Q 1 R p und Q 2 R q. Dann gilt { 1Q2 (y) falls x Q (1 Q ) x (y) = 1, 0 falls x Q 1.

8 Der Satz von Fubini 33 Folglich gilt also R p F (x) = (1 Q ) x dy = R q { v(q2 ) falls x Q 1, 0 falls x Q 1, ( ) 1 Q dy dx = F dx = v(q 1 )v(q 2 ) = v(q) = 1 Q d(x, y). R q R p R n 2. Schritt: Dies folgt aus der Linearität des Integrals und ist eine kleine Übungsaufgabe. Vor dem 3. Schritt müssen wir eine kleine Betrachtung über das Verhältnis von Nullmengen in R p+q und Nullmengen in R p und R q anstellen. Zunächst brauchen wir eine andere Charakterisierung von Nullmengen. Lemma 8.1 Eine Menge M R n ist genau dann eine Nullmenge, wenn es eine Folge von Quadern (Q k ) k N gibt, so dass jeder Punkt aus M für unendlich viele k in Q k enthalten ist und k=0 v(q k) konvergiert. Beweis. : Es sei M eine Nullmenge. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl k eine Folge von Quadern (Q ki ) i N mit M Q ki und i=0 i=0 v(q ki ) < 1 2 k+1. Es gibt also abzählbar viele Quader Q ki, so dass jeder Punkt von M für unendlich viele (k, i) in Q ki enthalten ist und so dass k,i=0 v(q ki) 1 konvergiert. : Aus der Konvergenz von k=0 v(q k) folgt, dass es für alle ε > 0 ein j 0 gibt, so dass j=j 0 v(q j ) < ε. Da jeder Punkt aus M für unendlich viele k in Q k enthalten ist, gilt M j=j 0 Q j, also ist M eine Nullmenge. Es sei E R p+q eine Nullmenge, E x = {y R q (x, y) E} R q für x R p der Schnitt von E mit {x} R q. Dann braucht E x nicht wieder eine Nullmenge zu sein (warum?). Aber es gibt nicht so viele schlechte x: Lemma 8.2 Mit diesen Bezeichnungen gilt: E x ist eine Nullmenge in R q für alle x außerhalb einer Nullmenge in R p. Beweis. Da E R p+q eine Nullmenge ist, gibt es nach Lemma 8.1 eine Folge von Quadern (Q k ) k N, so dass jeder Punkt (x, y) aus E für unendlich viele k in Q k enthalten ist und k=0 v(q k) konvergiert. Die Summe h m := m k=0 von charakteristischen Funktionen ist eine Treppenfunktion, für die der Satz von Fubini schon bewiesen ist. 1 Qk

8 Der Satz von Fubini 34 Die Folge (h m ) m N ist eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen mit beschränkter Integralfolge. Nun gilt nach Fubini h m d(x, y) = h m (x, y)dydx. R n R p R q Die Funktion H m mit H m (x) = h m (x, y) dy R q ist nach dem Beweis von Schritt 1 ebenfalls eine Treppenfunktion. Die Folge (H m ) ist daher eine monoton wachsende Folge integrierbarer Funktionen mit beschränkter Integralfolge. Nach dem Satz von Beppo Levi konvergiert die Folge (H m (x)) daher für alle x außerhalb einer Nullmenge N R p. Es sei nun x N. Wir wollen zeigen, dass E x eine Nullmenge in R q ist: Wir schreiben Q k = Q (1) k Q (2) k mit Q (1) k R p und Q (2) k R q. Dann gilt 1 Qk (x, y) dy = v(q (2) k ), R q also m k=0 v(q (2) k ) = R q h m (x, y) dy = H m (x). Die Q (2) k bilden nun eine Überdeckung von E x vom gewünschten Typ: Ist y E x, so ist (x, y) für unendlich viele k in Q k und damit y in Q (2) k enthalten. Außerdem konvergiert k=0 v(q(2) k ), da (H m(x)) konvergiert. Nach Lemma 8.1 ist also E x eine Nullmenge in R q. 3. Schritt: Wir gehen also aus von einer Folge (f k ) von integrierbaren Funktionen mit f 0 v f 1 v... und mit beschränkter Integralfolge. Nach dem Satz von Beppo Levi konvergiert diese Folge fast überall gegen eine integrierbare Funktion f. Außerdem erfüllen alle f k : (i) Für alle x außerhalb einer Nullmenge N 1 R p ist (f k ) x : R q R integrierbar. (ii) F k mit F k (x) = R q f k (x, y) dy gehört zu L 1 (R p ). (iii) Es gilt f k (x, y) d(x, y) = R n R p ( ) f k (x, y) dy dx. R q Nach diesen Voraussetzungen und dem Satz von Beppo Levi gilt also: f d(x, y) = lim f k (x, y) d(x, y) R p+q k R p+q ( ) = lim f k (x, y) dy dx = ( ) k R p R q Wir wollen nun das lim-zeichen mit den Integralen vertauschen: Die Funktion F k (x) = R q f k (x, y) dy ist für jedes k N integrierbar und (F k ) hat eine durch R n f d(x, y) beschränkte Integralfolge. Gilt F k v F k+1? Die Menge E = {(x, y) R n (f k (x, y)) nicht monoton wachsend}