Versuch 28: Hall-Effekt

Versuch 28: Hall-Effekt Die Eigenleitung von Germanium wird untersucht, um auf die Bandlücke zu schließen. An reinem und n- bzw. p-ge soll der Hall-Effekt untersucht werden. Dazu wird die Abhängigkeit der Hall- Spannung U H von der magnetischen Flussdichte B als auch von der Temperatur T gemessen. Es sollen Ladungsträgerkonzentrationen und Beweglichkeiten von Elektronen und Löchern bestimmt werden. Vorkenntnisse Spezifische Leitfähigkeit - Beweglichkeit - Fermi-Verteilung - Bändermodell - Dotierung in Halbleitern - Eigenleitung - Störstellenleitung - Lorentzkraft - Hall-Effekt (normaler und anomaler) - Hall-Koeffizient - Hall-Sonde - Herleitung der Hall-Spannung - magnetische Feldstärke - Induktion - Permeabilität - Messung magnetischer Größen Eigenleitung von Halbleitern Das Ohmsche Gesetz beschreibt die Spannung U, die bei einem Strom I durch ein normalleitendes Material mit dem Widerstand R abfällt: U = RI mit R = const Der Ohmsche Widerstand eines homogenen elektrischen Leiters ergibt sich für eine einfache Leitergeometrie (z. B. Quader, Zylinder,...) durch R = ρ l A bzw. R = l A σ mit der Länge l, dem Querschnitt A, dem spezifischen Widerstand ρ und der spezifischen Leitfähigkeit σ = 1/ρ. Die spezifische Leitfähigkeit setzt sich zusammen aus der Ladungsträgerdichte n, die zur elektrischen Leitung zur Verfügung steht und der Beweglichkeit µ eben dieser Ladungsträger. Es gilt σ = enµ mit e = 1.602 10 19 C Die temperaturabhängigen Leitfähigkeiten σ(t) der Materialklassen Metalle, Halbleiter und Isolatoren spiegeln die Wechselwirkungen zwischen den temperaturabhängigen Größen n und µ in den verschiedenen Festkörper wider. In einem undotierten Halbleiter spielt die thermische Anregung von Ladungsträgern aus dem letzten vollbesetzten Band, dem Valenzband, in das leere Leitungsband die größte Rolle für die Erhöhung der elektrischen Leitfähigkeit. Dagegen hat die temperaturabhängige Änderung der Ladungträgerbeweglichkeit einen viel geringeren Einfluss auf die Leitfähigkeit eines Halbleiters. 1

Versuch 23: Hall-Effekt 2 Die Temperaturabhängigkeit von n(t) wird als ein thermischer Anregungsprozess der Elektronen durch die Fermi-Verteilung bestimmt. Es ergibt sich n(t) = n 0 e E A/k B T mit der materialbhängigen Größe n 0 und der Aktivierungsenergie E A. Darüberhinaus gilt für die Bandlücke E G des Halbleiters vereinfacht E G = 2 E A Man sollte versuchen den Zusammenhang dieser beiden Energien anhand eines einfachen Bandschemas zu ergründen, und bei Unklarheiten den Betreuer ausfragen! Da die Beweglichkeit als genügend konstant angenommen wird ergibt sich für die Leitfähigkeit bzw. den Widerstand eines intrinsischen (eigenleitenden) Halbleiters die folgenden Beziehungen σ(t) = σ 0 e E G/2k B T R(T) = R 0 e E G/2k B T Über diese Beziehung kann die Bandlücke des Halbleiters in einem einfachen Experiment bestimmt werden. Zur Definition der Beweglichkeit Stellt man die Bewegungsgleichung für Ladungsträger in einem Festkörper auf und berücksichtigt die dabei auftretenden Stoßprozesse durch eine geschwindigkeitsproportionale Reibungskraft, so ergibt sich: m x+γ x = q E (1) mit einem von außen angelegten elektrischen Feld E m. Im stationären Fall (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) vereinfacht sich Gl. (1) zu: v D = x = q γ E (2) Der Betrag der Größe q/γ ist als Beweglichkeit definiert: µ = q γ, µ = v D (v D = Driftgeschwindigkeit). (3) E Grundlagen zum Hall-Effekt Der Hall-Effekt ist einer der galvana- und thermomagnetischen Effekte, die bei stromführenden Leitern im Magnetfeld auftreten und auf der Ablenkung der Elektronen bzw. Defektelektronen im Magnetfeld beruhen. Gewöhnlich wird zur vereinfachten Ableitung eine einheitliche Geschwindigkeit der Ladungsträger angenommen. Betrachten wir zunächst nur positive Ladungsträger (q = +e ) in einer stabförmigen Halbleiterprobe: (vgl. Abb. 1). Da B = (0,B y,0) orthogonal zu v = (v x,0,0) ist, gilt für q = e + : F Lz = +ev x B y, (4) d. h. die positiven Ladungsträger werden oben in +z-richtung abgelenkt.

Versuch 23: Hall-Effekt 3 Abb. 1: Ablenkung positiver Ladungträger durch den Hall-Effekt Durch diese Ladungsträgertrennung baut sich ein elektrisches Feld auf, das als homogen angenommen wird: Aus E = grad V folgt E Hz = dv/dz = U H /b. Die in dem Feld E Hz auf die Ladungsträger ausgeübte rücktreibende Kraft muss im stationären Fall entgegengesetzt gleich (Summe gleich Null) der Lorentzkraft sein. F Lz = E Hz e (5) v x B y = E Hz (6) U H = +b v x B y (7) Um die makroskopisch messbare Größe I für v in die obige Gleichung einführen zu können, werden geometrische Verhältnisse wie in Abb. 2 zugrunde gelegt. Dabei ist ρ = n + e und A = b d. Es gilt: I = dq/dt. Hier wird der stationäre Fall betrachtet: I = Q/ t. Es folgt weiter: j = I A = Q A t = ρa x = x = ρv x A t t (8) bzw. I = ρav x (9) j = n + e v x (10) (vergl.: Stromdichte = Teilchenstromdichte (n + v) mal Ladung des Teilchens) v = 1 n + e j = 1 n + e I A = 1 n + e I b d (11) Abb. 2: Zur Geometrie der Hall-Probe

Versuch 23: Hall-Effekt 4 Gl. (11) eingesetzt in Gl. (7) ergibt: U + H = 1 I x B y n + e d U + H = I x B y R+ H d mit dem Hall-Koeffizienten R + H = 1 n + e Betrachtet man den Fall, dass der elektrische Strom von negativen Ladungsträgern getragen wird (q = e, Elektronen), so ergibt sich hier wegen der negativen Geschwindigkeit (vgl. Abb. 3) (12) (13) F Lz = ( e)( v x )B y = e v x B y, (14) d. h. auch die negativen Ladungsträger werden nach oben in z-richtung abgelenkt. Damit kehrt E H (und damit auch U H ) das Vorzeichen um. U H = 1 I x B y n e d (15) Mit R H = 1/(n e) als Definition bei negativen freien Ladungen folgt: U H = I x B y +R H d. (16) Die Gleichung U H = +R H I x B y /d ist somit für beide Fälle gültig, wenn man definiert: R H = { +1/n+ e, für reine Löcherleitung (a) 1/n e, für reine Elektronenleitung (b) (17) Abb. 3: Ablenkung negativer Ladungsträger durch den Hall-Effekt Man erkennt, dass aus der Ermittlung des Hall-Koeffizienten R H das Vorzeichen und die Dichte der Ladungsträger bestimmt werden kann, wenn eine Sorte Ladungsträger stark überwiegt. Allgemein gilt bei Anwesenheit von Elektronen und Löchern (je eine Sorte) und Stromlosigkeit in z-richtung: R H = n +µ 2 + n µ 2 e(n + µ + +n µ ) 2 (18) mit der Ladungsträgerdichten +/ und der Beweglichkeitµ +/ für die Elektronen ( ) und Löcher (+). Für n 0 (d. h. n µ n + µ + ) oder für n + 0 (d. h. n + µ + n µ ) lassen sich aus Gleichung (18) die Ergebnisse (17a) bzw. (17b) leicht gewinnen.

Versuch 23: Hall-Effekt 5 Temperaturabhängigkeit der Hall-Spannung Wegen der starken Temperaturabhängigkeit der Ladungsträgerkonzentration und -beweglichkeit ist auch der Hall-Koeffizient temperaturabhängig. Man unterscheidet in dotierten Halbleitern allgemein zwischen intrinsischer und extrinsischer Leitung. Bei der extrinsischen Leitung wird die Leitfähigkeit durch die Ladungsträger, die durch die Dotierung in den Halbleiter eingebracht worden sind, dominiert (= Störstellenleitung). Dies ist insbesondere bei tieferen Temperaturen der Fall, bei denen die Anzahl der über die Bandlücke angeregten Ladungsträger noch eine eher untergeordnete Rolle spielt. Bei höheren Temperaturen hingegen sind alle Donatoren bzw. Akzeptoren ionisiert (= Störstellenerschöpfung), und die Leitfähigkeit wird durch die Elektron-Loch-Paare getragen, die aufgrund der Energieverteilungsfunktion nun dominant vorhanden sind. Insbesondere bei p-dotierten Halbleitern folgt daraus, dass der Zähler in Gl. (18) je nach Temperatur sowohl positiv als auch negativ sein kann. Bei p-dotierten Halbleitern kann man den Leitungs-Charakter direkt am Hall-Koeffizienten ablesen: n + µ 2 + n µ 2 > 0 extrinsisch (19) n + µ 2 + n µ 2 < 0 intrinsisch (20) Bei der intrinsischen Leitung ist der Hall-Koeffizient in der Regel negativ, da die Elektronen im Leitungsband meistens eine höhere Beweglichkeit haben als die Löcher im Valenzband. Der Übergang von der extrinsischen in die intrinsische Leitung erfolgt bei der Inversionstemperatur T inv, bei der n + µ 2 + n µ 2 = 0 (21) gelten muss. Bei T inv gilt n + = n A +n, da zu den dotierten Löchern (n A ) jetzt noch diejenigen durch die Eigenleitung (n + = n ) dazukommen. Nach Gl. (21) gilt dann: µ 2 +(n A +n ) µ 2 n = 1 (22) µ 2 +(n A +n )+µ + µ n = µ 2 n +µ + µ n (23) Mit den Leitfähigkeiten im extrinsischen Bereich und bei der Inversionstemperatur σ extr = eµ + n A (24) σ inv = e(µ + n A +(µ + +µ )n ) (25) ergibt sich für das Verhältnis der Elektronen- und Löcherbeweglichkeiten bei der Inversionstemperatur T inv : µ = µ +(n A +n )+µ n σ inv R extr = =. (26) µ + µ n +µ + n σ inv σ extr R extr R inv Versuchsdurchführung Für die Hall-Messungen steht das in Abb. 4 gezeigte Hall-Effekt-Modul zur Verfügung, in das eine Trägerplatine mit einer n- bzw. einer p-dotierten Ge-Probe (7) eingesteckt werden kann. Das Hall-Effekt-Modul dient zur Spannungsversorgung der Trägerplatinen, zur Heizung der Ge- Proben sowie zur Aufnahme der Hall-Spannung U H als Funktion des Probenstromes, der magnetischen Flussdichte oder der Probentemperatur. Es wird mit einer 12 V-Wechselspannung

Versuch 23: Hall-Effekt 6 Abb. 4: Hall-Effekt-Modul versorgt. Aus dieser Versorgungsspannung erzeugt das Modul einen Probengleichstrom I P, der mit dem Regler (1) eingestellt werden kann. Die Heizung wird durch einmaliges Drücken der Taste (4) auf der Rückseite des Moduls eingeschaltet. Der Betrieb der Heizung wird durch eine LED (3) angezeigt. Das Heizmäander befindet sich direkt auf der Trägerplatine. Mit Hilfe eines Temperatursensors auf den Trägerplatinen wird die Probentemperatur T P kontrolliert und ein Überschreiten der max. zulässigen Probentemperatur von T P,max = 140 C unterbunden, indem die Heizung selbsttätig abschaltet. Diese Sicherheitsfunktion verhindert das Abschmelzen des Lötzinns an den Halbleiterprobenkontakten durch Überhitzung. Probenstrom I P und Probentemperatur T P können durch Umschalten mit dem Taster (5) in einem 3-stelligen LED-Display (2) angezeigt werden. Über eine USB-Schnittstelle werden die Messwerte durch ein Interfacesystem mit einem PC erfasst, dargestellt und ausgewertet. Die Ge-Proben befinden sich in dem Luftspalt eines Elektromagneten, der mit einem regelbaren Netzgerät betrieben wird. Zur Messung des Magnetfeldes wird durch eine kleine Öffnung in dem Hall-Effekt-Modul von oben eine Hall-Sonde in den Luftspalt eingesteckt. Die Hall-Sonde befindet sich auf einer langen, dünnen Platine, die mechanisch nicht sehr belastbar ist. Gehen Sie daher ganz besonders vorsichtig mit der Hall-Sonde um, und stecken Sie sie, wenn Sie sie nicht benötigen, wieder in das vorhandene Schutzröhrchen. Lassen Sie sich unbedingt von Ihrem Assistenten hierzu einweisen! Die Richtung des Magnetfeldes und des Probenstromes sind bereits so gewählt, dass die Hall-Spannung vorzeichenrichtig gemäß den Ausführungen im Grundlagenteil angezeigt wird. Da die Kontakte für die Hall-Spannung in der Regel nie geometrisch genau einander gegenüberliegen, misst man auch ohne Magnetfeld bei einer stromdurchflossenen Probe eine Hall-Spannung. Diese muss bei ausgeschaltetem Magnetfeld für jeden Probenstrom mit dem Regler U H Comp. (6) kompensiert werden. Hinweise zur Software Zur Versuchsdurchführung öffnen Sie das Programm measure. Um eine neue Messung starten zu können, klicken Sie in der oberen linken Ecke den Button mit dem roten Punkt (Messaufnahme). Nun erscheint ein Fenster (Abb. 5), in dem Sie die Messkanäle angeben können, die gemessen werden sollen. Entsprechend müssen auch ein X-Datensatz und das gewünschte Zeitintervall (z. B. 1 s) für die Messpunkte ausgewählt werden. Klicken sie auf Weiter, und sie gelangen in den Messmodus, in dem alle Messwerte groß angezeigt werden. An dieser Stelle treffen Sie bitte

Versuch 23: Hall-Effekt 7 Abb. 5: Einstellung der Messaufnahme-Parameter alle für das jeweilige Experiment notwendigen Einstellungen (z. B. Probenstrom, Kompensation der Hall-Spannung im Nullfeld etc.). Sind alle Parameter richtig eingestellt, so klicken sie in dem Fenster Messaufnahme auf den Button Messung starten (Abb. 6). Nun wird werden die Datenpaare automatisch aufgenommen. Variieren Sie also nun die zu verändernde Größe (z. B. das Magnetfeld) langsam, bis sie eine hinreichend große Anzahl von Messwerten aufgenommen haben. Durch Drücken von Messung beenden wird das Ergebnis Ihrer Messung grafisch dargestellt. Wenn sie mit der rechten Maustaste in den Graphen klicken, können sie sich entweder die Messwert-Tabelle anzeigen lassen oder die Darstellungsoptionen verändern. Mit Letzterem lassen sich beispielsweise Messpunkte einzeichnen oder auch mehrere Messkurven in einem einzigen Diagramm darstellen. Hierfür geben sie in dem Feld Bezeichnung Ihrer Messkurve einen (möglichst sinnvollen) Namen. Aktivieren sie nun das Fenster mit dem Graphen, zu dem sie andere Kurven hinzufügen möchten. Mit Messung Messkanal übernehmen können Sie in den Messkanälen anhand der Kurven-Namen bestimmte Kurven in das Diagramm einfügen. Bitte achten sie darauf, dass sie ganz am Ende diesen Graphen skalieren. Drücken sie dazu oben in der Werkzeugleiste den Button Kurven skalieren und wählen sie gemeinsam einpassen. Zur weiteren Bearbeitung in einem externen Programm (z.b. Origin) können sie den Datensatz exportieren indem sie die Tastenkombination Strg+C drücken oder im Menüpunkt Messung die Option Messwerte kopieren... ausführen, und dann als Datei abspeichern. Abb. 6: Starten der Messung

Versuch 23: Hall-Effekt 8 Versuchsaufgaben Aufgabe 1: Zur Bestimmung der Bandlücke von undotiertem Germanium wird die Leitfähigkeit bzw. der Widerstand der Probe bei einem konstanten Probenstrom von ca. 5 ma als Funktion der Probentemperatur im Bereich von Raumtemperatur bis ca. 140 C gemessen. Probenströme größer als 5 ma sind zu vermeiden, da diese zu einer zusätzlichen resistiven Erwärmung des Probenmaterials führen, die sich verfälschend auf die Messergebnisse auswirken. Die Messung soll sowohl während des Aufheizens als auch beim Abkühlen gemessen werden. Vergleichen und erklären sie beide Messkurven. Bestimmen sie die Bandlücke (ev) und diskutieren sie eventuelle Abweichungen vom Literaturwert. Aufgabe 2: Messen Sie bei Raumtemperatur die Hall-Spannung der n-dotierten Ge-Probe als Funktion der magnetischen Flussdichte für 6 verschiedene Probenströme ( 40 ma, 30 ma, 15 ma, +15 ma, +30 ma, +40 ma). Wiederholen Sie die Messung mit der p-dotierten Probe. Stellen Sie die Messergebnisse graphisch da und bestimmen Sie hieraus die Ladungsträgerkonzentration n unter der Annahme, dass Sie extrinsische Leitung vorliegen haben. Bilden Sie aus den Einzelergebnissen den Mittelwert x, und bestimmen Sie die Standardabweichung s sowie den mittleren Fehler des Mittelwertes m. x = 1 n x i ; n = Anzahl der Messungen (27) n i=1 (x i x) 2 i s = ; m = s (28) (n 1) n Geben Sie das Ergebnis n D in der Form n D = x± m an. Aufgabe 3: Ermitteln Sie die spezifische Leitfähigkeit der n-dotierten Ge-Probe durch Messung der Probenspannung U P als Funktion des Probenstromes I P ohne Magnetfeld. Errechnen Sie hieraus die Beweglichkeitµ der Elektronen. Die Probenmaße sind (l x b x d): 20 mm x 10 mm x 1 mm. Aufgabe 4: Messen Sie an der n-dotierten Ge-Probe die Hallspannung als Funktion der Temperatur. Stellen Sie dazu einen Probenstrom I P von +30 ma ein. Erklären Sie, warum wird die Hall-Spannung mit wachsender Temperatur kleiner wird. Erläutern Sie auch, wieso die Hall-Spannung bis ca. 50 C zunächst in etwa konstant bleibt, dann aber rapide abnimmt. Aufgabe 5: Wiederholen Sie sinngemäß die Aufgaben 2 bis 4 mit der p-dotierten Probe. Setzen Sie dazu vorsichtig die p-dotierte Ge-Probe in das Hall-Effekt-Modul ein. Achtung, die n-ge- Platine könnte vom letzten Versuchsteil noch sehr heiß sein. Temperaturanzeige! Achten Sie nun auch auf die Vorzeichen der Hall-Spannungen bei beiden Ge-Proben, und erläutern Sie Ihre Beobachtung. Wie groß ist bei der p-dotierten Probe die Inversionstemperatur T inv? Ermitteln Sie den Widerstand bei der Inversionstemperatur T inv, indem Sie zusätzlich die Probenspannung U P als Funktion der Temperatur messen. Berechnen Sie unter der Annahme, dass bei Raumtemperatur extrinsische Leitung vorliegt, das Verhältnis der Beweglichkeiten der Ladungsträger bei T inv.