Die Bestimmung von Value-at-Risk- Werten mit Hilfe der Monte-Carlo- Simulation Jens Schiborowski
Gliederung Einführung Monte-Carlo-Simulation Definition von Monte-Carlo-Simulation Einsatzgebiete von Monte-Carlo-Simulation Value-at-Risk Definition von Value-at-Risk Bestimmen von Value-at-Risk-Werten Anwendungsbeispiel Fazit
Warum Risikomanagement? Gründe für Risikomanagement: Kostenersparnis Sicherung des Eigenwertes des Unternehmens Value-at-Risk als Risikomaß Notwendigkeit der Simulation zur Berechnung von Valueat-Risk-Werten --> Monte-Carlo-Simulation
Warum Monte-Carlo-Simulation? Leicht zu handhaben Durch Verwendung von Zufallszahlen zur Berechnung durch Rechner geeignet Verwendung, wenn Berechnung mit Hilfe deterministischen Algorithmen nicht möglich
Definition von Monte-Carlo-Simulation Grundlage: Gesetz der großen Zahlen Zufallsgröße Ẍ (n) Schwaches Gesetz der großen Zahlen Starkes Gesetz der großen Zahlen
Definition von Monte-Carlo-Simulation Nachweis der Gültigkeit an Beispiel Münzwurf
Definition von Monte-Carlo-Simulation Vorgehensweise für Monte-Carlo-Simulation: Festlegung eines Eingabebereichs Auswahl zufälliger Eingaben aus Eingabebereich Verarbeitung der Eingaben über deterministischen Algorithmus Überführung der Ergebnisse in Endergebnis
Einsatzgebiete von Monte-Carlo- Simulation Mathematische Probleme Bestimmen von Verteilungseigenschaften von Zufallsvariablen unbekannte Verteilungstyps Teilchenphysik
Definition von Value-at-Risk Die in Währungseinheiten ausgedrückte maximale ungünstige Abweichung des tatsächlichen Werts einer erwarteten Position von ihrem erwarteten Wert innerhalb eines definierten Zeitraums wird als Value-at-Risk bezeichnet.
Bestimmen von Value-at-Risk- Werten Grundlage: Wert des Aktienportfolios zum Zeitpunkt i pi Abschätzung des Wertes zum Zeitpunkt i+τ : P(pi-pi+τ > VaR(α)τ i) = α Portfoliorendite zum Zeitpunkt i: τi = ln(pi/pi-1) α-quantil der bedingten Verteilung τi: P( τi+τ < q(α)τ i) = α Value-at-Risk eines Aktienportfolios für Zeitperiode τ: VaR(α)τ i = pi(1-exp(q(α)τ i)
Bestimmen von Value-at-Risk- Werten Generelle Vorgehensweise Bewertung des aktuellen Portfolios Schätzung der Verteilung der Portfoliorenditen Berechnung des VaR Knackpunkt ist Schätzung der Verteilung der Portfoliorenditen Unterscheidung in Bestimmung des α-quantils
Bestimmen von Value-at-Risk- Werten Nicht-parametrischer Ansatz: Schätzung aus historischer Verteilung Parametrischer Ansatz: Annahme einer konstanten Schwankung in der Verteilung Kombination aus vorangegangen Ansätzen: Beschreibung von Teilabschnitten nach parametrischen Ansatz
Anwendungsbeispiel Value-at-Risk eines Aktienportfolios aus DAX und 5Y EUR Zerobond ermitteln Korrelationsmatrix R mit Hilfe von Cholesky-Zerlegung in untere Dreiecksmatrix A umwandeln Beispielwerte für R und A: Simulation von 260 Werten für den Vektor Y:
Anwendungsbeispiel Berechnungsgrundlage für Zufallsvariablen Z1 und Z2: Simulation von 260 Werten für Zufallsvariablen Z1/Z2 Berechnung des Wertes des Aktienkurses für Simulation 1
Anwendungsbeispiel Analoge Berechnung für restliche 259 Simulationen Abschließende Berechnung der Werte der Portfolios
Anwendungsbeispiel Bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% stellt die Differenz aus dem ursprünglichen Wert des Portfolios und dem 13. Wert der Simulation den Value-at-Risk des Aktienportfolios dar In diesem Beispiel beträgt der Value-at-Risk 22'550 --> Maximaler Verlust für nächsten Handelstag beträgt 22'550
Fazit Aufgrund der hohen Genauigkeit stellt die Monte-Carlo- Simulation eine anerkannte Methode zur Bestimmung von Value-at-Risk dar Ansporn zur Weiterentwicklung im Bereich der Zufallszahlen
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Literaturnachweis Value-at-Risk Ansätze zur Abschätzung von Marktrisiken, Jens Fricke, Wiesbaden, 2006 Mathematik Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik unter Einbeziehung von elektronischen Rechnern, Zufallszahlen, Monte-Carlo-Methode und Simulation, H. Gundel, P. Schupp, U. Schweizer Monte Carlo Simulation im Risikomanagement aus WiSt Heft 7 Juli 2000, Prof. Dr. Markus Rudolf