Rutherford Streuung Historisch: Allgemein: Streuung von α-teilchen an Metallfolien Ernest Rutherford, 96 Streuung geladener Teilchen an anderen geladenen Teilchen unter der Wirkung der Coulomb-Kraft. F F q Z e Z Z r F e q Z e rˆ 4πε r F Zentralkraft, entlang der Verbindungslinie. α-teilchen aus radioaktiven Präparaten waren historisch die bevorzugten Projektile. Z +e Masse M 4 amu E 5 MeV 4/6/4 Teilchen & Wellen SS4 Denninger
Darf man bei der Rutherford-Streuung nicht-relativistisch rechnen? Geschwindigkeit der α-teilchen: e 5MeV v.55 M 7 m s v c.5 v c.9987.3 Nicht-relativistische Rechnung ist noch zulässig! Reichweite von α-teilchen mit E 5MeV in Luft: ca. 3.5 cm Dichte der Luft bei Normalbedingungen: n 6. 3 5.69 3 l m.4 mol mol Unter der Annahme, daß die mittlere Ionisationsenergie für die Luftmoleküle ca. 35 ev beträgt, kann man die Zahl der Stöße N eines α-teilchen berechnen: 4/6/4 Teilchen & Wellen SS4 Denninger
Mittlere Zahl der Stöße eines α-teilchen: N 5 MeV 35 ev.4 5 Fläche A σ n N A A 3.5 cm 3.5cm 5.69 3 Im Volumen A 3.5cm sind n A 3.5cm Luftmoleküle vorhanden. Die Zahl der Trefferstöße N.4 5. Der totale Wirkungsquerschnitt für einen Stoß ist also:.4 m 5 3.5 m.5 9 m Ionisationsradius : π rion σ r ion. - m 4/6/4 Teilchen & Wellen SS4 Denninger
Rutherford Versuch: Streuung von α-teilchen an dünnen Metallfolien (z.b. Goldfolien, weil sich Gold sehr dünn ohne Löcher zu Folien verarbeiten läßt). Annahme: Ionisationsquerschnitte sind ähnlich wie bei Luft. Reichweite in Gold: d Gold ρ Luft /ρ Gold 3.5cm ρ Luft.9kg/m 3 ρ Gold 9.3 3 kg/m 3 d Gold.3-6 m.3µm. D.h. man benötigt sehr dünne Goldfolien. Schematische Streuanordnung: Detektor α-teilchen Radioaktives Präparat Metallfolie 4/6/4 Teilchen & Wellen SS4 Denninger
Historisch (96): Detektor war eine Kombination aus: Szintillationsschirm + Lupe + menschliches Auge + Gehirn (Zähler) Wichtigstes Meßergebnis: Überraschend: Es gibt Streuereignisse bei großen Winkeln ϑ bis 8. Die meisten Teilchen werden jedoch unter ganz kleinen Winkeln gestreut. /sin 4 (ϑ/) divergiert sogar für ϑ 4/6/4 Teilchen & Wellen SS4 Denninger
Die Rutherford sche Streuformel kann mit folgenden Annahmen hergeleitet werden:. Das Atom hat einen positiv geladenen Kern, Ladung +Z e. Praktisch die gesamte Masse des Atoms ist in diesem Kern. 3. Der Kern hat einen Radius von ~ -4 m 4. Auf das α-teilchen (Projektil) wirkt ausschließlich die Coulomb-Kraft durch das elektrische Feld. E 4πε Ze r Da die Atomradien ca. - m betragen, ist das Volumen des Kerns V kern zum Atomvolumen V atom sehr klein: Das Innere des Atoms ist fast vollständig leer! r r kern atom 4 m m Neutralität des Atoms nach außen: Um den Kern befinden sich Z negative Elementarladungen, Elektronen, mit verschwindend kleiner Masse. V V 3 4/6/4 Teilchen & Wellen SS4 Denninger
Sehr knappe Herleitung der Rutherford-Streuformel Stoßparameter p: Kraft F immer in Richtung r Abstand der Einfallgeraden in unendlicher Entfernung. Drehimpulserhaltung. Drehimpuls: M v x r M v r sin(ϕ) M v r p/r M v p 4/6/4 Teilchen & Wellen SS4 Denninger
Aus der Drehimpulserhaltung kann nun ein Zusammenhang zwischen dem Stoßparameter p und dem Streuwinkel ϑ hergeleitet werden. Eine Herleitung findet man z.b. in Haken/Wolf, Atom- und Quantenphysik, S.44-46. Man erhält: p Z e 4πε cot( ϑ Mv ) cot(streuwinkel/) 8 6 4 Um die Zahl der Treffer im Bereich p, p +dp zu berechnen, benötigt man die Ableitung: dp dϑ 4 6 8 4 6 8 Streuwinkel dp Ze 4πε Mv sin ( ϑ/) dϑ Damit kann man jetzt den differentiellen Wirkungsquerschnitt berechnen. 4/6/4 Teilchen & Wellen SS4 Denninger
Differentieller Wirkungsquerschnitt dω dp p ϑ dϑ Fläche: da πp dp (Kreisring) Dünne Folie, Dicke D, Fläche A N : Dichte der Goldatome (pro Volumeneinheit) Aktive Fläche : da πp dp N D A 4/6/4 Teilchen & Wellen SS4 Denninger
dω p dp ϑ dϑ Wahrscheinlichkeit für einen Stoß unter dem Winkel ϑ, ϑ -d ϑ: W da π NDpdp A Aktive Fläche Gesamtfläche Fläche des Detektors Abstand Detektor Streuzentrum Das Raumwinkelelement dω ist im wesentlichen: ( ) 4/6/4 Teilchen & Wellen SS4 Denninger
Werden n α-teilchen pro Zeiteinheit eingeschossen : dn( ϑ, dω) n 4 4Z e (4πε ) 4( Mv ) sin 4 ( ϑ/) ( D N) dω Mit E kin /Mv und Z ( für α-teilchen) erhält man den Rutherford-WQ: dσ dω dn ndω ( DN) Z Z e 6πε E kin sin 4 ( ϑ ) Charakteristisch: /E kin /sin 4 (ϑ/) Diese starke Winkelabhängigkeit erfordert Messungen über einen weiten Dynamikbereich! 4/6/4 Teilchen & Wellen SS4 Denninger
Wichtigste experimentelle Befunde: Coulomb-Gesetz ist auch noch für sehr kleine Stoßparameter p (große ϑ nahe 8 ) erfüllt. R kern < 6-5 m Abweichungen (anomale Rutherford-Streuung) bei E kin > 5 MeV und großen Streuwinkeln ϑ. Kernradius kann bestimmt werden. Einfluß der Kernkräfte ab R -5 m Dichte der Kerne: 5 mal Atomdichte! 4/6/4 Teilchen & Wellen SS4 Denninger