Versuch : nterferometrie, Kohärenz und Fourierspektroskopie Norbert Lindlein nstitut für Optik, nformation und Photonik (Max-Planck-Forschungsgruppe) Universität Erlangen-Nürnberg Staudtstr. 7/B, D-958 Erlangen E-mail: norbert.lindlein@optik.uni-erlangen.de
Gliederung Beschreibung einer Welle und ntensitätsberechnung nterferenz zweier kohärenter Wellen Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht Grundlagen der Fourierspektroskopie
Beschreibung einer Welle und ntensitätsberechnung Einfacher Fall: Betrachte eine Komponente u der elektrischen oder magnetischen Feldstärke einer ebenen Welle mit Ausbreitungsrichtung entlang dem Einheitsvektor e: u Re u ( x, y, z, t) u( r, t) u cos( k r t) mit und νλ k c nk c ν ω λ π n e e bzw. λ ω πν v c n π c λ i e k k r c ω t λ: Wellenlänge (im Vakuum), ν: Lichtfrequenz, ω: Kreisfrequenz, c: Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum), n: Brechzahl des Mediums, v: Phasengeschwindigkeit tt O r tt + t v t e rvt e 3
Beschreibung einer Welle und ntensitätsberechnung Anmerkung: Die physikalische Messgröße an sich ist reell! Für die Rechnungen mit Wellen wird aber die komplexe Schreibweise vorgezogen! Lineare Operationen wie z.b. Addition, Subtraktion, ntegration der sogenannten komplexen Amplitude sind ohne Probleme erlaubt, da danach einfach der Realteil genommen werden kann. Aber Vorsicht bei nichtlinearen Operationen wie Betragsbildung! 4
Beschreibung einer Welle und ntensitätsberechnung Verallgemeinerte monochromatische Welle (d.h. eine definierte Wellenlänge bzw. Farbe ): u ( x, y, z, t) u( r, t) A() r cos( Φ() r ω t) Re A() r Re uˆ () r e iω t i e iφ r mit u ˆ Φ ( r) ω t () r A() r e ; Φ k L; L n() r π n Dabei muss gelten: Φ k L nk λ A: Amplitude (langsam veränderlich mit dem Ort), Φ: Phase, L: optische Weglänge, û: stationäre komplexe Amplitude Φ, L sind reelle Funktionen. A ist hier auch reell, kann aber im vektoriellen Fall (wenn Polarisation wichtig ist) auch komplex sein. C ds 5
Beschreibung einer Welle und ntensitätsberechnung Berechnung der ntensität einer Welle: Wellenlänge von sichtbarem Licht ist ca..5 µm (blau-grün) Frequenz νc/λ(3. 8 m/s)/(.5. -6 m)6 THz Selbst extrem schnelle Detektoren mit ntegrationszeiten von weniger als µs (normal ist z.b. ms für Videofrequenz) mitteln die ntensität über Millionen von Schwingungen des Lichts Zeitmittelwert der ntensität wird bei Licht detektiert! Die zeitabhängige ntensität wird hier als das Quadrat des Realteils von u definiert (streng genommen fehlt hier noch ein Proportionalitätsfaktor, den wir uns aber in u integriert denken). 6
Beschreibung einer Welle und ntensitätsberechnung Zeitmittelwert der ntensität: T T T T () r lim ( Re{ u( r, t) }) dt lim Re u() r lim T lim T T T T T ) T ) ) ( Re{ u() r } cos( ω t) + m{ u() r } sin( ω t) ) dt T { } ) iω t e dt ( Re{ u() r }) cos ( ω t) + ( m{ u() r }) sin ( ω t) + { ()} { ()} ( ) ( ) ) ) + dt Re u r m u r sin ω t cos ω t [ ) ( { ()}) ( { ()}) ] ) ) Re u r + m u r u() r Der Zeitmittelwert der ntensität ist also proportional zum Betragsquadrat der stationären komplexen Amplitude! ) 7
nterferenz zweier kohärenter Wellen Wir betrachten zwei kohärente, monochromatische (d.h. gleiche Wellenlänge λ) Wellen mit den stationären komplexen Amplituden û und û : ) u ) u iφ () () ( r) r A r e iφ () () () r r A r e Bei der nterferenz von kohärentem Licht werden die komplexen Amplituden addiert. Die messbare ntensität (Zeitmittelwert der ntensität) ist proportional zum Betragsquadrat der Summe der komplexen Amplituden! 8
nterferenz zweier kohärenter Wellen ) ) u r + u r iφ iφ iφ iφ A e + Ae A e + Ae A + A + A A cos( Φ Φ ) + + cos( Φ Φ ) cos r r + V r cos ΔΦ r + () r () () ( + ) + ( Φ Φ ) () ( )[ ( ) ( ( ))] mit + (Summe der ntensitäten der beiden Einzelwellen) und ΔΦ Φ Φ V + (Phasendifferenz zwischen beiden Wellen) (Visibility oder Kontrast der nterferenzerscheinung) 9
nterferenz zweier kohärenter Wellen oder V V Kontrast V kann aufgrund seiner Definition nur zwischen und liegen: ( ) ( ) ( ) ( ) V V V V V V + + + + min max min max V gibt auch tatsächlich den Kontrast der nterferenzstreifen an:
nterferenz zweier kohärenter Wellen Bei der nterferenz zweier kohärenter Wellen ist die resultierende ntensität also nicht einfach gleich der Summe der ntensitäten (entspräche inkohärenter Addition zweier Wellen), sondern es gibt noch den nterferenzterm Vcos(ΔΦ). Dieser kann zwischen V (destruktive nterferenz) und + V (konstruktive nterferenz) liegen, so dass die resultierende ntensität kleiner oder größer als im inkohärenten Fall sein kann. Bei maximalem Kontrast V kann die gesamte ntensität also zwischen Null ( Licht + Licht Dunkelheit ) und (doppelte Helligkeit als im inkohärenten Fall) liegen!
nterferenz zweier kohärenter Wellen nterferenz zweier ebener Wellen (Zwischenwinkel.45 o, λ633 nm): mm mm mm mm V.5 V.94. V.57. V.
nterferenz zweier kohärenter Wellen Der Kontrast ist also auch bei stark unterschiedlichen ntensitäten der Einzelwellen noch relativ groß (z.b.. V.). Ein schwaches Signal kann mit Hilfe einer starken Referenzwelle detektiert werden. Andererseits heißt dies aber auch, dass eine schwache Störwelle (z.b. Streulicht an Kratzern) eine kontrastreiche Störung im nterferogramm liefern kann! 3
Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht Bisher hatten wir kohärentes Licht (typisches Beispiel: Laserlicht) betrachtet bzw. inkohärentes Licht ( Alltagslicht wie von Sonne oder Glühlampe) erwähnt. Überlagerung (nterferenz) kohärenter Wellen komplexe Amplituden werden addiert und danach die ntensität mittels des Betragsquadrates berechnet. Überlagerung inkohärenter Wellen die ntensitäten der Einzelwellen werden addiert. Es gibt keine nterferenzerscheinungen! n der Realität gibt es weder vollständig kohärentes, noch vollständig inkohärentes Licht, sondern nur partiell kohärentes Licht! 4
Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht Es gibt zwei Arten von Kohärenz: Licht ist zeitlich kohärent, wenn es möglichst monochromatisch ist. Licht ist räumlich kohärent, wenn es aus einer einzelnen räumlichen Wellenfront besteht (z.b. von einem Punkt kommt oder eine ebene Welle ist). Ein idealer Laser (z.b. ein frequenzstabilisierter HeNe-Laser) erfüllt beide Bedingungen mit guter Näherung. Andere Laser, wie z.b. Excimer-Laser im UV, erfüllen beide Bedingungen nur näherungsweise, sind also nur partiell kohärent. m Prinzip kann man auch Licht einer Glühlampe vollständig kohärent machen, indem man eine Lochblende davor stellt und einen Farbfilter. Allerdings kommt dann leider fast kein Licht mehr heraus. 5
Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht Zeitliche Kohärenz: Besteht Licht aus mehreren Wellen unterschiedlicher Wellenlänge, so ist es zeitlich partiell kohärent. Mit guter Näherung kann man hierbei annehmen, dass Licht unterschiedlicher Wellenlänge nicht miteinander interferiert, so dass bei der nterferenz zweier zeitlich partiell kohärenter Wellen die ntensitäten der nterferenzen der einzelnen Frequenzkomponenten aufsummiert (bzw. integriert) werden müssen! polychromatisch mit und ΔΦ () r ( r, ν ) dν ( r, ν )[ + V ( r, ν ) cos( ΔΦ( r, ν ))] ( r, ν ) ( r, ν ) + ( r, ν ), V ( r, ν ) ( r, ν ) Φ ( r, ν ) Φ ( r, ν ) ( r, ν ) ( r, ν ) ( r, ν ) + ( r, ν ) dν 6
Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht Schema eines Michelson nterferometers zur Bestimmung der zeitlichen Kohärenz: Ein Spiegel kann um den Gangunterschied Null herum entlang der z-achse verschoben werden. 7
Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht ntensität als Funktion der Verschiebung Δz des Spiegels (Gangunterschied Null bei Δz ) Zwei Wellenlängen: 45 nm und 5 nm Schwebung (λ)const. für λ [48 nm, 5 nm], sonst (λ) (λ)const. für λ [45 nm, 55 nm], sonst (λ) (λ)const. für λ [4 nm, 6 nm], sonst (λ) 8
Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht Kohärenzlänge: Wir betrachten räumlich kohärentes und zeitlich partiell kohärentes Licht (z.b. Licht einer Glühlampe, vor der eine Loch- oder Spaltblende steht). Teilt man dieses durch einen Strahlteiler auf und bringt es nachher wieder zur nterferenz, so beobachtet man nur dann nterferenzen, wenn die optischen Weglängendifferenzen kleiner als die sogenannte Kohärenzlänge sind. Für ein Gauß-förmiges Spektrum gilt für das Produkt aus Frequenzunschärfe Δν und Länge des resultierenden Wellenzugs Δt: Δt Δν Die Kohärenzlänge Δl ist dann: c λ Δ l cδt wegen ν Δν Δλ c λ 9
Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht Räumliche Kohärenz: Kommt monochromatisches Licht von mehreren zueinander inkohärenten Lichtquellenpunkten, so müssen die ntensitäten der nterferenzmuster der verschiedenen Lichtquellenpunkte aufintegriert werden. Dies bewirkt eine Verschlechterung des Kontrastes, so dass die nterferenz-gleichung effektiv als () r ( r) [ + V () r γ cos( ΔΦ( r) )] geschrieben werden kann. Hierbei ist γ der Betrag des komplexen Kohärenzgrades, der zwischen Null (vollständig inkohärent) und eins (vollständig kohärent) liegt.
Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht Demonstration anhand eines Michelson-nterferometers: Ausgedehnte inkohärente Lichtquelle (λ633 nm, Radius r) wird durch Linse kollimiert, so dass ein ganzes Spektrum von zueinander inkohärenten Planwellen ins Michelson-nterferometer eintritt, bei dem einer der Spiegel um einen kleinen Winkel gekippt ist, um nterferenzstreifen auf dem Detektor zu erzeugen. Detector Achtung: Hier wird keine Abbildung der Spiegel auf den Detektor vorgenommen! Extended incoherent light source with radius r f mm mm mm mm mm beam splitter Mirror (reference arm) ϕ. ο Mirror (object arm)
Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht r. mm r. mm r.5 mm Kontrast verschlechtert sich mit wachsender Lichtquellengröße!
Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht Mit Hilfe eines Teleskops werden nun die Spiegel auf den Detektor abgebildet! Detector Extended incoherent light source with radius r f mm mm 4 mm mm f mm mm mm f mm mm beam splitter ϕ. ο Mirror (object arm) Mirror (reference arm) 3
Kohärentes, partiell kohärentes und inkohärentes Licht r. mm r. mm r.5 mm Kontrast bleibt unabhängig von der Lichtquellengröße konstant! 4
Grundlagen der Fourier-Spektroskopie m Michelson-nterferometer gilt für den Gangunterschied ΔΦ in Abhängigkeit von der relativen axialen Verschiebung Δz zwischen den beiden Spiegeln: π 4π ΔΦ ( Δz) Δz λ λ Bei : Aufteilung am Strahlteiler ist der Kontrast V und eine quasi-punktförmige Lichtquelle, die bei der Frequenz νc/λ emittiert, erzeugt ein nterferenzmuster der ntensität: 4π ( ν Δz) ( ν ) + cos ν Δz, c 5
6 Bei einem Frequenzspektrum (ν) ist die resultierende ntensität also: Grundlagen der Fourier-Spektroskopie ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Δ + Δ + Δ Δ 4 cos 4 cos, ν ν π ν ν ν ν ν π ν ν ν d z c d d z c d z z ges Die gemessene Gesamtintensität ges als Funktion der Spiegelverschiebung Δz ist also im Wesentlichen gleich der Fourier- Transformierten des Frequenzspektrums. Durch Fourier- Transformation von ges kann also das Spektrum bestimmt werden.
Grundlagen der Fourier-Spektroskopie ges (Δz) Fourier-Trafo (ν) 7
Grundlagen der Fourier-Spektroskopie Praktische Realisierung im Versuch: Spiegel wird nicht axial gescannt, sondern verkippt. Ein eindimensionaler horizontaler Scann durch das nterferogramm zeigt direkt ges (Δz). 8