Krümmung in der Mathematik und Physik Relativitätstheorie im Alltag Justus-Liebig-Universität Giessen Dr. Frank Morherr
Was ist Krümmung? Gerade soll Krümmung Null haben. Prototyp Kreis - großer Radius, kleine Krümmung: - kleiner Radius, große Krümmung: Daher liegt nahe zu definieren: Krümmung k = 1/R
Wie passt die Gerade hier rein? Erdoberfläche ist gekrümmt, trotzdem hielt sich hartnäckig bis ins 15.Jh. die Ansicht einer Scheibe. Grund: Erdradius so groß, dass man Krümmung auf 1. Blick nicht sieht. Gerade ist Kreis mit großem Radius.
Krümmung anderer Kurven der Gestalt Differentialrechnung: y 3.75 Steigung Kurve = Steigung Tangente = 2.5 1.25 0 Krümmung Kurve = Krümmung des Krümmungskreises -2.5-1.25-1.25-2.5 0 1.25 2.5 x Maß hierfür: Was ist der Krümmungskreis? ghghg Annäherung von P und P auf P ergibt Krümmungskreis mit Radius
Krümmung mit Vorzeichen Mathematisch positive Richtung ist entgegen dem Urzeigersinn, daher Positiv = Linkskrümmung Steigung der Ableitung wächst Negativ = Rechtskrümmung Steigung der Ableitung fällt
Krümmung von Kurven in anderen Darstellungen Für Kurven der Gestalt Beispiel Ellipse mit Parameter t gilt für die Krümmung
Schnittkrümmung von Flächen Schnitt von Flächen mit Ebenen ergibt Schnittkurven mit Krümmung Hauptkrümmungen = minimale und maximale Krümmung Satz von Meusnier: Abhängigkeit Krümmung von Winkel der Schnittebene: Mittelpunkte der Krümmungskreise mit gemeinsamer Tangente in M liegen auf Kreis Hauptkrümmungsrichtungen stehen senkrecht aufeinander.
Gaußsche Krümmung K Theorema Egregium: Gaußkrümmung K hängt nur von der Inneren Geometrie der Fläche ab, nicht von dem umgebenden Raum
Mittlere Krümmung H Bei Minimalflächen = Flächen minimaler Oberfläche bei vorgegebenem Rand Beispiel: H = 0 Seifenhautgebilde Oberflächenenergie ist minimal
Bilder verschiedener Minimalflächen Enneperfläche Scherksche Fläche Katenoid Hennebergfläche
Geodäte ist lokal kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Fläche Teile von Geraden auf Ebenen Teile von Großkreisen auf Kugeln - Fluglinien Allgemein: Lösungen der Geodätengleichung Geodäten
Eulersche Polyederformel und Eulercharakteristik Gegeben Polyeder (Vielflach) e : Anzahl der Ecken k : Anzahl der Kanten f : Anzahl der Flächen Dann gilt Platonsche Körper Eulercharakteristik:
Flächen unterschiedlicher Eulercharakteristik Kugel Torus Brezelfläche
Satz von Gauß-Bonnet K : Gaußkrümmung M : Fläche : stückweiser glatter Rand der Fläche : geodätische Krümmung der Randkurve von M : Eulercharakteristik von M : Außenschnittwinkel an Ecken des Randes Verbindung der topologischen Größe Eulercharakteristik mit der differential-geometrischen Größe Krümmung Für glatten Rand sind alle Außenschnittwinkel Null und es folgt:
Satz von Gauß-Bonnet für glatten Rand K : Gaußkrümmung M : Fläche : glatter Rand der Fläche : geodätische Krümmung der Randkurve von M : Eulercharakteristik von M Verbindung der topologischen Größe Eulercharakteristik mit der differential-geometrischen Größe Krümmung
Anwendung des Satzes von Gauß-Bonnet Aus dem Satz von Gauß-Bonnet folgt: Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck, dessen Randkurven aus Geodäten bestehen, ist
Die hyperbolische Kreisscheibe Modell einer Geometrie mit unendlich vielen Parallelen durch einen Punkt zu einer vorgegebenen Geraden. Konstruktion Geodäten
Kunst von M. C. Escher
Der Riemannsche Krümmungstensor Auf gekrümmten Flächen ändern Vektoren nach Paralleltransport ihre Richtung. Einführung des Symbols als Ableitung des Vektorfeldes Y in Richtung des Vektorfeldes X Riemannscher Krümmungstensor:
Einsteinsche Feldgleichung Ric : Riccitensor R : Skalarkrümmung, Spur von Ric, R = 2K, K G.-Krümmung T : Energie-Impuls-Tensor g : Metrik (Abstandsfunktion) Spezielle Lösung: Schwarzschildmetrik eines schwarzen Loches:
Albert Einstein und das Universum Kurzbiographie: 1879 geboren 14. März in Ulm 1896 Maturitätsexamen in Aarau. Physikstudium in Zürich 1902 Patentamt in Bern 1905 spezielle Relativitätstheorie 1908 Habilitation 1915 Allgemeine Relativitätstheorie 1921 Nobelpreis 1933 Umzug nach Princeton 1955 Stirbt am 18. April
Spezielle Relativitätstheorie Raum + Zeit = Raumzeit Zeitdehnung Längenkontraktion Massenzuwachs
Nachweise der speziellen Relativitätstheorie
Allgemeine Relativitätstheorie Massen krümmen die Raumzeit, wodurch umlaufende Körper wie auf einer schiefen Ebene eine Kraft nach innen erfahren. Albert Einstein (1879-1955) Beschrieb Verhalten von Körpern unter Schwerkraft, doch Grund für deren Existenz fand er nicht. Isaac Newton (1643-1727)
Allgemeine Relativitätstheorie In großen Schwerefeldern vergeht die Zeit langsamer. Auf Neutronensternen könnte man seinen Hinterkopf sehen, da Licht um den Stern herumläuft.
Nachweise der allgemeinen Relativitätstheorie Periheldrehung des Merkur Schwarze Löcher als Gravitationslinse Scheinbare Positionsänderung von Sternen bei totaler Sonnenfinsternis
Zukunft des Universums
Relativitätstheorie im Alltag Was Navigationssysteme mit Einstein zu tun haben Global Position System (GPS)