Grundlagen der Differentialgeometrie und Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie

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1 Grundlagen der Differentialgeometrie und Einführung in die 4. Theoretiker-Workshop der jungen Deutschen Physikalischen Gesellschaft auf dem Dürerhof in Waldkappel-Gehau Vortrag am 05. Januar 2013

2 Definition (ebene Kurve) Krümmung einer ebenen Kurve 1. Kurven in der Ebene Definition. Eine (regulär parametrisierte) ebene Kurve ist eine glatte (d.i. C -) Abbildung α: I R 2 mit α(t) 0, t I. I ist ein Intervall. C = α(i) R 2 heißt Spur der Kurve. [Abb. 1] α heißt nach der Bogenlänge parametrisiert, wenn α(t) = 1 ist, t I. (Für 0 I ist dann die Bogenlänge des Kurvenstücks α([0, t]) gerade t: L[α [0, t]] = t 0 α (s) ds = t.)

3 Definition (ebene Kurve) Krümmung einer ebenen Kurve Bemerkung (a) Ist α: I R 2 eine ebene Kurve, so existiert eine Umparametrisierung τ : J I, so dass α τ : J R 2 nach Bogenlänge parametrisiert ist. (b) Der Bogenlängenparameter ist bis auf Verschiebung eindeutig.

4 Definition (ebene Kurve) Krümmung einer ebenen Kurve Sei α: I R 2 nach der Bogenlänge parametrisiert, t I, p = α(t) C = α(i) und e 1 (t) := α(t). Sei weiter e 2 (t) so, dass (e 1 (t), e 2 (t)) positiv orientierte ON-Basis von R 2 ist. Da ist, folgt: 1 κ(t) R: α = κ e 2. α, α = 1 2 α, α = 0 [Abb. 2] Definition. Sei α: I R 2, C = α(i), t I und p = α(t). Dann heißt κ(t) := α(t), e 2 (t) die Krümmung von C in p.

5 Definition (ebene Kurve) Krümmung einer ebenen Kurve Es gilt: Der Krümmungskreis von C in p, d.i. der Kreis mit Mittelpunkt M = p + 1 κ e 2 und Radius r = 1 κ berührt C in p von höherer als 2. Ordnung.

6 Definition (Fläche) Beispiel Definition (Tangentialraum) Definition (1. Fundamentalform) Innere Geometrie Äußere Geometrie Theorema egregium von C.F. Gauß 2. Definition. Sei U R 3 offen und f : U R glatt. Dann heißt M = f 1 (0) = {p U : f(p) = 0} eine (reguläre) Fläche, wenn für alle p M gilt: grad(f)(p) := ( f f x1,..., xn)(p) 0. [Abb. 3]

7 Definition (Fläche) Beispiel Definition (Tangentialraum) Definition (1. Fundamentalform) Innere Geometrie Äußere Geometrie Theorema egregium von C.F. Gauß Beispiel (i) Die 2-Sphäre M = S 2 = {x R 3 : (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 = 1} [Abb. 4] (ii) Das einschalige Hyperboloid M = H 2 = {x : (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 (x 3 ) 2 = 1} [Abb. 5]

8 Definition (Fläche) Beispiel Definition (Tangentialraum) Definition (1. Fundamentalform) Innere Geometrie Äußere Geometrie Theorema egregium von C.F. Gauß Definition. Sei M = f 1 (0) Fläche und p M. (i) Dann heißt TM p = ker(df p : R 3 R) = (grad(f)(p)) = { α(0) R 3 : α: ( ε, ε) M Kurve mit α(0) = p} heißt Tangentialraum von M in p. [Beachte: α(t) M f α(t) = 0 0 = (f α) (0) = grad(f)(p), α(0) α(0) TM p ] (ii) Es heißt N p = die Normale von M in p. grad(f)(p) grad(f)(p) [Abb. 6]

9 Definition (Fläche) Beispiel Definition (Tangentialraum) Definition (1. Fundamentalform) Innere Geometrie Äußere Geometrie Theorema egregium von C.F. Gauß Definition. Sei M = f 1 (0) eine Fläche und p M. Dann heißt g p : TM p TM p R, g p :=, TM p TM p die 1. Fundamentalform (1. FF) von M in p.

10 Definition (Fläche) Beispiel Definition (Tangentialraum) Definition (1. Fundamentalform) Innere Geometrie Äußere Geometrie Theorema egregium von C.F. Gauß Größen, die nur von der 1. Fundamentalform auf M abhängen, nennt man innere Größen auf M oder intrinsisch. Z.B. ist der Abstand zwischen zwei Punkten p, q M intrinsisch, d(p, q) = inf{l[α] : α: [0, 1] M Kurve mit α(0) = p, α(1) = q} (und L[α] = 1 0 α(t) dt mit α(t) = g α(t) ( α(t), α(t).) [Abb. 7]

11 Definition (Fläche) Beispiel Definition (Tangentialraum) Definition (1. Fundamentalform) Innere Geometrie Äußere Geometrie Theorema egregium von C.F. Gauß Weitere intrinsische Größen sind: Flächeninhalte Winkel kürzeste Verbindungslinien Winkelsumme im Dreieck...

12 Definition (Fläche) Beispiel Definition (Tangentialraum) Definition (1. Fundamentalform) Innere Geometrie Äußere Geometrie Theorema egregium von C.F. Gauß Definition. Sei M = f 1 (0), N : M R 3 die zugehörige Normale und p M. (i) Dann heißt W p := DN p : TM p TM p der Weingarten-Operator von M in p. [Beachte: Wegen N(x), N(x) = 1, x M und v = α(0) TM p DN p (v), N p = 1 2 d N α(t), N α(t) = 0, dt also tatsächlich: DN p (v) TM p für v TM p ] (ii) Es heißt h p : TM p TM p R, h p (v, w) := g p (W p (v), w) die 2. Fundamentalform (2. FF) von M in p.

13 Definition (Fläche) Beispiel Definition (Tangentialraum) Definition (1. Fundamentalform) Innere Geometrie Äußere Geometrie Theorema egregium von C.F. Gauß Satz (von Rodriguez). W p ist selbst-adjungiert bzw. h p ist symmetrisch. Folgerung (Satz über die Hauptachsentransformation). Es gibt eine Orthonormalbasis (ONB) (e 1, e 2 ) von TM p bestehend aus Eigenvektoren von W p, d.h. bzw. mit κ 1, κ 2 R. W p (e 1 ) = κ 1 e 1, W p (e 2 ) = κ 2 e 2 h p (e 1, e 1 ) = κ 1, h p (e 1, e 2 ) = 0, h p (e 2, e 2 ) = κ 2.

14 Definition (Fläche) Beispiel Definition (Tangentialraum) Definition (1. Fundamentalform) Innere Geometrie Äußere Geometrie Theorema egregium von C.F. Gauß Sei nun v TM p mit v = 1 (d.h. g p (v, v) = 1). Sei E = span(n p, v) R 3 und C = (p + E) M. Dann gilt: Satz (von Meusnier). h p (v, v) = κ C (p) [Abb. 8] h p (v, v) ist die (extrinsische) Krümmung von M in p in Richtung v.

15 Definition (Fläche) Beispiel Definition (Tangentialraum) Definition (1. Fundamentalform) Innere Geometrie Äußere Geometrie Theorema egregium von C.F. Gauß Kommentar (i) h p enthält die volle Krümmungsinformation von M in p. (ii) κ 1, κ 2 heißen Hauptkrümmungen, e 1, e 2 Hauptkrümmungsrichtungen. (iii) H(p) := κ 1 + κ 2 = spur(w p ) heißt mittlere Krümmung von M in p, K(p) := κ 1 κ 2 = det(w p ) heißt Gaußsche Krümmung von M in p.

16 Definition (Fläche) Beispiel Definition (Tangentialraum) Definition (1. Fundamentalform) Innere Geometrie Äußere Geometrie Theorema egregium von C.F. Gauß Theorem (Theorema egregium von C.F. Gauß). Sei M R 3 eine Fläche. Dann ist ihre Gaußsche Krümmung K : M R intrinsisch. Kommentar (i) Ein Diffeomorphismus F : M 1 M 2 zwischen zwei Flächen (d.h.: F ist bijektiv, F, F 1 sind glatt) heißt eine Isometrie, wenn für alle p M 1 gilt, dass DF p : (TM 1 ) p (TM 2 ) F(p) eine (lineare) Isometrie ist, d.h.: für alle v, w (TM 1 ) p gilt: (g 2 ) F(p) (DF p (v), DF p (w)) = (g 1 ) p (v, w).

17 Definition (Fläche) Beispiel Definition (Tangentialraum) Definition (1. Fundamentalform) Innere Geometrie Äußere Geometrie Theorema egregium von C.F. Gauß (ii) Eine Isometrie erhält also die 1. FF und damit alle Größen der inneren Geometrie (z.b. Abstände). (iii) Dass K intrinsisch ist, bedeutet, dass K nur aus der 1. FF berechnet werden kann (die 2. FF nicht nötig ist). (Genauer: aus g und 1. und 2. Ableitungen von g.) (iv) Es folgt: Ist F : M 1 M 2 eine Isometrie, sind K 1 : M 1 R, K 2 : M 2 R die Gaußschen Krümmungen, so gilt: K 2 F = K 1.

18 Definition (Fläche) Beispiel Definition (Tangentialraum) Definition (1. Fundamentalform) Innere Geometrie Äußere Geometrie Theorema egregium von C.F. Gauß Beispiel (i) Die Ebene E = {x 3 = 0} und der Zylinder Z = {(x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 = r 2 } (mit r > 0) sind lokal isometrisch und K E = 0. Es muss also auch K Z = 0 sein. Tatsächlich: [Abb. 9] (ii) Die Ebene E und der Kreiskegel M = {(x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 (x 3 ) 2 = 0, x 3 > 0} sind lokal isometisch. Es folgt: K M = 0. Tatsächlich: [Abb. 10]

19 Definition (Fläche) Beispiel Definition (Tangentialraum) Definition (1. Fundamentalform) Innere Geometrie Äußere Geometrie Theorema egregium von C.F. Gauß (iii) Für die Sphäre S 2 sind (in jedem Punkt) alle Hauptkrümmungen gleich 1, κ 1 = κ 2 = 1. Es folgt: K S = 1. [Abb. 11] Folgerung. Keine (offene) Menge von S kann isometrisch (längentreu) auf ein (flaches) Stück von E ebgebildet werden!

20 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung 3. Definition. (i) Sei n N. Eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension n ist ein Hausdorffraum M, so dass jeder Punkt p M eine offene Umgebung U besitzt, die homöomorph zu einer offenen Menge V R n ist. [Abb. 12] (ii) Jeder solche Homöomorphismus ϕ (d.i. eine stetige Bijektion mit stetigem Inversen) heißt eine Karte auf M. ϕ 1 : V U heißt ein lokales Koordinatenssystem.

21 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung (iii) Eine Familie A = (ϕ i : U i V i ) i I von Karten heißt ein Atlas von M, wenn M = i I U i ist. (iv) Ein Atlas A = (ϕ: U i V i ) einer topologischen Mannigfaltigkeit M heißt glatt, wenn alle Übergange glatt sind. ϕ ij : ϕ j (U i U j ) ϕ i (U i U j ), ϕ ij = ϕ i ϕ 1 j [Abb. 13] (v) Ein Paar (M, A), wo M eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension n ist und A ein glatter Atlas, heißt eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension n.

22 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung Beispiel (i) n = 1: Spuren C R 2 von reg. param. Kurven (ii) n = 2: Flächen im R 3 (iii) abstrakte Beipiele, z.b. Tori oder projektive Räume [Abb. 14]

23 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung (a) Für jedes p M kann man einen (abstrakten) Tangentialraum TM p an M in p einführen. Er ist ein (reeller) Vektorraum der Dimension n. (b) Ist Φ: M N eine glatte Abbildung (zwischen glatten ) und p M, so induziert Φ das Differential von Φ in p: eine lineare Abbildung DΦ p : TM p TN Φ(p). [Abb. 15]

24 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung (c) Ist ϕ: U V R n eine Karte um p U, so heißen die Vektoren x i p := (Dϕ p ) 1 (e i ) TM p (i = 1,...,n) die Koordinatenvektoren von TM p bzgl. der Karte ϕ. Sie bilden eine Basis von TM p. [Abb. 16] Definition. Sei V ein reeller Vektorraum, p {0, 1} und q N 0. Ein Tensor der Stufe (p, q) bzgl. V ist eine multilineare Abbildung { R für p = 0 α: V } {{ V } V für p = 1. q mal

25 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung Speziell: (a) Tensoren der Stufe (0, 0) sind Skalare (d.i.: Elemente in R) (b) Tensoren der Stufe (1, 0) sind Vektoren (d.i.: Elemente in V ) (c) Tensoren der Stufe (0, 1) sind Linearformen (d.i.: Elemente in V ) (d)... (1, 1) sind Endomorphismen (d.i.: lineare Abbildungen V V ) (e)... (0, 2) sind Bilinearformen (also bilineare Abbildungen α: V V R) (f) usw. Ein Tensorfeld T auf einer glatten Mannigfaltigkeit M ist eine Familie (T p ) p M von Tensoren auf den Tangentialräumen (TM p ) p M von M.

26 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung Beispiel (a) (0, 0)-Felder =. Funktionen auf M. (b) (1, 0)-... = Vektorfelder auf M. (c) (0, 1)-... = Differentialformen auf M. (d) (0, 2)-... = Bilinearformenfelder auf M

27 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung Definition. (a) Eine Riemannsche Metrik auf einer (glatten) Mannigfaltigkeit M ist ein (glattes) symmetrisches Bilinearformenfeld (ein (0, 2)-Feld) g, so dass jedes positiv definit ist. g p : TM p TM p R (b) Eine Lorentzsche Metrik auf M ist ein symmetrisches (0, 2)-Feld h, so dass jedes h p : TM p TM p R Index 1 hat und nicht-entartet ist.

28 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung Kommentar (a) Ein Lorentzprodukt auf einem reellen Vektorraum V der Dimension n + 1 ist eine nicht-entartete symmetrische Bilinearform h: V V R, deren Index 1 ist, d.h.: es gibt einen maximalen Unterraum U V der Dimension 1, auf dem h negativ definit ist. (b) Jeder Lorentz-Raum (V, h) besitzt eine Lorentz-Basis (e 0,...,e n ), d.h.: h(e i, e j ) = ε i δ ij i, j mit ε 0 := 1, ε 1 =... = ε n = 1.

29 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung (c) Vektoren v V mit h(v, v) < 0 heißen zeitartig, mit h(v, v) = 0, aber v 0 heißen lichtartig und mit h(v, v) > 0 oder v = 0 heißen raumartig. [Abb. 17] Sei E(M) = {glatte Funktionen auf M}, X(M) = {glatte Vektorfelder auf M}.

30 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung Kommentar (a) Ein nicht-entartetes, smmetrisches (0, 2)-Feld g auf einer Mannigfaltigkeit M ermöglicht es Ableitungen von Vektorfeldern in Richtung von Vektorfeldern zu definieren, genauer eine Abbildung : X(M) X(M) X(M) mit (i) ist R-bilinear (ii) ist E(M)-linear im 1. Argument, d.h.: fx Y = f X Y (für f E(M) und X,Y X(M))

31 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung (iii) ist derivativ im 2. Argument, d.h.: X (fy ) = Xf Y + f X Y (wo f Xf die Richtungsableitung von f in Richtung X ist). Man nennt eine kovariante Aleitung auf X(M) bzw. einen Zusammenhang auf TM.

32 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung (b) Ist x: U V R n eine Karte, so wird g auf U beschrieben durch die Funktionen g ij E(V ) (1 i, j n): g ij = g( x i, x j ) und durch die so genannten Christoffelsymbole Γ k ij E(V ), gegeben durch / x i x j = Γk ij x k.

33 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung (c) Der zu g gehörende Levi-Civita-Zusammenhang ist gegeben durch die so genannte Koszul-Formel 2 X Y, Z = X Y, Z + Y Z, X Z X, Y oder, in lokalen Koordinaten, durch X, [Y, Z] + Y,[Z, X] + Z,[X, Y ] Γ k ij = 1 2 gkl ( D l g ij + D i g jl + D j g li ). Hierbei ist (g kl ) das Inverse von (g ij ), also g kl g li = δ k i.

34 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung Definition. Sei M eine Mannigfaltigkeit und ein Zusammenhang auf TM. Dann nennt man R: X(M) X(M) X(M) X(M), R(X, Y )Z := X Y Z Y X Z [X,Y ] Z, (1) die Krümmung von. Kommentar (a) Die Krümmung R eines Zusammenhangs ist allen 3 Argumenten tensoriell, d.h. E(M)-linear. Deshalb kann man die Krümmung in einem Punkt p definieren durch

35 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung R p : TM p TM p TM p TM p, R p (ξ, η)ζ := (R(X, Y )Z)(p) mit beliebigen Fortsetzungen X, Y, Z X(M) von ξ, η, ζ TM p, d.h.: X p = ξ, Y p = η, Z p = ζ. (b) R ist deshalb ein Tensorfeld der Stufe (1, 3). In lokalen Koordinaten x: U V R n wird es also gegeben durch Funktionen Rijk l E(V ) vermöge R( x i, x j, x k ) = Rl ijk x l.

36 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung Wird auf x: U V durch (Γ k ij ) gegeben, so wird Formel (1) zu R l ijk = D iγ l jk D jγ l ik + Γm ik Γl jm Γ m jk Γl im. Definition. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, ihr Levi-Civita-Zusammenhang und R ihre Krümmung. Für p M und E TM p mit dime = 2 heißt κ p (E) := R p (ξ, η)η, ξ die Schnittkrümmung von M in p in Richtung E. Hierbei ist (ξ, η) eine ON-Basis von E.

37 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung Kommentar (a) (κ p (E)) enthält die volle Krümmungsinformation, d.h.: man kann R aus (κ p (E)) zurückgewinnen. (b) Ist M R 3 eine Fläche und g die 1. FF von M, so gilt für die Gaußsche Krümmung K : M R und die Schnittkrümmung κ von (M, g): K(p) = κ p (TM p ), p M.

38 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung Definition. Sei (M, g) eine Riemannsche oder Lorentzsche Mannigfaltigkeit, ihr Levi-Civita-Zusammenhang und R ihre Krümmung. (a) Man nennt dann Ric = (Ric p ) p M mit Ric p (ξ, η) := spur(tm p TM p, ζ R p (ζ, ξ)η) die Ricci-Krümmung von M in p. (b) Man nennt S : M R, S(p) := spur gp (Ric p ) = n ε i Ric p (e i, e i ) i=0 (mit einer ON- bzw. Lorentz-Basis (e 0,...,e n ) und ε 0 = 1, ε 1 =...ε n = 1) die Skalarkrümmung von M.

39 Definition (Mannigfaltigkeit) Tensorfelder Riemannsche und Lorentzsche Krümmung Kommentar (a) Aufgrund der Identitäten der Krümmungstensors R stellt sich Ric p als symmetrisch heraus. (b) Ist in lokalen Koordinaten R ij := Ric(, ), x i x j so ist also mit der Darstellung (Rijk l ) von R: R ij = R l lij und S = g ij R ji.

40 Definition (Raumzeit) Einsteins Feldgleichung Grundprinzipien der ART 4. Definition. Sei (M, h) eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit. Eine Zeitorientierung o = [X] ist eine Äquivalenzklasse von zeitartigen Vektorfeldern X X(M), d.i. X, X p < 0, für alle p M. Zwei solche Vektorfelder X, Y X(M) heißen äquivalent, wenn für alle p M gilt: X p, Y p < 0. Kommentar. (a) Der Raum der zeitartigen Vektoren in einem Lorentzschen Vektorraum (V,, ) zerfällt in zwei Zusammenhangskomponenten, von denen keine gegenüber der anderen ausgezeichnet ist. Eine Zeitorientierung legt eine der beiden Komponenten fest. [Abb. 18]

41 Definition (Raumzeit) Einsteins Feldgleichung Grundprinzipien der ART (b) Zeitartige Tangentialvektoren v TM p mit v, X p < 0 heißen zukünftig, die mit v, X p vergangen. Definition. Sei (M, h) eine Lorentz-Mannigfaltigkeit der Dimension 4 und o = [X] eine Zeitoreintierung auf (M, h). Dann nennt man (M, h, o) eine Raumzeit. Vorbereitung. (a) In der ART modelliert man das Materiefeld (z.b. bestehend aus vorhandener Masse von Sternen, Gasen, etc. oder Energie) durch ein symmetrisches (0, 2)-Feld T, welches i.a. von der Lorentz-Metrik h (in 0. Ordnung) abhängt, den Energie-Impuls-Spannungstensor. (T ist aus Gründen der Energie-, Impuls- und Drehimpulserhaltung divergenzfrei, div(t) = 0.)

42 Definition (Raumzeit) Einsteins Feldgleichung Grundprinzipien der ART (b) Aufgrund der so genannten 2. Bianchi-Identität für R (genauer für R) ist das folgende (0, 2)-Feld einer Lorentz-Mannigfaltigkeit (M, h) auch divergenzfrei: Ein := Ric 1 2 Sh. Es heißt das Einsteinsche Tensorfeld. Grundgleichung der ART (Einsteins Feldgleichung). Gegeben sei eine Raumzeit (M, h, o) mit einem Materiefeld T. Dann muss gelten: Ein = 8π T.

43 Definition (Raumzeit) Einsteins Feldgleichung Grundprinzipien der ART Vergleich zur Newtonschen Theorie. (a) In Newtons Gravitationstheorie ist der Raum gegeben durch R 3 (oder eine offene Teilmenge davon) und die Massenverteilung durch eine Massendichte ρ: R 3 R (so dass in einem Kompaktum K R 3 die Masse M K = K ρ(x)dx ist). Diese Materie erzeugt dann ein Gravitationsfeld G: R 3 R, welches gegeben ist durch G = grad(φ), für ein Gravitationspotential Φ: R 3 R. Dieses muss dem Newtonschen Gravitationsgesetz Φ = 4πρ genügen. (Beachte: = spur(hess))

44 Definition (Raumzeit) Einsteins Feldgleichung Grundprinzipien der ART (b) Dem Gravitationspotential Φ entspricht in der ART das Lorentzfeld h, dem Gravitationsfeld G entspricht der zugehörige Levi-Civita-Zusammenhang und der Hesseschen Hess(Φ) die Krümmung R von. Der Einsteintensor Ein ist dann eine gewisse Spurbildung von R. Die Gleichung für h, die zu lösen ist, ist Ein(h) = 8π T(h).

45 Definition (Raumzeit) Einsteins Feldgleichung Grundprinzipien der ART Bewegungsgleichungen. (a) In der Newtonschen Theorie erfährt ein (Probe-) Teilchen der schweren Masse m S durch das Gravitationsfeld G am Ort x R 3 die Gravitationskraft F(x) = m s G(x). Seine Bewegung wird dann bestimmt durch das 2. Newtonsche Gesetz (wo m t die träge Masse des Teilchens sei): m t ẍ = F(x). Mit m s = m t wird das zur Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung ẍ = G(x).

46 Definition (Raumzeit) Einsteins Feldgleichung Grundprinzipien der ART (b) In der Einsteinschen Theorie gibt es keine Gravitationskraft. Die Materie krümmt den Raum und die Bewegung eines Probeteilchens ist freier Fall: t ẋ = 0 (Geodätengleichung). In lokalen Koordinaten wird dies zu der gewöhnlichen Differentialgleichung ẍ k + Γ k ij(x)ẋ i ẋ j = 0 (k = 0,...,3). Setzt man G k (x) := Γ k ij (x)ẋi ẋ j, so kann man wegen ẍ = G(x), G: V R 4 als Gravitationkraft bzgl. des KO-Systems x: U V interpretieren.

47 Definition (Raumzeit) Einsteins Feldgleichung Grundprinzipien der ART Es bekommt dann aber die Interpretation einer Scheinkraft, die nur aufgrund des gewählten Bezugssystems auftritt (ähnlich wie Zentrifugal- und Corioliskraft in der Newtonschen Theorie, wenn man zu rotierenden Koordinaten übergeht). Grundprinzipien der ART (a) Prinzip der allgemeinen Covarianz. Alle Koordinatensysteme sind gleichberechtigt. Es gibt keine Inertialsysteme (wie in der Newtonschen Theorie). Die Feldgleichung sieht in jedem KO-System gleich aus (in der Newtontheorie nur in Inertialsystemen). Das ist klar, denn die Feldgleichung ist eine Gleichung zwischen Tensorfeldern und ist sogar koordinatenfrei formuliert.

48 Definition (Raumzeit) Einsteins Feldgleichung Grundprinzipien der ART (b) Äquivalenzprinzip. In der Newtontheorie kann man zwischen Ruhe und gleichförmig geradliniger Bewegung nicht unterscheiden. (Experimente in einem stehenden und in einem gleichförmig geradlinig fahrenden Zug sind gleich.) In der ART kann man zwischen Ruhe und (im Gravitationsfeld) beschleunigter Bewegung nicht unterscheiden. Experimente in einer Raumkapsel (weit weg von jeder Galaxie) und in einem Aufzug, der im Schwerefeld der Erde bei gerissenem Seil der Erde entgegenrast, sind gleich. Beides ist freier Fall in ihrer jeweiligen Raumzeit.