4 A Baustatik. Prof. Dr.-Ing. Helmut Rubin 7.1. s. Buch s. Buch s. Buch s. Buch s. Buch

@-4.1 4 A Baustatik Prof. Dr.-Ing. Helmut Rubin Vorbemerkung Im gedruckten Werk der 0. Auflage der Bautabellen für Ingenieure sind in den Abschnitten 6 bis 8 wesentliche gebrauchsfertige Formeln abgedruckt. Ergänzend hierzu sind nachfolgend Hintergründe und weitere Anwendungsfälle wiedergegeben. Die nachfolgenden Abschnitte umfassen dabei der Vollständigkeit halber auch die in der gedruckten Fassung wiedergegeben Inhalte. Inhalt A 1 3 4 5 6 6.1 6. 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 BAUSTATIK. Formeln für Schnitt- und Verschiebungsgrößen........... Festigkeitslehre............... Virtuelle Arbeitsprinzipien....... Fachwerke..................... Baustatische Verfahren nach Theorie I. Ordnung............ Baustatische Verfahren nach Theorie II. Ordnung mit Vorverformung Allgemeines..................... Festlegungen................... Vorverformungen................ Superposition von Lastfällen....... Kriterium für die Notwendigkeit der Berechnung nach Theorie II. Ordnung Differentialgleichung für M....... Lösung der Differentialgleichung... Tafeln für Schnitt- und Weggrößen des Einzelstabes................. Dreimomentengleichung als Sonderfall des Kraftgrößenverfahrens...... Drehwinkelverfahren als Sonderfall des Weggrößenverfahrens......... Rechteckrahmen................. s. Buch s. Buch s. Buch s. Buch s. Buch @-4. @-4. @-4.3 @-4.3 @-4.4 @-4.4 @-4.4 @-4.4 @-4.6 @-4.11 @-4.13 @-4.17 7 7.1 7. 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.1 8 9 Gebrauchsfertige Formeln nach Theorie II. Ordnung............ Transversalkräfte, Querkräfte, Querschnittsdrehwinkel........... Elementare Lagerungsfälle des Einzelstabes............................ Stab mit unverschieblichen Endpunkten und Drehfedern.............. Stab mit verschieblichem Ende und Drehfedern..................... Stab mit Drehfeder am Fußpunkt und Feder am oberen Ende........... Durchlaufstütze über Felder, Fußpunkt mit Drehfeder.............. Zweifeldstütze, oberes Ende frei, Fußpunkt mit Drehfeder........... Zweifeldstütze, Zwischenknoten und oberes Ende frei verschieblich, Fußpunkt mit Drehfeder.............. Zweifeldstütze, Endpunkte unverschieblich, Zwischenknoten mit Federn Unverschieblicher Rechteckrahmen Verschieblicher Rechteckrahmen... Gekoppelte Stützenreihe.......... Knicklasten und Knicklängen.... Formeln für den elastisch gebetteten Stab................ @-4.0 @-4.0 @-4.1 @-4. @-4.3 @-4.4 @-4.4 @-4.5 @-4.6 @-4.7 @-4.7 @-4.8 @-4.9 @-4.30 s. Buch Anhang: Lineare Differentialgleichungen mit konst. Koeffizienten @-4.5 Bezeichnungen im Kap. 4A In den Abschnitten 7 und 8 des folgenden Beitrages werden ebenso wie in allen Abschnitte des Buches die internationalen Bezeichnungen für Lasten und Schnittgrößen gewählt (V: Querkraft; F: Einzellast usw.). Abweichend davon gelten im nachfolgenden Abschnitt 6 noch die alten Bezeichnungen, d. h. Q steht für eine Querkraft und P für eine Einzellast.

Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01 @-4. Baustatik

Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01 Baustatische Verfahren nach Theorie II. Ordnung @-4.3

S. @-4.53 Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01 @-4.4 Baustatik @-4.5 S. @-4.5ff

Baustatische Verfahren nach Theorie II. Ordnung @-4.5 @-4.5 Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01

@-4.6 Baustatik @-4.8 Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01

@-4.8 Baustatik Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01

Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01 @-4.10 Baustatik

@-4.1 Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01 @-4.14 Baustatik

@-4.0 Baustatik Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01.

Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01. Gebrauchsfertige Formeln nach Theorie II. Ordnung @-4.1

@-4. Baustatik @-4.1 S. @-4.1 S. @-4.0 S. @-4.0 S. @-4.38 Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01.

Gebrauchsfertige Formeln nach Theorie II. Ordnung @-4.3 S. @-4.35 Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01.

Gebrauchsfertige Formeln nach Theorie II. Ordnung @-4.7 S. @-4.6 Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01.

@-4.8 Baustatik S. @-4.35 Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01.

Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01. Knicklasten und Knicklängen @-4.31

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten @-4.51 A Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, Lösungskonzept nach [.15] A.1 Differentialgleichung m-ter Ordnung, m beliebig Rechte Seite: Polynom n-ten Grades mit (m) (m 1) (m ) 1... m 0 0 1 1... n n y K y K y K y p a p a p a p K 1 bis x1 x x x3 x3 xn 0 1, 1,, 3,... n a a x a a a 1!! 3! 6 n! K m und p 0 bis n p : gegebene Konstante mit p0 p(0), p1 p(0), p p(0)... Lösung: y c0b0cb 1 1... cm1bm1 p0bm pb 1 m+1... pnb m+n y y hom. part. c 0 bis cm 1: unbekannte Integrationskonstante b b x Lösungsfunktionen für homogenen und partikulären Lösungsanteil j j () Eigenschaften der Funktionen a j a j ( x ) und b j b j ( x ) Anfangswerte: a0(0) 1, a1(0) a(0) a3(0)... 0 ; b0(0) 1, b1(0) b(0) b3(0)... 0 Ableiten: a j a j1, Integrieren: ajdx aj 1 ( j 0) b j b j1, Integrieren: bjdx bj 1 ( j 0) x 0 x 0 Rekursionsformel: bj ajk1bj 1Kbj... Kmbj+m; Wronski-Determinante: e 1 Reihenformel für b j bj ( x ) (stets konvergent) j 0, 1,... : b a j j t,m t=0 y y() x t,m beginnend mit 0m, 1, 01, bis 0m, 1 0 m1 x aus t, m t, i Kmi ( t 1,, 3...) mit t,i t 1,i+1 für 0 bis 1 i0 j t i m Reihenformel gültig für beliebige Werte von K 1 bis K m der betrachteten Differentialgleichung. Sonderfall: alle K 1 bis K m 0 alle bj a j; y ist m-faches Integral von p. Kx Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01. Struktogramm für b j b j ( x ) nach Reihenformel m 1,, 3..., j 0,1,..., K bis K beliebig 1 m Eingabe von m, x, j, K1bis K m k:= j; s: 0; bj: 1; m: 1; 1 bis m 1: 0 k: k 1; f := xk / ; := K f m 1 für i: 1 bis m 1 wiederhole : f; : K i i+1 mi i : ; b: b m j j m wiederhole bis s m b: b a ; b ausgeben j j j j wenn b 9 m j 10 dann sonst s: s 1 s: 0

@-4.5 Baustatik Analytische Formeln für b j b j ( x ) Diese sind abhängig von der Ordnung m der Differentialgleichung und von den Werten der Konstanten K 1 bis K m und nur für bestimmte Fälle (siehe unten) explizit angebbar. An den Grenzen der Gültigkeitsbereiche der analytischen Formeln können numerische Schwierigkeiten auftreten. Bei den sin- und cos-funktionen ist das Argument jeweils im Bogenmaß. A. Differentialgleichung 1. Ordnung, m = 1 n y K y p a ; y c b p b 1 j j 0 0 j j+1 j0 j0 n b 1 K 1 0 b, b... Kx 0 e 1 bj ( bj1 aj1) K1 0 bj aj A.3 Differentialgleichung. Ordnung, m = yk yk y p a 1 j j j0 yc b cb pb 0 0 1 1 j j+ j0 Hilfswerte: k K, r k K 1 1 1 n n k, 1x f r e K r b 1 b0 b, b 3... 0 sinh ( fx) f cosh( fx) k11 b 1 0 0 sin ( fx) f cos( fx) k b 11 b 0 x kb 11 0 Formeln wie bei Differentialgleichung 1. Ordnung b j j K a K b j 1 j1 Sonderfall: K 1 0, f K K b0 b 1 b, b 3... 0 cosh( fx ) 0 cos( fx ) sinh ( fx) f sin ( fx) f 0 bj aj Beispiel: Differentialgleichung für Biegemoment M eines Stabes nach Theorie II. Ordnung n II N MKM qjaj q mit K EI j0 II N Stablängskraft (Druck pos.), EI Biegesteifigkeit, q Streckenlast normal zum Stab n Mc0b0cb 1 1 qb j j+mit c0 M(0), c1 V(0), V Querkraft, V M j0 Lösung: b b j a K j j A.4 Differentialgleichung 4. Ordnung, m = 4 mit K 1 = K 3 = 0 yk y K y p a 4 j j j=0 n n 0 0 1 1 3 3 j0 j j+4 yc b cb c b c b pb 1 Hilfswert: r K K 4 4 Zusammenstellung der Hilfswerte und der Lösungsfunktionen b j s. nachfolgende Tafel A.3, Anwendungsbeispiel s. Abschnitt A.5. Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01.

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten @-4.53 Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01. Tafel A.3 Hilfswerte und Lösungsfunktionen der Differentialgleichung 4. Ordnung mit K1 = K3 = 0 Hilfswerte K 4 r K f g b 0 b 1 b b 3 b4, b 5... 0 0 0 0 0 0 0 K 0 K 4 K K 0 K r 4 0 0 K 0 K r K r r r r K cosh( ) sinh( ) f cosh( fx) gcos( gx) fsinh( fx) gsin( gx) cosh( fx ) cos( gx ) r r r cosh( fx) cos( fx) sinh( fx) sin( fx) f f cosh( fx ) g cosh( gx ) fsinh( fx ) gsinh( gx ) r f cos( fx ) g cos( gx ) sin( ) sin( ) r fx fx fx fx fx fx cos( ) sin( ) K K 4 4 4 4 K K K 4 4 4 1 fg K sinh( fx)sin( gx) cosh( fx)cos( gx) fx fx 4 cosh( )cos( ) 0 K cosh( fx ) r cosh( fx) cos( fx) f cosh( fx) cosh( gx) r f fx g gx cos( fx) cos( gx) r r xcosh( fx) xcos( fx) sinh( fx ) sinh( ) f sin( fx ) f x sin( fx ) cosh( fx )sin( gx ) sinh( ) cos( ) fx gx g f sinh( fx ) sin( gx ) f g r sinh( fx) sin( fx) 3 f sinh( fx) sinh( gx) f g r sin( fx) sin( gx) f g r sinh( fx ) xcosh( fx) x fx f sinh( fx)sin( gx) fg cosh( fx)sin( fx)+sinh( fx)cos( fx) sinh( fx)sin( fx) f sinh( fx ) 0 K cos( fx ) sin( fx ) 0 bj aj f f f sin( fx ) f f f f x cos( fx ) f cosh( fx)sin( gx) sinh( fx)cos( gx) g f K 4 cosh( fx)sin( fx) sinh( fx)cos( fx) 3 4 f j j Baustatische Anwendungen: z. B. Stab mit elastischer Bettung, mit harmonischen Schwingungen, Wölbkrafttorsion, Kreiszylinderschalen, prismatische Faltwerke b j b a K 1 b b K j j 4 4 a K b j4 j

@-4.54 Baustatik A.5 Beispiel für Differentialgleichung 4. Ordnung: Elastisch gebetteter Stab nach Theorie II. (und I.) Ordnung Bezeichnungen q=konst. EI Biegesteifigkeit T N Längsdruckkraft a a a M w Durchbiegung NM T N k Bettungskonstante, Dimension: Kraft/Länge w a k w x M Biegemoment V Querkraft (Schnittkraftkomponente normal zur verformten Stabachse) T Transversalkraft (Schnittkraftkomponente normal zur unverformten Stabachse) Grundbeziehungen für Stabelement M EI w, T q k w, M V, V T N w Differentialgleichung für w w K w K4 w q mit K N/EI, K4 k/ei, q q/ei Annahme: r K / 4K 4 0, d. h. N k EI K, r 0 7. Lösungszeile der Tabelle auf voriger Seite maßgebend 4 0 f K 4 / K / 4, g K 4 / K / 4 Abkürzungen: Cx cosh( fx ), Sx sinh( fx ), cx cos( gx ), sx sin( gx) b0 K Ss x x Cs x x Sc x x Cxcx, b1 4 fg g f Ss x x Cs x x/g Sc x x/f b0 1Kb b, b3, b4 fg K K 4 4 Lösung: wc0b0cb 1 1cbc3b3 qb4, c0, c1, c, c3 unbekannte Konstante Ableitungen: bj bj 1 w c0b1cb 1 0 cb1c3b qb3 M EIw EI( c0b c1b 1cb0 c3b1qb ) V EIw EI( c0b3 cb 1 cb1c3b0 qb1) Rekursionsformel für j 0 : b0 1Kb K4b4 b1 Kb1 K4b3 b Kb0 K4b b3 Kb1 K4b1 Anfangswerte: b 1 ( 0) b ( 0) b 3 ( 0) b 4 ( 0) b 1 ( 0) b 3 ( 0) 0, 0 0) b( 0) K Systembeispiel halbes System N q q N N a b M b A x B wa c0 0, Ma EIw( 0) EIc 0c 0 wb w( ) cb 11( ) cb 3 3( ) qb4( ) 0, wb w( ) cb 10( ) cb 3 ( ) qb3( ) 0 b3( ) b3 ( ) b( ) b4( ) b0( ) b4 ( ) b1( ) b3( ) c1 q, c3 q b1( ) b( ) b0( ) b3( ) b1( ) b( ) b0( ) b3( ) Zahlenbeispiel: = 6 m, EI = MNm, k =1, MN/m, N = 1,5 MN, q = 0,1 MN/m K = 0,75 m, K 4 = 0,6 m 4, r = 0,4594 m 4, f = 0,4470 m 1, g = 0,758 m 1 c 1 = 0,08358, c 3 = 0,0008590 m Zustandsgrößen w, M, V und T für x = 0, 1 bis 6 m x [m] 0 1 3 4 5 6 w [cm] 0 7,53 (4,9) 11,47 (7,64) 11,15 (7,80) 7,55 (5,7),68 (,6) 0 M [knm] 0 77,4 (47,6) 87,5 (5,0) 67, (45,4) 8,0 (30,) 41,0 ( 17,9) 14,8 ( 137,9) V [kn] 13,7 (87,0) 36,7 (18,1) 9,7 ( 3,9) 9, ( 8,9) 51,5 ( 5,8) 87,7 ( 77,4) 108,6 ( 167,3) T [kn] 1,7 (87,0) 54, (18,1) 35,8 ( 3,9) 3,9 ( 8,9) 18,6 ( 5,8) 0, ( 77,4) 108,6 ( 167,3) Auflagerkräfte: A = T a, B = T b ; Klammerwerte nach Theorie I. Ordnung mit N = 0 Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 0. Auflage 01.

@-4.55 Literatur [4.1] Schneider/Schweda/Seeßelberg/Hausser: Baustatik kompakt Statisch bestimmte und statisch unbestimmte Systeme, 007, Bauwerk Verlag Berlin [4.] Rubin, H./Schneider, K.-J.: Baustatik Theorie I. und II. Ordnung, WIT 3, 4. Aufl. 00, Werner Verlag, Neuwied [4.3] Schweda, E./Krings, W.: Baustatik Festigkeitslehre, WIT 4, 3. Aufl. 000, Werner Verlag, Neuwied [4.4] Friemann, H.: Schub und Torsion in geraden Stäben, WIT 78,. Aufl. 1983, Werner Verlag, Neuwied [4.5] Dimitrov, N.: Festigkeitslehre, in: Beton-Kalender, Teil 1, Verlag Ernst & Sohn, Berlin [4.6] Duddeck/Ahrens: Statik der Stabtragwerke, in: Beton-Kalender, Teil 1, Verlag Ernst & Sohn, Berlin [4.7] Lohse, G.: Knicken und Spannungsberechnung nach Theorie II. Ordnung,. Aufl. 1984, Werner Verlag, Neuwied [4.8] Petersen, Ch.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen,. Aufl. 198, Vieweg-Verlag, Braunschweig [4.9] Schineis, M.: Festigkeitslehre, Skriptum, Fachhochschule München [4.10] Ahlert, H.: Finite Elemente in der Stabstatik, 3. Aufl. 000, Werner Verlag, Neuwied [4.11] Wagner, W. /Erlhof, G.: Praktische Baustatik, Teil 1, 19. Aufl. 1994; Teil, 15. Aufl. 1998; Teil 3, 8. Aufl. 1997, Teubner Verlag [4.13] Rothert, H./Gensichen, V.: Nichtlineare Stabstatik, 1987, Springer-Verlag, Berlin [4.14] Rubin, H.: Baustatik ebener Stabwerke, in: Stahlbau-Handbuch, Band 1, Teil A, 3. Aufl. 1993, Stahlbau-Verlags-GmbH, Köln [4.15] Mann, W.: Vorlesungen über Statik und Festigkeitslehre,. Aufl. 1997, Teubner Verlag [4.16] Krätzig, W./Wittek, V.: Tragwerke, Bd. 1,. Aufl. 1993; Bd.,. Aufl. 1994, Springer- Verlag, Berlin [4.17] Schweda, E.: Baustatik Beispielsammlung, WIT 87, 1996, Werner Verlag, Neuwied