Kurzfassung der speziellen Relatiitätstheorie Olier Passon Raum, Zeit und Bewegungszustände in der klassishen Physik Bereits in der klassishen Mehanik (also der Theorie Newtons) gilt, dass sih keine absolute Bewegung feststellen lässt. Damit ist gemeint, dass sih mit keinem (mehanishem) xperiment feststellen lässt, ob das Labor in Bezug auf die rde ruht oder sih mit konstanter Geshwindigkeit bewegt. Lediglih falls das Labor in Bezug auf die rde beshleunigt wird, treten Untershiede auf. Man denke etwa an die Kurenfahrt in einem Auto und die dabei auftretenden Sheinkräfte. in Bezugssystem in dem die Gesetze der Newtonshen Physik gelten, wird Inertialsystem genannt (on lat. iners träge, denn in ihm gilt auh das Trägheitsgesetz: Jeder Körper erharrt in Ruhe oder gleihförmiger Bewegung, wenn keine Kraft auf ihn wirkt.). Aus dem oben gesagten folgt dann, dass jedes System, das sih relati zu einem Inertialsystem mit konstanter Geshwindigkeit bewegt, ebenfalls ein Inertialsystem ist. Untersuhen wir die Gleihberehtigung on Bezugssystemen, die sih relati zueinander mit konstanter Geshwindigkeit bewegen, etwas tehnisher. Uns interessiert, wie die Messungen innerhalb dieser Systeme ineinander umgerehnet werden können:. Wehsel on Bezugssystemen Wir betrahten zwei Koordinatensysteme ( Bezugssysteme ), die sih relati zueinander mit der Geshwindigkeit (längs der x- Ahse) bewegen. s gelten also die folgenden Beziehungen zwishen den Koordinaten der beiden Systeme: z z y y x x + t. Gleihzeitig geht man in der klassishen Physik daon aus, dass die Zeit in beiden Systemen gleih erstreiht, also für die Zeitkoordinaten t gilt. in Beobahter innerhalb eines der beiden Systeme kann sih selbst als in Ruhe auffassen und wird dem jeweils anderen System die Geshwindigkeit (bzw. -) zuordnen. Lässt ein Beobahter im gestrihenen System einen Körper aus seiner Ruhelage fallen, beobahtet man aus dem ungestrihenen System also einen waagerehten Wurf mit der Geshwindigkeit längs der x-ahse (und umgekehrt)! Während die Koordinaten mit denen die identishen Vorgänge beshrieben werden also oneinander abweihen, gibt es auh Größen, deren Werte in beiden Systemen identish sind! s gilt nämlih: Die Differenzen x x x und x x x zwishen zwei Ortskoordinaten in beiden Bezugssystemen sind gleih groß, denn x x x ( x + t) ( x + t) x Der gemeinsame Summand t fällt durh die Subtraktion heraus. x x x Aus x x + t folgt +. Bezeihnet man die Geshwindigkeiten mit u t t. Durh die spezielle Relatiitätstheorie wird die bisherige Mehanik zur klassishen Mehanik ähnlih wie durh die moderne Kunst die bisherigen Werke zu Klassikern werden... Man denke etwa an das System rde und einen mit konstanter Geshwindigkeit geradeaus fahrenden Zug...
x und u, gilt also u u +. Genau wie oben zeigt man, dass für die Geshwindigkeitsdifferenzen u u gilt. u Shließlih gilt auh t. Da die Beshleunigung jedoh a ist ( für t beliebig kleine Zeitdifferenzen ), gilt auh a a. Jetzt wird auh klar, warum in beiden Systemen die selben mehanishen Gesetzmäßigkeiten gefunden werden bzw. keine Möglihkeit besteht festzustellen, welhes System sih in Wirklihkeit in Ruhe oder Bewegung befindet. In Punto Länge, Geshwindigkeitsänderung und Beshleunigung (bzw. Kraft F m a. Hier erwendet man also die zusätzlih Annahme, dass der Masse eines Körpers in beiden Bezugssystemen der selbe Wert zugeordnet wird.) stimmen shließlih die Messungen notwendig überein! Das bisher gesagte kann auf untershiedlihe Weise zusammengefasst werden: Gelten die Gesetze der Mehanik in einem Bezugssystem, dann auh in allen, die sih relati dazu mit konstanter Geshwindigkeit bewegen (Galileishes Relatiitätsprinzip). Durh kein mehanishes xperiment kann ein absoluter Bewegungszustand nahgewiesen werden. Wir sehen also, dass innerhalb der Mehanik 3 gleihförmige Bewegung relati ist, d.h. nur in Bezug auf ein Koordinatensystem erklärt ist (deshalb spriht man auh on Bezugssystem ). Das Konzept eines absoluten Raums hat in der Mehanik also keinen Platz (wohingegen die Zeit sehr wohl absolut ist..). Die Gleihungen mit deren Hilfe wir die Koordinaten ineinander umgerehnet haben ( t z z y y x x + t ) werden auh Galilei Transformationen 4 genannt. Während sih die Ortskoordinaten und Geshwindigkeiten bei dieser Umrehnung also ändern, sind Ortsdifferenzen, Geshwindigkeitsdifferenzen sowie Beshleunigungen in allen Inertialsystemen gleih. Man sagt, diese Größen sind inariant (d.h. uneränderlih) bei der Anwendung der Galilei-Transformationen.. lektromagnetishe Wellen und Bezugssysteme Mit der Vorhersage elektromagnetisher Wellen durh James Maxwell (864) und ihrem Nahweis durh Heinrih Hertz (886) stellt sih die Frage nah ihrem Medium. s wurde damals wie selbsterständlih angenommen, dass es ein solhes geben müsse den sog. Äther oder Liht-Äther. Dieser Stoff müsse im wesentlihen das gesamte Uniersum ausfüllen und die gemessene Lihtgeshwindigkeit würde dann on der Geshwindigkeit der Lihtquelle relati zum Äther abhängen. Das Inertialsystem, das relati zum Äther ruhen würde, hätte plötzlih eine ausgezeihnete Rolle und durh optishe bzw. elektromagnetishe xperimente könnte ein (in diesem Sinne) absoluter Bewegungszustand festgestellt werden. Alle Versuhe, diese Relatibewegung nahzuweisen, sheiterten jedoh! instein folgerte aus diesem und weiteren Gründen, dass es keinen Äther gibt. Ansheinend shien die Geshwindigkeit des Lihts niht on der Bewegung der Quelle abzuhängen und auh mit diesen Versuhen ließ sih Bewegung oder Ruhe in keinem absoluten Sinne nahweisen. Das Relatiitätsprinzip 3 Die Beshränkung auf die Mehanik erfolgt im Wesentlihen dadurh, dass wir nur die Umrehnung on Längen und Zeit betrahten... 4 Wir betrahten hier den Spezialfall, dass die Relatigeshwindigkeit längs der x-ahse gerihtet ist. Im allgemeinen kann diese natürlih in eine beliebige Rihtung zeigen. Die Gleihungen werden dann komplizierter am Prinzip ändert sih jedoh nihts...
shien also niht nur für die Mehanik zu gelten. Damit wären die beiden Postulate der speziellen Relatiitätstheorie (instein, 95) motiiert: Relatiitätsprinzip Die physikalishen Gesetze haben in allen Inertialsystemen dieselbe Form (d.h. alle Inertialsysteme sind gleihberehtigt und man kann niht sinnoll on absoluter Ruhe sprehen) Konstanz der Lihtgeshwindigkeit Die (Vakuum-)Lihtgeshwindigkeit hat in jedem Inertialsystem denselben Wert (9979458m/s), ist also om Bewegungszustand der Quelle ebenso unabhängig wie on dem des Beobahters. Diese Postulate können niht bewiesen werden und stattdessen werden wir ihre (erstaunlihen) Folgerungen untersuhen. Diese sind tatsählih experimentell glänzend bestätigt worden. Innerhalb der klassishen Physik stehen diese Postulate in einem Widerspruh, denn bei Wehsel in ein anderes Bezugssystem müsste jede Geshwindigkeit (also auh die Lihtgeshwindigkeit) transformiert werden. Aus Siht der Relatiitätstheorie muss also eine der intuitien Annahmen der klassishen Mehanik (bzw. der Galilei-Transformationen) unzutreffend sein. instein identifizierte die Definition on Gleihzeitigkeit als die experimentell ungeprüfte Voraussetzung wie im folgenden noh genauer gezeigt werden wird. Die spezielle Relatiitätstheorie Wir untersuhen nun die Folgerungen aus den beiden obigen Postulaten. Wir werden also neue Transformationorshriften für die Umrehnung on Orts- und Zeitkoordinaten ershiedener Bezugssysteme brauhen. Neben diesem kinematishen Teil werden wir anshließend fragen müssen, welhe Auswirkungen die spezielle Relatiitätstheorie auf die Dynamik hat, also die Begriffe Impuls, Kraft, Masse und nergie.. Die Lihtuhr (bewegte Uhren gehen langsamer Zeitdilatation) Wir betrahten im Folgenden zwei Uhren, die aus zwei parallelen Spiegeln im Abstand d bestehen, zwishen denen ein Lihtblitz hin und her reflektiert wird. Jedes mal wenn der Lihtblitz einen Spiegel trifft soll die Uhr tiken. Abbildung : Lihtuhr zur Begründung der Zeitdilatation Zunähst sollen beide Uhren ruhen und synhron laufen. Ihre Tiks werden also im
d Zeitabstand t erfolgen. Nun soll Uhr B relati zu Uhr A mit der Geshwindigkeit bewegt werden (siehe Abbildung ). in Beobahter, der sih relati zu Uhr A in Ruhe befindet, sieht also einen längeren Lihtweg der B-Uhr. Da sih dieses Lihtsignal mit der gleihen Geshwindigkeit ausbreitet ( Konstanz der Lihtgeshwindigkeit ) wird also eine längere Zeit zwishen zwei Tiks liegen. Aus Abbildung ersieht man, dass ( ) ( ) + ( t) gilt. Auflösen nah der B-Zeit ergibt: ( ( ) ( ) ) t t ( ) + ( t) Mit anderen Worten wird die bewegte Uhr aus Siht des mit Uhr A ruhenden Beobahters γ um den Faktor langsamer gehen. Weil dieser Faktor in Berehnungen der speziellen Relatiitätstheorie so häufig orkommt, hat man für ihn die Abkürzung γ ( gamma ) eingeführt. Natürlih wird auh umgekehrt ein Beobahter, der mit Uhr B mitbewegt ist, die Uhr A um den Faktor γ langsamer laufen sehen! Diese Verlangsamung der Zeit wird Zeitdilatation genannt (aus lat.: dilatare ausbreiten, aufshieben ). Folgerung aus dem Gedankenexperiment mit der Lihtuhr: s könnte der indruk entstanden sein, dass wir hier lediglih eine erstaunlihe igenshaft dieses speziellen Uhrentyps aufgedekt haben. ine Frage lautet, ob auh gewöhnlihe mehanishe oder Quarzuhren in einem bewegten Bezugssystem langsamer laufen. Die Antwort innerhalb der speziellen Relatiitätstheorie muss lauten: ja alle Uhren erlangsamen ihren Lauf, denn ansonsten würde der Vergleih zwishen Lihtuhr und gewöhnliher Uhr erlauben, den Bewegungszustand absolut zu bestimmen. Dies widersprähe aber dem Relatiitätsprinzip. Aus Siht der speziellen Relatiitätstheorie liegt keine igenshaft on Uhren or, sondern eine igenshaft der Zeit. Bereits das Galileishe Relatiitätsprinzip hat den absoluten Raum abgeshafft, während die Zeit absolut blieb ( t ). In der speziellen Relatiitätstheorie wird auh diese absolute Bezugsgröße abgeshafft. Als Nebenprodukt aus der Gleihung t t t gewinnen wir eine weitere physikalishe insiht: Offensihtlih ist diese Gleihung nur für < sinnoll, da sonst der Radikant negati wird! Daraus können wir shließen, dass sih ein Inertialsystem relati zu einem anderen nur mit Unterlihtgeshwindigkeit bewegen kann. Daher kann sih kein materielles Objekt, das ja in Bezug auf ein Inertialsystem in Ruhe sein kann, mit einer Geshwindigkeit, deren Betrag ist,
bewegen. Das trifft auf alle Teilhen und Körper zu, die eine nihtershwindende Masse haben. Lediglih masselose Teilhen wie Photonen bilden hier eine Ausnahme: sie bewegen sih immer genau mit Lihtgeshwindigkeit. xperimentelle Überprüfung. Für diese Zeiterlangsamung ( Zeitdilatation ) gibt es tatsählih iele experimentelle Bestätigungen. Zum Beispiel haben die amerikanishen Physiker Hafele und Keating 97 ier synhronisierte Atomuhren in Flugzeugen transportiert und die Zeitdifferenz zu einer auf der rde ruhenden Uhr gemessen. Die Vorhersagen der Relatiitätstheorie wurden bestätigt. Weitere experimentelle Bestätigungen werden wir noh diskutieren.. Der optishe Dopplereffekt Während die Lihtgeshwindigkeit niht on der Bewegung on Quelle (oder Beobahter) abhängen, ist die Frequenz des Signals sehr wohl on der Relatigeshwindigkeit zwishen Sender und mpfänger abhängig. Diesem Dopplereffekt waren wir bereits bei Shallwellen begegnet. Weil hier tatsählih die Bewegung relati zu einem Medium betrahtet werden musste, waren die Fälle (i) bewegter Sender und ruhender mpfänger sowie (ii) ruhende Quelle und bewegter mpfänger zu untersheiden. Dies führte auf folgende Beziehungen: f f e fs fs + / s mpfänger entfernt sih Sender entfernt sih (mit der Shallgeshwindigkeit und e bzw. s der Geshwindigkeit on mpfänger bzw. Sender relati zur Luft). Bei Liht (also dem optishen Dopplereffekt ) müssen (bzw. können) diese beiden Fälle natürlih niht mehr untershieden werden. Wir werden sehen, dass unter Berüksihtigung der Zeitdilatation beide Gleihungen die selbe Form annehmen. Im Folgenden bezeihnet die Lihtgeshwindigkeit und die Relatigeshwindigkeit zwishen Sender und mpfänger. Bewegter Sender: Aus dem Ruhesystem des mpfängers erläuft die Zeit des bewegten Senders langsamer; die Sendefrequenz ersheint also um den Faktor / kleiner ( f s fs / ). Bewegter mpfänger: Aus dem Ruhesystems der Quelle geht die Zeit des mpfängers langsamer. Ihm ersheint der Sender deshalb eine um den Faktor γ erhöhter Frequenz anzustrahlen ( f f γ ). s Setzt man diese Korrekturen in die Doppler-Gleihungen ein, findet man für beide / + / Ausdrüke: f fs bzw. λ λ S. ntfernen sih Sender und mpfänger + / / ergrößert sih also die Wellenlänge aus Siht des mpfängers und man spriht on Rotershiebung. Bewegen sih Sender und mpfänger auf einander zu (für die Geshwindigkeit einen negatien Wert einsetzten!) erkleinert sih die Wellenlänge für den mpfänger und man spriht on Blauershiebung. s.3 Die Lorentztransformationen Die Zeitdilatation widerspriht der Galilei-Transformation, gemäß der t gilt. Wie sehen
die neuen Transformationsorshriften aus, mit deren Hilfe die Orts- und Zeitkoordinaten ershiedener Inertialsysteme in einander umgerehnet werden? Wir wollen zwei Beobahter betrahten, die sih relati zueinander mit der Geshwindigkeit bewegen. Wir nennen sie Herr X und Herr X, die ihre Beobahtungen jeweils in den Koordinaten ( x, y, z, t) bzw. ( x, y, z, ) ausrüken (siehe Abbildung). Wir betrahten wieder der infahheit halber nur die Zeit und eine Ortskoordinate ( x längs dieser Rihtung soll die Relatibewegung der Bezugssysteme stattfinden) 5. Die gesuhten Gleihungen müssen linear sein, denn die geradlinige Bewegung in einem System soll ebenfalls geradlinig im anderen Bezugssystem sein. Somit haben wir ein lineares Gleihungssystem mit ier Unbekannten zu lösen: x a x + b t (Gleihung) e t + f x (Gleihung ) Die Galilei-Transformation haben die selbe Struktur (mit: a, b, e und f ) Berehnung on e in in x ruhender Beobahter sieht eine bewegte Uhr um γ langsamer gehen. insetzen in Gleihung führt auf: γ t + f also e γ. Berehnung on b Für Herrn X bewegt sih die Uhr mit der Geshwindigkeit nah rehts (siehe Abbildung). r sieht sie also bei x. Zusammen mit x in Gleihung eingesetzt ergibt sih: + bt b t b γ Die letzte Umformung hat wieder die Beziehung γ t ausgenutzt. Berehnung on a Genausogut können wir uns orstellen, dass eine Uhr im Ursprung on X steht (also x ) und Herr X ihr die Geshwindigkeit - (Bewegung nah links) zuordnet also x t. Diese Werte in Gleihung eingesetzt ergeben a ( t) + ( γ ) t und somit a γ. 5 s ist relati leiht einzusehen, dass in die anderen Rihtungen y y sowie z z gelten muss.
Berehnung on f Hier erwenden wir die Konstanz der Lihtgeshwindigkeit. Für ein Lihtsignal beobahtet Herr X : x t und Herr X : x. Setzen wir dies in die Gleihungen und ein, haben sie die Form: x γ x + γ t γ t + γ t γ t + f x γ t + Diidiert man diese beiden Gleihungen durh einander erhält man: aufgelöst nah f ergibt dies f γ. Damit sind die gesuhten Koeffizienten bestimmt und die Umrehnung zwishen Inertialsystemen erfolgt gemäß: x γ x + γ t γ ( x + t) γ t + γ x γ ( t + x) rinnern wir uns an die Definition on γ lautet die ausführlihe Form also: x y z y z x + t t + x ft γ t + γ t γ t + ft Lorentztransformationen (bei Relatigeshwindigkeit längs der x-ahse) Für Geshwindigkeiten, die sehr iel kleiner als die Lihtgeshwindigkeit sind (man shreibt auh < < ) wird γ sowie /. s ergeben sih dann die Gleihungen der Galilei-Transformation. Dies drükt man durh die Formulierung aus, dass relatiistishe ffekte erst bei großen Geshwindigkeiten eine Rolle spielen und die klassishe Physik ein Grenzfall der Relatiitätstheorie ist. Mit Hilfe dieser Gleihungen können wir die Konsequenzen der SRT sehr iel leihter untersuhen als bisher. Betrahten wir als erste Anwendung die Längenmessung in ershiedenen Bezugssystemen..4 Folgerung: bewegte Maßstäbe sind kürzer Lorentzkontraktion In der klassishen Mehanik gilt für Längen (also Ortsdifferenzen) x x. In der SRT gilt dies niht mehr! Stellen wir uns einen Maßstab or, dessen nden an den Ortskoordinaten x und x ruhen, der im gestrihenen System also die Länge x ( x x ) hat. Die Länge, die Herr X in seinem relati dazu bewegten System feststellt, berehnet sih durh Anwendung der Lorentztransformation: x γ x + γ t sowie x γ x + γ t. Die Differenz ergibt: x γ ( x x) + γ ( t t). Längen messen bedeutet jedoh, die Orte zur selben Zeit zu bestimmen, also t t. Daraus folgt jedoh x γ ( x x ) γ x bzw. x x. Herr X misst also für den bewegten Stab eine Länge, die um den Faktor γ
erkürzt ist! Dies ist als Verkürzung des Raumes aufzufassen also eine γ Veränderung der Geometrie und keine dynamishe Stauhung on bewegten Objekten..4. Anshaulihe Herleitung der Lorentzkontraktion Tatsählih folgt die Lorentzkontraktion bereits aus der Zeitdilatation und kann auh ohne die Lorentztransformationen begründet werden. Betrahten wir eine Uhr, die mit Geshwindigkeit an einem Maßstab orbeifliegt. In seinem Ruhesystem habe der LRuhe Maßstab die Länge L Ruhe und die Uhr brauht also t um ihn zu überfliegen. Aus Siht der ruhenden Uhr ergeht die Zeit jedoh shneller (Merke: bewegte Uhren gehen langsamer...). Deshalb wird hier ein kleineres Interall für den Überflug gemessen t ( / ). Wie beurteilt man aus dem System der ruhenden Uhr also die Länge des mit Geshwindigkeit bewegten Maßstabes? Als L L bewegt t ( / ). s gilt also bewegt LRuhe ( / ) bzw. bewegte Maßstäbe sind in (in Bewegungsrihtung) um den Faktor γ kürzer als in ihrem Ruhesystem. Kombinierte Anwendungsaufgabe zu Zeitdilatation und Längenkontraktion Vom Standpunkt eines ruhenden Beobahters X dehnt sih die Zeit in einem relati zu ihm bewegten Bezugssystem X aus während Streken in Bewegungsrihtung erkürzt ersheinen. Diese Beziehung gilt jedoh wehselseitig, d.h. ein in X ruhender Beobahter sieht die Zeit in X langsamer erstreihen sowie die dortigen Streken erkürzt. a) Myonen sind instabile Teilhen, die durh kosmishe Strahlung in einer Höhe on a. km über der rdoberflähe entstehen (sog. sekundäre kosmishe Strahlung). Ihre Halbwertszeit beträgt τ, 5µ s. Ihre Geshwindigkeit liegt bei 99,5% der Lihtgeshwindigkeit. In einer Halbwertszeit legen sie somit eine Streke on 8 m 6 3,5 s 45m zurük. Rehnet man auf dieser Grundlage die s Wahrsheinlihkeit für ihr Auftreffen auf der rde aus erhält man einen iel zu geringen Wert. Im Gegensatz zur Beobahtung sollten praktish keine Myonen die rdoberflähe erreihen. Der Grund für diese Diskrepanz liegt darin, dass die obige Lebensdauer nur in ihrem Ruhesystem gilt! Aus Siht der rde erläuft ihre Zeit langsamer und die Lebensdauer erlängert sih auf,5 µ s τ γ 5µ s,995. Abbildung : Links: Das Myon hat aus dem Ruhesystem rde eine längere Halbwertszeit und kann die Streke on km zurüklegen. Rehts: Vom Ruhesystem des Myons ist Die Messung der Myonrate bestätigt die Halbwertszeit geringer - aber die ntfernung zur rde erkürzt!
tatsählih diesen durh die Zeitdilatation größeren Wert der Halbwertszeit. b) Warum erreiht das Myon aber aus Siht seines eigenen Ruhesystems die rdoberflähe? Hier beträgt die Halbwertszeit shließlih nur,5µ s? Die Antwort liegt natürlih in der Lorentz-Kontraktion. Im Ruhesystem des Myons bewegt sih die rde mit,995-faher Lihtgeshwindigkeit in seine Rihtung. Die ntfernung zur rde wird dadurh durh den Faktor,995, erkürzt. Der Abstand ersheint aus dem Myon-System also auf a. km geshrumpft (siehe Abbildung )..5 Relatiistishe Addition on Geshwindigkeiten Mit Hilfe der Lorentztransformationen können wir uns nun auh leiht einen Überblik darüber ershaffen, welhe Geshwindigkeit Beobahter aus ershiedenen x Bezugssystemen einem Objekt zuordnen. Wir erwenden die Beziehung u und müssen also lediglih die beiden entsprehenden Gleihungen der Lorentz-Transformation durh einander diidieren: u γ ( x + t) γ t + x durh γ und t diidieren (Trik: x u t ) x + t u + u x. t u + + Wieder erkennt man, dass die newtonshe Geshwindigkeitsaddition u u + abgewandelt wird! Überprüfen wir noh, dass die neue Additionsregel tatsählih die Konstanz der Lihtgeshwindigkeit gewährleistet. Sei also u und dieses Lihtsignal wird aus einem System betrahtet, in dem die Quelle zusätzlih mit der Geshwindigkeit + + + u bewegt ist. Dann misst dieser Beobahter: +. Das ist allerdings + + spektakulär! Die relatiistishe Regel für die Addition on Geshwindigkeiten stellt also siher, dass die Lihtgeshwindigkeit aus allen Bezugssystemen den gleihen Wert hat! 3 Relatiistishe Dynamik Wir wissen nun wie Abstände, Geshwindigkeiten und Zeiten in der SRT bei Bezugssystemwehsel transformiert werden. Wir wenden uns nun den Begriffen Impuls, Kraft und nergie zu! Tatsählih werden hier die beiden Postulate der SRT zur Begründung niht mehr ausreihen! Die Darstellung bedient sih großzügig bei Franz mbaher (http://homepage.uniie.a.at/franz.mbaher/srt/). 3. Relatiistisher Impuls (oder relatiistishe Massenzunahme ) Der Impuls (Masse mal Geshwindigkeit) ist die eigentlihe Grundgröße der Mehanik, denn er ist erstens rhaltungsgröße ( in einem abgeshlossenen System ist die Summe aller Impulse konstant ) und zweitens ist seine zeitlihe Änderung gleih der Kraft. Wie niht anders zu erwarten muss seine Definition in der SRT abgewandelt werden, wenn er weiterhin diese ausgezeihneten igenshaften behalten soll. Aber der Reihe nah: Wir betrahten einen Körper m, der auf ein ruhendes Hindernis trifft. Seine Masse sei so iel größer, dass er praktish in Ruhe bleibt.
Außerdem sein die Geshwindigkeit iel kleiner als ( u < < ). Die Situation sei so eingerihtet, dass die indringtiefe proportional zum Impuls (pm u) des Teilhens sei. Wir können mit diesem Versuh also den Impuls messen! Wegen der orausgesetzten Kleinheit der Geshwindigkeit u dürfen wir zudem die klassishe Definition des Impulses erwenden. Nun betrahten wir die Situation aus einem anderen Bezugssystem, dass sih senkreht zu unserem Aufprall mit der Geshwindigkeit bewegt. Diese Geshwindigkeit sei beliebig groß 6. Aus der Perspektie dieses Systems sind die Körper in ertikaler Rihtung Längenkontrahiert. In horizontaler Rihtung sind die Streken jedoh unerändert. Dennoh ändert sih die Geshwindigkeit u (genauer: sie erringert sih). Dies liegt daran, dass aus Siht dieses Bezugssystems die Zeit um den Faktor γ langsamer ergeht! s gilt somit u γ u Nun betrahten wir den Aufprall aus Siht des bewegten Bezugssystems. Die indringtiefe ist unerändert, denn die Lorentzkontraktion wirkt nur in Rihtung der Relatigeshwindigkeit. Jetzt ersheint es also so, als wenn ein langsamerer Körper ein Loh gleiher Tiefe shlagen kann! Das ist kurios, denn die indringtiefe sollte ja ein Maß für den Impuls sein, der sih gemäß p m u erringert hat. Die Gültigkeit dieser Beziehung dürfen wir durhaus annehmen, denn nah Voraussetzung ist u ja iel kleiner als und somit auh u s gibt an dieser Stelle zwei Möglihe Auswege: man nimmt an, dass die Masse aus Siht des gestrihenen Systems größer ist. m Definiert man m γ m wird die kleinere Geshwindigkeit gerade ausgeglihen! Die Größe m wird dynamishe oder relatiistishe Masse genannt. Im Untershied dazu bezeihnet man m als Ruhemasse (also die Masse des Körpers im Bezugssystem, in dem der Körper ruht). Man spriht hier on einer relatiistishen Massenzunahme 7. 6 Für unser Argument brauhen wir u < < <. Auf diese Weise gilt auh u +. 7 Dieses Konzept wird on einigen Autoren jedoh als irreführend betrahtet. Wir werden später sehen, dass die relatiistishe Versionen on Impuls und nergie auf die Beziehung p führt. Als Quelle der Trägheit sollte also eher die Gesamtenergie aufgefasst werden und keine geshwindigkeitsabhängige Masse der Form
Statt die Masse zu transformieren, kann man die Größe p m als neuen (d.h. relatiistishen) Impuls auffassen. Dann kann man auf die Untersheidung on Ruhe- und dynamisher Masse auh erzihten. ntsheiden ist, dass der so definierte relatiistishe Impuls eine rhaltungsgröße ist, d.h. in einem abgeshlossenen System ändert sih die Summe der relatiistishen Impulse niht. Die relatiistishe Verallgemeinerung der Kraft definiert man nun (wie in der newtonshen Physik) als zeitlihe Ableitung des (relatiistishen) Impulses! 3. Die Vakuumlihtgeshwindigkeit als Grenzgeshwindigkeit Wir hatten bereits erwähnt, dass die Lihtgeshwindigkeit als Grenzgeshwindigkeit betrahtet werden muss, d.h. kein (massier) Körper kann bis auf diese Geshwindigkeit beshleunigt werden. Das formale Argument lautete, dass der relatiistishe Gamma-Faktor γ für unendlih wird. Nun könnte dies natürlih auh nur auf eine Grenze der Anwendbarkeit dieser Theorie deuten und diese Behauptung sollte experimentell überprüft werden. Genau dies wurde on William Bertozzi 964 durhgeführt. r beshleunigte lektronen mit einer Spannung on,5-5mev und maß die Zeit, die sie Abbildung 3: Messwerte des Bertozzi Versuhs. zum Zurüklegen einer bestimmten Streke brauhen (also ihre Geshwindigkeit mit Hilfe der Laufzeit ). Aufgrund der eu klassishen Beziehung hätte man bei diesen Spannungen eine m Geshwindigkeit om bis zu 3-fahen der Lihtgeshwindigkeit erwartet. Tatsählih wurde niht übertroffen und er erhielt die Messwerte der Abbildung 3 (erbunden durh die gestrihelte Linie). s stellt sih also die Frage, wo die elektrishe nergie geblieben ist, die gemäß der Beziehung el e U in die lektronen inestiert wurde. Dies führt uns auf die Diskussion der relatiistishen nergie! 3.3 Relatiistishe nergie ine anshaulihe rklärung dafür, dass Bertozzi die lektronen niht auf Lihtgeshwindigkeit (geshweige denn Überlihtgeshwindigkeit) bringen konnte liegt m natürlih darin, dass die bewegte Masse zunimmt. Gemäß m( ) würde sie bei über alle Grenzen wahsen die nergie zu ihrer Beshleunigung müsste also ebenfalls unendlih sein. Offensihtlih ist die klassishe Beziehung der kinetishen m rel. Statt on Ruhemasse m sollte deshalb auh besser einfah on der Masse m gesprohen werden.
nergie kin m niht mehr anwendbar. In ihr einfah m durh die relatiistishe Masse zu ersetzen reiht aber ebenfalls niht aus! Die Beziehung die wir suhen muss für kleine Geshwindigkeiten jedoh mit der klassishen Vorhersage übereinstimmen! Wir erwenden nun eine nützlihe mathematishe Näherung: s gilt für kleine Werte on x x (d.h. x < < ): +. Für unseren Gamma-Faktor bedeutet dies natürlih: x + (bei < < ). Betrahten wir die relatiistishe Masse unter dieser ( / ) Näherung erhalten wir: m m( ). m + m Die relatiistishe Masse hat also zwei Anteile: die Ruhemasse sowie einen Ausdruk, der kin in der Form geshrieben werden kann! ine naheliegende Interpretation dieser Gleihung lautet, dass die zugeführte kinetishe nergie zu Masse wird bzw. dass Masse und nergie äquialent sind. Mann kann die Gleihung ebenfalls mit m durhmultiplizieren und erhält m( ) m + m. s liegt dann nahe, den Term m als Ruheenergie aufzufassen (nergie bei, auh genannt) und m m( ) als die relatiistishe Gesamtenergie: m ges m + kin. Dem aufmerksamen Leser wird auffallen, dass wir hier ein Gleihheitszeihen geshrieben haben (und kein " " ). Wir wollen diese Gleihung nämlih erwenden, um die neue ( relatiistishe )kinetishe nergie zu definieren: kin m m m x Nähert man wieder + erhält man natürlih: kin m. Wir gewinnen also für x kleine Geshwindigkeiten die bekannte Beziehung für die kinetishe nergie zurük. Mit dieser Gleihung für die (relatiistishe) kinetishe nergie können wir nun erneut einen Blik auf Bertozzis xperiment (Abshnitt 3.) werfen. Dieser hatte lektronen die kinetishe nergie e U zugeführt. Wir sind nun in der Lage, die Geshwindigkeit zu el berehnen, die die lektronen dadurh erhalten: ergibt: eu m + e U m. Auflösen nah. Man erkennt zudem: Wähst die Spannung, nähert sih die
Wurzel immer mehr der an. Die Geshwindigkeit nähert sih somit immer weiter der Lihtgeshwindigkeit ohne sie zu erreihen. inen Shönheitsfehler hat die Beziehung m jedoh sie ersagt bei der Behandlung masseloser Teilhen (wie etwa den Photonen). Dieser Frage widmen wir uns im nähsten Abshnitt. Anwendungsaufgabe zu Geshwindigkeit und nergie In den xperimenten der Teilhenphysik treten nergien und Geshwindigkeiten auf, bei denen relatiistishe Korrekturen eine große Rolle spielen. twa wurden am Speiherring LP im Forshungszentrum CRN bei Genf lektronen auf eine nergie on 45GeV beshleunigt. Frage: Welhe Geshwindigkeit hatten diese lektronen? 9 9 45GeV (Gigaelektronenolt) entspriht einer nergie on 45,6 J 7,. Die Ruheenergie eines lektrons beträgt lediglih 3 8 4 m 9, kg (3 m / s) 8,9 J. Die lektronenenergie beträgt also a. das 88.-fahe der Ruheenergie. Wir shreiben also: m 88m. Diese Gleihung kann nun leiht nah der ( / ) Geshwindigkeit aufgelöst werden:, 9999999999. Das Zuführen 88 weiterer nergie ergrößert also kaum noh die Geshwindigkeit, sondern lediglih die Trägheit der lektronen! 9 J 3.4 Zusammenhang zwishen nergie und Impuls Tragen wir unsere Beziehungen noh einmal zusammen: m Relatiistisher Impuls: p Relatiistishe nergie: m In der klassishen Physik kann man die kinetishe nergie durh den Impuls ausdrüken p ( kin ). twas ähnlihes finden wir auh in der SRT. Aus den obigen Gleihungen folgt m (einfah den relatiistishen Impuls durh die relatiistishe nergie teilen): p bzw. p Die Beziehung für die relatiistishen nergie kann zudem wie folgt umgeshrieben werden: ( ) ( p) m ( m ) ( m ) (*) quadrieren und ausmultiplizieren einsetzen on (*)
Die letzte Gleihung wird oft auh nah aufgelöst: + ( p) ( m ) Relatiistisher nergiesatz Diese Beziehung wird auh als relatiistisher nergiesatz bezeihnet. Masselose Teilhen Wir wissen bereits, dass massie Teilhen die Lihtgeshwindigkeit niht erreihen können. Die sog. Photonen, die sih offensihtlih mit Lihtgeshwindigkeit bewegen, haben also keine (Ruhe-)Masse. Sie nennt man auh masselose Teilhen. Aus dem relatiistishen nergiesatz kann (mit m ) nun auh ihre nergie abgelesen werden: p bzw. p. Für die Photonenenergie wissen wir aus der Quantenmehanik, h dass h f h gilt. Daraus entnehmen wir: p h bzw. p. Diese Beziehung λ λ λ haben wir in der Quantenmehanik bereits kennengelernt. s handelt sih um die sog. de Broglie-Relation für den Zusammenhang zwishen Impuls und Wellenlänge bei Materieteilhen. Louis de Broglies Leistung bestand also darin, diese für Photonen aus der SRT folgende Gleihung auh für z. Bsp. lektronen zu postulieren. Aufgaben 8. Pionen haben eine (Ruhe-)Halbwertszeit on τ,8 s. In Versuhen der Teilhenphysik können sie auf eine Geshwindigkeit on 99% der Lihtgeshwindigkeit gebraht werden. a) Berehnen sie, um welhen Faktor sih im Laborsystem die Lebensdauer erhöht. b) Berehnen sie die Streke, die das Teilhen in dieser Zeit zurük gelegt hat.. in Meterstab fliegt mit,6 an uns orbei. Wie lang ersheint er uns? 3. Zwei baugleihe Uhren bewegen sih aneinander mit konstanter Geshwindigkeit orbei. Im Ruhesystem der einen Uhr ersheint die andere nur halb so shnell zu laufen. Berehnen sie die Relatigeshwindigkeit! 4. ine Wasserstofflinie des Spiralnebels Hydra wird auf der rde mit der Wellenlänge λ 475nm gemessen, während man im Labor für die selbe Linie λ 394nm misst. Berehnen sie die Fluhtgeshwindigkeit des Spiralnebels. 5. Berehnen sie zunähst klassish bei welher Beshleunigungsspannung ein lektron die Lihtgeshwindigkeit erreihen würde. Geben sie anshließend an, wie groß die Geshwindigkeit bei dieser Beshleunigungsspannung gemäß der SRT ist. (Tipp: die Beziehung eu kin bleibt korrekt nur die Definition der kinetishen nergie hat sih geändert...). J 6. in Kilogramm Gold (spezifishe Wärmekapazität C 3 ) wird um ºC kg K erwärmt. Um welhen Betrag erhöht sih seine Masse?