Fourier Optik Beispiel zur Fourier-Zerlegung: diskretes Spektrum von Sinus-Funktionen liefert in einer gewichteten Überlagerung näherungsweise eine Rechteckfunktion Sin t Sin 3t Sin 5t Sin 7t Sin 9t Sin t Sin t EX-II SS27 Fourier - Komponenten Sin 3t Sin 3t Sin 5t Sin 5t Rechteckfunktion 3 Sin 2n t n 2 n 5 Sin 2n t n 2 n Spektrum f f 3 5 7 9 3 5 3 5 7 9 3 5 2 Fourier-Zerlegung: diskretes Spektrum liefert eine periodische Funktion. Sin t Sin 3t Sin 5t Sin 7t Fourier-Zerlegung: diskretes Spektrum liefert eine periodische Funktion. f 3 5 7 9 3 5 Die Rechteckfunktion kann beliebig scharfe Kanten bekommen, man muss nur immer höhere Frequenzkompontenten in die Reihe mitaufnehmen! Sin 9t Sin t Zeit Sin 3t Sin 5t kontinuierliches Spektrum liefert eine diskrete Funktion. 5 Sin 2n t n 2 n f f Um eine zeitlich (oder räumlich) beschränkte Funktion darzustellen, muss man ein kontinuierliches Spektrum von Frequenzkompontenten annehmen. f 3 5 7 9 3 5 3 5 7 9 3 5 Zeit 3 4
f.8.6.4.2 2 2 3 f.8.6.4.2 Raumkoordinate 2 2 4 6 Raumkoordinate y Sinusförmige Modulation der Helligkeit f(, y) = +Sin(2π ) Raumkoordinate Fourier-Transformation: Integraltransformation, die einer Funktion f(,y) eine andere Funktion, F(!,!y) zuordnet. 2 Π mittlere Helligkeit charakt. Frequenz F F Ν 2 (ν) F F Ν 2 (ν) 2 F Ν 2 2 Ν Raumfrequenz 2 2 Ν f 2Π Π Π 2Π 3Π Ν Raumfrequenz ν 5 6 Brightness Images y ν νy Fourier Transform Räumliche Darstellung in der Frequenzebene weniger Schwingungen pro Meter kleinere Frequenz = + + + + +... = i,j A i,j sin[ν i + ν j y y] Νy 2 2 2 2 Ν Pielintensität an der Position i,j Jedes beliebige Objekt lässt sich aus sinusförmigen Gittern synthetisieren 7 8
Fourier Filtering Inverse Inverse High-Pass Filtered Band-Pass Filtered Low-Pass Filtered Band-Pass Filtered High-Pass Filtered Die Fourier Darstellung verschlüsselt das Bild in Information, die über das gesamte Frequenzbild verteilt ist. Damit erlaubt es die Manipulation des globalen Bildinhaltes durch Manipulation einzelner Frequenzanteile. 9 Beugungsgitter Intensity Einzelspalt 64 Ergebnis für Einzelspalt G 2d N 8 2Π Π Π 2Π N parallele Spalte Einzelspaltbreite ist d, Abstand der Spalte ist G. N geht nicht mehr bis unendlich, aber kann sehr groß werden! I(α) = I sin 2 [N π G sin 2 [ π G sin2 2 Beugungsmuster der N Spalte interferieren G α G sinα Einzelspalt Intensity Einzelspalt 256 G 2d N 6 2Π Π Π 2Π I(α) = I sin 2 [N π G sin 2 [ π G sin2 2 G sinα Beugungsmuster der N Spalte interferieren G α 2
f(, y) = +Sin(2π ) 2 Π in diesen Bereichen fehlt Licht auf Grund von destruktiver Interferenz F Ν 2Π Π Π 2Π 3Π Ν sin α = λ G = λ ν G α G sinα Intensity = π λ d sin α G 2d N 66 2Π Π Π 2Π sin α = λ 2d = λ G d Gitter Fourier-Ebene Bild des Gitters 3 4 mit einer Linse Erklärung zur mit einer Linse auf der Basis geometrischer Optik Ein heller Punkt im Ursprung f(, y) = δ(, y) sinus-artige Modulation Darstellung im Frequenzraum F (u, v) = wird zu einem Parallelstrahlenbündel gleichmäßiger Intensität Optical Fourier-transform theory based on geometrical optics, S. Jutamulia & T. Asakura, Optical Engineering 4 (22) pp. 3-6 5 6
Ein heller Punkt off-ais (verschoben auf der y-achse) Ein heller Punkt off-ais (verschoben auf der y-achse) f(, y) = δ(, y + a) f(, y) = δ(, y + a) Amplitude F (u, v) 2 = d = a f v F (u, v) 2 = liefert immer noch ein Parallelstrahlenbündel homogener Intensität, Die Wellenfront ist aber geneigt φ = d 2π 2π = λ fλ av Fig. 3 Calculation of phase function in (u,v) plane based on geometrical optics. die Phase des optischen Feldes in der u-v Ebene ist nicht mehr gleichmäßig in kompleer Darstellung: ( F (u, v) = ep i 2π ) fλ av Amplitude 7 8 Jedes Piel eines digitalen Bild interpretieren wir als eine Delta-Funktion, gewichtet mit Helligkeit f(, y) = F (u, v) = F (2πν ) = F (ω) = f(t) ep [i ω t] dt f(t) = F (ω) ep [i ω t] dω f(p, q) δ( p, y q) dp dq [ f(, y) ep i 2π ] (u + yv) d dy fλ f() ep [i 2π ν ] d im Frequenzraum in der Zeitdomaine ν = u fλ homogene & kohärente Beleuchtung Beugung an einer Kreisblende y f(, y) f(, y) = I /2 p(, y) d P (ν, ν y ) = p(, y) ep [i 2π (ν + ν y y)] d dy D d 2 /Dλ I(, y) = I D 2 λ 2 P ( Dλ, y Dλ ) 2 Fraunhofer Beugungsbild: proportional zum Quadrat des Absolutbetrages der Fourier-Transformierten der Aperturfunktion p(,y), berechnet bei den Raumfrequenzen! = /"D und!y = y/"d. z 9 2
E E Pattern Recognition Photographie Übersetzung der 3D-Welt in 2D. Aufgezeichnet wird punktweise das Quadrat der elektrischen Feldstärke, die lokale Intensität der inkohärenten Strahlung. Die Phaseninformation ist ohne Bedeutung. A E X E B Maske Jedes Piel des Objektes strahlt für sich selbst, ungeachtet der Phase der Nachbarpiel, oder gar der weiter entfernten. Denis Gabor, 947: Phaseninfromation auch aufzeichnen, dann ist eine 3D-Rekonstruktion möglich. 2 22 Holographie () Holographie (2) 5 J H = D J A E A H 4 A B A H A I J H = D Referenzwelle trifft direkt auf u = A e i k r Filmtransmission: T (, y) u u g + u u g A J M E? A J A F D J C H = F D E I? D A 2 = J J A C H = * A J H =? D J A H Rekonstruktionsstrahl u r = A r e i k r r = I A H Gegenstandswelle trägt ortsabhängige Amplitude transmittierte Amplitude = > K > E @ A @ A H / A C A I J = @ / A C A I J = @ I I J H = D > A E? D J A J A F D J C H = F D E I? D A 2 = J J A u g = A g (, y) e iϕg(,y) Filmreaktion = u + u g 2 = u 2 + u 2 g + u u g + u u g L E H J K A A I * E @ B K I I E A H J A I * E @ u t = T (, y) u r u t u r u u g + u r u u g enthält neben der abgeschwächten Primärstrahlung die Wellen u r u u g = A r A A g (, y)e i( k r+ k ) r e iϕg(,y) u r u u g = A r A A g (, y)e i( k r k ) r e iϕg(,y) 23 24