Bayessche Tomographie

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1 Seminar: Bayessche Ansätze in der Bildanalyse Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften Universität Ulm 19.Juni 2006

2 Inhaltsverzeichnis Literaturangaben

3 Definition Tomographie Unter dem Begriff Tomographie (altgriechisch tome - Schnitt, graphi- die Schrift) werden verschiedene bildgebende Verfahren zusammengefasst, mit denen die räumliche Struktur eines Objektes ermittelt werden kann. Meist indem das Objekt in einer Serie paralleler Querschnittbilder abgerastert wird.

4 Anwendungsgebiete Medizin: Röntgen, Ultraschall, Computer- und Kernspintomographie Qualitätskontrolle: Kontrolle von Verbundstoffen, Fehlerdetektion in Volumen Seismologie: Reflexionstomographie

5 Vorgehensweise(1) Die Tomographie besteht aus 2 grundlegenden Schritten. 1. bildung: Welche Informationen sollen extrahiert/ verarbeitet werden? Wie sieht die dazu nötige Apparatur aus? In welcher Weise werden die Projektionen aus dem Objekt erzeugt?

6 Vorgehensweise(2) 2. : Projektionen sind nun gegeben aus diesen Projektionen soll nun das Ausgangsobjekt geschätzt werden Wie werden die Projektionen genutzt um einen guten Schätzer für das Objekt zu bekommen?

7 Überblick Literaturangaben

8 (1) betrachtet wird ein Objekt {x(s), s = (s 1, s 2 ) ɛ Π} in einer Ebene Π parallele Strahlen gehen mit der Intensität I 0 von einer (Strahlen-)Quelle aus hinter dem Objekt befindet sich eine Detektorleiste, die aus n einzelnen Detektoren besteht beim Durchqueren des Objektes verlieren die Strahlen an Intensität die Grauwerte des Bildes werden dabei als Verlustdichte der Strahlen interpretiert

9 (2) jeder der n Detektoren misst die Strahlenintensität, die bei ihm ankommt es werden L solcher Messungen durchgeführt,wobei die Strahlenquelle und die Detektoren um das Objekt rotieren jede Messung wird durch den Winkel α l, Detektoren zur s 1 -Achse identifiziert Intensitätverlust der Strahlen: I 1 (s 1 ) = I 0 exp( x(s 1, s 2 ) ds 2 ) T (s 1 ) l = 1... L der

10 (3) jede dieser Projektionen läßt sich auf den einfachen Fall, dass die Strahlen parallel zur s 2 -Achse und die Detektoren sich auf der s 1 - Achse befinden, durch folgende Transformation zurückführen: s 1 = s 1cosα + s 2 sinα bzw. s 2 = s 1sinα + s 2 cosα statt der (End-)Intensitäten betrachtet man die Radon- Transformierte R x (s 1 ) = log I (s 1) I 0 = x(s 1, s 2 ) ds 2 T (s 1 )

11 (4) folgende Bezeichnungen sind üblich: H l d,s = surface( s Rl d ) ỹd l = Hd,s l x s s: s R d l l = 1... L d = 1... n in Vektorform: ỹ l = H l x l = 1... L noch kürzer: y = Hx Abbildung: der

12 (5) Jede der Projektionen y d wird jetzt also Realisierung einer Zufallsvariablen Y d interpretiert mit Rauschen sieht das folgendermaßen aus: Y = Hx + W, wobei w d unabhängig sind und E(w d ) = 0 gefordert wird es gilt also E(Y x) = Hx

13 (6) die Kovarianzmatrix von Y wird mit V bezeichnet falls ein Gauß sches Rauschen angenommen wird, dann gilt: P(y x) exp ( 1 2 (y Hx)T V 1 (y Hx))

14 Überblick Literaturangaben

15 Idee die des Bildes x erfolgt mit dem Bayes schen Ansatz dazu muß eine Energie modelliert werden, die sowohl die bildung der als auch die a-priori Informationen über das Bild x berücksichtigt die Lösung des Problems, besteht dann wieder darin, die Energie zum minimieren

16 Bildmodell(1) zusätzlich zum versteckten Feld X p, betrachtet man noch ein duales Feld X b die Werte von X p sind aus E p = { } (Grauwerte) die Werte von X b sind aus E b = {1... m} (Labels) durch das Feld X b soll a-priori Wissen über die Beschaffenheit der Regionen modelliert werden

17 Bildmodell(2) die Bilder sind auf dem gleichen Gitter S definiert das Feld X = (X p, X b ) ist als Markovfeld mit Nachbarschaftssystem {N s, s ɛ S} modelliert

18 Bildmodell(3) ein bedingtes Feld (X Y ) heißt bed. Markovfeld, falls die Markov sche Eigenschaft gilt: P(x s x s, y) = P(x s N s (x), y) (X Y = y) ist also ein bed. Markovfeld mit der Energie U(x p, x b y) = U 1 (x p, x b ) + U 2 (y x p ) diese Energie U(x p, x b y) soll minimiert werden

19 Bildmodell(4) die Energie U 2 (y x p ) ist aus der bildung der bekannt es muß noch eine a-priori Energie U 1 (x p, x b ) bestimmt werden

20 Konstruktion der a-priori-energie(1) mit der Bayesformel kann die a-priori Energie weiter aufgelöst werden: U 1 (x p, x b ) = U 1,1 (x b ) + U 1,2 (x p, x b ) häufig gemachte a-priori Annahmen sind: 1 P(X b s = i N s (x)) exp( tɛn s β i,x b t ) 2 E(X p s N s (x p, x b ), x b s = i) = µ i + γ i Var(X p s N s (x p, x b ), x b s ) = σ 2 tɛn s (x p t µ i )1[x b s = x b t ]

21 Konstruktion der a-priori-energie(2) in der Anwendung ist Gruppierung der Materialen oft bekannt man versucht dieses Wissen mit Hilfe der Parameter β i,i zu berücksichtigen wird die Nachbarschaft der Materialien i und i als sehr unwahrscheinlich eingeschätzt, dann wählt man für β i,i einen großen Wert meist setzt man β i,i = 0

22 Konstruktion der a-priori-energie(3) P(Xs b = i N s (x)) exp( β i,x b t ) wird durch die tɛn s Gibbs-Verteilung mit der Energie U 1,1 (x b ) = β i,i 1[xs b = i, xs b = i ] = ν i,i (x b )β i,i <s,s > i,i i,i mit ν i,i (x b ) = 1[xs b = i, xs b = i ] beschrieben <s,s > die Energie U 1,1 (x b ) kann als Segmentierungsenergie verstanden werden

23 Konstruktion der a-priori-energie(4) die zweite a-priori Information E(X p s N s (x p, x b ), x b s = i) = µ i + γ i Var(X p s N s (x p, x b ), x b s ) = σ 2 µ i ist der Erwartungswert des i-ten Label und γ i die isotrope Autokorrelation tɛn s (x p t µ i )1[x b s = x b t ] der Erwartungswert zieht die Nachbarn hinter einer Kante nicht mit in Betracht

24 Konstruktion der a-priori-energie(5) die Gibbs- Verteilung P(x p x b ) besitzt folgende Energie: U 1,2 (x p, x b ) = 1 (x p 2σ 2 s µ x b s ) 2 γ x b s (x p σ 2 s µ x b s )(xt p µ x b t )1[xs b = xt b ] s <s,t> dieser Ausdruck ist die direkte Folgerung aus der Gauß schen Energie; µ i und σ 2 quantifizieren die Regularität der i-ten homogenen Region

25 Zusammenfassung die Gesamtenergie des Feldes (X Y ) ist nun bekannt: U(x p, x b y) = U 1,1 (x b ) + U 1,2 (x p, x b ) + U 2 (y x p ) = i,i ν i,i (x b )β i,i + 1 (x p 2σ s 2 s µ x b s ) 2 γ x b s (x p σ <s,t> 2 s µ x b s )(xt p µ x b t )1[xs b = xt b ] + (y Hx) T V 1 (y Hx) diese Energie kann nun mit einem geeigneten Algorithmus minimiert werden

26 Überblick

27 (1) die Strahlenquellen befinden sich im Gegensatz zur im Inneren des Objektes die Detektoren messen also die vom Objekt verursachte Strahlung der Grauwert x s kann beispielsweise die Konzentration eines radioaktiven Isotops darstellen y d steht jetzt für die Anzahl der Teilchen, die an der d-ten Detektorposition gemessen werden

28 (2) y d wird als Realisierung einer Poissonverteilten Zufallsvariable Y d verstanden es gilt wieder: E(Y d x) = H d,s x s bzw. E(Y x) = Hx s die bedingte Verteilung ist gegeben durch: P(y x) = nl ( P H d,s x s) y d s (y d )! exp( H d,s x s ) s d=1 Abbildung: der

29 Überblick Literaturangaben

30 (1) die externe Energie U(y x) ist nun wieder durch P(y x) bekannt wenn wir annehmen, dass die Isotopenkonzentration annähernd konstant innerhalb einer Region ist und dass der Übergang zwischen zwei Regionen scharf ist, kann man folgende Energie verwenden: U 1 (x) = θ φ(x s x t ) + θ 2 φ(x s x t ) [s,t] <s,t> wobei [s,t] horizontale bzw. vertikale und < s, t > diagonale Nachbarn bezeichnet

31 (2) die Potentialfunktion hat folgende Gestalt: φ(u) = 1 1+(u/β) 2 die niederen Energiekonfigurationen dieser Energiefunktion entstehen bei glatten Regionen und klaren Grenzen zwischen den Regionen

32 Überblick Literaturangaben

33 (1) Ziel: 3D-Bild der internen Struktur eines Objektes rekonstruieren, um auf diese Weise Defekte und Einschließungen zu entdecken dazu liegen radiographische 2D- Bilder vor S ist ein diskretes 3D-Gitter {x s, s ɛ S} die Ausprägung des Objektes

34 (2) die L Messungen erzeugen die Projektionen D l l = 1... L wir nehmen an, dass die Einschließung durch eine homogene Region auf einem anderen Grauwertlevel als das Objekt erkennbar ist sowohl die Anzahl und die Form der Defekte sollen bei der zum Vorschein kommen das Transmissionsmodell wird modifiziert indem wir nun kegelförmige Strahlen annehmen

35 (3) Abbildung: 3D-

36 (4) Hd,s l = volume( s Rl d ) Projektion yd l hat yd l ist die Realisierung der Zufallsvariablen Yd l = Hd,s l x s + Wd l, l = 1... L s: s R d l ø beschreibt den Anteil, den s an der eine naheliegende Energie, würde die Terme y l H l x 2 l und x x 2 enthalten, wobei x s für den mittleren Grauwert der 26 Nachbarpixel steht

37 (5) die beiden Terme besitzen jedoch nicht die gleiche Größenordnung, wodurch sie schwierig zu vergleichen sind deshalb werden folgende Terme benutzt: U 1 (x) = <x, x>2 x 2 x 2 und U 2,l (y l x) = <y l,h l x> 2 l = 1... L y l 2 H l x 2 mit Regularisierungsparameter α gilt dann: U(x y) = αu 1 (x) + 1 L U 2,l (y l x) l

38 3D- (6)

39 Literaturangaben Literaturangaben B. Chalmond. ing and Inverse Problems in Image Analysis. Springer,2003 J. Bayer, F. Puente Leon. Die Radontransformation in der digitalen Bildbearbeitung. at 10/2002

40 Literaturangaben Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!