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Katarina Sternberg
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1 Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 06 Prof. Dr. J-D Deuschel 0. Juli 006 Juli Klausur Stochastik für Informatiker Name:... Vorname:... Matr. Nr.:... Studiengang:... Als Hilfsmittel ist allein ein handbeschriebenes A4 Blatt mit Notizen zugelassen! Eine Tabelle der Normalverteilungsfunktion ist auf Seite 4 abgedruckt. Die Lösungen sind in Reinschrift auf A4 Blättern abzugeben. Mit Bleistift geschriebene Klausuren können nicht gewertet werden. Geben Sie immer den vollständigen Rechenweg an. Die Bearbeitungszeit beträgt zweieinhalb Stunden. Korrektur Σ

2 1. Aufgabe 6 Punkte Im Seminarraum befinden sich 3 Sitzreihen mit je 8 Sitzplätzen. Unter den 15 (unterscheidbaren!) Studierenden gibt es 5, die sich immer in die erste Reihe setzen, und vier, die stets ganz hinten Platz nehmen. Wieviele verschiedene Sitzordnungen sind damit insgesamt noch möglich? Die Anzahl der moeglichen Sitzverteilungen ist 8! 8! (8 5)! (8 4)! }{{}}{{} f. Studierende in Reihe 1 f. Studierende in Reihe 3 (4 9)! ((4 9)! (15 9))! }{{} f. restl. Studierende auf restl. Plaetze. Aufgabe 6 Punkte Die Bevölkerung der Stadt S setze sich zusammen aus 0 % Studenten, 30% Schülern und 50% sonstigen. 80% aller Schüler koennen einen Web-Browser bedienen, von den Studenten sind es 60% und von den sonstigen 30%. Sie gehen in S in ein Internet- Cafe und treffen dort auf eine Person, die einen Web-Browser bedienen kann. Wie wahrscheinlich ist diese Person Schüler/Schülerin? Wir betrachten die Ereignisse Stu, Sch, So und Web. Gefragt ist nach P(Sch Web) = P(Sch; Web) P(Web) Mit den Zahlen aus der Aufgabenstellung ist P(Sch; Web) = P(Web Sch) P(Sch) = = 0.4 und P(Web) = P(Web; Sch) + P(Web; Stu) + P(Web; So) = = 0.51 Also P(Sch Web) = = Aufgabe 6 Punkte Die Knoten k 1, k, k 3 des untenstehenden Datennetzes fallen unabhängig voneinander exponentialverteilt mit Parametern λ 1, λ, λ 3 aus. Berechnen Sie die Verteilung und den Erwartungswert der Ausfallzeit für die Datenübertragung von S nach R. S k1 k3 k R

3 Die Ausfallzeit fuer die Datenuebertragung im Netz ist gegeben durch τ = max(t 3, min(t, T 1 )), wobei T i die Ausfallzeiten der komponenten k i seien. Es ist und damit P(min(T, T 1 ) > t) = P(T > t)p(t 1 > t) = e λ t e λ 1t = e (λ 1+λ )t F τ (t) = P(τ t) = P(T 3 t)p(min(t, T 1 ) t) = (1 e λ 3t )(1 e (λ 1+λ )t ) = 1 e λ 3t e (λ 1+λ )t + e (λ 1+λ +λ 3 )t, t 0, sowie F τ (t) = 0 fals t < 0. Damit ist G τ (t) = 1 F τ (t) = e λ 3t + e (λ 1+λ )t e (λ 1+λ +λ 3 )t so dass E(τ) = τ 0 G τ (s)ds = 1 λ λ 1 + λ λ 1 + λ + λ 3

4 4. Aufgabe 6 Punkte Es sei X uniform auf [ 1, 1] verteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte f Y und den Erwartungswert E(Y ) von Y := sign(x)x, wobei die Signumsfunktion t sign(t) { 1, 1} die Vorzeichenfunktion auf R ist: sign(t) = 1 falls t < 0 und sign(t) = 1, falls t > 0, sowie sign(0) := 0. Hinweis: Unterscheiden Sie die Fälle X 0 und X < 0. Es sei t 0, dann ist G Y (t) := P(Y > t) := P(sign(X)X > t) = P(X > t) = 1 t Damit ist auf fuer t ]0, 1[ Falls t < 0, dann ist f Y (t) = G Y (t) = 1 1 t = 1 4 t F Y (t) = P(Y t) = P( X t, X < 0) = P( X > t, X < 0) Damit ist auf fuer t ] 1, 0[ = P(X < t, X < 0) = P(X < t) = 1 t Wegen der Symmetrie von Y ist E(Y ) = 0. f Y (t) = F Y (t) = 1 1 t ( 1) = 1 4 t 5. Aufgabe 6 Punkte Es seien drei (reellwertige) Zufallsvariablen X 1, X, X 3 gegeben mit sowie E(X i ) = 0, i {1,, 3} E(X i X j ) = 1 i j i, j {1,, 3}. a) Berechnen Sie die Varianz von Y = X 1 αx βx 3, wobei die Parameter α, β R beliebig aber fest gewählt seien. b) Es sei α = 0. Fuer welches β wird die Varianz von Y minimal? a) Da die Erwartungswerte der X i alle identisch null sind, ist auch und damit E(Y ) = E(X 1 αx βx 3 ) = E(X 1 ) αe(x ) βe(x 3 ) = 0, Var(Y ) = E(Y ) = E((X 1 αx βx 3 ) ) = E [ X1 + α X + β X3 (αx 1 X + βx 1 X 3 αβx X 3 ) ] ( = 1 + α 4 + β α 9 + β 3 αβ ) 6

5 b) Falls α = 0 ist Var(Y ) = 1 + β 9 β 3 Als quadratische Funktion von β wird diese minimiert falls 9 β = 3 β = 3 ( = Kov(X ) 1, X 3 ) Var(X 1 ) 6. Aufgabe 6 Punkte Die Bearbeitung einer Datenbankabfrage dauert im Mittel 3ms (= s), bei einer Streuung (Standardabweichung) von ms. Schätzen Sie die Wahrscheinlicheit, dass die Bearbeitung von (unabhängigen) aufeinanderfolgenden Abfragen länger als 30.1s dauert. (Verwenden Sie eine geeignete Approximation.) Es sei X i die Dauer der i-ten Abfrage, dann ist wegen der Unabhaengigkeit der X i gemaess dem zentralen Grenzwertsatz die Gesamtdauer S := 1000 i=1 X i approximativ normalverteilt mit E(S) = E(X 1 ) = s = 30s und Varianz Also 1000 Var(S) = Var( X i ) = Var(X 1 ) i=1 = σ (X 1 ) = s = 4 10 s σ(s) = Var(S) = 10 1 = 0.s, Damit ist die Standardisierung ξ = (S E(S))/σ(S) von S approximativ standardnormaverteilt, und somit P(S > 30.1s) = P( S 30s 0.s = P(ξ > 1 ) > 0.1s 0.s ) P(ν 0,1 > 1 ) = 1 Φ(0, 5) = 30, 85%

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