1 Beispiel 4 (Die Lorenzkurve in der Betriebswirtschaft) Example 4.1 (The distribution of firms in Germany) Source: Vivek Ghosal, Prakash Loungani, The differential impact of incertainty on investment in small and large business, HWWA Diskussionspapier 81, 1999, 27 ALL (N = 330) E/ E/ SMALL (N = 91) E/ SMALL & Size (100) (N = 40) SMALL & CR4 40 (N = 63) OTHER (N = 237) E/ E/ E/ OTHER & Size (100) (N = 101) OTHER & CR4 > 40 (N = 120) E/ 25% 46 94 25 150 18 390 21 294 62 81 173 53 104 54 50% 87 233 48 375 23 938 34 539 113 187 246 87 182 85 75% 186 542 85 976 31 2112 60 1433 212 464 401 187 306 165 Table: Percentile distribution of industry characteristics Beispiel 4.2 (Aufgabe zur Lorenzkurve) Das Einkommen von den 500 Angehörigen der irma wird durch folgende Tabelle beschrieben: Bruttolohn in DM bis 400 über 400 bis 800 über 800 bis 1200 über 1200 bis 1600 über 1600 bis 2000 Anzahl Angehörige 75 100 100 200 25 Bestimmen Sie die dazugehörige Lorenzkurve! Lösung: Bruttolohn bis 400 unter 400 bis unter 800 800 bis unter 1.200 1.200 bis unter 1.600 1.600 bis unter 2.000 kum. Häufigkeit absolut relativ Lohnempfänger Klassenmitte Lohnsummen kum. Häufigkeit absolut relativ 75 75 15 % 200 15.000 15.000 3 % 100 175 35 % 600 60.000 75.000 15 % 100 275 55 % 1000 100.000 175.000 35 % 200 475 95 % 1400 280.000 455.000 91 % 25 500 100 % 1800 45.000 500.000 100 %
2 Beispiel 4.3 (Aufgabe zur Lorenzkurve) Sei die Konzentration auf einem Produktmarkt mit 5 Anbietern wie folgt: 3 Anbieter besitzen je 5% Marktanteil, ein Anbieter 15% und einer 70% Marktanteil. Der gesamte Umsatz betrage 10 Mrd DM. Stellen Sie die zugehörige Lorenzkurve auf. Lösung Die Tabelle zeigt die Ausgangsdaten sowie in den letzten beiden Spalten die benötigten Werte für die kumulierten Anteile der Merkmalsträger bzw. Merkmalsausprägungen. Kumulierter Kumulierter Anteil an Anteil an Anteil der Anteil der der gesamten der gesamten Merkmals- Merkmals- Merkmals- Merkmals- Unter- Umsatz träger träger summe summe nehmen in Mrd DM (Unternehmen) (Unternehmen) (Umsätze) (Umsätze) 1 0.5 0.2 0.2 0.05 0.05 2 0.5 0.2 0.4 0.05 0.10 3 0.5 0.2 0.6 0.05 0.15 4 1.5 0.2 0.8 0.15 0.30 5 7.0 0.2 1.0 0.70 1.00 Lorenzkurve" 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
3 Beispiel 4.4 (Aufgabe zur Lorenzkurve) ür die Einzelhandelsunternehmen eines kleinen Bundeslandes S sei folgende Übersicht betrachtet: Anzahl der Einzel- Umsatz in DM 1000 handelsunternehmen [0, 10) 200 [10, 50) 300 [50, 100) 250 [100, 300) 250 Berechnen Sie die Werte der Lorenzkurve und stellen Sie die errechneten Werte graphisch dar. Welchen Anteil an der Merkmalssumme haben 20% (75%) der Merk-malswerte? Lösung: x Σx y Σy 0-10 5. 200 1000 0.20 0.20 0.013 0.013 10-50 30. 300 9000 0.30 0.50 0.114 0.127 50-100 75. 250 18750 0.25 0.75 0.238 0.365 100-300 200. 250 50000 0.25 1.00 0.635 1.000 78750 1.00 1.000 A= 0.10177; B= 0.245575; Gini-Koeffizient G= B/(A+B)= 0.49115
4 Beispiel 4.5 (Aufgaben zur Lorenzkurve, dem Ginikoeffizienten und zur Marktmacht) Aufgabe 1 Ein Markt werde von vier Oligopolisten beherrscht. Ihre jeweiligen Marktanteile seien 10%, 20%, 30% und 40%. a) Berechnen und zeichnen Sie die Lorenzkurve. b) Berechnen Sie den Ginikoeffizienten. Aufgabe 2 In einer Großstadt teilen sich fünf Brauereien den städtischen Biermarkt wie folgt Brauerei A B C D E Marktanteil 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 a) Berechnen und zeichnen Sie die Lorenzkurve. b) Berechnen Sie den Ginikoeffizienten. Aufgabe 3 Bei der Wahl des Aufsichtsrates einer Aktiengesellschaft gilt bekanntlich nicht das Prinzip "Ein Mann - Eine Stimme", sondern die Anzahl der Stimmen, die eine Person bei einer Aktionärsversammlung zur Verfügung hat, wird durch die Stärke des Aktienpakets bestimmt, über das diese Person verfügt. Auf einer solchen Versammlung ergab sich folgende Verteilung der Aktien (in tausend Stück): Kleinaktionäre B-Bank C-Bank D1-Bank D2-Bank 5 15 15 5 10 Zeichnen Sie die Lorenzkurve (mit Achsenbeschriftung) für diese Verteilung der Aktien und geben Sie die entsprechenden kumulierten Anteile explizit an.
Beispiel 4.6 (Aufgabe zur Aggregation) ür die irmen einer Branche wurden folgende monatlichen Umsätze erhoben: Klasse i Umsatz (in Tausend DM) Anzahl der irmen 5 1 250 bis unter 275 121 2 50 bis unter 75 154 3 275 bis unter 350 172 4 225 bis unter 250 179 5 0 bis unter 50 202 6 75 bis unter 100 207 7 100 bis unter 125 217 8 200 bis unter 225 238 9 125 bis unter 150 269 10 175 bis unter 200 306 11 150 bis unter 175 315 Aufgabe 1 a) Wie groß ist die empirische Häufigkeit, eine irma in einer Umsatzklasse i {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} anzutreffen. b) Zeichnen Sie das zugehörige Histogramm c) Ermitteln Sie Mittelwert und Varianz für die irmengröße, gemessen am Umsatz. d) Vergröbern Sie die obige Klasseneinteilung durch Zusammenfassung der Klassen 5, 2, 6; 7, 9, 11; 10, 8, 4; 1, 3 und wiederholen Sie die Teilaufgaben a), b) und c). [siehe hierzu Aufgaben zu Lageparametern] Aufgabe 2 A) Ermitteln Sie bei obiger Klassenbreite rechnerisch und graphisch die zugehörige Lorenz-Kurve. B) Vergröbern Sie die obige Klasseneinteilung durch Zusammenfassung der Klassen 5, 2, 6; 7, 9, 11; 10, 8, 4; 1, 3 und ermitteln Sie erneut die Lorenz-Kurve. C)Zeichnen Sie die beiden Lorenz-Kurven in ein gemeinsames Schaubild. D)Berechnen Sie in beiden ällen das Ginische Konzentrationsmaß. E) Welchen Umsatz kann eine irma der umsatzschwächeren Hälfte maximal erzielen? ) Welchen Gesamtumsatz erzielt der umsatzstärkste 20%-Anteil der irmen? (Voraussetzung: Gleichverteilung des Umsatzes innerhalb der Klassen)