Analytische ZAHLENTHEORIE. Skriptum zur Vorlesung von Prof. Michael DRMOTA

Analytische ZAHLENTHEORIE Skriptum zur Vorlesung von Prof. Michael DRMOTA

Inhaltsverzeichnis Zahlentheoretische Funktionen Analytische Funktionen und Dirichletsche Reihen 7 3 Der Primzahlsatz mit Restglied 4 Primzahlen in arithmethischen Folgen 6 5 Der Satz von Goldbach-Vinogradov 8 i

Kapitel Zahlentheoretische Funktionen Definition. Eine Abbildung a : N = {,, 3,...} C heißt zahlentheoretische Funktion. Jeder zahlentheoretischen Funktion entspricht eine formale Dirichletsche Reihe As = an n s. Definition. Durch cn = a + bn = an + bn wird die Summe zweier zahlentheoretischer Funktionen definiert. Ihr entspricht die Dirichletsche Reihe Cs = cn n s = an + bn n s = an n s + bn n s = As + Bs. Definition.3 Durch cn = a bn = d n adb n d = d d =n ad bd wird das Dirichletprodukt zweier zahlentheoretischer Funktionen definiert. Ihm entspricht die Dirichletsche Reihe Cs = cn n s = d d =n ad bd d s d s = As Bs. Satz. Die zahlentheoretischen Funktionen bilden mit +, einen Integritätsbereich, insbesondere ist assoziativ und kommutativ. Weiters besteht die Einheitengruppe genau aus jenen zahlentheoretischen Funktionen a mit a 0.

Definition.4 Eine zahlentheoretische Funktion a heißt multiplikativ, falls für alle m, n mit m, n = am n = am an gilt und a0 = ist. Eine zahlentheoretische Funktion a heißt vollständig oder stark multiplikativ, falls für alle m, n am n = am an gilt und a0 = ist. Satz. Sind die zahlentheoretischen Funktionen a, b multiplikativ, so auch a b und a. Bemerkung. Sind a, b vollständig multiplikativ, so ist i.a. a b bzw. a nicht mehr vollständig multiplikativ, aber multiplikativ. Bemerkung. Multiplikative Funktionen a sind durch die Werte ap k, p P, k, wohlbestimmt. Ist n = p k p l k l, so gilt an = ap k ap l k l und für die Dirichletsche Reihe gilt formal As = an n s = p P + ap + ap +. p s p s Für vollständig multiplikative Funktionen a gilt überdies, dass sie bereits durch die Werte ap, p P, wohldefiniert sind: ap k p l k l = ap k ap l k l. Für die Dirichletsche Reihe gilt daher an As = = + ap ap + + n s p s p s p P =. p P ap p s Die Produktdarstellung heißt Eulersches Produkt. Spezielle zahlentheoretische Funktionen: M... multiplikative Funktion, VM... vollständig multiplikative Funktion. In = S n = { n = 0 n > VM In n s = I a = a I = a

. Jn = für n VM Jn n s = n s = ζs... Riemannsche Zetafunktion 3. N α n = n α J = N 0 VM N α n n s = n α = ζs α ns 4. dn = d n... Anzahl der Teiler von n d = J J M dn n s = ζs 5. σn = d n d... Summe aller Teiler von n σ = N J M σn n s = ζsζs 6. σ α n = d n dα σ α = N α J M σ α n n s = ζsζs α 7. 8. µn = n = k n = p p k und alle p,..., p k verschieden 0 sonst µn n s = ζs µ J = I, µ = J M... Möbiussche My-Funktion M ϕn = {k k n, k, n = } M... Eulersche Phi-Funktion 3

ϕn n s = ϕ J = N, ϕ = µ N, ϕn = n p n ζs ζs, ϕ n = p p p n 9. λn = { n = k + +k l n = p k p l k l VM... Liouvillesche Lambda-Funktion λ Jn = λn n s = ζs ζs { n = m 0 sonst, λ = µ 0. Λn = { log p n = p k 0 sonst / M Λn n s = ζ s ζs... Mangoldtsche Lambda-Funktion Λ Jn = log n Satz.3 Ist a vollständig multiplikativ, so gilt a n = an µn. Definition.5 Eine zahlentheoretische Funktion χ heißt Dirichlet- Charakter modulo k D-Char., falls folgende Eigenschaften gelten:.. 3. χa b = χa χb für alle a, b χa = für a, k = χa = χb für a b modulo k 4

4. χa = 0 für a, k > Sie gehört außerdem zu den vollständig multiplikativen Funktionen VM. Bemerkung.3 Sei E k die multiplikative Gruppe der ϕk zu k teilerfremden Restklassen modulo k. Dann korrespondiert ein Dirichlet-Charakter modulo k χ genau zu einem Homomorphismus χ : E k C\{0}. Allgemein heißt ein solcher Homomorphismus Charakter einer Gruppe. Bemerkung.4 Sei a, k =. Dann gilt a ϕk modulo k und daher auch χa ϕk =. Der Wertebereich eines Dirchlet-Charakters umfaßt daher 0 und die ϕk-ten Einheitswurzeln. Bemerkung.5 Ist der Wertebereich nur 0 und, so heißt χ auch Hauptcharakter und wird oft mit χ 0 bezeichnet. Weiters gibt es reelle Dirichlet- Charaktere, d.h. der Wertebereich ist 0, und, und natürlich auch komplexwertige Dirchilet-Charaktere. Lemma.6 Ist b modulo k, so existiert ein Dirichlet-Charakter χ modulo k mit χb. Satz.4 Durchläuft a ein volles Restsystem modulo k z.b.: a =,,..., k so ist { ϕk für χ = χ0 χa = 0 sonst. a mod k Durchläuft χ alle Dirichlet-Charaktere modulo k, so ist { ϕk für a k χa = 0 für a k. χ mod k Es gibt daher genau χk Dirichlet-Charaktere modulo k. Definition.6 Sei χ ein Dirichlet-Charakter. So bezeichnet man die dazugehörige Dirichletsche Reihe Ls, χ = χn n s als Dirichletsche L-Reihe. 5

Satz.5 Bezeichnet man mit ζs, a = n=0 Hurwitzsche Zetafunktion, so gilt n+a s 0 < a die Ls, χ = k s Für den Hauptcharakter gilt auch k χaζs, a k. a= Ls, χ 0 = ζs p k p s. Lemma.7 Orthogonalitätsrelation für Dirichlet-Charaktere χ mod k k { ϕk für χ = χ χ a χ a = 0 für χ χ a= χa χa = { ϕk wenn a a k und a, k = a, k = 0 sonst Satz.6 Ist n < n <... eine Folge natürlicher Zahlen und f eine zahlentheoretische Funktion, so ist für a, k = j J n j a k fn j = ϕk χ mod k χa fn j χn j. j J 6

Kapitel Analytische Funktionen und Dirichletsche Reihen Definition. Sei G C ein einfachzusammenhängendes Gebiet. Eine Funktion f : G C heißt analytisch, wenn sie in jedem Punkt lokal in eine Potenzreihe entwickelbar ist, d.h. für alle z G gibt es ein r > 0 und a n C mit fz = n 0 a nz z 0, z z 0 <. Eine Funktion f : G C heißt komplex stetig differenzierbar, wenn für alle z 0 G der Grenzwert f fz fz z 0 = lim 0 z z0 z z 0 existiert und die Zuordnung z 0 f z 0 stetig ist. Definition. Sei γ : [0, ] C eine stückweise glatte Kurve und f : C C eine stetige Funktion. [γt = γ t + iγ t und fu + iv = f u, v + if u, v können auch als Paare reellwertiger Funktionen interpretiert werden.] Dann bezeichnet man γ fzdz = 0 fγt γ tdt als komplexes Kurvenintegral. Der Wert des Integrals ist natürlich von der Wahl der speziellen Parametrisierung der Kurve γ unabhängig. Satz. Folgende drei Eigenschaften sind äquivalent:. f : G C ist analytisch. f : G C ist komplex stetig differenzierbar 3. Für alle z 0 G und alle geschlossenen Kurven γ, die z 0 einfach im negativen Uhrzeigersinn umrunden, gilt fz 0 = πi fz z 0 z dz. 7 γ

Satz. Ist f : G C analytisch und γ eine geschlossene Kurve, so gilt fzdz = 0. γ Satz.3 Sei f : G C analytisch und ist fz = n 0 a nz z 0 n die Potenzreihenentwicklung von fz an der Stelle z 0 G, so gilt für jede geschlossene Kurve γ, die z 0 im negativen Uhrzeigersinn einfach umrundet, a n = πi fz dz. z z 0 n+ γ Satz.4 Seien f : G C, g : G C zwei analytische Funktionen und sei A G G eine Menge mit A, für die fz = gz gilt, dann gilt fz = gz für alle z G G. Satz.5 Seien f n : G C analytische Funktionen und gilt für jede kompakte Menge K G, dass f n in K gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f : G C konvergiert, so ist f : G C auch analytisch. Definition.3 Sei f : G\{z 0 } C analytisch z 0 G. z 0 heißt Pol von f, wenn es ein k N gibt, sodass die Funktion gz = z z 0 k fz zu einer analytischen Funktion g : G C fortgesetzt werden kann. Der Pol ist k- fach, wenn gz 0 0 ist. Ist gz = a k +a k+ z z 0 +a k+ z z 0 +... die Potenzreihenentwicklung von g an der Stelle z 0, so hat fz für z z 0 die Darstellung fz = a n z z 0 n a k = z z 0 + + a k 0 + a z z 0 + n k Der Koeffizient a = Resf, z 0 heißt Residuum von f an z 0. Satz.6 Sei f : G C analytisch bis auf endlich viele Pole und γ eine geschlossene Kurve, die diese Pole im negativen Uhrzeigersinn einfach umrundet. Dann gilt πi fzdz = Resf, z i γ i Satz.7 Konvergiert eine Dirichletsche Reihe a nn s für ein s 0 C, dann konvergiert sie auch für alle s C mit Res > Res 0 und stellt dort eine analytische Funktion dar. Weiters sei 0 < α < π. Dann gilt lim s s 0, args s 0 α n a n n s = n 8 a n n s 0.

Satz.8 Konvergiert eine Dirichletsche Reihe n a nn s für ein s 0 C, dann konvergiert sie für alle s mit Res > Res 0 + sogar absolut. Satz.9 Konvergiert eine Dirichletsche Reihe n an n s absolut, und ist die zahlentheoretische Funktion an multiplikativ, so gilt an n s = + ap + ap +. p s p s n p P Ist an überdies vollständig multiplikativ, so gilt sogar an n s =. n p P ap p s [Dies ist die Eulersche Produktdarstellung einer Dirichletschen Reihe.] Satz.0 Die Dirichletsche Reihe fs = n a nn s konvergiere für Res > σ absolut. Dann gilt für c > σ n x a n = c+i πi c i fs s xs ds [ = c+it πi lim T c it ] fs s xs ds, wobei bedeutet, dass der letzte Summand mit muss, falls x eine natürliche Zahl ist. multipliziert werden Lemma. Sei c, a R +. Dann gilt c+i πi c i a z dz z = für a > für a = 0 für 0 < a <. Weiters gilt πi πi πi c+it c it c+it c it c+it c it a z dz z a z dz z a z dz z a c πt log a a c πt log a für a > c πt für a = für 0 < a <. 9

Satz. Eigenschaften der Gammafunktion Für Res > 0 sei Γs = x s exp xdx. Wegen Γn + = n! stellt dieses Integral 0 eine analytische Fortsetzung von n! dar. Diese sogenannte Gammafunktion Γs lässt sich bis auf Pole. Ordnung an den Stellen s = 0,, mit Residuen Resζs, s = n = n in die ganze komplexe Ebene analytisch n! fortsetzen. Für s 0,,,... gilt auch Γs = lim n n s n! ss + s + n. Weiters erfüllt die Gammafunktion die Funktionalgleichungen Γs + = s Γs, Γs Γ s = π sin πs und für alle natürlichen Zahlen m Γs Γs + m Γs + m m m = π m ms Γms. Die reziproke Funktion ist eine ganze Funktion und hat die Darstellungen rs Γs = s exp cs + s exp n s n = πi exp z dz, γ z s wobei c die Eulersche Konstante bezeichnet und γ ein Hankelintegral der Form: Abbildung.: Kurve γ 0

Kapitel 3 Der Primzahlsatz mit Restglied Lemma 3. Seien komplexe Zahlen a n und eine Folge λ < λ <... < λ n reeller Zahlen gegeben. Die komplexwertige Funktion g sei im Intervall [λ, x] stetig und stückweise differenzierbar. Dann ist a n gλ n = gx x a n a n g udu. λ n x λ n x λ λ n u Lemma 3. Sei πx = p x, ϑx = p x log p und ψx = n x Λn = p m x log p. Dann gilt:.. 3. 4. ψx = m ϑx m = n [log x/ log ] ψx = ϑx + Ox log x ϑx m ϑx = Ox ψx = ϑx + Ox πx = ϑxlog x + x ϑuu log u du

5. ϑx = πx log x x πuu du. Lemma 3.3 Es gilt die folgende Implikationskette: c > 0, 0 < α < Bemerkung 3.4 x du log u = x πx = x log x + Lemma 3.5 c > ψ x = x ψudu = x + Ox exp clog x α ψx = x + Ox exp clog xα ϑx = x + Ox exp clog xα x ψudu = n x du + Ox exp log u α clog x α x log x + x log 3 x + + k! x x + O log x k+ log x k+. Λnx n = πi c+i x s+ ζ s ds c i ss + ζs Definition 3. Sei 0 < a und Res >. Dann ist durch ζs, a = n=0 n + a s die Hurwitzsche Zetafunktion definiert. Speziell gilt ζs, = ζs. Sie stellt für Res > eine analytische Funktion dar.

Lemma 3.6 Sei γ: Abbildung 3.: Kurve γ jene Hankelkurve, die auch bei der Hankelschen Integraldarstellung der Γ- Funktion auftritt und 0 < a. Dann stellt das Integral Is, a = z s exp az πi exp z dz eine in ganz C analytische Funktion [= ganze Funktion] dar. Für Res > gilt überdies γ ζs, a = Γ s Is, a. Bemerkung 3.7 Mit dieser Darstellung lässt sich, bis auf s =, ζs, a auf C fortsetzen. Satz 3. Die fortgesetzte Hurwitzsche Zetafunktion ζs, a ist analytisch bis auf einen Pol. Ordnung im Punkt s = mit Residuum Resζs, a, =. Satz 3. Hurwitzsche Formel Sei F x, s = exp πinx n s x R und Res >. Für 0 < a und Res > gilt ζ s, a = Γs exp πis/f a, s + exp πis/f a, s. π s Satz 3.3 Funktionalgleichung für die Zetafunktion. π s s Γ ζs = π s s Γ ζ s für 3

. 3. ζ s = π s Γs cos ζs = π s Γ s sin πs ζs πs ζ s. Satz 3.4 h, k Z, h k : ζ s, h k = Γs πk s k r= πs cos πrh ζ s, r k k Lemma 3.8 Es gelten folgende Abschätzungen für die Zetafunktion:. Sei 0 < δ vorgegeben. So gilt für σ δ und t R ζσ + it σ + it 8 + δ t + δ log t +.. Sei A > 0. Dann gilt für alle t und σ max{, A } log t + ζσ + it σ + it exp A 6 + log t +. A 3. Sei A > 0. Dann gilt für alle t und σ max{, A } log t + ζ σ + it σ + it max{exp 4A6 + A A ; + exp 4A/log } log t +. 4. Es gibt positive Konstanten c = 60 4, c > 0, sodass für alle t und σ c log t + 9 die Abschätzung ζσ + it c log t + 7 gilt. Insbesondere hat ζs dort keine Nullstellen. 5. Für 3 σ 4 3, t, σ + it gilt ζσ + it > 5. 4

Satz 3.5 Es gilt πx = x du log u + O x exp 0, 0log x 0,. Satz 3.6 Ist ρ = σ 0 + it 0 mit ist die Abschätzung σ < eine Nullstelle der Zetafunktion, so ψx = x + o x σ 0 x falsch. Satz 3.7 Mx = µn = O x exp clog x 0 n x Qx = n x µn = x ζ + O x exp clog x 0 5

Kapitel 4 Primzahlen in arithmethischen Folgen Definition 4. Sei χ ein Dirichlet-Charakter modulo k. Dann bezeichnet man die Dirichletsche Reihe als Dirichletsche L-Reihe. Ls, χ = n χn n s Lemma 4. Für χ χ 0 stellt n χnns eine für Res > 0 analytische Funktion dar. Für χ = χ 0 gilt Ls, χ 0 = ζs p. s Ls, χ 0 ist daher bis auf einen Pol. Ordnung im Punkt s = mit Residuum ResLs, χ 0, = ϕk analytisch. k Lemma 4. Sei 0 < A log, dann gilt für Ls, χ, χ χ 0, im Bereich A/ logk t + σ s = σ + it p k Ls, χ c A logk t + L s, χ c A log k t +. Ist χ χ 0 nichtreell d.h. χ χ 0 und t beliebig oder χ χ 0 reell und t, so existieren Konstanten δ, c 3, sodass für δ logk t + 9 σ gilt. Ls, χ c 3 logk t + 7 6

Satz 4. Siegel Zu jedem c > 0 existiert ein k 0 ε, sodass für alle reellen Dirichlet-Charaktere χ χ 0 modulo k mit k k 0 ε und k ε σ Lσ, ϕ 0 gilt. Lemma 4.3 Sei B > 0 und ε = min, B 3B. Ist χ χ0 reell, so existieren Konstanten c 4 ε, c 5 ε, sodass für s c 4 εk ε Ls, χ > c 5 εk ε log 4k gilt. Schließlich existiert noch ein δε, sodass für t, s c 4 εk ε und δεk ε log 3k 8 σ mit einer Konstanten σ 6 ε > 0. Satz 4. Sei B > 0 und Ls, χ > c 6 εk ε log3k 6 ψx; χ = n x χn Λn, so gilt für alle Dirichlet-Charaktere χ modulo k, ψx; χ 0 = x + O x exp clog x 0 k log x B, ψx; χ = O x exp clog x 0, für χ χ 0. Folgerung 4. Sei ψx; k, a = n x, n ak χn Λn und B > 0. Dann gilt für alle k log q x B und alle a mit ggta, k = ψx; k, a = x ϕk + O x exp clog x 0. Satz 4.3 Page-Siegel-Walfisz Sei B > 0. Dann gilt für alle k log x B und alle a mit ggta, k = πx; k, a = {p x p ak} = ϕk x du log u + O x exp clog x 0. 7

Kapitel 5 Der Satz von Goldbach-Vinogradov Goldbachsche Vermutung 74, Brief an Euler A Jede gerade natürliche Zahl N 4 ist Summe zweier Primzahlen. B Jede ungerade natürliche Zahl N 7 ist Summe von drei Primzahlen. A B Lemma 5. Sei rn = {p, p, p 3 P 3 N = p + p + p 3 } und Sα = p N eαp, wobei ex = exp πix bezeichnet, dann gilt rn = 0 Sα 3 e αndα. Bezeichnungsweise log NA Sei w 0 = und I = [ w N 0, w 0 ]. Für jede rationale Zahl a, 0 < q log q NA, 0 a < q, ggta, q = bezeichne [ a M a,q = q w 0, a ] q + w 0 und M = 0<q log N A 0 a<q ggt a,q= M a,q. Es gilt M J und alle M a,q sind disjunkt für N N 0, M wird als major arc Hauptteil und m = [ w 0, w 0 ]\M als minor arc bezeichnet. Lemma 5. Zu jedem α m existieren a, q, 0 a < q, ggta, q =, log N A < q N/log N A mit α a q w 0 8 q. q

Satz 5. Vinogradov Ist α = a + θ mit ggta, q =, < q N und q q θ, so gilt für Sα = p N eαp die Abschätzung Sα C NlogN 9 q + q N + exp log N mit einer absoluten Konstanten C > 0. Lemma 5.3 Lemma 5.4 sup Sα = O Nlog N 9 A α m Folgerung 5. m 0 Sα dα = πn N log N Sα 3 e αndα = O N log N 7 A Lemma 5.5 Sei α M a,q, d.h. α = a + β mit β w q 0 und a, q =, und q log N A. Dann gilt a Sα = S q + β = W q β + O q Nlog N A exp clog N 0, wobei bezeichnet. Folgerung 5. a S 3 q + β W q β = µq ϕq N n= enβ log N = W q β 3 + O N 3 log N 3A exp clog N 0 Lemma 5.6 Sei I a,q w = w W w qβ 3 e a + βndβ, so gilt für q q log N A, ggta, q = : I a,q I a,q w 0 = O N. ϕq 3 log N A 9

Lemma 5.7 Es bezeichne ρn = c q m = ρn = q= n,n,n 3 N n +n +n 3 =N 0 a<q ggt a,q= e a q m, µq ϕq 3 c q N und log n log n log n 3. Dann gilt Sα 3 e αndα = ζn ρn + O N log log N log N A. M Lemma 5.8 ρn = Lemma 5.9 n,n,n 3 N n +n +n 3 =N c q m = log n log n log n 3 = 0 a<q ggt a,q= Lemma 5.0 ζn = c p N = ϕ 3 p p N log N 3 e a m ist multiplikativ in q q p teilt nicht N + N + O log log N log N 4 p 3 p N Für ungerades N gilt ζn 6 π und für gerades N ist ζn = 0. Satz 5. Jede hinreichend große ungerade Zahl N kann als Summe dreier Primzahlen dargestellt werden. Es gilt auch die asymptotische Beziehung rn = ζn N N log N + O log log N, 3 log N 4 wobei ζn = p teilt nicht N für ungerades N ζn 6 π + erfüllt. + p 3 p N p. p 0