................ Note I II Name Vorname Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik Wiederholungsklausur Mathematik 4 für Physiker (Analysis 3) 5 6 7 8 Prof. Dr. D. Castrigiano 2. April 2, 8:3 : Uhr Hörsaal:............. Reihe:............. Platz:............. Hinweise: Überprüfen Sie die Vollständigkeit der Angabe: 8 Aufgaben Bearbeitungszeit: 9 min I................ Erstkorrektur II................ Zweitkorrektur Erlaubte Hilfsmittel: zwei selbsterstellte DIN A4 Blätter Erreichbare Gesamtpunktzahl: 8 Punkte Bei Multiple-Choice-Aufgaben sind genau die zutreenden Aussagen anzukreuzen. Bei Teilaufgaben mit Kästchen werden nur die Resultate in diesen Kästchen berücksichtigt. Nur von der Aufsicht auszufüllen: Hörsaal verlassen von........ bis........ Vorzeitig abgegeben um........ Besondere Bemerkungen: Musterlösung (mit Bewertung)
. Komplexe Wegintegrale [8 Punkte] Gegeben ist der geschlossene Weg γ : [, 2π] C, γ(t) = i + sin t i cos t. (a) Skizzieren Sie qualitativ den Weg γ mit Umlaufrichtung. (b) Berechnen Sie γ ire(z)dz, (c) Bestimmen Sie (mit Begrünng) γ e cos z dz, (a) Ein Kreis mit Mittelpunkt i, Radius, gegen Uhrzeigersinn rchlaufen. [2] (b) γ(t) = cos t + i sin t, ire(z) = i sin t. Nach Definition des komplexen Wegintegrals ist γ 2π 2π ire(z)dz = ire(γ(t)) γ(t)dt = i sin t(cos t + i sin t)dt 2π = sin 2 t dt = π. (c) Die Funktion ist holomorph auf C. Nach dem Cauchyschen Integralsatz gilt e cos z dz =. [2] γ [4]
2. Resien [ Punkte] Sei f(z) = z n ( z) 2, n N. (a) Geben Sie alle Pole von f in C an. (b) Bestimmen Sie die Ordnung der Pole von f. (c) Berechnen Sie das Resium von f bei z =. Hinweis: ( z) 2 = (k + )z k für z < (d) Welchen Konvergenzradius hat der Nebenteil der Laurent-Reihe von f um z =? k= (a) z = und z =. [2] (b) Bei z = ist die Ordnung n, bei z = ist die Ordnung 2. [2] (c) Die Laurentreihe von f(z) um lautet f(z) = z n (k + )z k = k= (k + )z k n. Für k = n erhält man den Koeffizienten von z, das Resium, also Res (f) = n. [4] (d) De nächstliegende Pol von f ist bei. Somit ist der Konvergenzradius des Nebenteils von f bei gleich. [2] k=
3. Resienkalkül [ Punkte] Berechnen Sie x 4 +4 dx. Der Integrand, geht für große z schnell genug gegen. z 4 +4 [] Die Nullstellen von z 4 + 4 = (z 2 + 2i)(z 2 2i) = (z + + i)(z i)(z + i)(z + i) liegen bei z k = ± ± i, k =, 2, 3, 4 [3] z mit den Resien k 4 ( 4). [3] Als Integrationsweg wählen wir den Rand des oberen Halbkreises, dessen Radius gegen strebt. [] Nach Kap. 24 (25) gilt dann [2] x 4 + 4 dx = 2πi Res +i( z 4 +4 ) + 2πi Res +i( z 4 +4 ) = 2πi ( +i 6 + +i 6 ) = 2πi 2i 6 = π 4.
4. Approximation kompakter rch offene Mengen [8 Punkte] Sei A eine kompakte Teilmenge des R d. K ɛ (x) = {y R d : y x < ɛ} ist die Kugel mit Radius ɛ um x R d. Zeigen Sie: (a) O n := K (x) ist offen für n N und es gilt n x A A = n N O n. (b) Ist λ d das Lebesgue-Maß auf R d, so gilt λ d (A) = inf{λ d (O) : A O und O ist offen}. (a) O n ist als Vereinigung offener Mengen offen. Da A O n, gilt auch A O n. n N Sei x O n, also x O n für alle n N. n N Annahme: x A. Da A abgeschlossen ist, gibt es dann ein ɛ > mit K ɛ (x) R d \ A. Für n > ɛ gilt dann x O n. Widerspruch. Somit gilt auch O n A. n N (b) Aus A O folgt λ d (A) λ d (O), somit gilt λ d (A) inf{λ d (O) : A O und O ist offen}. Umgekehrt gilt λ d (O n ) λ d (A) für n, da O n A, λ d (O ) (A und damit auch O ist beschränkt), siehe z.b. Aufgabe 45. Nun gilt {O n : n N} {λ d (O) : A O und O ist offen}, also auch λ d (A) = inf{o n : n N} {λ d (O) : A O und O ist offen} [,2,2,2,]
5. Bildmaß und Maß mit Dichte [8 Punkte] Gegeben ist die Abbilng h : R 2 R +, (x, y) x + y. µ = h(λ2 ) sei das zugehörige Bildmass. (a) Warum ist h messbar? (b) Berechnen Sie µ([a, b]) für a, b R +, a b. (c) Bestimmen Sie eine Dichte ρ, so dass ρλ ([a, b]) = µ([a, b]) für alle a, b R +, a b. (a) h ist als stetige Funktion messbar. [2] (b) Für kompakte Intervalle [a, b], a b gilt µ([, b]) = λ 2 (h ([, b])) = λ 2 ({(x, y) R 2 : x + y b}) = 2b 2, also µ([a, b]) = µ([, b]) \ [, a] {a}) = µ([, b]) µ([, a]) + µ({a}) = 2b 2 2a 2 +. [3] (c) Für die Dichte ρ : R R muss gelten 2(b 2 a 2 ) = µ([a, b]) = (ρλ )([a, b]) = [a,b] b ρ dλ = ρ(x)dx a für alle a b. Ableiten nach b ergibt 4b = ρ(b). Die Dichte ρ(x) = 4x erfüllt also die Gleichung ρλ ([a, b]) = µ([a, b]) für alle a, b R, a b. [3]
6. Lebesgue-Integrierbarkeit [8 Punkte] Sei f : R R, f(x) = cos x. Begründen Sie, warum f auf R Lebesgue-integrierbar ist. x + x 3, für x, f(x) x, für x. x 3/2 Somit ist R f(x) 2 dx + 2 x x 3/2 dx = 2[ 2 x/2 ] + 2[ 2 x /2 ] = + <, [4] f also Lebesgue-integrierbar. [4]
7. Substitutionsformel [2 Punkte] Auf dem offenen Einheitswürfel B = ], [ 3 ist die bijektive Abbilng uvw Φ : B C, Φ(u, v, w) = vw w gegeben, mit dem Simplex C = {(x, y, z) R 3 : < x < y < z < }. (a) Zeigen Sie, dass Φ ein lokaler C -Diffeomorphismus ist und geben Sie die zugehörige Umkehrfunktion an. (b) Berechnen Sie mit Hilfe der Substitutionsformel das Volumen von C. (c) Geben Sie die Schwerpunktkoordinaten (x s, y s, z s ) R 3 von C an. x s = 4 y s = 2 z s = 3 4 vw uw uv (a) det(dφ(u, v, w)) = det w v = vw 2 >, also ein lokaler Diffeomorphismus. [4] Die Umkehrfunktion ist Φ (x, y, z) = ( x y, y z, z). [3] (b) V = λ 3 (C) = dλ 3 = D Φ det(dφ) d3 λ = C (c) V s x = x dλ 3 (x, y, z) = C V s y = y dλ 3 (x, y, z) = C V s z = y dλ 3 (x, y, z) = C dv dv dv dw uvw vw 2 = dw vw vw 2 = dw w vw 2 = dv u v 2 dv vdv dw vw 2 = 2 3 = 6. [4] v 2 dv w 3 dw = 2 3 4 = 24. [3] w 3 dw = 3 4 = 2. [3] w 3 dw = 2 4 = 8. [3]
8. Hilbertraum [8 Punkte] V := C[, ] ist mit f, g := f n : [, ] C, f n (x) = x n. (a) Gilt Span({f n : n N }) = V? f(x)g(x)dx für f, g C ein Vektorraum mit Skalarprokt. Sei Ja X Nein (b) Ist V bezüglich der Norm f 2 := f, f vollständig? Ja X Nein (c) Bestimmen Sie eine ONB von Span({f, f }), die f enthält. (a) Nein, da e x stetig auf [, ] ist, aber nicht als endliche Linearkombination der f n, d.h. als Polynom geschrieben werden kann. [2] (b) Nein, da erst L 2 ([, ]) vollständig ist. Z.B. ist g n (x) = max{, min{n 2nx, }} Cauchy-Folge, konvergiert aber punktweise gegen die Funktion [, ], welche nicht stetig ist. [2] 2 (c) g = f ist schon auf normiert. g := f g, f g steht senkrecht auf g, wegen f, f = xdx = 2, also g (x) = x 2. g, g = (x 2 x + 4 )dx = 3 2 + 4 = 2. Somit ist (, 2(x 2 )) eine ONB. [4]