HHL - Handelshochschule Leipzig Leipzig Graduate School of Management Lehrstuhl für Finanzmangement und Banken Bemerkungen zu Löfflers Miles-Ezzell s WACC yields Arbitrage Prof. Dr. Bernhard Schwetzler 1 Marc Steffen Rapp 2 Version vom 14. Juni 2002 1 mailto: schwetzler@finance.hhl.de 2 mailto: rapp@finance.hhl.de
1 PROBLEMSTELLUNG 1 1 Problemstellung Mit Hilfe eines Beispiels zeigt Löffler in seinem Paper Miles-Ezzell s WACC Approach Yields Arbitrage, dass die Anwendung der WACC-Formel von Miles/Ezzell 3 auf von Miles/Ezzell unterstellten friktionslosen Kapitalmärkten i.a. zu Arbitragemöglichkeiten führt 4. Er zieht daraus den Schluss, dass der M&E-WACC auf arbitragefreien Kapitalmärkten nicht uneingeschränkt zur Anwendung kommen kann. Analysiert man das Beispiel genauer, so stellt man fest, dass weniger die Anwendung des M&E- WACCs, sondern - grundlegender - die auch in der Arbeit von Miles/Ezzell [ME 85] getroffene Annahme konstanten Kapitalkosten für das eigenfinanzierte Investitionsprojekt es ist, welche die Fehlbewertung - im Hinblick auf die sich ergebenden Arbitragemöglichkeiten - hervorruft. 2 Konstante Kapitalkosten und arbitragefreie Kapitalmärkte 2.1 Modifikation des Beispieles von Löffler Verdeutlichen lässt sich dies mit Hilfe einer Modifikation des von Löffler konstruierten Beispiels. Dazu betrachte man drei, jeweils eigenfinanzierte Investitionsprojekte IP 0, IP 1, IP 2, wobei IP 0 das eigenfinanzierte Investitionsprojekt aus Löfflers Beispiel und IP 1 bzw. IP 2 Teil-Investitionsprojekte, welche nur in t = 1 bzw. t = 2 einen dem von IP 0 zu diesem Zeitpunkt entsprechenden Cash-Flow generieren 5. Abbildung 1 veranschaulicht die Cash-Flow-Ströme der einzelnen Investitionsprojekte. Man sieht sofort, dass durch ein Portfolio bestehend aus IP 1 und IP 2 ein synthetisches Investitionsprojekt IP 0 konstruiert werden kann. Abbildung 1: Cash-Flows der Investitionsprojekte IP 1, IP 2, IP 3 Unterstellt wird im folgenden wie es sowohl Miles/Ezzell als auch Löffler tun i Kapitalkosten von k für die Diskontierung von t nach t 1 der in t generierten Cash-Flows und ii eine Bewertung von IP 0 gemäß 1 V 0 IP L = 2 t=1 IE IP [CF t ] 1 + WACC ME t, Bemerkt man ferner, dass der Wert von IP 2 unabhängig von den in t = 1 angenommenen Umweltzustand ist 6, dann lässt sich unter der Annahme der freien Handelbarkeit der drei Investitionsprojekte 3 Vgl. [ME 85]. 4 Vgl. [Löf 01, Kapitel 1] 5 IP 1 und IP 2 können auch als Portfolio von Arrow-Debreu-Wertpapieren interpretiert werden. 6 Dies ist offensichtlich, wenn man die Bewertungsformel 2 V 1 IP 2 = IEIP [CF 2 F 1 ] 1 + WACC ME,
3 ARBITRAGEFREIHEIT VON KAPITALMÄRKTEN 2 bereits ohne Fremdfinanzierungs- oder Steuereffekte eine Arbitragemöglichkeit konstruieren. Dazu ist das Investitionsprojekt IP 0 zu kaufen Long-Position und in Periode 1 durch eine Kombination aus Kredit und Short-Position in IP 1 und in Periode 2 durch eine Short-Position in IP 2 abzusichern. Mit den von Löffler gewählten Parametern i = 5% und k = 10% ergibt sich dann ein Arbitragegewinn von 2, 16 in t = 0. Die Abbildung 2 verdeutlicht die Arbitragestrategie. Abbildung 2: Arbitragestrategie im Falle der freien Handelbarkeit 3 Arbitragefreiheit von Kapitalmärkten 3.1 Preisfunktionale arbitragefreier Kapitalmärkte Arbitragefreie Kapitalmärkte weisen die Eigenschaft der Markt-Wertadditivität auf. Deshalb muss für alle Zeitpunkte t I das Preisfunktional 3 V t : CF t t I V t CF t t I eines arbitragefreien Kapitalmarktes linear sein 7, d.h. es muss gelten V s α X t t I + β Y t t I = αv s X t t I + βv s Y t t I, für alle s I, α, β IR, X, Ỹ IR. 3.2 Beispiel eines zweiperiodigen arbitragefreien Kapitalmarktes 3.2.1 Das arbitragefreie Bewertungsfunktional Gegeben sei das Modell eines friktionslosen, zweiperiodigen und arbitragefreien Kapitalmarktes in einer Binomialwelt. Dann lassen sich die dort handelbaren Wertpapiere W j j J darstellen als W j = Wu, j W j d, W uu, j W j ud, W j du, W j dd, j J. Ferner ist nach obigen Überlegungen und einem Standardergebnis der Linearen Algebra das zugehörige Preisfunktional für t = 0 von der Form 4 V 0 : IR 6 IR, W j V t W j := ψ W j := k κ 0 ψ k W j k t {0; 1} anwendet und dabei die Unabhängigkeit von CF 1 und F 1 beachtet. 7 Vergleiche hierzu [HK 79].
3 ARBITRAGEFREIHEIT VON KAPITALMÄRKTEN 3 wobei sowie ψ = ψ u, ψ d, ψ uu, ψ ud, ψ du, ψ dd κ 0 = {u, d, uu, ud, du, dd}. Betrachtet man nun eine Familie linear unabhängiger Wertpapiere W ij j=1,...,6 und deren beobachtbare Marktpreise P W ij, so lässt sich daraus unmittelbar ψ bestimmen und als Vektor der j=1,...,6 Marktpreise P A k der entsprechenden Arrow-Debreu-Wertpapiere zur Zeit t = 0 identifizieren 8. Ferner lassen sich k κ 0 Q 1 := 1 + i ψ u, ψ d Q 2 := 1 + i 2 ψ uu, ψ ud, ψ du, ψ dd als Wahrscheinlichkeitsmaße auf IR 2 bzw. IR 4 interpretieren, wobei bei geeigneter Modellierung des zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraumes mit dieser Interpretation Q 1 = Q 2 F 1 gilt und Q 2 das risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß für das Modell darstellt. 3.2.2 Bestimmung des Bewertungsfunktionals auf Basis beobachtbarer Marktpreise Sei nun ein Investitionsprojekt, welches die folgenden Cash-Flows CF = CF u, CF }{{ d, CF } uu, CF ud, CF du, CF dd, wobei CF }{{} u CF d in CF 1, =:CF 1 =:CF 2 mit der subjektiven Wahrscheinlichkeitsverteilungen IP 1 = p u, p d IP 2 = p uu, p ud, p du, p dd generiert, vorgegeben und k 1 die Kapitalkosten für CF 1 in der ersten Periode. Dann wird Q 1 durch 5 6 explizit berechenbar. q u = q d = 1 q u [ 1 + i 1 IE IP 1 [CF 1 ] CF d ] 1 CF u CF d Sind ferner durch k 2 Kapitalkosten für CF 2 für die zweite Periode vorgegeben, so läßt sich das arbitragefreie Bewertungsfunktional allein durch diese Vorgabe nur auf einer Hyperebe H IR 6 fixieren 9, bzw. das risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß nicht eindeutig bestimmen 10. 8 Unter der Annahme der Existenz einer Familie von sechs linear unabhängigen Wertpapieren erfüllt das Modell die sogenannte Spanningeigenschaft. 9 H ist durch die Vorgabe des Cash-Flows CF eindeutig fixiert und läßt sich darstellen durch { } α CF u, 0,... + β 0, CF u, 0,... + γ 0, 0, CF 2 + δ 1I : α, β, γ, δ IR. Insbesondere gilt für den Fall stochastisch unabhängiger CF CF 1, CF 2 CF 2 = CF uu, CF ud, CF uu, CF ud. 10 Da in t = 2 vier Umweltzustände zu unterscheiden sind, ist durch die Vorgabe von k 1 und k 2 die Spanningeigenschaft noch nicht erfüllt.
3 ARBITRAGEFREIHEIT VON KAPITALMÄRKTEN 4 3.2.3 Diskontierung von unabhängigen IP-CF Der Fall unabhängiger Cash-Flows vereinfacht die Problematik erheblich. Sei k 2 die Kapitalkosten des Cash-Flows CF 2 in der zweiten Periode, sodass sich der Marktwert von CF 2 zur Zeit t = 1 berechnet als 7 V 1 CF 2 = IEIP 2 [CF 2 F 1 ] IE IP 2 [CF 2 ] =, IEIP2 [CF 2 ]. 2 2 2 Dann erhält man im Fall unabhängiger CF CF 1, CF 2 und k 2 i und damit insbesondere V 0 CF = Q 1 CF 1 + Q 1 V 1 CF 2 = IE IP 2 [CF 2 ] Q 1 CF 1 + Q 1, IEIP2 [CF 2 ] 2 2 = Q 1 CF 1 + 1 1 + i IEIP2 [CF 2 ] 2 = IEIP 1 [CF 1 ] + IEIP2 [CF 2 ] 1 1 + i 2 8 V 0 CF IEIP1 [CF 1 ] 1 + IEIP2 [CF 2 ] 2 2. Obige Überlegungen zeigen also, dass auf zweiperiodigen, arbitragefreien Kapitalmärkten unabhängige CF CF 1, CF 2 nur dann mit konstanten Kapitalkosten k := k 1 = k 2 diskontiert werden dürfen, wenn der Risikozuschlag des zweiten Cash-Flows größer als der Risikozuschlag des ersten Cash-Flows ist. Genauer dann, wenn sich die Risikozuschläge wie folgt verhalten 9 10 z 1 = k i [ z 2 = k i 1 + kk i ]. 1 + i 3.2.4 Der Fall abhängiger Cash-Flows Löffler zeigt in seinem Paper [Löf 01], dass im diskreten Modell unter bestimmten Annahmen bezüglich der Cash-Flows eines Investitionsprojektes der von Miles/Ezzell abgeleitete WACC zu einer arbitragefreien Bewertung des teilweise fremdfinanzierten Investitionsprojektes führt. Die entscheidende Annahme hierbei ist die Assumption 3, welche für den Cash-Flow des IP die Existenz einer deterministischen Abbildung g : {0,..., T 1} IR mit 11 IE IP [CF t+1 F t ] = 1 + gt CF t für alle t {0,..., T 1} fordert 11. Es zeigt sich, dass diese Annahme die Unterstellung konstanter Kapitalkosten gerechtfertigt. Um dies zu zeigen sei also angenommen i konstante Kapitalkosten k := k 1 = k 2 für die jeweils erste Periode der CF CF 1, CF 2, d.h. der Wert von CF 1 z.z. t = 0 bzw. von CF 2 z.z. t = 1 stellt sich dar als 12 13 11 Siehe [Löf 01, Seite 8]. V 0 CF 1 = IEIP 1 [CF 1 F 0 ] V 1 CF 2 = IEIP2 [CF 2 F 1 ] = IEIP 1 [CF 1 ]
4 ZUSAMMENFASSUNG 5 ii die CF genügen der Assumption 3 aus dem Löffler-Modell 12 Mit Gleichung 13 erhält man dann woraus mit Gleichung 12 dann folgt V 0 CF 2 = Q 1 V 1 CF 2 = Q 1 IEIP2 [CF 2 F 1 ] 1 ] = [Q 1 1 + gcf 1 = 1 + g ] [Q 1 CF 1 = 1 + g IEIP1 [CF 1 ] = 1 + g IEIP 1 [CF 1 ] 2 = IEIP2 [CF 2 ] 2, 15 V 0 CF 2 = IEIP1 [CF 1 ] 4 Zusammenfassung + IEIP2 [CF 2 ] 2. i Es wurde gezeigt, dass die von Löffler konstruierte Fehlbewertung weniger mit Steuer- und/oder Fremdfinanzierungseffekten, denn mit der unzulässigen Unterstellung konstanter Kapitalkosten für Investitionsprojekte mit unabhängigen Cash-Flows zusammenhängt. ii Ferner wurde für zweiperiodige Investitionsprojekte, deren Cash-Flows der Löfflerschen Assumption 3 genügenden, gezeigt, dass die Unterstellung konstanter Kapitalkosten mit der Annahme des Handels auf arbitragefreien Kapitalmärkten vereinbar ist. 12 Assumption 3 des Löffler-Modells fordert für den Cash-Flow des IP 14 IE IP 2 [CF 2 F 1 ] = 1 + gcf 1 mit g IR.
LITERATUR 6 Literatur [HK 79] Harrison, J.M./ Kreps, D.M. 1979 Martingales and Arbitrage in Multipieriod Securities Markets, Journal of Economic Theory 20, S. 381-408 [Löf 01] Löffler, A. 2001 Miles-Ezzell s WACC Approach Yields Arbitrage, Diskussionspapier 248 2001 Universität Hannover [ME 85] Miles, J./Ezzell, J. 1985 The weighted average cost of capital, perfect capital markets, and project life: A clarification, Journal of Financial and Quantitative Analysis 15: 719-730 [TL] Tham, J./Löffler, A. n.n. The Miles & Ezzell M & E WACC Reconsidered, Working papaer, erhältlich unter http://www.wiwi.uni-hannover.de/finanzierung/