3 Wahrscheinlichkeiten 1 Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten A: Beispiele Beispiel 1: Ein Experiment besteht aus dem gleichzeitigen Werfen einer Münze und eines Würfels. Nach 100 Wiederholungen dieses Experiments erhielt man folgendes Ergebnis: 40mal wurde mit der Münze Kopf geworfen: Bei 10 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine 1 gewürfelt. Bei 25 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine Augenzahl größer als 2 gewürfelt. Eine 1 wurde insgesamt 21mal gewürfelt. 4mal wurde eine 2 gewürfelt und gleichzeitig mit der Münze Zahl geworfen Nach 1000 Wiederholungen des Experiments erhielt man folgendes Ergebnis: 166mal wurde eine 1 gewürfelt Bei 82 Versuchen davon warf man gleichzeitig mit der Münze Kopf 165mal wurde eine 2 gewürfelt Bei 79 Versuchen davon warf man gleichzeitig mit der Münze Zahl Insgesamt wurde 508mal mit der Münze Kopf geworfen a) Stellen Sie eine Tabelle mit den relativen Häufigkeiten aller Ereignisse des Experiments (i) nach 100 Wiederholungen, (ii) nach 1000 Wiederholungen, auf. b) Auf welche Werte werden sich die relativen Häufigkeiten einpendeln, wenn man das Experiment sehr oft wiederholt? Unterstellen Sie dabei, daß es sich um eine faire Münze und einen fairen Würfel handelt. c) A sei das Ereignis, keine 1 zu würfeln und gleichzeitig mit der Münze Kopf zu werfen. B sei das Ereignis, eine 2 zu würfeln. Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten: (i) P(A), P(B), P(A c ), P(B c ) (ii) P(A B), P(A B) (iii) P(A c B)
3 Wahrscheinlichkeiten 2 Lösung: (a) Ereignisraum des Experiments Ω = {(1,K); (2,K); (3 +,K); (1,Z); (2,Z); (3 +,Z)} (i) relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit/Anzahl der Wiederholungen Relative Häufigkeiten nach 100 Wiederholungen: Münze Würfel 1 2 3 + gesamt K 0.100 0.050 0.250 0.400 Z 0.110 0.040 0.450 0.600 gesamt 0.210 0.090 0.700 1.000 (ii) Relative Häufigkeiten nach 1000 Wiederholungen Münze Würfel 1 2 3 + gesamt K 0.082 0.086 0.340 0.508 Z 0.084 0.079 0.329 0.492 gesamt 0.166 0.165 0.669 1.000 (b) Der Wert, auf den sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses nach sehr vielen Wiederholungen des Experiments einpendelt, ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses. Jede Augenzahl wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 gewürfelt. Bei einer fairen Münze haben 6 Kopf und Zahl jeweils die Wahrscheinlichkeit 1 2. Es ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeitstabelle für die Elementarereignisse: Münze K Z gesamt Würfel 1 2 3 + gesamt 1 12 = 0.083 1 12 = 0.083 1 3 = 0.333 1 2 = 0.500 1 12 = 0.083 1 12 = 0.083 1 3 = 0.333 1 2 = 0.500 1 6 = 0.167 1 6 = 0.167 2 = 0.667 1.000 3 (c) (i) A = {(2,K); (3 +,K)}; A c = {(1,K); (1,Z); (2,Z); (3 +,Z)} B = {(2,K); (2,Z)}; B c = {(1,K); (3 +,K); (1,Z); (3 +,Z)} P(A) = P(2,K) + P(3 +,K) = 1 12 + 1 3 = 5 12 P(B) = P(2,K) + P(2,Z) = 1 12 + 1 12 = 1 6
3 Wahrscheinlichkeiten 3 P(A c ) = P(1,K) + P(1,Z) + P(2,Z) + P(3 +,Z) = 1 12 + 1 12 + 1 12 + 1 3 = 7 12 oder P(A c ) = 1 P(A) = 1 5 12 = 7 12 P(B c ) = P(1,K) + P(3 +,K) + P(1,Z) + P(3 +,Z) = 1 12 + 1 3 + 1 12 + 1 3 = 5 6 P(B c ) = 1 P(B) = 1 1 6 = 5 6 (ii) A B = {(2,K)}; A B = {(2,K); (3 +,K); (2,Z)} P(A B) = P(2,K) = 1 12 P(A B) = P(2,K) + P(3 +,K) + P(2,Z) = 1 12 + 1 3 + 1 12 = 1 2 oder P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 5 12 + 1 6 1 12 = 1 2 (iii) A c B = {(1,K); (2,K); (1,Z); (2,Z); (3 +,Z)} P(A c B) = P(1,K) + P(2,K) + P(1,Z) + P(2,Z) + P(3 +,Z) = 1 12 + 1 12 + 1 12 + 1 12 + 1 3 = 2 3 oder (A c B) c = {3 +,K)}; P((A c B) c ) = P(3 +,K) = 1 3 P(A c B) = 1 P((A c B) c ) = 1 1 3 = 2 3 B: Übungsaufgaben [ 1 ] Ein fairer Würfel wurde 20 - mal geworfen. Die Ergebnisse waren: Welche Aussagen sind WAHR? Augenzahl 1 2 3 4 5 6 Häufigkeit 2 4 3 6 3 2 a) Die relative Häufigkeit ist für alle Augenzahlen gleich, nämlich 1/6. b) Die Wahrscheinlichkeit der Augenzahl 2 ist 1/5. c) Die Wahrscheinlichkeit der Augenzahl 6 ist gleich der Wahrscheinlichkeit der Augenzahl 4. d) Die relative Häufigkeit der Augenzahl 5 ist 3. e) Die relative Häufigkeit der Augenzahl 3 ist 3/20.
3 Wahrscheinlichkeiten 4 [ 2 ] Sei Ω der Ereignisraum; A, B und C seien Ereignisse. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) P(A B) = P(A), wenn B A b) P(A) + P(B) = P(A B), falls A B = /0 c) P(Ω) < 1 d) P(/0 c ) = 1 e) P(A c ) = P(Ω) P(A) [ 3 ] Folgender Ereignisraum Ω mit den Teilmengen A,B und D (schwarz) ist gegeben. Ω Α Β Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? a) P(D) P(B) b) P(A D) = P(A) + P(D) c) P(D) = P(B \ A) d) P(A c B) = P(D) e) P(D) = P(B) P(A) [ 4 ] Welche Aussagen sind WAHR? a) Der Stichprobenmittelwert x eines Merkmals X pendelt sich bei wachsender Stichprobengröße auf einen festen Wert ein. b) Bei abzählbaren Ergebnisräumen ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse immer gleich eins. c) Die relativen Häufigkeiten eines Ereignisses ändern sich nicht, wenn man verschiedene Stichproben gleicher Größe aus einer Population nimmt. d) Die relativen Häufigkeiten eines Ereignisses pendeln sich bei wachsender Stichprobengröße auf einen festen Wert ein, dem in der Theorie die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses entspricht. e) Bei höherem Stichprobenumfang erwartet man auch eine größere relative Häufigkeit für ein bestimmtes Ereignis.
3 Wahrscheinlichkeiten 5 [ 5 ] Wir werfen zwei faire identische Münzen gleichzeitig und betrachten das Ereignis, dass die beiden Münzen unterschiedliche Seiten zeigen. Auf welchen Wert pendeln sich die relativen Häufigkeiten für dieses Ereignis bei sehr vielen Würfen ein? [ 6 ] Ω sei der Ereignisraum. A, B, C, D seien Teilmengen von Ω mit A C, B D, C D = /0. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? (Hinweis: Zeichnen Sie sich ein Bild der Ereignisse) a) P(A Ω) = 1 b) P(A) + P(B) + P(A B) > 1 c) P(A B) + P(Ω) = P(A) + P(B) d) P(C A) = P(D B) = 1 e) P(A B) = P(C D) = 0 [ 7 ] Es wurden alle 300 Absolventen des Fachbereichs Wirtschaftswissenschaften eines bestimmten Examenstermins nach ihren Examensnoten und ihrer Klausurnote in Statistik I (Grundstudium) befragt. A sei die Menge der Absolventen, die ein Prädikatsexamen ablegten (Note 2.5 und besser). B sei die Menge der Absolventen, die eine bessere Note als 2.7 im Grundstudium in Statistik I erzielten. Insgesamt haben von den 300 befragten Absolventen 100 ein Prädikatsexamen abgelegt und 120 eine Statistik I-Note erzielt, die besser als 2.7 war. 90 Absolventen erzielten ein Prädikatsexamen UND erreichten eine bessere Note als 2.7 in Statistik I. Bestimmen Sie den Anteil der Studenten, die EIN Prädikatsexamen ablegten unter der Bedingung, dass sie eine 2.7 oder schlechtere Note im Grundstudium in Statistik I erzielten. Bestimmen Sie nun den Anteil der Studenten, die KEIN Prädikatsexamen ablegten unter der Bedingung, dass sie eine bessere Note als 2.7 im Grundstudium in Statistik I erzielten.
3 Wahrscheinlichkeiten 6 [ 8 ] Es beschreibe Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ein symmetrisches Zufallsexperiment. Ferner sei A = {2, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 4}, C = {3, 5, 6}. Berechnen Sie P(B C). P(B C) = Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Die Mengen A und B sind unabhängig. b) P(A B) = P(B). c) P(B A) = P(B). d) Die Mengen B und C sind unabhängig. e) P(B C) = P(B). [ 9 ] In der Fontham Studie zum Passivrauchen ( Lung Cancer in Non Smoking Women: A Multicenter Case Control Study, 1991) ergab sich folgende Häufigkeitstabelle: Ehemann Ehefrau Lungenkrebs kein Lungenkrebs Raucher 294 492 Nichtraucher 126 288 Bestimmen Sie den Anteil der untersuchten lungenkrebskranken Ehefrauen unter der Bedingung, dass ihr Ehemann Raucher ist. Bestimmen Sie den Anteil der untersuchten Ehefrauen, die NICHT an Lungenkrebs erkrankt sind, unter der Bedingung, dass der Ehemann Nichtraucher ist.
3 Wahrscheinlichkeiten 7 [ 10 ] Sei Ω = {e 1,e 2,...,e n } die Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes, und A Ω ein Ereignis. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? n a) P(e i ) = 1. i=1 b) Ist das oben beschriebene Zufallsexperiment symmetrisch, so gibt es nur zwei mögliche Elementarereignisse, d. h. n = 2. c) Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ist gegeben durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten der in A enthaltenen Elementarereignisse. d) A Ω e) e i Ω [ 11 ] Betrachtet werden zwei Ereignisse. Ereignis A beschreibt das Ereignis, dass ein Kino dienstags ausverkauft ist. Ereignis B beschreibt das Ereignis, dass das Popcorn nicht für alle Kinobesucher ausreicht. Aus Erfahrung weiß der Kinobesitzer, dass das Ereignis A mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 eintritt. Unter der Bedingung, dass das Kino dienstags ausverkauft ist, ist die Wahrscheinlichkeit 7 dafür, dass das Ereignis B eintritt, 1 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(A B), also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Kino dienstags ausverkauft ist und es kein Popcorn mehr gibt? P(A B) = C: Klausuraufgaben [ 12 ] IV07S Ein elektronisches Gerät besteht aus den beiden Komponenten 1 und 2. Das Ereignis A sei der Ausfall der Komponente 1, Ereignis B sei der Ausfall der Komponente 2. Aus langjähriger Erfahrung weiß man, dass Komponente 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.05 ausfällt, d.h. P(A) = 0.05. Die Wahrscheinlichkeit, dass Komponente 1 ausfällt, wenn Komponente 2 ausgefallen ist, beträgt 0.2, d.h. P(A B) = 0.2. Außerdem ist bekannt, dass beide zusammen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.02 ausfallen, d.h. P(A B) = 0.02. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P(B) = P(B A) =
3 Wahrscheinlichkeiten 8 [ 13 ] II07S Sie werfen gleichzeitig zwei faire Münzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(A), dass beide Münzen mit der gleichen Seite oben liegen? P(A) = [ 14 ] IV07S1 Sie werfen gleichzeitig zwei faire Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(A), dass die Summe der Augenzahlen kleiner oder gleich 4 ist? P(A) = [ 15 ] II07S1 Es sei Ω = {2,3,4,5,6,7,8,9} A = {3,5,7,9} B = {2,3,4,5,6,7}. Die Elementarereignisse besitzen alle dieselbe Wahrscheinlichkeit. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten, wobei B \ A = {x : x B und x / A}. P(A B) = P(B \ A) = [ 16 ] IV07S1 Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Die Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments ist die Ergebnismenge Ω. b) Falls Ω endlich ist, besitzen alle Elemente von Ω, d.h. die sogenannten Elementarereignisse, dieselbe Wahrscheinlichkeit. c) Man spricht von einem symmetrischen Zufallseperiment, wenn der Ergebnisraum endlich ist und alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. d) Es ist das Besondere an einem symmetrischem Zufallsexperiment, dass das unmögliche Ereignis die Wahrscheinlichkeit 0 und das sichere Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1 hat. e) Für jedes Ereignis A gilt P(A Ā) = P(A) + P(Ā) = 1.
3 Wahrscheinlichkeiten 9 [ 17 ] II07S Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn P(A B) = P(A) P(B). b) Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn P(A B) = P(A). c) P(A B) = P(A B) P(A) d) P(A B) + P(Ā B) = P(A B) + P(Ā B) P(B) = P(B) P(B) = 1 e) P(A Ω) = P(A) = P(A) 1 = P(A) P(Ω), d.h. die Ereignisse A und Ω sind unabhängig.
3 Wahrscheinlichkeiten 10 D: Lösungen 1) c, e 2) a, b. d, e 3) a, b, c, d 4) a, b, d 5) 1 2 6) a, d, e 7) 1 18 ; 1 4 8) 1 3 ; a, c 9) 49 131 ; 16 23 10) a, c, e 11) 2 7 12) 0.1 ; 0.4 13) 1 2 14) 1 6 15) 1 2 ; 3 8 16) a, c, e 17) a, b, d, e