Die historische Betrachtung der Platonischen Körper Christian Hartfeldt Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Fakultät für Mathematik Institut für Algebra und Geometrie christian.hartfeldt@t-online.de Internetauftritt: http://home.t-online.de/home/christian.hartfeldt/vortrag.htm 10. Januar 2002
Definition der Platonischen Körper Platon:... einen festen Körper, vermittels dessen die ganze Kugel in gleiche und ähnliche Teile zerlegbar ist. Euklid: Bei einem regelmäßigen Körper handelt es sich um einen Körper, welcher von jeweils einander gleichen gleichseitigen und gleichwinkligen Figuren umfasst wird Platonische Körper (Zuordnung nach Platon): Würfel (Erde), Ikosaeder (Wasser), Tetraeder (Feuer), Oktaeder (Luft), Dodekaeder (Weltall) 1
Pentagramm entsteht, wenn man einen Papierstreifen einmal knotet und den entstehenden Knoten platt drückt Feststellung: Zeichnet man in ein regelmäßiges Fünfeck die Diagonalen ein oder verlängert man die Seiten eines regelmäßigen Fünfecks, so entsteht ein fünfzackiger Stern Bezeichnungen sind: Pentagramm, Pentalpha, Drudenfuß, Albfuß bzw. Albkreuz 2
Konstruktion der Platonischen Körper nach Platon Daß zunächst nun Feuer und Erde und Wasser und Luft Körper sind, das ist wohl jedem klar; zum Wesen jedes Körpers gehört es aber, daß er räumliche Ausdehnung besitzt. Und ferner muß die räumliche Ausdehnung unbedingt eine Oberfläche um sich herum haben; jede geradlinige Grundfläche aber besteht aus Dreiecken.... Wir müssen nun also erklären, dank welcher Beschaffenheit gerade vier Körper zu den schönsten werden, die sich zwar unähnlich sind, aber doch, indem sie sich auflösen, die Möglichkeit haben, der eine aus dem anderen zu entstehen; denn wenn wir so weit gelangt sind, besitzen wir auch schon die Wahrheit über die Entstehung von Erde und Feuer und von den Elementen, die sich in entsprechenden Abständen zwischen diesen befinden. Und wir werden niemandem einräumen, daß irgendwo schönere Körper als diese zu sehen sind, ein jeder seiner besonderen Gattung gemäß. Wir müssen uns also bemühen, diese vier Gattun- 3
gen von Körpern, die sich durch ihre Schönheit auszeichnen, miteinander in Verbindung zu bringen und zu beweisen, daß wir ihre Natur hinlänglich begriffen haben. Es ist das, aus deren zwei das gleichseitige Dreieck als drittes entstanden ist. 2 1 1 3 2 1 Konstruktion des Würfels: Nachdem nun das eine dieser beiden Grunddreiecke diese 3 Körper hervorgebracht hatte, war es seiner Aufgabe ledig. Da- 4
gegen brachte nun das gleichschenklige Dreieck die Natur des vierten Körpers hervor: je vier solche traten zusammen; ihre rechten Winkel vereinigten sich im Mittelpunkt und bildeten so ein einziges gleichseitiges Viereck, Konstruktion des Ikosaeders: Der Erde wollen wir also die kubische Form zuweisen; denn sie ist die unbeweglichste von den vier Gattungen und der bildsamste von allen Körpern. 5
Euklid Der Vater der Geometrie Das Buch Die Elemente (Stoicheia) In diesem Buch findet man ein System von Definitionen, Axiome, Postulate, aus denen dann alle Lehrsätze rein deduktiv hergeleitet werden Grundlage der heutigen Elementarmathematik Bekannter Beweis: Es gibt unendlich viele Primzahlen Weiterhin bekannt ist Euklidischer Algorithmus, um den ggt zwischen zwei Zahlen zu finden untersuchte auch Konstruktionen zu Platonischen Körpern und gibt eine Begründung, warum es nur 5 Platonische Körper geben kann 6
Zeitalter der Renaissance Beschäftigung mit der Persektive Grund- und Aufrissverfahren Entdeckung neuer geometrischer Kurven Analyse von Parketten Schönheit der regulären und halbregulären Polyeder Versuche unternommen, um Harmonie und Schönheit in Zahlenverhältnisse auszudrücken Beginn der Fachterminologie in der Geometrie 7
Ausgewälhte Vertreter der Renaissance Luca Pacioli (1445-1517): Werk: Summa de Arithmetica Geometrica Proportioni et Proportionlita (1494); Divina Proportione (1498); De viribus quantitatis (1498)(über magische Quadrate); Sonnett aus De Divina Proportione Sonett von Luca Pacioli. Fünf Körper hat die mächtige Natur erzeugt, Die treffend man als einfache bezeichnet. Denn in jedweder Mischung finden sie vereint sich Und fügen ordnungsmäßig sich zusammen. Rein, unvermischt und makellos erschaffen Als Feuer, Wasser, Himmel, Luft und Erde Zahllosen Keimen gaben sie den Ursprung Nach Plato s Meinung, und die erste Form. Doch weil vom Leeren die Natur erschreckt Nach Aristoteles in Erd und Himmel Nicht können sie für sich allein besteh n. 8
Und keiner Art begegnet unser Auge Doch Plato s Geist und dem Euklid s gelang es Fünf kugelart ge Körper zu entdecken Von regelrechter Form und schönem Anblick Von gleichen Flächen und von gleichen Kanten. Und noch ein sechster kann niemals entstehen. Albrecht Dürer (1471-1528): Mellancolia I (1514); Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt, in Linien ebnen und gantzen corporen (1525) Johannes Kepler (1571-1630) 9
Die Platonischen Körper im 20. Jahrhundert M. C. Escher (1898-1972): Themengliederung: Ausführungen zu verschiedenen Problemen der zweidimensionalen Abbildung des Dreidimensionalen Verwendung von Parkettierungen Deutung von Abbildungen Salvador Dali (1904-1989): Corpus hypercubicus (1954) 10