Verpackungsoptimierung ein Thema für einen langfristigen Kompetenzaufbau im mathematischen Modellieren Prof. Dr. Regina Bruder Technische Universität Darmstadt www.math-learning.com ISTRON 009, Wien
Gliederung 1. Ziele, Inhalte und Konzepte für einen langfristigen Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht. Verpackungsoptimierung: Mathematisch Modellieren in verschiedenen Stufen 3. Unterstützungsinstrumente zum langfristigen Kompetenzaufbau im mathematischen Modellieren
Vision für modernen MU Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik... verstanden, Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. behalten und Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995
1. Ziele und Inhalte für einen langfristigen Kompetenzaufbau Nachhaltige langfristige Förderung mathematischer Kompetenzen meint dann: - Verstehen lernen, worum es geht in der Mathematik - Behalten und verfügbar haben, wie man vorgehen kann, um (mathematikhaltige) Problemstellungen erfolgreich zu bearbeiten - grundlegende Mathematisierungsmuster auf prototypische Sachverhalte anwenden können
Was sind prototypische Sachverhalte? Anwendungslinien als Stützen der Curriculumspirale Umgehen mit Geld... Anteile beschreiben und vergleichen (Brüche, Dreisatz, Prozentrechnung, Streckenteilung/Goldener Schnitt...) Optimieren Entfernung unzugänglicher Punkte bestimmen Funktionale Zusammenhänge beschreiben (Wachstum/Zerfall) Beziehungen zwischen Zahlen und Figuren beschreiben Visualisierungen (Mittelwerte, bin. Formeln...) Symmetrie, Kongruenz Ähnlichkeit... Figuren erzeugen in Ebene und Raum Zufall beschreiben...
Was sind Mathematisierungsmuster? Berechnungsmöglichkeiten für unzugängliche Strecken -Pythagoras -Strahlensätze -Trigonometrie -Skalarprodukt Beschreibungsmöglichkeiten für Datensätze und (lokale) Änderungen -Funktionstypen -Regression -Linearisierung -Ableitung Erzeugen von Figuren, Mustern -Kongruenzabb. -Ähnlichkeitsabb. -Grundkonstruktionen -Symmetrie Optimieren von Prozessen und Objekten -Extremalprinzip -Differenzialrechnung -Ungleichungen -Symmetrieprinzip
Was ist wesentlich? Orientierung an der Curriculumspirale Abstände Figuren erkennen untersuchen erzeugen variieren berechnen Datensätze beschreiben darstellen strukturieren Algebraische Aspekte: Zahl Geometrische Aspekte: Raum Objekte (und Prozesse) optimieren - bei Verpackungen
Die Lernenden - -- erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. - in Verbindung mit Verpackungen - kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur mathematischen Bearbeitung realitätsbezogener Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen. - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.
Wo kann es (individuell unterschiedlich) schwierig werden? Problemlösen beim Modellieren! Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Kompetenzaspekte: -Intelligentes Wissen Mathematik Realität 4 -Handlungskompetenz Probierorientierung Musterorientierung Feldorientierung -Metakompetenz Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation
Wie kann man mathematische Modellierungskompetenz langfristig aufbauen? Probierorientierung S: Lösen von Beispielaufgaben (alle Formate) z.b. Wird man weniger nass, wenn man schneller läuft, wenn es regnet? Wie lang wird ein Zahnpastastreifen? Wie lange dauert der Wasserwechsel im Schwimmbad? -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Übergang zur L: Was war hilfreich, um diese Musterorientierung Fragen zu beantworten? S: Lösen weiterer Beispielaufgaben mit Feedback und Vergleich verschiedener Aufgaben bzgl. ähnlicher Vorgehensweisen L: Input: Modellierungskreislauf und Fokussierung der Teilhandlungen in den Kontexten Mathematik Realität Mathematisches Modell Realmodell 1 3 Realsituation 5 Mathematische Ergebnisse 4 Reale Ergebnisse
Wie kann man mathematische Modellierungskompetenz langfristig aufbauen? Probierorientierung Lösen von Beispielaufgaben z.b. Wird man weniger nass, wenn man schneller läuft, wenn es regnet? Wie lang wird ein Zahnpastastreifen? Wie lange dauert der Wasserwechsel im Schwimmbad?
Wie kann man mathematische Modellierungskompetenz langfristig aufbauen? Probierorientierung Orientierung am Muster Mathematik Realität Mathematisches Modell Übergang zur Feldorientierung Realmodell 1 3 Realsituation 5 Mathematische Ergebnisse 4 Reale Ergebnisse S: Lösen von Beispielaufgaben mit Feedback und Vergleich verschiedener Aufgaben bzgl. ähnlicher Vorgehensweisen S: Lösen von Aufgaben zu den Teilhandlungen des Modellierens in wenig variierenden Kontexten mit schrittweiser Erweiterung L: Musterlösungen mit Kommentierung stehen zur Orientierungsbildung zur Verfügung Aufgabentyp: Weg und Ziel sind wichtig! S: Reflexion des Modellierungskreislaufes und der Teilhandlungen bzgl. Einsatz von Mathematik und von Strategien
Wie kann man mathematische Modellierungskompetenz langfristig aufbauen? Probierorientierung Orientierung am Muster Feldorientierung S: Lösen von Beispielaufgaben mit Feedback und Vergleich verschiedener Aufgaben bzgl. ähnlicher Vorgehensweisen S: Lösen von Aufgaben zu den Teilhandlungen des Modellierens S: Reflexion des Modellierungskreislaufes und der Teilhandlungen bzgl. Einsatz von Mathematik und von Strategien Mathematisches Modell Mathematik Realität 3 Mathematische Ergebnisse 4 S: Vergleichen von Modellierungsbeispielen und Herausarbeiten von Analogien mit Verallgemeinerung, die im Modellierungskreislauf verortet wird; Realmodell 1 5 Realsituation Reale Ergebnisse Transfer auf andere Kontexte Eigene Beispiele finden
Gliederung 1. Ziele, Inhalte und Konzepte für einen langfristigen Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht. Verpackungsoptimierung : Mathematisch Modellieren in verschiedenen Stufen 3. Unterstützungsinstrumente zum langfristigen Kompetenzaufbau im mathematischen Modellieren
. Verpackungsoptimierung: Mathematisch Modellieren in verschiedenen Stufen Ziel: Das Lernpotenzial zum mathematischen Modellieren im Themenfeld Verpackungen erkunden
- Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik in Verpackungen versteckt?
. Verpackungsoptimierung: Mathematisch Modellieren in verschiedenen Stufen Was ist an Verpackungen von Bedeutung? (relevante Fragen stellen lernen) Schutzfunktion Schutz des Füllguts über die gesamte Lieferund Gebrauchskette Transportierbarkeit Schutz vor Veränderung der Produktqualität Schutz vor Füllgutverlusten Informationsträger Verpackung als System: Verkaufs-, Um- und Transportverpackung Art des Materials Form Handhabbarkeit Herstellungsverfahren
Die öffentliche Diskussion hat sich in den vergangenen Jahren von der Nachhaltigkeit (Rio) über die Klimadiskussion auf eine Kohlenstoff-Fußabdrucks-Diskussion in der Öffentlichkeit zugespitzt Verschiedene Hersteller auf europäischer Ebene wollen auf Produkten bzw. Verpackungen zukünftig freiwillig über die erzeugten CO - Emissionen informieren.
In Deutschland sind Politik und Wirtschaft von der Wirkung einer quantitativen CO -Kennzeichnung nicht überzeugt. (Ergebnisbericht PCF-Projekt, Januar 009)
Der Anteil der Verpackung am Kohlenstoff-Fußabdruck variiert je nach Produkt 1,5 Liter PET Flasche befüllt mit Mineralwasser 1,0 Liter PET-Flasche befüllt mit Saft 0,5 Liter Kunststoffbecher befüllt mit Yoghurt Verpackung Inhalt Verpackung Inhalt Verpackung Inhalt 0,5 Liter Kunststoffschale befüllt mit Gemüse 0,5 Liter Kunststoffschale befüllt mit Wurst Exemplarische Berechnung durch IFEU Heidelberg im Auftrag von IK/BKV, 009 Verpackung Inhalt Verpackung Inhalt
- Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik in Verpackungen versteckt? Vergleichen verschiedener Verpackungen miteinander Frage: Welche Mathematik wird wofür benötigt? Art des Materials Form Handhabbarkeit Herstellungsverfahren Ökologische Aspekte
Vergleichen verschiedener Verpackungen miteinander nach Art des Materials mit Optimierungsideen allerdings in Abhängigkeit von der Art der Herstellung
Vergleichen verschiedener Verpackungen miteinander nach der Form der Verpackung in Verbindung mit dem Herstellungsverfahren und der Optimierung des Materialverbrauchs
Fallbeispiel: Bier in Glasflasche oder Alu-Dose Die ökologischen Stellschrauben innerhalb eines Produktlebenswegs sind je nach Umweltproblemfeld an unterschiedlichen Stellen zu finden. Entsorgung + Recycling Distribution Füllgut Abfüllung g PO4-Äquivalente pro 1000 l UBC-Recycling 1 Sekundäre- und tertiäre Verpackung 50 Kunststoff-Herstellung. Etikettherstellung Verschlussherstellung Getränkebehälterherstellung Prozessschrottaufbereitung Dosenbandherstellung Primär-Aluminium-Herstellung, Blechherstellung für Kronkorken Behälterherstellung kg CO-Äquivalente pro 1000 l Bier 180 160 140 10 100 80 60 40 0 0 Fallbeispiel 1: Regionaler Vertrieb Treibhauseffekt. Glas T100 UZ5 4. Alu T100 Glas MW Alu-Dos Distribution k g C O -Ä quiv alente pro 1000 l B ier 00 180 160 140 10 100 80 60 40 0 0 Treibhauseffekt 5. Glas T680 6. Alu T680 UZ11 MW EW Fallbeispiel : Deutschland weiter Vertrieb Entsorgung und Recycling Quelle: IntJLCA (Basis: IFEU-Studie im Auftrag der GDA)
- Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik in Verpackungen versteckt? Vergleichen verschiedener Verpackungen miteinander Verpackungen analysieren Kreation einer neuen Leckerei mit Verpackung Frage: Welche Mathematik wird wofür benötigt?
a) Schätze das Volumen dieser Schachtel und beschreibe, wie du dabei vorgehst! b) Wenn das Volumen des Inhalts 70% (oder weniger) des Volumens der Verpackung beträgt, spricht man von einer Mogelpackung. Handelt es sich hier um eine Mogelpackung? Begründe deine Meinung rechnerisch.
Wo findet man Realität, die wirklich mathematisch betrachtet wird? Mit der Mathebrille: Verpackungen kreieren und analysieren - Wie viel Prozent des Packungsvolumens enthält essbaren Inhalt? - Sind die Kriterien für eine Mogelpackung erfüllt? Relevanz?? - Wie könnte man die 15 Pralinen noch anders verpacken? Konstruiere einen neuen Vorschlag! Relevanz??
Beispiele für Analysen von Verpackungen Ist die Tetrapak-Milchtüte materialoptimal? Ansatz 1 Der erste Ansatz berücksichtigt ausschließlich die Materialminimalität der 1-Liter-Milchtüte mit quadratischer Grundfläche. Aspekte wie Stabilität, Handlichkeit und Öffne- und Wiederverschließmöglichkeit, die in der realen Herstellung beachtet werden müssen, spielen keine Rolle. http://www.archiabi03.de/unterricht/facharbeiten/facharbeit_vincent_m_extremwertbestimmung1.pdf Wollen Sie Ihre CDs in der Hülle verschicken, empfehlen wir Ihnen den Jewelcase Versandbrief. Auch er ist selbstklebend und portooptimiert. Prüfe das nach!
- Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik in Verpackungen versteckt? Vergleichen und Analysieren von Verpackungen Frage: Welche Mathematik wird wofür benötigt? Realsituationen mathematisch beschreiben: Material- und Kostenoptimierung bei der Herstellung von Verpackungen unter Berücksichtigung von Nutzerfreundlichkeit Schutz und Haltbarkeit des Verpackungsinhalts ökologischer Aspekte Frage: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhänge mathematisch beschreiben? Welche Vorteile, welchen Mehrwert kann eine mathematische Beschreibung bieten?
Realsituationen mathematisch beschreiben: 1.) Optimierung der Verpackung auf der Palette unter Berücksichtigung von Schachtelbauarten, Schachtelabmessungen, Materialverbrauch, der Qualitätsbestimmung einzusetzender Wellpappe für die Versandverpackung und der Geometrie der Produktverpackung;.) Optimierung des Verpackungsspektrums, d.h. Reduzierung der Verpackungsvielfalt durch optimales Packen der Artikel in der Verpackung und optimale Stapelung der Packungen auf der Palette, sowie durch Verpackungsauswahl und statistische Auswertung der Packergebnisse Quelle: http://publica.fraunhofer.de/dokumente/px-7489.html
Realsituationen mathematisch beschreiben: Wie gelingt hier eine materialsparende Herstellung?
Optimieren am Beispiel von Verpackungen Ein Volumen von 1 dm³ (Schokobons) soll verpackt werden! Es sind Bedingungen für eine minimale Oberfläche bei verschiedenen gegebenen Körperformen bei festem Volumen zu finden! Mögliche Körperformen: Kugel, Zylinder, Würfel, Kreiskegel, Mögliche Körperformen: Prisma mit gleichseitigem Dreieck als Kugel, Grundfläche, Zylinder, Würfel, Kreiskegel, Prisma Pyramide mit mit gleichseitigem quadratischer Dreieck als Grundfläche, Pyramide Tetraeder mit quadratischer Grundfläche, Tetraeder
Ein Volumen von 1 Liter Wasser soll verpackt werden! Körper Optimale Verpackung Kugel A = 4 πr r = 3 V 3 4 π A = 483,60 cm Zylinder A = πr + V V r r = 3 V 3 π A = 553,58 cm Würfel A = 6 a a = 3 V A = 600cm Kreiskegel A 9 V 4 6 πr + + r r = A = 609,30cm = π r 9 V 8 π
Prisma mit gleichseitigem Dreieck als Grundfläche A = a 3 + 1 V a 3 a = 3 4 V A = 654,57cm Pyramide mit quadratischer A = a + a 4 + 36 V a A = 660,39 cm Grundfläche Tetraeder A = a 3 a 1 V = 3 A = 70,56cm
Realsituationen mathematisch beschreiben: Dosenoptimierung unter dem Gesichtspunkt der Nutzerfreundlichkeit
Mathematikbrille aufsetzen - Reflexion Welches sind typische Fragen, die Mathematiker stellen und auch zu beantworten versuchen? -etwas optimieren -etwas schrittweise verfeinern, annähern -einen Algorithmus finden (eine Formel ) für einen Zusammenhang -Mathematische Modelle für Realsituationen finden, Simulationen Wenn man eine Lösung für ein Problem gefunden hat: - Ist das die einzige Lösung? Kann man das beweisen? - Kann man diese spezielle Lösung auch verallgemeinern?
Reflexion und Hintergrund Jedes Ziel umfasst: - Intelligentes Wissen Handlungskompetenz Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, - auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. In welche Richtungen kann man fragen? (Wo ist Mathematik versteckt, wo hilfreich ) Typische Mathematikerfragen kennen Konkrete Fragen in einem Kontext finden auf verschiedenen Orientierungsleveln 1. Probierorientierung. Orientierung am Bsp. 3. Feldorientierung Metakompetenz Beurteilungskriterien für mathematikhaltige Fragestellungen
Verpackungen machen in Deutschland ca. 1% in der CO-Gesamtemission aus. Durchschnittbilanz Tonnen CO pro Jahr Durchschnittliche CO - Emission pro Kopf in Privathaushalten Heizen und Warmwasser 1,97 Elektrogeräte 0,75 Energieverbrauch gesamt,7 Privatfahrzeuge 1,56 Offentliche Verkehrsmittel 0,11 Flugreisen 0,85 Mobilität gesamt,5 Ernährung 1,65 Persönlicher Konsum,75 Verbrauch der Allgemeinheit 1,4 Konsum gesamt 5,64 Gesamt 10,88 Persönlicher Konsum 6% Verbrauch der Allgemeinheit 11% Ernährung 15% Heizen und Warmwasser 18% Elektrogeräte 7% Offentliche Verkehrsmittel 1% Flugreisen 8% Privatfahrzeuge 14% Quelle: Umweltbundesamt
Kontakt: www.math-learning.com bruder@mathematik.tu-darmstadt.de www.prolehre.de Lehrerfortbildungskurs zum math. Modellieren www.madaba.de Gastzugang: istron/wien009 www.amustud.de Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit.