Ausarbeitung Pohlsches Rad / Chaos Autoren: Simone Lingitz, Sebastian Jakob 1. Vorarbeiten zu Hause 1.1 Erzwungene Schwingung einer Feder mit Dämpfung Bewegungsgleichung: m & x + b x& + k x m g = F cos( ω t) b beschreibt das Maß der Dämpfung k ist die Federkonstante F cos( ω t) ist die antreibende Kraft Führt man ein anderes Koordinaten system ein, in dem der Nullpunkt der Gleichgewichtspunkt der Feder mit Masse ist, so kommt man auf folgende Gleichung: x = x + x x = m g / k x & = x& & x = & x m & x + b x& + k( x + x ) m g = F cos( ω t) mit k x = m g folgt: m & x + b x& + k x = F cos( ω t) Die Eigenfrequenz des Oszillators ist definiert als die Frequenz, die beobachtet wird, wenn weder antreibende noch dämpfende Kräfte wirksam sind. Die Eigenfrequenz der Feder berechnet sich also aus m & x + k x = zu ω = k / m. Die Resonanzfrequenz lässt sich aus der Gleichung für die zeitabhängige Amplitude bestimmen. Dazu betrachtet man die obige Differenzialgleichung nach dem Einschwingvorgang. Man setzt den Ansatz x = A cos( ω t + ϕ) in die Differenzialgleichung ein und bekommt nach Anwendung des Additionstheorems und nach dem Ordnen der Glieder folgenden Ausdruck: mit γ = b /( 2m) 2 2 2 2 [( ω ω ) A cos ϕ 2γAω sin ϕ F / m] cos( ω t) [( ω ω ) Asin ϕ 2γAω cos ϕ ] sin( ω t) = Da diese Gleichung für beliebige Zeiten t gelten soll, müssen die beiden Vorfaktoren in den eckigen Klammern identisch sein. Daraus ergibt sich die Phasenverschiebung ϕ und ein F / m Ausdruck für die Amplitude in Abhängigkeit von ω: A ( ω) =. 2 2 2 2 [( ω ω ) + ( 2γω) ] Setzt man den Nenner null, so bekommt man die Resonanzfrequenz, bei der die Amplitude 2 2 2 2 b unendlich groß wird. ω R = ω 2γ = ω. 2 2m Bei einer Überdehnung der Feder gilt das Hook sche Gesetz nicht mehr und es kommt zu Nichtlinearitäten. Ebenso, wenn die Geschwindigkeit zu groß wird und die Reibungskraft proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit wird ( Wirbelbildung, turbulente Strömung). Man erhält dann eine quadratische Differenzialgleichung 2. Ordnung. Zudem könnte die äußere Erregung gewissen Schwankungen unterliegen (Motor läuft ungleichmäßig bei zu geringe Leistung).
1.2 Lineare Systeme und Schwingungen in der Natur Weitere lineare Systeme sind Wachstumsmodelle (Populationswachstum, radioaktiver Zerfall), der elektrische Schwingkreis, Molekühlschwingungen, das Fadenpendel (für kleine Auslenkungen). In der Natur überwiegen die nicht-linearen Systeme, da nahezu jede Bewegung störenden äußeren Einflüssen (wie Wirbeln) unterworfen ist oder einfach keine Idealbedingungen wie homogen Dichte vorliegen. 1.3 Hauptmerkmale linearer und nicht-linearer Systeme Das Hauptmerkmal linearer Systeme ist, dass Ursache und Wirkung proportional zueinander sind, wohingegen bei nichtlinearen Systemen Ursache und Wirkung nicht proportional zueinander sind. Lineare Systeme lassen sich mit einer periodischen Funktion wie z.b. der Exponentialfunktion lösen und es gilt das Superpositionsprinzip. Ihre Eigenfrequenz ist nicht amplitudenabhängig und ihre Amplitude erreicht nur an einer Stelle ein Maximum. Bei nichtlinearen Systemen hingegen, kann das System z.b. zwischen zwei Amplitudenmaxima hin und her pendeln. Das System ist chaotisch. Außerdem sind die Schwingungsparameter amplitudenabhängig. Man spricht von einer Amplituden-Frequenzkopplung. Für solche Systeme lassen sich auch nur Näherungslösungen finden. 1.4 Gleichrichter 12V ~ +12 V V -12 V
2. Versuch Aufbau: Pohlsches Rad Um lineare und nicht-lineare Schwingungen an derselben Anordnung untersuchen zu können, eignet sich ein Drehpendel (Pohlsches Rad). Dieses besteht aus einer runden Kupferscheibe, welche in ihrem Schwerpunkt auf einer fixen, drehbaren Achse befestigt ist und mit Hilfe einer verankerten Spiralfeder zum Hin- und Herschwingen gebracht werden kann. Zusätzlich kann an dem kleinen Aluminiumzeiger ein Gewicht montiert werden, so dass eine inhomogene Massenverteilung auf der Scheibe erreicht werden kann. Der Ausschlag des Drehpendels kann mit Hilfe des Zeigers an der Messskala abgelesen werden. Das Pohlsche Rad kann mit Hilfe einer regelbaren Wirbelstrombremse gedämpft werden und über einen drehzahlgeregelten Motor, einen Exzenter und einer Gewindestange angetrieben werden. Ausschlag und Drehrichtung können über einen Messfühler registriert und daraus durch eine Zählelektronik und einen Computer die Geschwindigkeit berechnet und die Messungen graphisch dargestellt und numerisch ausgewertet werden. Zuerst wird das lineare System mit homogener Massenverteilung, dann das nicht-lineare System mit einer zusätzlich angebrachten Masse betrachtet.
2.1 Lineares System Das lineare System wird mit und ohne Antrieb, aber immer mit einem Dämpfungsstrom von,4 A betrachtet. a) Bestimmung der Frequenz, der Abklingzeit τ und der Dämpfungskonstanten λ Zur Bestimmung der Frequenz des gedämpften Pendels misst man die Zeit, die das Pendel für 1 Schwingungen benötigt. (5 Messungen). Daraus berechnet sich dann die Frequenz. Die Anfangsauslenkung hierbei hatte den Wert A =12. Versuchsreihe T 1 [s] T [s] f [Hz] ω [1/s] 1 2,7 2,1,48 3,4 2 2,9 2,1,48 3,1 3 2,9 2,1,48 3,1 4 2,8 2,1,48 3,2 5 2,9 2,1,48 3,1 Mittelwert: 2,8 2,1,48 T 1 [s]: Zeit für 1 Schwingungen 3,1 T [s]: Zeit für eine Schwingung (Umlaufzeit) f [Hz]: Umlauffrequenz 1 f = T ω [1/s]: Winkelgeschwindigkeit ω = 2 π f Umlaufzeit 2,95 2,9 2,9 2,9 2,9 Umlaufzeit [s] 2,85 2,8 2,75 2,7 2,7 2,8 2,65 1 2 3 4 5 6 Versuch Die Bestimmung der Abklingzeit τ und der Dämpfungskonstante λ erfolgt graphisch. Dazu misst man 1 Schwingungen lang die Amplitude nach jeder Periode und trägt diese als Funktion der Zeit auf. (siehe Anlage). τ ist die Zeit, bei dem die Anfangsamplitude auf das 1 -fache abgesunken ist. e A Somit kann bei A = τ = 4, 41 der Wert τ =8,4s abgelesen werden (Graph siehe Anhang) e 1 und es ergibt sichλ =,12, da τ = 1/ λ. s
Graph für Ausschwingverhalten ohne Masse!!!!!! 2 15 1 5, -5 5, 1, 15, 2, 25, 3, -1-15 -2 Daß der Graph anfangs Zacken auf der ersten Auslenkung aufweist, liegt am Zittern der Hand des Experimentators während des Auslenkens. Auslenkung Die Bewegungsgleichung für die gedämpfte Schwingung lautet: Θ & ϕ + γ & ϕ + k ϕ = Es liegt eine schwache Dämpfung vor und die Schwingung genügt der Gleichung: λt 2 2 k ϕ() t = ϕ e cos( ωt β ) mit ω = k/ Θ - λ undλ < Θ λ = Dämpfungskonstante, Θ = Trägheitsmoment k = Winkelrichtgröße, β = Phasenverschiebung Für die Maxima der Amplitudenausschläge ergibt sich daraus die Formel: λt ϕ() t = ϕ e Die Meßaufzeichnung lieferte folgendes Bild: 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2, 5, 1, 15, 2, 25, 3, Zeit [s] Die ersten zwei Meßwerte wurden während des Auslenkens auf die Anfangs- (Maximal-)Amplitude aufgezeichnet (vgl. Zittern weiter oben) und müssen deshalb bei der Betrachtung der maximalen Auslenkung über die Zeit nicht berücksichtigt werden. b) Ermittlung der Resonanzkurve und der Resonanzfrequenz Nun wird das Drehpendel mit dem Motor als antreibende Kraft betrieben. Nun lautet die Bewegungsgleichung:
Θ & ϕ + γ & ϕ + k ϕ = M sin( ωt) Die Schwingung genügt nun der Gleichung: λt ϕ() t = A( w) sin( ωt β ) + ϕ e cos( ω t β ) Dabei geht der 2. Term der Gleichung mit der Zeit gegen Null, so dass für das Langzeitverhalten des Systems der 1. Term von Bedeutung ist. Man misst daher erst nach dem Einschwingvorgang. Nun lässt sich in Abhängigkeit der Erregerfrequenz der Ausschlag des Pohlschen Rades bestimmen. Das Pendel erreicht bei der Resonanzfrequenz ω R dabei sei Maximum. Aus den Messdaten wird die Resonanzkurve gezeichnet. Schalterstellung Amplitude T1 f 3 1, 45,4,22 4 2,4 28,9,35 5 2,6 25,8,39 5-6 5,9 21,6,46 6,6 8,8 19,8,51 6 1,4 18,3,55 7 1,5 16,6,6 6-7 3,2 18,3,55 Der Wert bei Schalterstellung 6-7 ist nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Es handelt sich hierbei um einen Meßfehler, da der ermittelte Punkt nicht in das Bild, das aus den restlichen erhobenen Daten her vorgeht, paßt. Resonanzfrequenz 12 1,4 1 8,8 Amplitude 8 6 4 2 1 2,4 2,6 5,9 3,2 1,5,2,25,3,35,4,45,5,55,6,65 Frequenz [Hz] Es lässt sich nun die Resonanzfrequenz ablesen. f R =,51Hz c) Verifizierung von ω = λ Aus der Resonanzkurve kann man auch ω ablesen.
2.2 Nicht-lineares System Es wird nun das nicht-lineare System mit der Zusatzmasse betrachtet. a) Ausschwingverhalten Das Ausschwingverhalten des nichtlineare System wird mit einem Dämpfungsstrom von,4a und von,3a untersucht. Man hat folgende Bewegungsgleichung: Θ ϕ+ γ ϕ+ ϕ m g R sin ( ϕ ) = k (R Radius des Massenelements von der Achse). Das Pendel schwingt von der maximalen Auslenkung in die eine Richtung über den Totpunkt (Ruhepunkt des Zeigers, ohne Einwirkung von außen) in die zweite Hälfte des Rades und schwingt dort aus, ohne den Totpunkt ein zweites Mal zu passieren. Ausschwingverhalten bei einem Dämpfungsstrom von,4a 2 15 Amplitude 1 5, 5, 1, 15, 2, 25, 3, 35, 4, 45, -5 Zeit [s] Ausschwingverhalten bei einem Dämpfungsstrom von,3a Amplitude 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2, 5, 1, 15, 2, 25, 3, 35, 4, 45, 5, Zeit [s] Beim Vergleich der beiden Diagramme ist zu erkennen, daß sich bei niedrigerem Dämpfungsstrom (=schwächeres Magnetfeld) die Ausschwingzeit um ca. 1s verlängert.
b) Periodischer Antrieb Nun wird das nicht-lineare Pendel mit dem Motor angetrieben. Die Bewegungsgleichung lautet: Θ ϕ + γ ϕ + k ϕ m g R sin ( ϕ ) = M sin( ωt) Es tritt nun nur bei gewissen Frequenzen eine periodische Schwingung auf (Bifurkation). Bei allen anderen Frequenzen ist die Bewegung nicht vorhersehbar, d.h. das System ist chaotisch. Im Versuch wurde die zweite Bifurkation gefunden. 2. Bifurkation 25 2 15 1 Amplitude 5-5, 5, 1, 15, 2, 25, 3, 35, 4, 45, -1-15 -2-25 Zeit [s] Das Phasenraumdiagramm (siehe Handzeichnung in der Anlage) ist nun flächenfüllend, im Gegensatz zum linearen Pendel, bei dem der Phasenraum (bei Antrieb) sich auf eine Ellipse beschränkt.