Pohlsches Rad und Chaos (POR)

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1 Seite 1 1 Literatur und Chaos Themengebiet: Mechani W. Demtröder, Experimentalphysi 1 - Mechani und Wärme, Springer, Berlin D. Meschede, Gerthsen Physi, Springer, Berlin L. Bergmann, C. Schäfer,Lehrbuch der Experimentalphysi, Bd.1, Mechani, Austi, Wärme, de Gruyter K.-H. Becer, M. Dörfler, Dynamische Systeme, Vieweg 2 Grundlagen 2.1 Drehpendel Das hier verwendete Drehpendel (auch genannt) besteht aus einer reisförmigen Kupferscheibe mit homogener Massenverteilung. Die Kupferscheibe ist um eine Achse durch den Schwerpunt drehbar gelagert. Die Ruhelage wird durch eine Spiralfeder vorgegeben. Die Auslenung des Pendels ann über eine reisförmige Grad-Sala abgelesen werden. Das Pendel wird über eine Wirbelstrombremse gedämpft. Durch Variation des Stromes durch einen Eletromagneten önnen verschiedene Dämpfungsparameter eingestellt werden. Es ist möglich, das Drehpendel durch einen drehzahlgeregelten Schrittmotor, einen Exzenter und eine Getriebestange anzutreiben. Durch eine berührungsfreie Messung ann die Bewegung des Drehpendels ausgelesen werden. Hierbei wird die an der Kuperscheibe angebrachte Strichblende durch zwei gegeneinander verschobene Infrarotlichtschranen abgetastet. Es werden zwei phasenverschobene Pulsfolgen erzeugt, die in einem festprogrammierten Chip gezählt werden. Aus den beiden Signalen önnen die Drehrichtung, die Auslenung und die Winelgeschwindigeit des Pendels ermittelt werden. Die so gewonnenen Werte werden als proportionale Spannungen ausgegeben und önnen über einen Analog-Digital-Wandler in den Computer eingelesen und weiterverarbeitet werden. 2.2 Lineare Systeme ohne externen Antrieb Im einfachsten Fall, d.h. ohne Antrieb, lässt sich das System wie folgt beschreiben: Wird das Pendel um einen Winel ϕ ausgelent und dann losgelassen, führt es eine gedämpfte Drehschwingung um die Ruhelage ϕ 0 aus. Diese Schwingung nennt man gedämpfte Eigenschwingung des Systems. Die Bewegungsgleichung des Systems ann aus dem Drehmomentengleichgewicht mit D T = Θ ϕ Trägheitsdrehmoment, Θ: Trägheitsmoment D F = ϕ rüctreibendes Moment der Feder, : Winelrichtgröße D D = γ ϕ Dämpfungsmoment, γ: Dämpfungsoeffizient D T = D F + D D (1)

2 Seite 2 abgeleitet werden. Durch Einsetzen erhält man die Differentialgleichung für die gedämpfte Eigenschwingung des Pendels Θ ϕ + γ ϕ + ϕ = 0 (2) Dies ist eine homogene, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Mit dem Ansatz ϕ(t) = ϕ 0 exp(αt) in Gl. (2) ommt man zur sogenannten charateristischen Gleichung zur Bestimmung von α Θα 2 + γα + = 0 Führt man die Dämpfungsonstante λ mit λ = γ 2Θ ein, so erhält man die Lösungen α 1,2 = λ ± λ 2 Θ (3) Es lassen sich nun drei Lösungstypen unterscheiden: λ 2 > Θ : Kriechfall (stare Dämpfung) λ 2 = Θ : aperiodischer Grenzfall λ 2 < Θ : Schwingungsfall (schwache Dämpfung) Bei dem vorliegenden Drehpendel ann nur der Schwingungsfall realisiert werden. Die Lösung für diesen Fall lautet ϕ(t) = ϕ 0 exp( λt) exp[i(ω }{{} d t + β)] }{{} Dämpfung Schwingung Das Ergebnis der Messung entspricht dem Realteil dieses Ausdrucs. Man ann also schreiben (4) mit ω d = ϕ(t) = ϕ 0 exp( λt)cos(ω d t + β) (5) Θ λ 2 als Kreisfrequenz und β als Phasenverschiebung. Die Eigenfrequenz des ungedämpften Pendels ist ω 0 = Θ. Die Lösung ist also eine exponentiell ablingende Schwingung (vgl. Abb. 1) die durch die Ablingzeit τ = 1 λ und die Eigenfrequenz f = ω d 2π charaterisiert wird. Besonders hervorzuheben ist, dass die Eigenfrequenz nicht von der Schwingungsamplitude abhängt. Dies ist eine wichtige Besonderheit harmonischer Oszillatoren, die stets durch lineare Bewegungsgleichungen beschrieben werden. Eine aussageräftige Darstellung des Schwingverhaltens ist im Phasenraum möglich. 1 Für ein puntförmiges Teilchen im dreidimensionalen Ortsraum ist der Phasenraum als Menge aller Sechsertupeln aus den drei Ortsund Impulsoordinaten definiert. Es handelt sich also um einen sechsdimensionalen Raum. Beim Pohlschen Rad sind sowohl die Orts- als auch die Impulsoordinate eindimensionale Größen. Der Phasenraum reduziert sich im vorliegenden Fall also auf zwei Dimensionen. Man trägt in einer zweidimensionalen Darstellung die Winelgeschwindigeit ϕ(t) gegen den Auslenwinel des Pendels ϕ(t) auf. Für den Fall des schwach gedämpften harmonischen Oszillators erhält man z.b. eine sich auf den Nullpunt des Koordinatensystems zubewegende Spirale. 1 Der Vorteil der Phasenraumdarstellung zeigt sich besonders im Fall der nichtlinearen Schwingung (s. Abschnitt 2.3).

3 Seite 3 ϕ ϕ 0 e -λt ϕ 0 /e λ -1 t Abbildung 1: Ausschwingverhalten für schwache Dämpfung mit externem Antrieb Wird über den Antrieb zusätzlich ein äußeres periodisches Drehmoment M 0 sin(ωt) auf das Pendel gegeben, erhält man eine erzwungene Schwingung. Nach einer Einschwingzeit ist die Frequenz des Pendels mit der Frequenz ω des Antriebs identisch. Die Bewegungsgleichung des ungestörten Systems (Gl. 2) ändert sich nun zu Θ ϕ + γ ϕ + ϕ = M 0 sin(ωt) (6) Dies ist eine inhomogene, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (6) setzt sich zusammen aus der Lösung der homogenen DGL (2) und einer partiulären Lösung der inhomogenen DGL (6). Eine partiuläre Lösung erhält man mit dem Ansatz ϕ P (t) = A(ω) sin(ωt Φ) Durch Einsetzen in Gl. (6) ergibt sich für die Amplitude A(ω) = (ω (7) 2 0 ω2) 2 + 4λ 2 ω 2 Θ die Eigenfrequenz des nicht angetriebenen, ungedämpften Sys- wobei ω die Antriebsfrequenz und ω 0 = tems bedeutet. Für die Phasendifferenz Φ gilt M 0 Θ 2 (ω 20 ω2) 2 + γ2 ω 2 = tan(φ(ω)) = M 0 Θ ω γ Θ (ω 0 2 ω2) = ( 2ω λ ω 2 0 ω 2) Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (6) erhält man nun, indem man zu dieser Lösung die Lösung der DGL (2) addiert ϕ(t) = A(ω) sin(ωt Φ) +C exp( λt) cos(ω d β) (8)

4 Seite 4 Die Schwingungen des ungestörten und des angetriebenen Systems überlagern einander. Nach einer Einschwingzeit verschwindet in Gl. (8) der Term mit der Eigenfrequenz ω d aufgrund der exponentiellen Dämpfung. Das Pendel schwingt nun nur noch mit der Frequenz ω des Antriebs, jedoch mit einer Phasenverschiebung Φ gegenüber der Erregerschwingung. Durch den Antrieb wird der Phasenraum des Systems dreidimensional: Die dritte Koordinate neben der Auslenung ϕ und der Winelgeschwindigeit ϕ ist die momentane Stellung des Antriebs ωt. Die im Experiment aufgezeichnete Darstellung des Phasenraums ist eine Projetion auf die ϕ ϕ-ebene. In dieser Phasenraumdarstellung erhält man im Fall des angetriebenen linearen Pendels eine Ellipse, die sich nach der Einschwingzeit nicht verändert. Die Amplitude der erzwungenen Schwingung erreicht bei der Resonanzfrequenz einen Maximalwert von ω R = Θ 2λ 2 Für schwache Dämpfungen (und nur dafür) gilt M 0 A(ω R ) = 2Θ λ ω d Die anderen Grenzwerte von Gl. (6) sind ω R ω 0 Θ A(0) = M 0 Θ und A( ) = 0 A(ω) A max A max /2 2 ω ω R ω Abbildung 2: Resonanzurve des Drehpendels Trägt man A(ω) gegen ω auf, so erhält man die Resonanzurve (s. Abb. 2). Man sieht, dass die Kurve bezüglich der Resonanzfrequenz nicht symmetrisch ist. Sie weist eine endliche Halbwertsbreite 2 2 ω um die Resonanz- 2 Man betrachtet meist die energetische Halbwertsbreite und demnach die 1 2 -Breite der Amplitude. In der hier verwendeten Nomenlatur ist die halbe Breite (HWHM) gemeint. Einige Lehrbücher verwenden eine andere Nomenlatur.

5 Seite 5 frequenz ω R auf. Zwischen der Halbwertsbreite ω der Resonanzurve und der Dämpfungsonstanten λ gilt für schwache Dämpfung nun die sehr wichtige Beziehung 3 ω = λ bzw. τ ω = 1 (9) Dies ist die Unschärfe zwischen der Frequenz und der Lebensdauer eines gedämpften, linearen Oszillators. Große Dämpfungen haben eine urze Lebensdauer der Schwingung zur Folge und resultieren demnach in breiten Resonanzurven. Sehr schmale Resonanzurven entsprechen Systemen mit einer großen Lebensdauer der Schwingung, die Dämpfung ist dann schwach. Die Dämpfung dissipiert die vom Antrieb in das System gestecte Energie. Je leiner die Dämpfung des getriebenen Oszillators ist, umso größer wird im Resonanzfall seine Schwingungsamplitude. Für verschwindende Dämpfung führt dies zur sog. Resonanzatastrophe. 2.3 Nichtlineare Systeme An der Kupferscheibe des Pohlschen Rades ann eine Zusatzmasse angebracht werden. Hierdurch wird die Massenverteilung inhomogen. Durch das von der Zusatzmasse hervorgerufene zusätzliche Drehmoment verliert das System seinen linearen Charater. Wesentlich ist jetzt, dass das Superpositionsprinzip nicht mehr gilt. Die Schwingungsparameter, wie z.b. die Frequenz werden amplitudenabhängig. Diese Amplituden-Frequenzopplung ist eine charateristische Eigenschaft nichtlinearer Systeme ohne Antrieb Durch das Anbringen der zusätzlichen Masse ändert sich Gl. (1) in mit D T = D F + D D + D G (10) D G = m g R sin(ϕ) wobei m die Zusatzmasse, g die Erdbeschleunigung und R der Radius der Kupferscheibe ist. Die Bewegungsgleichung (2) ändert sich dann in Θ ϕ + γ ϕ + ϕ m g R sin(ϕ) = 0 (11) Die Ruhelage des Pendels ändert sich ebenfalls und ann aus der Stationäritätsbedingung ϕ = ϕ = 0 bestimmt werden. Durch den Sinus des Auslenwinels ist Gl. (11) nun nichtlinear in ϕ. Es handelt sich um eine nichtlineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung. Gleichungen dieser Art sind nun mathematisch i.a. nicht mehr geschlossen zu lösen, so dass nur Näherungslösungen beannt sind. Im Gegensatz zum linearen System ann das nichtlineare System mit mehreren Frequenzen gleichzeitig schwingen. Die auftretenden Frequenzen hängen von der Auslenung des Pendels ab mit periodischem Antrieb Wird das System nun wieder von Außen mit einem periodischen Drehmoment angeregt, ändert sich Gl. (11) in Θ ϕ + γ ϕ + ϕ m g R sin(ϕ) = M 0 sin(ωt) (12) Man ann dieses System nun in Abhängigeit der in Gl. (12) einfließenden Parameter untersuchen. Im vorliegenden Experiment önnen die Amplitude des äußeren Drehmoments M 0, die Kreisfrequenz des Antriebs 3 Diese Beziehung erhält man mit einigen vereinfachenden Annahmen. Gl. (9) soll hier nicht hergeleitet werden.

6 Seite 6 ω, die Masse des Zusatzgewichts m und die Dämpfung des Pendels γ leicht variiert werden. Im Folgenden soll γ über den Strom durch den Magneten der Wirbelstrombremse systematisch variiert werden. Alle weiteren Parameter werden onstant gehalten. ω 2ω a b a b Winelgeschwindigeit c e d f c d e f Amplitude g h g h Auslenung Frequenz Abbildung 3: In der linen Hälfte sind jeweils die Projetionen des dreidimensionalen Phasenaums auf die ϕ ϕ-ebene für verschiedenene Dämpfungsströme dargestellt. ϕ und ϕ sind linear aufgetragen. Der Dämpfungsstrom sint von Graph a bis h linear. In der rechten Hälfte sind die zugehörigen Amplitudenspetren dargestellt, wie man sie durch eine Fouriertransformation von ϕ erhält. Die Frequenz ist linear, die Amplitude logarithmisch aufgetragen. Die beiden roten Linien geben die Frequenzposition ω des Antriebs und deren zweiter Harmonischer 2ω an. Wie im Fall des angetriebenen linearen Pendels ist der Phasenraum wieder dreidimensional mit den Koordinaten ϕ, ϕ und ωt. In der linen Hälfte von Abb. 3 sind jeweils die Projetionen dieses dreidimensionalen Raums auf die ϕ ϕ-ebene für verschiedenene Dämpfungsströme dargestellt 4. Das Verhalten des nichtlinearen Pendels, wie es in Abb. 3 ersichtlich ist, soll hier nur qualitativ dargestellt werden. Die Punte der folgenden Aufzählung beziehen sich auf die Indizierung der Messurven in Abb. 3. a: Sehr stare Dämpfung. Das System schwingt im Wesentlichen mit der Anregungsfrequenz ω. Setzt man ϕ(t) = Asin(ωt) + X(t) an, so ergeben sich durch den nichtlinearen Term m g R sin(ϕ(t)) der Bewegungsgleichung Terme, die höhere Harmonische der Anregungsfrequenz enthalten. Das heißt, das 4 Diese Kurven wurden an einem der Pratiumsplätze aufgenommen. Das Fehlen von Zahlenwerten auf den Achsen und für den Dämpfungsstrom ist hier beabsichtigt, um den Studenten die Möglicheit zu geben, die entsprechenden Werte in ihrem Experiment selbst zu finden.

7 Seite 7 System enthält auch Schwingungsmoden bei 2ω, 3ω usw. Die Schwingungsmode bei 2ω ist in Abb. 3 gut zu erennen. Diese höheren Harmonischen treten in allen Messungen auf. b-d: Wird die Dämpfung verringert, treten zwischen den Frequenzen 0 und ω bzw. zwischen ω und 2ω weitere Frequenzen auf. Im Phasenraumdiagramm sind Überschneidungen erennbar. In Graph b werden die Frequenzintervalle zweigeteilt. Wird die Dämpfung weiter verringert, so sieht man in Graph c eine Viertelung der Frequenzintervalle und in Graph d eine Achtelung. Zwischen den Graphen a und d nimmt die Anzahl der auftretenden Moden stets um einen Fator 2 zu. Dieses Verhalten, bei dem das System suzessiv sog. Bifurationen (Verzweigungen) durchläuft, heißt Feigenbaumszenario. Bei den auftretenden Moden handelt es sich um Mischungen von Harmonischen der Anregungsfrequenz. Diese Frequenzmischung ist durch den nichtlinearen Term in der Bewegungsgleichung möglich. Die Variation der Dämpfung, die nötig ist um von einer Bifuration zur nächsten zu gelangen wird mit zunehmender Modenanzahl leiner. Die Verdoppelung der Modenanzahl, d.h. das Auftreten von Bifurationen ist bis zu einer Minimaldämpfung zu beobachten. Die Messungen e h wurden jenseits dieser Minimaldämpfung aufgenommen. e,g: Im Phasenraumdiagramm ist eine geschlossene Linie zu erennen, das Frequenzspetrum zeigt aum scharf definierte Moden. Zwei zu Anfang sehr dicht benachbarte Bahnen im Phasenraum önnen nach endlicher Zeit an völlig verschiedenen Endpunten sein. Dieses Verhalten ist typisch für sogenannte chaotische Systeme. Diese Systeme sind wegen der Eindeutigeit der Bewegungsgleichung zwar noch deterministisch (d.h. zwei identische Anfangsbedingungen besitzen dieselbe Lösung), aber sie verhalten sich auf endlichen Zeiträumen nicht mehr vorhersehbar. f,h: Im Phasenraumdiagramm zeigen sich geschlossene Kurven, die Frequenzspetren zeigen wieder scharf definierte Moden. Allerdings ist im Unterschied zu den Graphen a d eine Teilung der Frequenzbereiche in 2 n Abschnitte zu erennen. Das Aplitudenspetrum von Messung h ist um ω herum nahezu symmetrisch. Dies ist auf eine Mischung der Anregungsfrequenz ω mit den Eigenmoden des ungestörten, nichtlinearen Systems zurüczuführen. 3 Versuchsaufbau Der Versuchsaufbau ist in der Abb 4 zu sehen. Achten Sie beim Einschalten darauf, dass der Zeiger C auf der Nullposition steht. Es wird sonst ein Offset erzeugt. Ebenso muss der Exzenter F an der Marierung ausgerichtet sein. Die Wirbelstrombremse E reguliert die Dämpfung. Der Antrieb G reguliert die Anregungsfrequenz. Feineinstellungen önnen mit dem Schaltästchen H durchgeführt werden. Wird das Kästchen angeschlossen muss am Display der Schalter ext ativiert werden. 4 Vorüberlegungen Disutieren Sie eventuelle Nichtlinearitäten, die in die Bewegungsgleichungen eingehen önnen. Kennen Sie weitere lineare Systeme aus der Natur? Findet man in der Natur eher lineare oder nichtlineare Systeme? Was sind die Hauptmermale der beiden Systemarten? 5 Durchführung

8 Seite ϕ Hz s A ω ext int ext int α Abbildung 4: A: Einschalter, B: Schwungscheibe, C: Zeiger mit Halterung für Zusatzgewichte, D: Eletromagnet für Wirbelstrombremse, E: Wirbelstrombremse, F: Exzenter, G: Antrieb, H: externe Feinsteuereinheit, J: Anschlüsse, K: Zusatzgewicht Aufgabe 1: Eigenfrequenz Wählen Sie den Dämpfungsstrom der Wirbelstrombremse im Bereich 0, 2 0, 4 A. Der Dämpfungsstrom bleibt für die folgenden Messungen onstant! Lenen Sie das Pendel aus und messen Sie mit Hilfe einer Stoppuhr die Zeit über 10 Schwingungen. Wiederholen Sie diesen Vorgang etwa fünf mal. Notieren Sie systematische und statistische Fehler, die während dieser Messung auftreten önnen! Aufgabe 2: Dämpfungsonstante Lenen Sie nun das Pendel aus und notieren Sie nach jeder Schwingung die Amplitude. Wählen Sie ihre Unsicherheiten. In der Gruppe ann diese Aufgabe bereits während der Zeitmessung erfüllt werden. Aufgabe 3: Eigenfrequenz- und Dämpfungsonstantenbestimmung mit dem PC Verbinden Sie den Versuchsaufbau mit dem Computer und starten Sie das Analyseprogramm (porstream). Lenen Sie das Pendel aus. Das Programm wird Ihnen die Schwingungsamplitude gegen die Zeit auftragen. Justieren Sie einen möglichen Offset des Programms und starten Sie die Messung. Speichern Sie Ihre Daten (USB-Stic, ). Besonders motivierte Physier önnen alle 3 Aufgaben gleichzeitig erfüllen. Aufgabe 4: Resonanzurve

9 Seite 9 Treiben Sie das Pendel mit dem Motor an. Hierzu verbinden Sie die Getriebestange mit dem Pendel und dem Exzenter F. Nach dem Einschwingprozess lesen Sie mit dem Auge Die Maximalamplitude ab. Notieren Sie Amplitude und zugehörige Frequenz. Analysieren Sie bereits im Pratium die Resonanzfrequenz und lassen Sie diese von Ihrem Betreuer bestätigen! Wählen Sie sinnvolle Schrittweiten für die Frequenzjustierung am Schaltästen H. Wählen Sie leinere Schrittweiten in der Nähe der Resonanzfrequenz. Aufgabe 5: Nehmen Sie für drei verschiedene Antriebsfrequenzen, mit gut sichtbarer Amplitude, das Schwingverhalten am Computer auf. Kalibrieren Sie die Anzeige mit Hilfe der Maximalamplitude und der eingestellten Schwingungsfrequenz so, dass Sie die Winel und Winelgeschwindigeiten im Phasenraum zuordnen önnen. Aufgabe 6: Nichtlineares Ausschwingverhalten Montieren Sie das Zusatzgewicht auf der Kupferscheibe. Messen Sie mit Hilfe des Computers das Ausschwingverhalten und vergleichen Sie es mit dem Ausschwingverhalten ohne Gewicht. Nehmen Sie auch das Phasenraumdiagramm auf. Aufgabe 7: Nichtlineares, periodisch angetriebenes Pendel Wählen Sie eine Anregungsfrequenz von 0,25 0,30 Hz. Steuern Sie nun den Dämpfungsstrom über das Steuerästchen H. Beginnen Sie die Messung mit einem hohen Dämpfungsstrom (ca. 0, 7 A. Reduzieren Sie langsam den Dämpfungsstrom und beobachten Sie das Schwingverhalten des Pendels. Suchen Sie die erste und zweite Bifuration und ein chaotisches Verhalten. Nehmen Sie diese interessanten Schwingungsverhalten als Phasenraumdiagramm auf und disutieren Sie Ihre Kurven! 6 Auswertung Aufgabe 8: Eigenfrequenz Bestimmen Sie aus Ihren Zeitmessungen die Eigenfrequenz des Pendels mit Unsicherheiten. Bestimmen Sie separat die Eigenfrequenz aus Ihren Computerdaten. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse samt Fehler und Disutieren Sie ihr Ergebnis! Aufgabe 9: Dämpfungsonstante Erstellen Sie einen Graphen, bei dem die Amplituden der Schwingung halblogarithmisch gegen die Zeit aufgetragen werden. Ermitteln Sie graphisch den Mittelwert samt Fehler der Dämpfungsonstante λ und die Ablingzeit τ. Analog dazu werten Sie Ihre Computermessung aus. Vergleichen und Disutieren Sie Ihre Ergebnisse! Aufgabe 10: Resonanzurve Erstellen Sie einen Graphen. Tragen Sie hierzu die Maximalamplitude gegen die Anregungsfrequenz auf. Ermitteln Sie die Resonanzfrequenz und überprüfen Sie die Bedingung aus Gl. (9). Wie groß ist die Halbwertsbreite? Aufgabe 11: Nichtlineares Ausschwingverhalten Welche Eigenschaften eines Nichtlinearen Systems önnen Sie beobachten? Vergleichen Sie ein lineares mit einem nichtlinearen Phasenraumdiagramm. Disutieren Sie die Unterschiede! Aufgabe 12: Nichtlineares, periodisch angetriebenes Pendel Disutieren Sie Ihre aufgenommen Kurven und bestimmen Sie die Bifurationen.