Aufgabe 0: (6 Punkte) Bitte kreuzen Sie die richtige Lösung an. Es ist jeweils genau eine Antwort korrekt. Für jede richtige Antwort erhalten Sie einen Punkt, für jede falsche Antwort wird Ihnen ein Punkt abgezogen. Wird keine Antwort gegeben, erhalten Sie Null Punkte. In dieser Aufgabe kann insgesamt keine negative Punktzahl erreicht werden. a) Die relative Konditionszahl der Funktion f(x, y) = x 3 y 3 ist (a) 3, (b) 6, (c) x2 +y 2 x 3 y 3, (d) 3x 2 y 3. b) Ein Algorithmus heißt stabil, wenn (a) die im Laufe der Rechnung erzeugten Fehler in der Größenordnung des durch die Kondition des Problems bedingten unvermeidbaren Fehlers bleiben. (b) die mit Hilfe der Taylor Entwicklung berechnete Konditionszahl größer Null ist. (c) die Störungen in den Eingangsdaten in der Größenordnung der Maschinengenauigkeit liegen. (d) das zu Grunde liegende Problem gut konditioniert ist. c) Die Cholesky Zerlegung einer Matrix A (a) wird zur einfachen und schnellen Berechnung der Eigenwerte von A benutzt. (b) wird zur schnellen Lösung von linearen Gleichungssystem verwendet, falls A orthogonal ist. (c) erfordert für eine symmetrisch positiv definite Matrix A nur rund die Hälfte des Rechenaufwandes der LR Zerlegung von A. (d) läßt sich effizient mittels Givens Rotationen berechnen.
d) Das Newton Verfahren konvergiert lokal quadratisch. Weshalb benutzt man es dann nicht zur Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax b = 0? (a) Weil die Newton Iteration einen geeigneten Startwert benötigt, den man bei linearen Gleichungssystemen nur schwer ermitteln kann. (b) Im ersten Newton Schritt muß ein lineares Gleichungssystem gelöst werden, das in diesem speziellen Beispiel Ax = b lautet. Man muss also wieder das ursprüngliche Gleichungssystem lösen. Somit liefert das Newton Verfahren hier keinen Vorteil. (c) Weil das Newton Verfahren nur für skalare Gleichungen der Form f(x) = 0 mit f : R R funktioniert. (d) Im Newton Verfahren muss die erste Ableitung von F (x) := Ax b berechnet werden. In diesem Beispiel ist F (x) = 0. Daher kann das Newton Verfahren nicht angewandt werden, weil man durch F (x) dividieren muss. e) Welche Aussage zum Banachschen Fixpunktsatz ist korrekt? (a) Sind die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes erfüllt, dann ist die a-posteriori Fehlerabschätzung mindestens ebenso genau wie die a-priori Fehlerabschätzung. (b) Wenn die Selbstabbildung der Funktion F in der abgeschlossenen Menge D nicht gezeigt werden kann, kann man sicher sein, dass F keinen Fixpunkt in D besitzt. (c) Sind die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt, so konvergiert die Fixpunktiteration lokal mindestens quadratisch. (d) Keine der Aussagen (a) (c) ist korrekt. f) Die Anfangswertaufgabe y (t) = y 3 (t) + t 3, y() = 2 soll mit dem expliziten Euler Verfahren (Schrittweite h) gelöst werden. (a) Die zugehörige Iterationsvorschrift lautet y k+ = y k + h(y 3 k + t3 k ) mit y 0 = und t k = 2 + kh. (b) Die zugehörige Iterationsvorschrift lautet y k+ = y k + h(y 3 k+ + t3 k+ ) mit y 0 = 2 und t k = + kh. (c) Weil die rechte Seite der Differentialgleichung nichtlinear ist, kann man das explizite Euler Verfahren nicht anwenden. Man muss ein implizites Verfahren benutzen. (d) Keine der Aussagen (a) (c) ist korrekt.
Aufgabe : Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b mit 2 0 A = 0 0 und b = 9 0 0 6 3 9 6. (++4 Punkte) a) Berechnen Sie die exakte Lösung von Ax = b. b) Runden Sie die Einträge in der Matrix A und der rechte Seite b auf drei Dezimalstellen. Sie erhalten dann ein gestörtes Gleichungssystem à x = b. Geben Sie à und b explizit an. möglichst gut ab ohne x explizit zu berech- c) Schätzen Sie den relativen Fehler x x x nen.
Aufgabe 2: (6+2 Punkte) Die Parabel y(x) = x 2 soll im Intervall [, ] durch eine trigonometrische Funktion f(x) = a cos(πx) + b sin(πx) + c so approximiert werden, dass die Summe der Fehlerquadrate zu den vier Stützstellen, 0.5, 0.5 und minimal ist. a) Berechnen Sie a, b und c. b) Wie groß ist das Residuum in der 2 Norm?
Aufgabe 3: Gegeben sei das Anfangswertproblem (2+6 Punkte) y (t) + y 2 (t) + t = 0, y(0) =, y (0) = 0. a) Transformieren Sie die Differentialgleichung in ein System erster Ordnung, und bestimmen Sie die zugehörigen Anfangswerte. b) Berechnen Sie mit Hilfe des expliziten Euler Verfahrens (Schrittweite h = 0.4) einen Näherungswert für y(.2).