Vektorrechnung Zu Aufgabe 1 Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die Vektoren 1 a =, b =, 3 1 c = 6 1 aufgespannt wird! Zu Aufgabe Berechnen Sie das Volumen des durch folgende 3 Vektoren aufgespannten Spats! 1 a 3 = 1, b 1 =, c = 1 7 8 [ abc] - - - 1 1 1 1 1 1 1 1 V = = 3 7 = 3 7 3 1 8 1 8 1 + + + = ( 1) ( 8) + 1 7 1 + ( 1) ( 3) ( ) 1 ( 1) 7 ( 1) ( 8) ( 3) ( 1) = 3 + 7 + 6 + + 1 = 39-1-
Zu Aufgabe 3 Seien 3 a =, b = 5 11 1 a) Geben Sie einen Vektor an, der senkrecht auf a und b steht! 1 c = λ ein dritter Vektor Wie muss λ gewählt werden, damit a, b, c komplanar sind? b) Sei c) Geben Sie einen weiteren Vektor d an, der zu a und b komplanar, aber nicht parallel zu a, b, c ist! Lösungen: Zu a) x a b = 3 y 5 z 55 51 11 = ( + 33) = 31 1 10 + 1 Zu b) Bedingung, damit die drei Vektoren komplanar sind:[ ] 1 [ abc ] = - - - λ 1 λ 1 λ 11 = 11 3 5 1 3 5 1 3 5 + + + 33λ 0 + 8 55 + λ = 0 3 31λ 3 = 0 λ = 31 Damit ist der gesuchte Vektor Zu c) zb: d = a + b = 5 9 1 -- 1 c = 3/ 31 abc = 0 = 0
Zu Aufgabe Seien a, b, c 3 Vektoren mit folgenden Eigenschaften: 1 a (b c ) und die Länge von a ist 10 und 3 b steht senkrecht auf c Untersuchen Sie, ob die Vektoren a + b und a 3c senkrecht aufeinander stehen oder nicht! Es gilt wegen a (b c ) dass 1 a b (bzw ( a, b ) =0) und a c (bzw ( a, c ) = 0) Weiterhin ist: 3 a = 10 b c (bzw (b, c ) = 0) daraus folgt: ( a + b, a 3c Dh, a + b und a 3c stehen nicht senkrecht aufeinander! ) = a 3( a, c ) + ( a, b ) 6(b, c ) = 100 0 Zu Aufgabe 5 Geben Sie 3 Vektoren an, die ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Flächeninhalt 10 bilden! (Mit Begründung!) Es müssen folgende Bedingungen erfüllt sein: Wir wählen nun einen der 3 Vektoren beliebig -3-
Ergebnis: Geometrie von Geraden Zu Aufgabe 6 Zu a) Es ist mit P=(x,y): x = +6λ y = -3+λ Wir lösen die erste Gleichung nach λ auf ( λ = (x-)/6) und setzen das Ergebnis in die Gleichung ein und erhalten die Geradengleichung in Normalform: y = -3 + ( x ) 6 = 13 x, x R 3 3 Zu b) Die Geradengleichung y=-x+, x R erfüllen alle Punkte P=(x,y) mit: x = x y = x + x 1 0 In Vektorschreibweise: P = = x +, x R y Die Punkt-Richtungsform lautet folglich: 0 1 g={p P= + λ, --
Zu Aufgabe 7 Wir überprüfen, ob der Punkt die Geradengleichung erfüllt, dh ob gilt: 1 λ R: 3 = + λ 6 Ausgeschrieben ist diese Gleichungssystem: 3 1= 1 + λ 3 = + 6λ = 3+ λ Aus der ersten Zeile folgt, dass λ = -1 sein muss Für dieses λ ist aber die und auch die 3 Zeile nicht erfüllt Dh Q liegt nicht auf der Geraden g Zu Aufgabe 8 Achtung: Die Lösungen zu den Aufgaben 3a) bis 3e) sind nicht eindeutig! Dh, im folgenden sind Beispiellösungen angegeben Andere können aber auch richtig sein Zu a) Richtungsvektor a 1 von g: a = a 1 = 3 (dh, der Richtungsvektor von g ist gleich a 1 = Richtungsvektor von g1) Damit sind die beiden Geraden parallel oder gleich Aufpunkt P von g: P P + v = 1 : Damit die Geraden g1 und g nicht identisch sind, konstruieren wir uns einen Vektor v, der nicht parallel zu 1 a ist, also von der Geraden g1 weg zeigt ZB kann v ein Vektor sein, der senkrecht auf a 1 steht: 3 v = 1 Damit ist der Aufpunkt P von g zb: 0 g = { P P = P + λa, λ } R 5 P + v = -5-
Zu b) Lösung wie unter a) nur dass wir v senkrecht zu a 1 zunächst mit einer Länge von 1 wählen (also normieren) und dann mal 3 nehmen: Richtungsvektor a 1 von g: a = a 1 = 3, (damit ist g parallel oder gleich g1) Aufpunkt P von g: 3 v P + v (damit ist der Aufpunkt P von P1 3 Längeneinheiten auf der senkrecht zur Geraden g1 verlaufenden Gerade mit Richtungsvektor v entfernt) Zu c) Richtungsvektor a von g: 3 a = v = 1, Aufpunkt P von g: P 0 Zu d) Aufpunkt P von g: P Als Richtungsvektor nehmen wir einen Vektor, der weder parallel zu a 1 ist noch senkrecht auf a 3 1 steht: ZB: a = 1 1 Zu e) Den Aufpunkt P von g wählen wir analog zu b): v 3 P + mit v = 1 v 0 Den Richtungsvektor wählen wir so, dass er senkrecht auf a 1 und senkrecht auf v steht Damit gewährleisten wir, dass sich die Geraden mit Sicherheit nicht schneiden: 1 3 1 zb a = a1 v = 3 1 = 7 1 10 g = { P P = P + λa, λ } R -6-
Zu Aufgabe 9 Gegeben seien die Geraden g1 und g mit den Aufpunkten P1 bzwp und Richtungsvektoren a 1,a Beschreiben Sie die jeweilige Lage der Geraden zueinander durch Kriterien an die Aufpunkte und Richtungsvektoren, dh, füllen Sie die leeren Felder folgender Tabelle aus! (mit hellblauem Hintergrund dargestellt): Kriterium Lage g1 und g sind identisch a1 a = 0 P1 P a1 = 0 g1 und g sind parallel, aber nicht a 1 a = 0 P1 P a1 0 identisch g1 und g schneiden sich a a [ P P, a, a ] 0 1 0 1 1 = a1 a 0 [ P1 P, a1, a ] 0 g1 und g sind windschief Zu Aufgabe 10 Gegeben seien drei Geraden: g1={p P= + λ 6,, g={p P= 0 + λ 0,, 3 1 1 1 g3={p P= 0 + λ 3, Bestimmen Sie die Lage der drei Geraden zueinander! g1? g, g1?g3, g?g3 Laut Tabelle in Lösung zu Aufgabe 9 gilt: g1 ist windschief zu g, g schneidet g3, g1 und g3 sind parallel -7-