1.2 Modulare Arithmetik

Algebra I 8. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 11 1.2 Modulare Arithmetik Wir erinnern an die Notation für Teilbarkeit: m c für m, c Z heißt, dass ein q Z existiert mit qm = c. Definition 1.2.1 Sei m eine feste natürliche Zahl. Zwei Zahlen a, b Z heißen kongruent modulo m (kurz: kongruent), falls m b a. In Zeichen wird dieses geschrieben als a m b. Die Schreibweise a b (mod m) statt a m b ist ebenfalls üblich. Man sollte hier nicht die Klammern weglassen. Die Zeichenfolge b mod m (ohne vorhergehendes a ) hat ja bereits eine eigene Bedeutung, sie bezeichnet nämlich den Rest von b nach Division durch m; siehe oben. Für die Negation wird die Notation a m b verwendet. Satz 1.2.2 Sei m fest. Die Kongruenz-Relation m auf Z ist eine Äquivalenzrelation, d.h. sie hat die folgenden Eigenschaften: 1. a Z : a m a Reflexivität 2. a, b Z : a m b = b m a Symmetrie 3. a, b, c Z : a m b b m c = a m c Transitivität Beweis: Man prüft die drei Eigenschaften ohne Mühe direkt anhand der Definition nach. Dabei verwendet man drei offensichtliche Eigenschaften der Teilerrelation: m 0, m x = m ( x), (m x m y) = m (x + y). Wenn man sich diesen Beweis im Lichte späterer Definitionen noch einmal anschaut, ergibt sich folgende Interpretation und Verallgemeinerung: Wir haben eine Relation auf einer additiv geschriebenen abelschen Gruppe G, gegeben durch b a H, wobei H G eine Untergruppe ist. In unserer aktuellen Situation ist G = Z und H = mz die Menge der Vielfachen von m. Man sieht, dass die drei Eigenschaften einer Äquivalenzrelation genau aus den drei Eigenschaften einer Untergruppe in 1.3.10 folgen. Weitergehende spezielle Eigenschaften von Z oder H werden nicht benutzt. Satz 1.2.3 Sei m N fest. Zwei Zahlen a, b Z sind kongruent modulo m genau dann, wenn sie bei Division durch m denselben Rest lassen. M.a.W. Der Beweis ist leicht und kurz. a m b a mod m = b mod m. Aus 1.2.3 ergibt sich erneut der vorige Satz 1.2.2. In der Tat sehen wir wir hier ein ganz allgemeines Prinzip zur Erzeugung von Äquivalenzrelationen. Wenn man eine Abbildung f : Z Y mit irgendeinem Zielbereich Y hat, so ist die durch

Algebra I 8. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 12 f(a) = f(b) definierte Relation auf Z eine Äquivalenzrelation. (Natürlich hat das nichts mit der speziellen Menge Z zu tun.) Hier nehmen wir die durch f(a) = (a mod m) gegebene Abbildung. Der erste Teil der folgenden Definition handelt von einer beliebigen Äquivalenzrelation R auf einer Menge M. Wir erinnern daran, dass eine Relation auf M formal einfach eine Teilmenge von M M ist; sie heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist (vergl. obigen Satz 1.2.2). Definition 1.2.4 (Äquivalenzklassen und Kongruenzklassen) a) Es sei R eine Äquivalenzrelation auf der Menge M und a M. Die Äquivalenzklasse von a bezüglich R ist die Teilmenge aller zu a in Relation stehenden Elemente von M: [a] R := {x M xra} b) Die Äquivalenzklassen für die Kongruenzrelation m heißen Restklassen (genauer: Restklassen modulo m) und werden mit bezeichnet. Es gilt also für a Z: = {x Z x m a} Zahlenbeispiel m = 4: [0] 4 = {..., 8, 4, 0, 4, 8,...} [1] 4 = {..., 7, 3, 1, 5, 9,...} [2] 4 = {..., 6, 2, 2, 6, 10,...} [3] 4 = {..., 5, 1, 3, 7, 11,...} Es gibt keine weiteren Restklassen modulo 4, da zum Beispiel: [4] 4 = [0] 4, [5] 4 = [1] 4, [6] 4 = [2] 4,... An diesem Beispiel fällt auch deutlich die allgemeine Struktur der Restklassen ins Auge: die Klasse von a modulo m ist die um a verschobene Untergruppe mz in Z: = a + mz = {a + mz z Z}. Dieses ist völlig analog zum Fall der affinen Unterräume in Vektorräumen. Der Beweis folgt sofort aus dem Kriterium 1.2.3. Bemerkung und Definition 1.2.5 Für allgemeines m hat die Relation m genau m Äquivalunzklassen, nämlich = {x Z x mod m = a} für 0 a < m. Wir bezeichnen die Menge dieser Restklassen mit Z/mZ (lies: Z nach mz oder Z modulo mz ). Es ist also Z/mZ := {[0] m, [1] m,...,[m 1] m }.

Algebra I 8. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 13 Beweis: Aus Satz 1.2.3 ergibt sich sofort, dass es erstens keine weiteren Restklassen gibt und zweitens die angegebenen Restklassen alle voneinander verschieden sind. Um zu einer ähnlichen Beschreibung der Äquivalenzklassen einer beliebigen Äquivalenzrelation zu kommen, überlegt man sich zunächst folgendes: Satz 1.2.6 Sei R eine Äquivalenzrelation auf der Menge M und a, b M. Dann sind folgende drei Bedingungen äquivalent: (i) arb (ii) [a] R = [b] R (iii) [a] R [b] R. Beweis: siehe Vorlesung. In anderen Worten besagt Satz 1.2.6, dass zwei Äquivalenzklassen entweder disjunkt sind oder vollständig übereinstimmen. (Für Restklassen folgt das übrigens direkt aus der obigen Beschreibung.) Dieses führt auf folgende allgemeine Definition: Definition 1.2.7 Eine Menge M = {M i i I} nichtleerer Teilmengen der Menge M heißt Partition von M, wenn 1. M = i I M i 2. M i M j = für alle i, j I mit i j. Die M i werden in diesem Zusammenhang auch Blöcke genannt. Ein Wort zur Schreibweise: I ist hier eine geeignete Indexmenge; wenn M aus unendlich vielen Mengen besteht, dann muss auch I unendlich sein. Eigentlich geht es hier aber nur darum, für die Mengen in M Namen zu haben, man könnte sie genauso A, B, C,... oder sonstwie nennen. Die Verwendung einer Indexmenge mag in Beispielen praktisch sein, und sie unterstützt die Gewohnheit, das große Vereinigungszeichen ähnlich wie ein Summenzeichen zu handhaben. Nötig ist die Verwendung von Indices hier keineswegs. Man kann die beiden Bedingungen an eine Partition auch wie folgt schreiben: 1. M = B M B 2. B C = für alle B, C M mit B C. Als kleinen Exkurs geben wir folgenden allgemeinen Satz über Äquivalenzrelationen an.

Algebra I 8. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 14 Satz 1.2.8 a) Sei R eine Äquivalenzrelation in M. Dann bilden die Äquivalenzklassen zu R eine Partition von M. Sie heißt die von R induzierte Partition. b) Sei umgekehrt M eine Partition von M. Dann gibt es dazu eine Äquivalenzrelation R in M, deren Äquivalenzklassen genau die Mengen aus M (also die gegebenen Blöcke) sind.. Diese Relation R = R M ist definiert durch arb : B M : a B b B. Mit anderen Worten, a und b gelten als äquivalent, wenn sie im gleichen Block liegen. Beweis: zu a): Im Wesentlichen ist das bereits im Satz 1.2.6 gezeigt worden. Man beachte noch a [a] R, weswegen die Klassen nicht leer sind und ihre Vereinigung ganz M ergibt. zu b): Wir zeigen zunächst, dass die im Satz definierte Relation eine Äquivalenzrelation ist, also reflexiv, symmetrisch und transitiv. Zu gegebenem a M gibt es nach Eigenschaft 1 einer Partition ein B M mit a B. Somit gilt ara, wie es die Reflexivität verlangt. Es ist offensichtlich, dass die definierende Bedingung für R symmetrisch in a und b ist. Zum Beweis der Transitivität seien nund a, b, c M mit arb, brc gegeben. Dann existieren B, C M mit a B, b B sowie b C, c C. Wegen b B C und Eigenschaft 2 einer Partition muss B = C sein. Es folgt a B c B, also arc, wie behauptet. Nun zeigen wir die zweite Behauptung, dass nämlich die Äquivalenzklassen von R genau die Mengen in M sind. Sei hierzu a M beliebig und A M der eindeutig bestimmte Block mit a A. Offenbar müssen wir jetzt [a] R = A zeigen und sind dann fertig. Wir zeigen nacheinander die beiden Inklusionen [a] R A und A [a] R. Sei zunächst x [a] R. Dann ist xra, also existiert B M mit x B a B. Wegen a A B muss B = A sein. Also ist x A, wie gewünscht. Sei umgekehrt x A. Dann gilt x A a A, also nach Definition xra, also x [a] R, wie behauptet. Insgesamt liefert der letzte Satz unter Berücksichtigung von 1.2.6 eine bijektive Korrespondenz zwischen der Gesamtheit aller Partitionen einer Menge M und der Gesamtheit aller Äquivalenzrelationen auf M. Wir hatten oben nach Satz 1.2.3 angemerkt, dass es eine (auf den ersten Blick) besonders schöne Sorte von Äquivalenzrelationen gibt, nämlich diejenigen, die durch xry f(x) = f(y) definiert werden, wobei f eine auf M definierte Funktion ist. Man sieht jetzt, dass jede Äquivalenzrelation R von dieser schönen Art ist: Man nimmt für f die Abbildung x [x] R, deren Zielbereich also die Menge aller Äquivalenzklassen, m.a.w. die zu R gehörige Partition M P(M) ist. Dass dieses so möglich ist, liegt an der Allgemeinheit des mathematischen

Algebra I 8. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 15 Begriffs einer Abbildung. Ob es zu einer gegebenen Äquivalenzrelation eine naheliegende, sozusagen wirklich vereinfachende solche Abbildung gibt, ist eine andere (weniger präzise) Frage. Folgende Definition ist sehr gängig, auch für Anwendungen von Äquivalenzrelationen in der Algebra. Definition 1.2.9 Es sei R eine Äquivalenzrelation in M, bzw. M eine Partition von M. Eine Teilmenge V M heißt Repräsentantensystem oder Vertretersystem für die Äquivalenzrelation R bzw. die Partition M, wenn jede Äquivalenzklasse bzw. jeder Block B M genau ein Element aus V enthält. Man hat dann eine disjunkte Zerlegung M = v V [v]. Hier bezeichnet [v] die Äquivalenzklasse von v bzw. den (eindeutig bestimmten) Block B M mit v B. In der Situation von Satz 1.2.8 läuft beides auf dasselbe hinaus. Zur Notation mit dem großen Vereinigungszeichen bemerken wir noch, dass hier die Menge V sinnvoll die Funktion einer Indexmenge erfüllt: zu jeder der zu vereinigenden Mengen, nennen wir sie neutral zunächst B, gibt es genau einen Index v mit B = [v]. Bei der Äquivalenzrelation m in Z ist die vom Rechnen mit Resten bekannte Menge Z m = {0, 1, 2,..., m 1} ein Vertretersystem. Es gibt beliebig viele weitere Möglichkeiten. Eine naheliegende Wahl wäre z.b. {1, 2,..., m} oder für ungerades m = 2k + 1 die Menge { k, (k 1),..., 1, 0, 1,..., k 1, k}. Für ein Vertretersystem reicht es, m Elemente a 1,..., a m anzugeben, von denen keine zwei kongruent modulo m sind. Dieses gilt ganz allgemein für jede Äquivalenzrelation mit m (also nur endlich vielen) Äquivalenzklassen. Denn wenn die a i alle voneiander verschieden sind, dann sind es auch ihre Klassen [a i ], und aus Anzahlgründen sind das dann alle Klassen. Wir verlassen nun die allgemeinen Äquivalenzrelationen und kehren zur Kongruenzrelation auf Z zurück. Der nächste Satz handelt von einer algebraischen Zusatzeigenschaft der Kongruenzrelation, nämlich ihrer Verträglichkeit mit Addition und Multiplikation: Satz 1.2.10 (Rechnen mit Kongruenzen) Sei m N fest. Kongruenzen (modulo m) darf man addieren und multiplizieren. Genauer gilt folgendes: seien a, a, b, b Z so, dass a m a und b m b Dann ist auch a + b m a + b a b m a b

Algebra I 8. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 16 Beweis: Mach Voraussetzung ist a = a+sm und b = b+tm mit s, t Z. Dann folgt a + b = a + b + (s + t)m m a + b und entsprechend a b = ab + (at + bs + stm)m m ab, wie gewünscht. Mit dem nächsten, für vieles grundlegenden und stark verallgemeinerungsfähigen Satz kommen wir zum eigentlichen Ziel dieses Abschnittes. Wir benutzen dabei bereits die Begriffe Gruppe und Ring sowie weitere hierzu gehörige Begriffe, die man bei Bedarf in den Abschnitten 1.3 und 1.5 nachschlagen kann. Alternativ arbeitet man den Rest dieses Abschnittes erst nach den genannten Abschnitten durch. Satz 1.2.11 (Restklassenaddition und -multiplikation) a) Auf der Menge Z/mZ aller Restklassen modulo m wird durch [b] m := [a + b] m eine Verknüpfung sinnvoll definiert. Diese Verknüpfung heißt auch Restklassenaddition. b) Z/mZ zusammen mit ist eine Gruppe mit [0] m als neutralem Element. c) Auf der Menge Z/mZ aller Restklassen modulo m wird durch [b] m := [a b] m eine Verknüpfung sinnvoll definiert. Diese Verknüpfung heißt auch Restklassenmultiplikation d) Die Struktur (Z/mZ,, ) ist ein kommutativer Ring mit Einselement [1] m. Beweis: zu a) und c): Zu zeigen ist, daß die Verknüpfung bei gegebenem [a] und [b] ein eindeutiges Ergebnis liefert. Das heißt, die rechte Seite [a + b] beziehungsweise [a b] darf nur von [a] und [b] abhängen (aber nicht von a und b selbst). Zu zeigen ist also folgendes: wenn a, b Z weitere Elemente sind so, dass [a] = [a ] und [b] = [b ], dann muss auch [a + b]! = [a + b ] sein; entsprechend für mal statt +. Aus 1.2.3 und der Voraussetzung [a] = [a ] und [b] = [b ] folgt a a und b b. Nach 1.2.10 folgt: a + b a + b. Wieder nach 1.2.3 folgt [a + b] = [a + b ], wie gewünscht. Der Beweis für mal ist der gleiche. zu b), d): Die beiden Assoziativgesetze beweist man durch einfaches Zurückführen auf das entsprechende Gesetz in Z: Es ist für drei Elemente a :=, b, c Z/mZ (a b) c = ab c = (ab)c = a(bc) = a bc = a (b c).

Algebra I 8. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 17 d) folgt durch entsprechendes Zurückführen des Distributivgesetzes auf das in Z: Es ist für drei Elemente a, b, c Z/mZ (a b) c = a + b c = (a + b)c = ac + bc = ac bc = (a c) a c). Die Verknüpfungen und auf Z/mZ werden wir in Zukunft wie allgemein üblich einfach mit + und bezeichnen (wie man ja auch das + von Zahlen genauso notiert wie das + von Vektoren). In der Zahlentheorie studiert man neben ganzzahligen polynomialen Gleichungen oft auch auch Kongruenzgleichungen vom Typ a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n m 0, x Z, wobei m N ein fester Modul ist (man rechnet modulo m) und a 0,...,a n Z feste Konstanten. Aus Satz 1.2.10 folgt nun unmittelbar, dass mit jeder Lösung x Z auch jedes modulo m zu x kongruente x Z eine Lösung ist. Mit anderen Worten, die (unendliche) Lösungsmenge ist Vereinigung von Restklassen [x] m, von denen es nur endliche viele gibt und die man im Prinzip durch endliches Überprüfen aller Möglichkeiten bestimmen kann. Beispiel 1.2.12 Die Kongruenz x 2 7 2 hat die Lösungsmenge [3] 7 [4] 7 Z, besteht also aus allen x Z, die kongruent zu 3 oder 4 modulo 7 sind. Zum Beweis muss man nur für ein Vertretersystem für Z/7Z die Quadrate bilden, etwa für das Vertretersystem {0, ±1, ±2, ±3} und notieren, in welchen Fällen das Quadrat kongruent zu 2 modulo 7 ist. Allgemein kann man das Prinzip wie folgt festhalten: Bemerkung 1.2.13 Jedes Polynom f(x) Z[X] induziert für jedes m eine Abbildung f : Z/mZ Z/mZ, [x] m [f(x)] m. Die Lösungsmenge in Z der Kongruenzgleichung f(x) m 0 ist eine Vereinigung von vollen Restklassen modulo m. Diese Restklassen sind die Nullstellen in Z/mZ von f. Das Lösen von Kongruenzen, präziser formuliert von Kongruenzgleichungen ist also vollständig äquivalent zum Lösen gewöhnlicher Gleichungen im Restklassenring Z/mZ. Alles bleibt richtig für Gleichungen in mehreren Unbestimmten, d.h. für Polynome in Z[X 1,...,X n ] (Polynomringe in mehreren Unbestimmten werden in späteren Kapiteln noch genau erklärt).