ALGEBRA Terme 3 Termumformungen Faktorisierung (Teil ) Klasse 8 Datei Nr. 1103 Friedrich W. Buckel August 00 Neu bearbeitet September 005 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
Inhalt DATEI 1101 1 Was sind und was leisten Terme 1 Zusammenfassen und Ordnen von Termen 4 3 Ausmultiplizieren und Ausklammern 8 Vorsicht beim Umgang mit Minuszeichen 11 Vorsicht beim Umgang mit Potenzen 11 4 Multiplizieren von Klammern 15 5 Kompliziertere Aufgaben 18 Produkte mit mehr als Klammern 1 DATEI 110 6 Binomische Formeln 7 Faktorisieren und Quadratische Ergänzung DATEI 1103 8 Faktorisieren mit beliebigen Klammern 1 DATEI 1104 8.1 Wiederholung 1 8. Zerlegung in ( x+ a)( x+ b) 4 8.3 Aufgabe 3 10 8.4 Aufgabe 4 16 8.5 Bemerkungen 19 9 Berechnung von und ( a+ b) n 10 ( a+ b+ c)
1103 Term-Umformungen 3 1 8.1 Wiederholung. 8 Faktorisierung Das Umformen eines Terms in einen äquivalenten Term, der ein Produkt ist, nennt man Faktorisierung. Beispiel 1 Faktorisiere 3 4x 16x : 3 4x 16x Zuerst muß man 4x ausklammern: ( ) 3 4x 16x = 4x x 4 Den Klammerterm kann man weiter zerlegen, indem man die 3. binomische Formel anwendet: = 4x( x + )( x ). Ganze Rechnung: 3 4x 16x = 4x( x 4) = 4x( x+ )( x ) Beispiel Faktorisiere 3 3x 48x + 19x 3 3x 48x + 19x Man muß erkennen, daß der Faktor 3x in jedem Summanden streckt. Wir klammern ihn aus: = 3x( x 16x + 64) Vermutung: Die Klammer kann mit der 1. Binomischen Formel umgeformt werden. x 16x + 64 x8 = 16x Doppeltes Produkt Kontrolle x 8 ( x 8) Dieses Schema zeigt noch einmal, wie man feststellt, ob der gegebene Term mit seinen drei Summanden zur 1. binomischen Formel paßt: Zuerst müssen der erste und dritte Summand Quadrate sein. Diese Quadrate macht man rückgängig und bildet aus diesen beiden Zahlen das doppelte Produkt. Wenn dieses doppelte Produkt genau dem. Summanden entspricht, dann weiß man, daß man einen Klammer-Quadrat-Term hat. Dies soll der runde gestrichelte Pfeil andeuten! Ergebnis: 3x 3 48x + 19x = 3x( x 16x + 64) = x ( x 8) Aufgabe 1 (a) 3x + 160x + 00 (b) (c) 900u 56v. (d) 1x 1 x 1 + (1. Faktor ist 1 5 3 5x 00x + 400x 1 ). Erst nach der Lösung umblättern!
1103 Term-Umformungen 3 Lösung Aufgabe 1 (a) 3x + 160x + 00 = 8( 4x + 0x + 5) = 8( x + 5) Wichtig ist immer die Kontrolle des doppelten Produkts: x 5 = 0x und dies ist tatsächlich der. Summand. (b) 1x x + Hier muß man überall Brüche mit dem Nenner 1 erstellen damit man 1 ausklammern kann: 1 1 1 ( ) ( ) = x x + = 144x 4x + 1 = 1x 1 144 4 1 1 1 1 1 1 1 1 Kontrolle des doppelten Produkts: 1x 1= 4x Stimmt! Komplette Berechnung: ( ) ( ) 1x x + = x x + = 144x 4x + 1 = 1x 1 1 144 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (c) 900u 56v. Hier sind nur zwei Quadrate als Differenz vorhanden. Dies ist genau die zum 3. Binomischen Gesetz passende Konstellation. Wir klammern 4 aus: ( ) ( )( ) 900u 56v 4 5 u 64 v 4 15u 8v 15u 8v = = +. (d) 5 3 5x 00x + 400x Zunächst klammer man 5 x aus: 4 = 5x( x 8x + 16) Die Klammer paßt zur 1. Binomische Formel: ( = 5 x 4) Die Klammer kann mit der 3. Binomische Formel weiter zerlegt werden: = 5 ( ( x )( x + ) ) Das heißt ausführlich = 5 ( x )( x+ )( x )( x + ) bzw. neu gruppiert: = 5 ( x ) ( x + ) Fertig! Wer hierzu noch Übungsbedarf hat, kann in der Datei Terme (110) viele Aufgaben finden.
1103 Term-Umformungen 3 3 Beispiel 3 Faktorisiere 4x 51x + 36 Ich verwende zur Faktorisierung mein bekanntes Grafikschema: 4x 51x + 36 x 6= 4x Doppeltes Produkt Kontrolle x 6 Das doppelte Produkt stimmt nicht mit dem. Summanden überein. Also kann man nicht in einen Klammer-Quadrat-Term umformen. Aber dennoch kann man den Term 4x 51x + 36 weiter zerlegen, und zwar in ein Produkt zweier verschiedener Klammern. Das ist deutlich schwerer. Hier zunächst das Ergebnis: ( x+ 1)( 4x+ 3) Machen wir die Probe: Nur - wie soll man darauf kommen? Ich zeige es im nächsten Abschnitt! ( x + 1)( 4x + 3) = 4x + 3x + 1 4x + 1 3 + 51x + 36
1103 Term-Umformungen 3 4 Herleitung einer Methode 8. Zerlegung in ( x+a)( x+b ) Bevor wir beginnen, müssen wir einige Beobachtungen anstellen. Man sehe sich diese Rechnung an: ( )( ) ( ) ( ) x+ a x+ b = x + ax+ bx+ ab= x + a+ b x+ a b Beim Ausmultiplizieren dieser speziellen Klammern, entsteht ein Term, der in der Mitte die Summe (a+b) und am Ende das Produkt (ab) stehen hat. Das kann man ausnützen, um geschickt umzuformen: ( )( ) x+ 5 x+ 4 = x + ( 5+ 4) x+ ( 5 4) Summe Pr odukt ( )( ) x+ 5 x+ 4 = x + 9 x + 0 Stellen wir uns also vor, wir sollten nun die umgekehrte Aufgabe lösen: Zerlege den Term x + 9x+ 0 in zwei Klammerfaktoren! Dann müssen wir jetzt wissen: 9 ist die Summe a + b und 0 ist das Produkt a b. Nun kann man raten und findet schnell: 4 5 = 0 und 4+ 5 = 9, also kennt man das Ergebnis: x + 9x+ 0 = ( x+ 4)( x+ 5). Das müssen wir jetzt gründlich üben! Wer mein, dies schon verstanden zu haben, kann versuchen, diesen Term auf diese Weise zu faktorisieren: Die Lösung folgt auf der nächsten Seite! x + 11x+ 8
1103 Term-Umformungen 3 5 Ich will wieder ein graphisches Schema zeigen, mit dem Anfänger gut zurecht kommen: x 7+ 4= 11. Summe bilden + 11x + 8 3. Kontrolle 4. Ergebnis 1. Faktoren suchen 74 = 8 Am besten beginnt man mit der dritten Zahl und zerlegt sie in ein Produkt. Das geht oft auf mehrere Weisen. Zu jeder Möglichkeit probiert man die Summe. Wenn sie zur mittleren Zahl paßt, ist man fertig. ( )( ) x+7 x+4 Oder mit einem Minuszeichen in der Mitte: x 10x + 16 Jetzt heißt es nachdenken: ( ) + ( 8) = 10. Summe bilden 3. Kontrolle 4. Ergebnis ( )( ) x- x-8 1. Faktoren suchen ( ) ( 8) = 16 Die 3. Zahl ist positiv. Ein Produkt ist nur dann positiv, wenn beide Zahlen positiv oder beide Zahlen negativ sind. Da hier aber ihre Summe, das ist der Koeffizient von x, negativ ist, müssen a und b beide negativ sein! Wir wollen zu beiden Fällen einige Aufgaben rechnen. Blättere erst dann zur Lösung um, wenn du sie fertig hast. Ob du mein graphisches Schema verwendest oder nicht, bleibt dir überlassen. Es soll ja nur zeigen, wie man am besten der Reihe nach vor geht. AUFGABE (a) x + 0x+ 64 (b) x + 9x+ 18 (c) x + 30x+ 00 (d) x 10x+ 1 (e) x 19x+ 90 (f) x 30x+ 16
1103 Term-Umformungen 3 6 Lösung zu Aufgabe (a) x + 0x+ 64 Zerlegung von 64 in ein Produkt und Kontrolle der Summe der Faktoren: 64 = 3 liefert + 3= 34 0 : Dies paßt nicht. 64 = 4 16 liefert 4+ 16 = 0: Dies paßt! Ergebnis: x + 0x+ 64 = ( x+ 4)( x+ 16) (b) x + 9x+ 18 Zerlegung von 18 in ein Produkt und Kontrolle der Summe der Faktoren: 18 = 9 und die Summe: + 9 = 11 18 : Dies paßt nicht. 18 = 3 6 und die Summe: 3+ 6 = 9: Dies paßt! Ergebnis: x + 9x+ 18 = ( x+ 3)( x+ 6) (c) x + 30x+ 00 Zerlegung von 00 in ein Produkt und Kontrolle der Summe der Faktoren: 00 = 10 0 und die Summe: 10 + 0 = 30 : Dies paßt! Ergebnis: x + 30x+ 00 = ( x+ 10)( x+ 0) (d) x 10x+ 1 Zerlegung von 1 in ein Produkt und Kontrolle der Summe der Faktoren: 1= 3 7 und die Summe: 3+ 7 = 10 bzw. 1= ( 3) ( 7) und die Summe paßt: ( 3) + ( 7) = 10 Ergebnis: x 10x+ 1= ( x 3)( x 7) (e) x 19x+ 90 Zerlegung von 90 in ein Produkt und Kontrolle der Summe der Faktoren: 90 = 9 10 und die Summe: 9+ 10 = 19 bzw. 90 = ( 9) ( 10) und die Summe paßt: ( 9) + ( 10) = 19 Ergebnis: x 19x+ 90 = ( x 9)( x 10)
1103 Term-Umformungen 3 7 (f) x 30x+ 16 Zerlegung von 16 in ein Produkt und Kontrolle der Summe der Faktoren: 16 = 108 ergibt die Summe: + 108 = 110 paßt nicht. 16 = 4 54 ergibt die Summe: 4+ 54 = 58 paßt nicht. 16 = 6 36 ergibt die Summe: 6+ 36 = 4 paßt nicht. 16 = 8 7 ergibt die Summe: 8+ 7 = 35 paßt nicht. 16 = 1 18 ergibt die Summe: 1 + 18 = 30 bzw. 16 = ( 1) ( 18) ergibt die Summe: ( 1) + ( 18) = 30 paßt! Ergebnis: x 30x+ 16 = ( x 1)( x 18) Kommentar dazu: Hier habe ich ganz bewußt gezeigt, wie man mehrere Möglichkeiten durchprobieren kann, wenn man eine große Zahl wie 16 hat. Allerdings wird derjenige, der etwas vorausdenkt, einige Rechnungen sparen können. Wer nämlich einen Blick auf die Summe 30 der Faktoren wirft, der erkennt, daß ja dann diese Faktoren kleiner als 30 sein müssen, sonst wird ihre Summe zu groß. Daher kann man die ersten drei Zerlegungen von 16 gleich weglassen. An so einem Beispiel sollte man erkennen, wie der gute Mathematiker vorgehen sollte: Vorausdenken spart Arbeit! Nun kommen die Terme, deren dritter Summand negativ ist : 8+ 1= 4 8+ = 4 ( 1). Summe bilden x 9 3. Kontrolle + 4x - 6 4. Ergebnis ( x+ 1)( x 8) 1. Faktoren suchen ( 8) 1= 96 8 1 = 96 ( ) Jetzt heißt es nachdenken: Ist die 3. Zahl negativ. muß einer der beiden Faktoren ein negatives Vorzeichen erhalten: 8( 1) = 96 oder ( 1) 8 = 96. Die Summe +4 entscheidet nun darüber, welcher Fall hier paßt: Wenn die Summe positiv werden soll, erhält der größere Faktor das positive Vorzeichen x + 4x 96 = ( x+ 1)( x 8) Achtung: Ich verwende zur Zerlegung zunächst immer die Zahl ohne Vorzeichen, dann sind die gefundenen Faktoren zuerst beide positiv. Dann erst bekommen die Faktoren ein Vorzeichen zugewiesen.
1103 Term-Umformungen 3 8 8+ 1= 4 8+ = 4 ( 1) x - - 9 4x 6 ( x 1)( x+ 8) ( 8) 1= 96 8 1 = 96 ( ) Die 3. Zahl ist negativ. also muß einer der beiden Faktoren negativ sein. Beispiel: 8( 1) = 96 oder ( 1) 8 = 96. Die Summe -4 entscheidet nun darüber, welcher Fall hier paßt: Wenn die Summe negativ werden soll, erhält der größere Faktor das negative Vorzeichen: x 4x 96 = ( x 1)( x + 8) Zusammenfassung: Ist der dritte Summand negativ, dann wird in der Zerlegung ( x+ a)( x+ b) eine der Zahlen a, b negativ, damit das Produkt (eben dieser 3. Summand) negativ wird. Dann muß man darauf achten, welches Vorzeichen der. Summand hat. Ist dieser positiv, dann muß die größere der (vorzeichenlosen) Zahlen a oder b ein positives Vorzeichen bekommen, sonst wird die Summe nicht positiv (und diese Summe ist ja gerade der Koeffizient des. Summanden). Ist dieser aber negativ, dann macht man es umgekehrt. Hier noch einige Beispiele: x + - 4 4x 5 x - - 4 4x 5 ( 9) + 5= -4 9+ ( 5 ) = 4 ( 9) 5= 45 9 ( 5) = 45 ( 9) + 5= -4 9+ ( 5 ) = 4 ( 9) 5= 45 9 ( 5) = 45 ( x+ 9)( x 5) ( x 9)( x+ 5) Hier sieht man direkt nebeneinander den Unterschied, wenn der zweite Summand positiv oder negativ ist.
1103 Term-Umformungen 3 9 Oder dieses Beispiel: x + - 4 x 8 x - - 4 x 8 ( 6) + 8= 6 + ( 8 ) = ( 6) 8= 48 6 ( 8) = 48 ( 6) + 8= 6 + ( 8 ) = ( 6) 8= 48 6 ( 8) = 48 ( x+ 8)( x 6) ( x 8)( x+ 6) Und noch eine ganze Gruppe von Beispielen mit ähnlichen Zahlen: x + 15x - 54 x - 15x - 54 ( 3) + 18= 15 3+ ( 18 ) = 15 ( 3) 18= 54 3 ( 18) = 54 ( 3) + 18= 15 3+ ( 18 ) = 15 ( 3) 18= 54 3 ( 18) = 54 ( x+ 18)( x 3) ( x 18)( x+ 3) x + 15x + 54 x - 15x + 54 9+ 6= 15 ( 9) + ( 6) = 15 96 = 54 ( 9) ( 6) = 54 9+ 6= 15 ( 9) + ( 6) = 15 96 = 54 ( 9) ( 6) = 54 ( x+ 9)( x+ 6) ( )( ) x 9 x 6 Die letzten zwei Diagramme enthielten nochmals Terme mit positivem 3. Summanden.
1103 Term-Umformungen 3 10 Fülle die Diagramme aus: 8.3 AUFGABE 3 (a) x 4 (b) + 8x - 8 x 8x - 48 (c) x 15x 56 + + (d) 15 + 5 x x 6 (e) x + x 56 (f) x x 56
1103 Term-Umformungen 3 11 (g) x 11x 80 + - (h) 11-8 x x 0 (i) x + 4x + 135 (j) x 4x + 135 (k) x 16x 36 (l) + 16 3 x x 6
1103 Term-Umformungen 3 1 (m) x 5x 84 + + (n) x 5x + 84 (o) x 4x 19 + (p) x 4x 19 (q) x 5x 50 (r) x 15x + 50 Die Lösungen befinden sich auf der Mathematik-CD auf den Seiten 61 bis 63.
1103 Term-Umformungen 3 13 Lösung zu Aufgabe 3 (a) x + 8x - 48 (b) x 8x - 48 ( 4) + 1= 8 4 + ( 1 ) = 8 ( 4) 1= 48 4 ( 1) = 48 ( 4) + 1= 8 4 + ( 1 ) = 8 ( 4) 1= 48 4 ( 1) = 48 ( x 4)( x+ 1) ( x+ 4)( x 1) (c) x 15x 56 + + (d) 15 + 5 x x 6 7 + 8 = 15 7 8 = 56 ( 7) + ( 8) = 15 ( 7) ( 8) = 56 7 + 8 = 15 7 8 = 56 ( 7) + ( 8) = 15 ( 7) ( 8) = 56 ( x+ 7)( x+ 8) ( )( ) x 7 x 8 (e) x + x 56 (f) x x 56 ( 7) + 8= 1 7 + ( 8 ) = 1 ( 7) 8 = 56 7 ( 8) = 56 ( 7) + 8= 1 7 + ( 8 ) = 1 ( 7) 8 = 56 7 ( 8) = 56 ( x 7)( x+ 8) ( x+ 7)( x 8)
1103 Term-Umformungen 3 14 (g) (h) x + 11x - 80 x 11x - 80 ( 5) + 16= 11 5+ ( 16 ) = 11 ( 5) 16= 80 5 ( 16) = 80 ( 5) + 16= 11 5+ ( 16 ) = 11 ( 5) 16= 80 5 ( 16) = 80 ( x 5)( x+ 16) ( x+ 5)( x 16) (i) x + 4x + 135 (j) x 4x + 135 9+ 15= 4 915 = 135 ( 9) + ( 15) = 4 ( 9) ( 15) = 135 9+ 15= 4 915 = 135 ( 9) + ( 15) = 4 ( 9) ( 15) = 135 ( x+ 9)( x+ 15) ( )( ) x 9 x 15 (k) x 16x 36 (l) + 16 3 x x 6 + ( 18) = 16 ( ) + 18=+ ( 18) = 36 16 ( ) 18= 36 + ( 18) = 16 ( ) + 18=+ ( 18 ) = 36 16 ( ) 18= 36 ( x+ )( x 18) ( x )( x+ 18)
1103 Term-Umformungen 3 15 (m) x 5x 84 + + (n) x 5x + 84 4+ 1= 5 41 = 84 ( 4) + ( 1) = 5 ( 4) ( 1) = 84 4+ 1= 5 41 = 84 ( 4) + ( 1) = 5 ( 4) ( 1) = 84 ( x+ 4)( x+ 1) ( )( ) x 4 x 1 (o) x 4x 19 + (p) x 4x 19 ( 1) + 16 = 4 1 + ( 16 ) = 4 ( 1) 16 = 19 1 ( 16) = 19 ( 1) + 16 = 4 1 + ( 16 ) = 4 ( 1) 16 = 19 1 ( 16) = 19 ( x 1)( x+ 16) ( x+ 1)( x 16) (q) x 5x 50 (r) x 15x + 50 ( 5) + 10= 5 5 + ( 10 ) = 5 ( 5) 10= 50 5 ( 10) = 50 5+ 10= 15 510 = 50 ( 5) + ( 10) = 15 ( 5) ( 10) = 50 ( x+ 5)( x 10) ( )( ) x 5 x 10
1103 Term-Umformungen 3 16 8.4 AUFGABEN Löse die folgenden Aufgaben nun ohne Diagramm. Gehe so vor, daß du zuerst den dritten Summanden in Faktoren zerlegst und wiederhole dies so lange, bis die Summe zum zweiten Summanden paßt. Schreibe dann die Zerlegung in ein Produkt auf. Musterbeispiel Faktorisiere x + 4x 30 Zerlegung der Zahl 30 in Faktoren. Weil der dritte Summand negatives Vorzeichen hat, muß ein Faktor dann ein negatives Vorzeichen erhalten. Also muß die Summe aus der positiven und der negativen Zahl, also die Differenz der absoluten Zahlen gleich 4 sein: 30 = 160 = 4 80 = 5 64 = 8 40 = 10 3 = 16 0 160 = 158 80 4= 76... 0-16=4 Nun kommt eine dieser Möglichkeiten in Frage: x + 4x 30 = ( x 16)( x + 0) oder x + 4x 30 = ( x + 16)( x 0) Wir erkennen an der Tatsache, daß der zweite Summand ein positives Vorzeichen hat, daß die erste Möglichkeit gilt, denn ( 16) + ( + 0) = + 4. Ergebnis: x + 4x 30= ( x 16)( x+ 0) Aufgabe 4 Faktorisiere (a) (c) (e) (g) x + 6x 16 (b) x + x 0 (d) x 14x+ 45 (f) x 10x+ 9 (h) x x 0 x + 5x+ 100 x + 10x 4 x 7x 60 Bei den nächsten Aufgaben muß man zuerst einen Faktor ausklammern: Denn plötzlich steht vor x eine andere Zahl als die (vorhandene aber unsichtbare) 1 : (i) (k) 4x + 64x + 5 (j) 5x 50x 195 (l) 1 x 5x+ 9 4 1 3 8 x + x 8
1103 Term-Umformungen 3 17 Lösungen Aufgabe 4 (a) x + 6x 16 a und b erhalten verschiedene Vorzeichen Zerlegung: 16 = 8 Kontrolle: 8+ ( ) = 6 Ergebnis: x + 6x 16 = ( x+ 8)( x ) (b) x x 0 a und b erhalten verschiedene Vorzeichen Zerlegung: 0 = 4 5 Kontrolle: 4+ ( 5) = 1 Ergebnis: x x 0 = ( x+ 4)( x 5) (c) x + x 0 a und b erhalten verschiedene Vorzeichen Zerlegung: 0 = 4 5 Kontrolle: ( 4) + 5 = 1 Ergebnis: x + x 0 = ( x 4)( x+ 5) (d) x + 5x+ 100 a und b erhalten gleiche Vorzeichen Zerlegung: 100 = 0 5 Kontrolle: 0 + 5 = 5 Ergebnis: x + 5x + 100 = ( x + 0)( x + 5) (e) x 14x+ 45 a und b erhalten gleiche Vorzeichen Zerlegung: 45 = 9 5 = ( 9) ( 5) Kontrolle: ( 9) + ( 5) = 14 Ergebnis: x 14x+ 45 = ( x 9)( x 5) (f) x + 10x 4 a und b erhalten verschiedene Vorzeichen Zerlegung: 4 = 4 6 = 1 Kontrolle: ( ) + 1= 10 Ergebnis: x + 10x 4 = ( x )( x+ 1) (g) x 10x+ 9 a und b erhalten gleiche Vorzeichen Zerlegung: 9 = 3 3 = 1 9 = ( 1) ( 9) Kontrolle: ( 1) + ( 9) = 10 Ergebnis: x 10x+ 9 = ( x 1)( x 9) (h) x 7x 60 a und b erhalten verschiedene Vorzeichen Zerlegung: 60 = 5 1 Kontrolle: 5+ ( 1) = 7 Ergebnis: x 7x 60= ( x+ 5)( x 1)
1103 Term-Umformungen 3 18 Und nun die Aufgaben, bei denen x einen Koeffizienten ungleich 1 hat. Diesen muß man dann zuerst ausklammern, sonst greift unsere Methode nicht! (i) 4x + 64x + 5 Ausklammern des Faktors 4: ( ) 4x + 64x + 5 = 4 x + 16x + 63 a und b haben beide positive Vorzeichen : Zerlegung: 63 = 9 7 Kontrolle: 9+ 7 = 16 4x + 64x + 5 = 4 x + 16x + 63 = 4 x + 9 x + 7 Ergebnis: ( ) ( )( ) (j) 1 x 5x+ 9 4 Ausklammern des Faktors 1 4 : 1 1 0 36 1 4 4 4 4 4 ( ) x 5x+ 9 = x x+ = x 0x+ 36 a und b haben beide gleiches Vorzeichen : Zerlegung: 36 = 18 = ( ) ( 18) Kontrolle: ( ) + ( 18) = 0 1 1 0 36 1 1 x 5x+ 9 = x x+ = x 0x+ 36 = x x 18 Ergebnis: ( ) ( )( ) 4 4 4 4 4 4 (k) 5x 50x 195 Ausklammern des Faktors 5: ( ) 5x 50x 195 = 5 x 10x 39 a und b haben verschiedene Vorzeichen : Zerlegung: 39 = 3 13 Kontrolle: ( 13) + 3 = 10 Ergebnis: = ( ) = ( )( + ) 5x 50x 195 5 x 10x 39 5 x 13 x 3 (l) 1 3 8 x + x 8 Ausklammern des Faktors 1 8 : 1 3 1 1 64 1 8 8 8 8 8 ( ) x + x 8 = x + x = x + 1x 64 a und b haben verschiedene Vorzeichen : Zerlegung: 64 = 8 8 = 16 4 Kontrolle: 16 + ( 4) = 1 1 Ergebnis: 3 1 1 64 1( ) 1 x + x 8 = x + x = x + 1x 64 = ( x + 16)( x 4) 8 8 8 8 8 8
1103 Term-Umformungen 3 19 8.5 Bemerkungen Dieser Stoff erscheint in der Klassenstufe 8 nicht sehr anwendungsbezogen und wirkt zugegebenermaßen oft wie reine Schikane. Der Schüler muß jedoch an dieser Stelle einsehen, daß man hier wichtige algebraische Grundlagen kennen lernt und einüben muß. Dieser Stoff ist vor allem für die Mathematik der Oberstufe sehr wichtig. Ein zweiter Effekt ist der, daß man sich bei diesen Überlegungen sehr konzentrieren muß. Dieser Stoff ist eine wichtige Denkschulung. Und mancher bekommt diese Abläufe schnell in seinen Kopf. Nach den Übungen dieser Datei darf man nicht vergessen, daß es auch noch die Faktorisierung mit Hilfe der Binomischen Formeln gibt. Wenn man daran zunächst nicht denkt, fällt einem das selbst auf, wie in diesem Beispiel: 3x 4x + 48 Zuerst wird der Faktor 3 ausgeklammert: ( ) 3x 4x + 48 = 3 x 8x + 16 Wir brauchen a und b mit gleichem Vorzeichen: Zerlegung der Zahl 16: 16 = 1 16 = 8 = 4 4 = ( 4) ( 4). Kontrolle: ( 4) + ( 4) = 8. Also folgt: ( ) ( )( ) ( ) 3x 4x + 48 = 3 x 8x + 16 = 3 x 4 x 4 = 3 x 4. Wenn jemand sein waches Auge einsetzt, erkennt er aber auch gleich die binomische Umformung x 8x+ 16 = ( x 4). Dies kürzt die Rechnung natürlich ab. Und schließlich sei noch erwähnt, daß es quadratische Terme gibt, die sich nicht in zwei Klammern zerlegen lassen, solange man mit reellen Zahlen rechnet. x 3x+ 5 ist so ein Term. Dann aber gibt es auch quadratische Terme, die sich zerlegen lassen, aber nicht mit den uns bekannten Zahlen. Dazu benötigt man dann die ab Klasse 9 kommenden Quadratwurzeln. x 3x 5 ist so ein Term.