Them 6 Rnglisten von Mtthis Glöckner
Inhltsverzeichnis Einleitung Ds linere Verfhren Definition der Punktezhl Die Präferenzmtrix Perron-Frobenius Theorem Bewertung nch dem Spielergebnis und Verzerrungsfunktion Ds Potenzverfhren Abschließendes Beispiel
Einleitung Schon immer hben Menschen in Spielen und Wettkämpfen versucht heruszufinden, wer der Beste unter Ihnen sei. Dies sollte möglichst durch objektive Methoden geschehen. Oft knn der Sieger durch seine persönliche Leistung (Meter, Sekunden usw.) bestimmt werden. Bei Mnnschftssportrten knn dies über die z.b. die Anzhl der Siege und Niederlgen erfolgen oder durch einfches K.O. - System. Ein gutes Beispiel, wo eine direkte Bestimmung der besten Mnnschft eben nicht möglich ist, bietet ds meriknische College - Footbll. In der I-A Lig spielen 6 Tems und jedes Tem bsolviert nur ein hlbes Dutzend Spiele. Aus dieser Problemtik entwickelte KEENER mehrere mthemtische Rnglistenverfhren. Hier soll ds linere Verfhren beschrieben werden.
Ds linere Verfhren Die Anzhl der Wettkmpfteilnehmer bezeichnen wir mit n. Es stehen sich lso die Tems T,T 2,,T n gegenüber. Definition der Punktezhl p i : n pi : = (i, j)z j j= (i,j) spiegelt ds Ergebnis zwischen den Teilnehmern i und j wider. (i,j) muss eine nichtnegtive Zhl sein. z i kennzeichnet den gesuchten Rngwert, der die Spielstärke des i-ten Tems wiedergibt.
Aus den definierten Einträgen (i,j) ergibt sich dnn folgende Präferenzmtrix A. A = M n, 2,, n,,2 2,2 n,2 n,2...... O......,n 2,n n,n n,n,n 2,n M, n,n nxn A R Der Eintrg (i,i) ist us sportlicher Sicht unsinnig und im Prinzip beliebig, muss us mthemtischen Gründen für lle i gleich sein.
Beispiel : Anzhl der Tems n = 6. Tem = Mount Vernon Tem 2 = Dyton Bech Minlnd Tem = Tllhssee Leon Tem = Jcksonville White Tem = Tmp Chmberlin Tem 6 = Buford Ergebnisse: Tem Tem 6 : 6 Tem Tem 2 : 2 Tem 2 Tem 9 : Tem Tem : 6 Tem 6 Tem : Tem Tem 6 9 : 28 (i,j) =, wenn Tem i gegen Tem j gewonnen ht (i,j) =, wenn unentschieden gespielt wurde (i,j) =, wenn Tem i gegen Tem j verloren ht bzw. kein Ergebnis vorliegt (i,i) = (i,j) =, wenn Tem i gegen Tem j nicht gespielt ht
Tem Tem 6 : 6 Tem 6 Tem : (,) = und (,) = (6,) = und (,6) = Ws wäre, wenn Tem erneut gegen Tem spielen würde? Im Allgemeinen: Ws pssiert, wenn zwei Mnnschften im Verluf des Wettkmpfes mehrfch gegeneinnder ntreten? = A
Treffen lle Mnnschften gleichermßen oft ufeinnder (z.b. Hinund Rückrunde in der Bundeslig), so können die k Ergebnisse (i,j), 2 (i,j),, k (i,j) ddiert werden. Es ergibt sich folgende Definition: (i, j) : = (i, j) + 2 (i, j) +... + k (i, j) Bei unusgewogener Anzhl der Begegnungen empfiehlt es sich den Durchschnittswert ller k ij Spielergebnisse zu bilden. (i, j) : = (i, j) + 2 (i, j) k ij +... + k (i, j) K ij := mx(, Anzhl der Begegnungen von i und j)
Weiteres Problem: Wie lässt sich verhindern, dss Mnnschften durch Extrspiele einfch zusätzliche Fleißpunkte smmeln? Dies knn erreicht werden, indem mn durch die Anzhl m i der Spiele der Mnnschft i teilt. Wir erhlten schließlich: (i, j): = m i (i, j) + 2 (i, j) +... + k ij k (i, j) m i := mx(,anzhl der Spiele der Mnnschft i ) k ij := mx(, Anzhl der Begegnungen von i und j)
Beispiel 2: Anzhl der Tems n = 6. Ergebnisse: Tem Tem 6 : 6 Tem Tem 2 : 2 Tem 2 Tem 9 : Tem Tem : 6 Tem 6 Tem : Tem 2 Tem 29 : 2 Tem Tem 2 : 2 Tem 2 Tem : Tem Tem 2 : 26 Tem 6 Tem 2 : Tem Tem 2 : 28 Tem Tem 2 : 28 Wir definieren: Punkt für einen Sieg ½ Punkte für ein Unendschieden Punkte für eine Niederlge
Lösung: Spiele von Tem : Punkte für Tem Tem Tem 6 : 6 Tem Tem 2 : 2 Tem 2 Tem 29 : 2 Tem Tem 2 : 2 Tem Tem 2 : 28 Anzhl der Spiele von Tem := m = Anzhl der Begegnungen von und 2 := k 2 = 2 H, 2L = + = 2 =,
=.2.2..2..2..2.2... A
Zusmmenhng zwischen Punktezhl p i und Spielstärke z i ( ) n pi : = (i, j)z j j= ( 2 ) p i = zג i us ( ) und ( 2 ) folgt ( ) n j= (i, j)z j = λz i ( ) Az = zג
Perron-Frobenius Theorem Definition: Eine n x n - Mtrix A wird ls nichtnegtiv bezeichnet, flls lle (i,j) Eine n x n - Mtrix A wird ls positiv bezeichnet, flls lle (i,j) > Ein Vektor z wird ls nichtnegtiv bezeichnet, flls lle z i Ein Vektor z wird ls positiv bezeichnet, flls lle z i > Theorem: A R nxn Sei eine irreduzible nichtnegtive Mtrix. Dnn existiert ein bis uf einen sklren Fktor φ eindeutig bestimmter positiver Eigenvektor z, und der zugehörige Eigenwert ג ist positiv und betrgsmäßig größer oder gleich llen nderen Eigenwerten von A.
Definition: Grph einer Mtrix A R nxn Es seien und I n := {,...,n } Die Menge G(A) : = {(i, j) I n I n ij } wird ls Grph einer Mtrix bezeichnet. Die Indizes i I n heißen Knoten Ein Pr Hi, jl Œ G HAL wird gerichtete Knte von i nch j gennnt Definition: Irreduzible Mtrizen Es seien Index A R i I n nxn und I n :={,,n }. Dnn heißt A irreduzibel, flls jeder mit jedem Index verbunden ist. j I n Andernflls nennt mn A reduzibel. In reduzibeln Mtrizen lssen sich die Indizes so nordnen, dss A die Blockstruktur A A 2 A = A 22 A R n n n 2 n2 A 22 R mit qudrtischen Blockmtrizen,, n = n +n 2, besitzt.
Beispiel : Mtrix A siehe Beispiel 2 Tem Tem 6 Tem 2 Tem Tem Tem..2 A=...2.2....2.2.2
Bewertung über ds Spielergebnis: S ij := Punktezhl die Mnnschft i gegen j erzielt ht Def: k ( i, j) = h S ij S ij + + S + 2 ji h ( 2 2 2 x) = + sgn( x ) 2x, h[,] [,].8.6..2.2..6.8
Beispiel Die Mtrix ergibt sich us den Spielergebnissen von Beispiel 2.,29,2988,,9,2262,2222,6,9688,,26,989,92,99666,2,98,2 Tem Tem 6 Tem 2 Mtrix ist durch diese Bewertung irreduzibel. Tem Tem Tem
Ds Potenzverfhren z z A z A n o n n = 2 lim z := nichtnegtiver Strtvektor Ddurch besitzt z eine Komponente in Richtung des gesuchten Eigenvektors. z.b. = M z
Byer Leverkusen VfL Wolfsburg Bor. M Gldbch Byern München SC Freiburg Werder Bremen Bor. Dortmund. FC Nürnberg 86 München. FC Kiserslutern VfB Stuttgrt. FC Köln Energie Cottbus Hmburger SV FC St. Puli Hert BSC FC Schlke Hns Rostock Byer Leverkusen VfL Wolfsburg Bor. M Gldbch Byern München SC Freiburg Werder Bremen Bor. Dortmund. FC Nürnberg 86 München. FC Kiserslutern VfB Stuttgrt. FC Köln Energie Cottbus Hmburger SV FC St. Puli Hert BSC FC Schlke Hns Rostock Abschließendes Beispiel
Verein Rnking Pltz,6,98,2,,982,66,,99,22,2,28,9,2,69,68,2,2,68 Byer Leverkusen 2. VfL Wolfsburg. Bor. M Gldbch. Byern München. SC Freiburg. Werder Bremen. Bor. Dortmund.. FC Nürnberg. 86 München 9.. FC Kiserslutern 6. VfB Stuttgrt 8.. FC Köln 6. Energie Cottbus. Hmburger SV. FC St. Puli 8. Hert BSC. FC Schlke. Hns Rostock 2. sortieren. Bor. Dortmund 2. Byer Leverkusen. Byern München. Hert BSC. Werder Bremen 6.. FC Kiserslutern. FC Schlke 8. VfB Stuttgrt 9. 86 München. VfL Wolfsburg. SC Freiburg 2. Hns Rostock. Hmburger SV. Bor. M Gldbch. Energie Cottbus 6.. FC Köln.. FC Nürnberg 8. FC St. Puli
Rnkingergebnis Pltz Verein Spiele s u n. Bor. Dortmund Byer Leverkusen 2 2 2. Byer Leverkusen 2 Bor. Dortmund 2 2. Byern München. FC Kiserslutern 2. Hert BSC Byern München. Werder Bremen Werder Bremen 6.. FC Kiserslutern 6 Herth BSC 9. FC Schlke FC Schlke 8. VfB Stuttgrt 8 VfB Stuttgrt 6 6 9. 86 München 9 86 München. VfL Wolfsburg VfL Wolfsburg 6. SC Freiburg Hns Rostock 8 2. Hns Rostock 2 SC Freiburg 6. Hmburger SV Hmburger SV 8. Bor. M Gldbch Bor. M Gldbch. Energie Cottbus Energie Cottbus 9 6.. FC Köln 6. FC Köln.. FC Nürnberg. FC Nürnberg 8. FC St. Puli 8 FC St. Puli
Rnkingergebnis Pltz Verein Spiele s u n. Bor. Dortmund Bor. Dortmund 2 6 2. Byer Leverkusen 2 Byer Leverkusen 2 6. Byern München Byern München 2 8 6. Hert BSC Herth BSC 8 9. Werder Bremen FC Schlke 8 8 9 6.. FC Kiserslutern 6 Werder Bremen 2. FC Schlke. FC Kiserslutern 2 8. VfB Stuttgrt 8 VfB Stuttgrt 9. 86 München 9 86 München. VfL Wolfsburg VfL Wolfsburg. SC Freiburg Hmburger SV 2. Hns Rostock 2 Bor. M Gldbch 9 2. Hmburger SV. Bor. M Gldbch. Energie Cottbus 6.. FC Köln.. FC Nürnberg 8. FC St. Puli 6 8 Energie Cottbus Hns Rostock. FC Nürnberg SC Freiburg. FC Köln FC St. Puli 9 9 8 9 8 8 2 8 9 2