Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 3 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 5/6 http://www.pt.tu-clausthal.de/qd/teaching.html. Dezember 5 Übungsblatt 6 Lösungsvorschlag 3 ufgaben, 9 Punkte ufgabe Das Brachystochronenproblem 3 P z ds v(t B x Gegeben sind zwei Punkte in der x-z-ebene, die durch einen (fiktiven Draht verbunden werden. Durch die Schwerkaft g e z gleitet eine Perle auf dem Draht reibungsfrei vom höher gelegenen Punkt zum tieferen Punkt B (Bei Punkt hat sie eine vernachlässigbar kleine Geschwindigkeit. Bei welcher Form des Drahtes ( ˆ=Bahnkurve der Perle ist die Zeit, die die Perle von nach B Braucht minimal? Löse diese ufgabe mit Hilfe der Variationsrechnung. Hinweise: Mit der Substitution z = Z 4gC ( cosα lässt sich das auftretende Integral einfacher lösen. Dabei ist Z geeignet zu wählen und α ist der freie Parameter. C ist ein Integrationsparameter, den man anhand der nfangsbedingungen (x, z und (x B, z B bestimmen könnte. Diese Rechnung ist jedoch etwas langatmig und wird nicht verlangt. Die Bahnkurve braucht nicht explizit angegeben werden (Parameterdarstellung in bh. von α reicht. Die Zeit dt, die die Perle auf einem infinitesimalen Kurvenstück ds braucht ist: Die gesammte Zeit T ist das Integral dt = ds v(t T = B ds v(t Mit der Definiton des Wegelementes ds = dx + dz und der Energie der Perle E kin + E pot = E mv (t + mgz(t = v (t = v(t = mgz g(z z(t g(z z(t 6.
Kann man T durch x und z ausdrücken: T = B dx + dz g(z z ( n dieser steht noch nicht fest, welche Variable in der Variationsrechnung unabhängig bzw. abhängig sein soll. Die Rechnung wrid vermutlich einfacher wenn man z als unabhängige Variable verwendet (Nenner von (!: x = f(z, dx = dx dy dy = x dy Dann ist die Zeit T = T = B B (x dz + dz g(z z x + g(z z dz Die zu variierende Funktion ist damit f(z, x, x = x + g(z z mit und f x = / f x = ( x + x g(z z = ( x / + x g(z z g(z z ( / g(z z x = x + g(z z x = (x + g(z z 6.
Die Euler-Lagrange-Gleichung für das Problem ist f x d f dy x dy = d f dy x dy = f x = C x (x + g(z z = C x (x + g(z z = C x = C (x + g(z z x = C g(z zx + C g(z z ( C g(z zx = +C g(z z x g(z zc = ± g(z zc x gc = ± z gc gz gc z + gc z x z z = ± gc z gc + z x z z = ± gc z + z Die Lösung dieser DGL erhält man durch direkte Integration: z z z x x = ± z gc z + z dz Dieses Integral läßt sich am einfachsten mit der Substitution z = z 4gC ( cosα berechnen. Dabei sind: dz = d ( z ( cosα dα dα 4gC dz = sinα dα 4gC und die Grenzen z = z 4gC ( cosα = cosα α = z = z ( cosα 4gC 4gC (z z = cosα α = arccos( 4gC (z z 6.3
und z z = 4gC( cosα Das Integral ist nun gc z + z = x x = ± = = = x x = 4gC x gc 4gC( cosα 4gC( + cosα ( + cosα( cosα 4gC ( cosα sin α 4gC ( cosα 4gC ( cosα α 4gC α = x α sin α 4gC sin α ( cos α cosα dα sin α dα 4gC Das Vorzeichen dieser Funktion ist belanglos, da α sin α symmetrisch ist: C müsste so gewählt werden, dass x = x + α sin α 4gC mit x B = x + α B sin α B 4gC α B = arccos( 4gC (z B z erfüllt ist. ufgabe Inhomogener Oszillator 3 P In der letzten Übungsstunde wurde die Lösung inhomogener Differentialgleichungen mittels GREENscher Funktionen in einem Refrat vorgestellt. In dieser ufgabe soll diese tolle Verfahren ausprobiert werden: Ein gedämpfter harmonischer Oszillator wird für eine Zeit τ mit einer konstanten Kraft F angetrieben. Vor dieser nregung befand sich der Oszillator in Ruhe. Oszillatorgleichung: mẍ + bẋ + ω x = F (θ(t θ(t τ HEVISIDEsche Sprungfunktion: θ(t = t δ(t dt = für t < für t > 6.4
GREENs Funktion für den gedämpften harmonischen Oszillator im Schwing- und Kriechfall: für t < G(t = e λ t e λ t m(λ λ für t > sowie im aperiodischen Grenzfall: mit.a Berechne x(t für alle Fälle. G(t = λ / = b ± b ω (a x(t für Schwing- und Kriechfall G(t F(t t dt für t < t m eλt für t > λ = b e λt e λt m(λ λ F (θ(t t θ(t t τ dt F m(λ λ F m(λ λ Integral über die Sprungfunktion: ( e λt e λt ( θ(t t + θ(t t + τ dt ( e λt e λt (θ(t t + τ θ(t t dt f(tθ(t t dt = f(tθ(t t dt = f(t(θ(t t θ(t t dt = f(tdt = F(t t t f(tdt = F(t für t < t f(tdt = F(t t für t > t t f(tdt = F(t t für t < t f(tdt = F(t t t für t > Für die Integration muss also eine Fallunterscheidung gemacht werden: ( F t m(λ λ e λt e λt dt für t τ < ( t t τ e λt e λt dt für t τ > F m(λ λ λ e λt λ e λt t für t < τ λ e λt λ e λt t für t > τ t τ F m(λ λ eλt eλt + für t < τ λ λ λ λ λ e λt λ e λt λ e λ(t τ + λ e λ(t τ für t > τ F m(λ λ F m(λ λ e λ t λ eλt λ e λ t e λ (t τ λ für t < τ eλt e λ(t τ λ für t > τ λ ( e λt e λt λ ( e λt e λt für t < τ λ ( e λτ e λt λ ( e λτ e λt für t > τ 6.5
Es ist jedoch zu beachten, dass für t < gilt. Deshalb ist die vollständige Beschreibung: F für t < m(λ λ λ (eλt λ (eλt für < t < τ λ eλt ( e λτ λ eλt ( e λτ für t > τ oder F θ(t ( λ m(λ λ eλt ( e λ min(t,τ λ eλt ( e λ min(t,τ (b x(t für den aperiodischen Grenzfall: F m G(t F(t t dt t m eλt F (θ(t t θ(t t τ dt te λt (θ(t t + τ θ(t t dt Es muss wieder eine Fallunterscheidung gemacht werden: F t m teλt dt für t < τ t t τ teλt dt für t > τ Integral Nr. 448 xe ax = ax a e ax F m F mλ λt λ e λt t λt e λt t λ t τ (λt e λt + für t < τ für t > τ (λt e λt (λt λτ e λ(t τ für t < τ für t > τ Es ist wieder zu beachten, dass für t < gilt. Deshalb ist die vollständige Beschreibung: F für t < mλ (λt e λt + für < t < τ (λt e λt (λt λτ e λ(t τ für t > τ oder F ( θ(t mλ (λt e λt + ( θ(t τ (λt λτ e λ(t τ θ(t τ.b Diskutiere x(t für die Zeitintervalle t <, t τ und t > τ. Für t < ist der Oszillator immer in Ruhe, was auch den nfangsbedingungen entspricht. Bei t = wird er durch die Kraft ausgelenkt. nschließent schwingt (oder kricht er sich 6.6
.7.6.5.4.3 b = ω.. b = ω b = ω.. b = ω ω b =.3 5 5 5 3 35 4 bbildung : uslenkung eines gedämften harmonischen Oszillator, der durch einen Rechteckkraftstoß angeregt wird in bhängigkeit von der Zeit. Parameter: F = N, τ = s, w = 5/π s, m = kg und x = π /5 =.395 auf eine konstante uslenkung x ein. Dabei nähert er sich x um so schneller je kleiner b ω ist. Die uslenkung x ist der Grenzwert für t = τ : F ( x = lim λ t m(λ λ (eλt λ (eλt F ( x = lim λ t m(λ λ (e bt e b ω t λ (e bt e b ω t F x = ( λ + λ dab > m(λ λ ( F λ λ x = m(λ λ λ λ x = F mλ λ λ λ = ( ( b + b ω b b ω λ λ = b (b ω = ω x = Nach dem zur Zeit t = τ die Kraft aufgehöhrt hat zu wirken schwingt sich der Oszillator wieder in die Ruhelage ein. F mω ufgabe 3 Perle am rotierenden Ring 3 P Eine Perle der Masse m kann reibungslos auf einem Ring mit dem Radius R gleiten. Nun soll die 6.7
Bewegung der Perle im Schwerefeld g untersucht werden, wenn sich der Ring um eine Drehachse parallel zu g dreht. Die Drehachse soll oben und unten durch den Ring gehen. 3.a Formuliere die Zwangsbedingungen. Die x- und y-koordinaten der Perle sind durch die Drehbewegung miteinander verknüpft: y x = tanωt (das ist eine holonom-rheonome Zwangsbedingung. Die Perle kann sich nur auf der Kugeloberfläche bewergen, die durch die Drehbewegung des Ringes aufgespannt wird. x + y + z = R (das ist eine holonom-skeleronome Zwangsbedingung. Die Perle hat also nur einen Freiheitsgrad, der durch am besten durch den Winke ϑ dargestellt werden kann (q = ϑ. Die karthesischen Koordinaten können durch Kugelkoordinaten dargestellt werden: x y z = R sinϑ cosωt = R sinϑ sin ωt = R cosϑ 3.b Wie lautet die LGRNGEsche Bewegungsgleichung Kinetische Energie: ẋ = R ϑ cosϑ cosωt Rω sin ϑ sin ωt ẏ = R ϑ cosϑ sin ωt + Rω sin ϑ cosωt ż = R ϑ sin ϑ T = m v = m (ẋ + ẏ + ż T = m ( R ϑ cos ϑ cos ωt ϑω cosϑ cosωt sin ϑ sin ωt + ω sin ϑ sin ωt + m ( R ϑ cos ϑ sin ωt + ϑω cosϑ sin ωt sin ϑ cosωt + ω sin ϑ cos ωt + m R ϑ sin ϑ T = m ( R ϑ cos ϑ + ω sin ϑ + ϑ sin ϑ T = m R ( ω sin ϑ + ϑ Die kinetische Energie setzt sich der Rotation um die z-chse und der Bewegung auf dem Ring zusammen. Und die potentielle Energie ist nur durch die Schwerkraft gegeben: die LGRNGEfunktion: L = T U Damit sind die Bewegungsgleichungen U = mgz = mgr cosϑ = m R ( ω sin ϑ + ϑ mgr cosϑ d L dt ϑ = d m dt R ϑ = mr ϑ L ϑ = m R ω sinϑ cosϑ + mgr sinϑ d dt = mr (ω cosϑ + g R sinϑ L L ϑ ϑ = ϑ = (ω cosϑ + g R sin ϑ 6.8
3.c Integriere die Bewegungsgleichung für kleine ϑ. Für kleine ϑ gilt: cos ϑ sin ϑ ϑ Damit ist die Bewegungsgleichung ϑ = (ω + g R ϑ Das ist die Gleichung eines ungedämpften harmonischen Oszillators mit der Eigenfrequenz ω = ω + g R. Die allgemeine Lösung dieses Problems ist ϑ = cosω t + B sin ω t = Ce iωt+iϕ 6.9