Numerische Mathematik

Hans Rudolf Schwarz I Norbert Köckler Numerische Mathematik 8., aktualisierte Auflage STUDIUM 11 VIEWEG+ TEUBNER

Inhalt Einleitung 13 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1..5 1.6 1.7 2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 2.2.1 2.2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5 2.6 2.7 Fehlertheorie Fehlerarten. Zahldarstellung. Rundungsfehler. Differenzielle Fehleranalyse Ergänzungen und Beispiele Lineare Gleichungssysteme, direkte Methoden Der Gauß-Algorithmus. Elimination, Dreieckszerlegung und Determinantenberechnung Pivotstrategien............... Ergänzungen................ Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen Nornren.............. Fehlerabschätzungen, Kondition.... Systeme mit speziellen Eigenschaften Symmetrische, positiv definite Systeme Bandgleichungen............. Tridiagonale Gleichungssysteme Verfahren für Vektorrechner und Parallelrechner Voll besetzte Systeme. Tridiagonale Gleichungssysteme Anwendungen 15 15 16 18 21 24 27 28 30 30 30 38 43 47 47 52 56 56 62 64 67 68 73 82 87 88

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 3.3.1 3.3.2 3.4 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 3.5.5 3.6 3.6.1 3.6.2 3.7 3.7.1 3.7.2 3.8 3Kl 3.8.2 3.8.3 3.9 3.10 4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 Interpolation und Approximation Polynominterpolation. Problemstellung... Lagrange-Jnterpolation Newton-Interpolation Hermite-Interpolation. Inverse Interpolation.. Anwendung: Numerische Differenziation Splines. Kubische Splines.. B-Splines 1. Grades Kubische B-Splines. Zweidimensionale Splineverfahren Bilineare Tensorsplines Bikubische Tensorsplines Kurveninterpolation... Kurven und Flächen mit Bezier-Polynornen Bernstein-Polynome. Bezier-Darstellung eines Polynoms Der Casteljau-Algorithmus Bezier-Kurven Bezier-Flächen.... Gauß-Approximation Diskrete Gauls-Approximation Kontinuierliche Gauß-Approximation. Trigonometrische Approximation. Fourier-Reihen. Effiziente Berechnung der Fourier-Koeffizienten Orthogonale Polynome. Approximation mit Tschebyscheff-Polynomen Interpolation mit Tschebyscheff-Polynomen Die Legendre-Polynome Nichtlineare Gleichungen Theoretische Grundlagen. Problemstellung................... Konvergenztheorie und Banachscher Fixpunktsatz Stabilität und Kondition. Inhalt 91 92 92 95 95 98 100 101 106 107 112 114 119 120 123 125 127 127 129 130 131 137 140 142 144 145 145 154 161 162 170 174 179 179 183 183 183 185 189

Inhalt 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 4.3.1 4.3.2 4.4 4.4.1 4.4.2 4.5 4.6 5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.5.4 5.5.5 5.6 5.6.1 5.7 5.8 5.9 5.10 Gleichungen in einer Unbekannten Das Verfahren der Bisektion Das Verfahren von Newton Die Sekantenmethode... Brents Black-box-Methode Gleichungen in mehreren Unbekannten. Fixpunktiteration und Konvergenz Das Verfahren von Newton Nullstellen von Polynomen Reelle Nullstellen: Das Verfahren von Newton-Maehly Komplexe Nullstellen: Das Verfahren von Bairstow Eigenwertprobleme Theoretische Grundlagen Das charakteristische Polynom Ähnlichkeitstransformationen. Symmetrische Eigenwertprobleme Elementare Rotationsmatrizen. Da..'3 klassische Jacobi-Verfahren. Die Vektoriteration. Die einfache Vektoriteration nach von Mises. Die inverse Vektoriteration Transformationsmethoden. Transformation auf Hessenberg-Form Transforrnation auf tridiagonale Form Schnelle Givens- Transformation... QR-Algorithmus. Grundlagen zur QR-Transformation Praktische Durchführung, reelle Eigenwerte QR- Doppelschritt, komplexe Eigenwerte.. QR-Algorithmus für tridiagonale Matrizen Zur Berechnung der Eigenvektoren.. Das allgemeine Eigenwertproblem.. Der symmetrisch positiv definite Fall. Eigenwertschranken, Kondition, Stabilität Anwendung: Membranschwingungen 9 190 190 192 195 196 199 199 200 207 207 211 215 215 218 219 219 219 220 220 222 229 229 231 232 233 237 239 243 243 248 253 256 260 261 261 264 268 270 271

10 6 6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.3 6.4 6.4.1 6.4.2 6.5 6.6 7 7.1 7.1.1 7.1.2 7.2 7.3 7.3.1 7.3.2 7.:3.:3 7.4 7.4.1 7.5 7.6 7.6.1 7.6.2 7.7 7.8 8 8.1 8.1.1 8.1.2 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.;{ Ausgleichsprobleme, Methode der kleinsten Quadrate Lineare Ausgleichsprobleme, Normalgleichungen Methoden der Orthogonaltransformation Givens-Transformation Spezielle Rechentechniken.. Householder-Transfonnation Singulärwertzerlegung.... Nichtlineare Ausgleichsprobleme Gauß-Newton-Methode Minimierungsverfahren Numerische Integration Newton-Cotes-Forrneln. Konstruktion von Newton-Cores-Formeln Verfeinerung der Trapezregel Rornberg-Integration... Transformationsmethoden. Periodische Integranden Integrale über Jl{... Variablensubstitution Gauf&-Integration... Eingebettete Gaug-Regeln. Adaptive Integration.... Mehrdimensionale Integration. Produktintegration. Integration über Standardgebiete. Anfangswertprobleme Einführung................... Problemklasse und theoretische Grundlagen. Möglichkeiten numerischer Lösung Einschrittverfahren... Konsistenz....... Runge-Kutta-Verfahren Explizite Runge-Kutta-Verfahren. Inhalt 274 274 278 279 284 286 292 296 297 300 304 305 307 308 308 310 313 315 316 318 320 323 331 332 336 336 337 ;{38 339 342 343 343 345 350 350 353 354

Inhalt 11 8.2.4 Halbimplizite Runge-Kutta-Verfahren 358 8.2.5 Schrittweitensteuerung. 359 8.3 Mehrschrittverfahren. 363 8.3.1 Verfahren vom Adams-Typ 363 8.3.2 Konvergenztheorie und Verfahrenskonstruktion 368 8.4 Stabilität 376 8.4.1 Inhärente Instabilität 376 8.4.2 Absolute Stabilität bei Einschrittverfahren 378 8.4.3 Absolute Stabilität bei Mehrschrittverfahren ~)80 8.4.4 Steife Differenzialgleichungen 384 8.5 Anwendung: Lotka-Volterras Wettbewerbsmodell 388 8.6 391 8.7 392 9 Rand- und Eigenwertprobleme 395 9.1 Problemstellung und Beispiele 395 9.2 Lineare Randwertaufgaben 399 9.2.1 Allgemeine Lösung. 399 9.2.2 Analytische Methoden. 401 9.2.3 Analytische Methoden mit Funktionenansätzen 404 9.3 Schießverfahren. 408 9.3.1 Das Einfach-Schieisverfahren 408 9.3.2 Das Mehrfach-Schießverfahren 413 9.4 Differenzenverfahren 418 9.4.1 Dividierte Differenzen 418 9.4.2 Diskretisieruug der Randwertaufgabe 419 9.5 424 9.6 425 10 Partielle Differenzialgleichungen 427 10.1 Differenzenverfahren 427 10.1.1 Problemstellung 427 10.1.2 Diskretisierung der Aufgabe. 429 10.1.3 Randnahe Gitterpunkte, allgemeine Randbedingungen 434 10.1.4 Diskretisierungsfehler 444 10.1.5 Ergänzungen 446 10.2 Parabolische Anfangsrandwertaufgaben 448 10.2.1 Eindimensionale Probleme, explizite Methode. 448 10.2.2 Eindimensionale Probleme, implizite Methode 454 10.2.3 Diffusionsgleichung mit variablen Koeffizienten 459

12 10.2.4 10.3 10.3.1 10.3.2 10.3.3 10.3.4 10.3.5 10.4 10.5 11 11.1 11.2 11.2.1 11.2.2 11.2.3 11.3 11.3.1 11.3.2 11.3.3 11.3.4 11.3.5 11.3.6 11.3.7 11.:3.8 11.3.9 11.4 11.4.1 11.4.2 11.4.3 11.4.4 11.5 11.5.1 11.5.2 11.6 11.7 11.8 Zweidimensionale Probleme.. Methode der finiten Elemente. Grundlagen. Prinzip der Methode der finiten Elemente Elementweise Bearbeitung. Aufbau und Behandlung der linearen Gleichungen Beispiele Lineare Gleichungssysteme, iterative Verfahren Diskretisierung partieller Differenzialgleichungen Relaxationsverfahren.......... Konstruktion der Iterationsverfahren. Einige Konvergenzsätze........ Optimaler Relaxationsparameter und Konvergenzgeschwindigkeit Mehrgittermethoden............... Ein eindimensionales Modellproblem. Eigenschaften der gedämpften Jacobi-Iteration Ideen für ein Zweigitterverfahren..... Eine eindimensionale Zweigittermethode.... Eine erste Mehrgittermethode. Die Mehrgitter-Operatoren für das zweidimensionale Modellproblern Vollständige Mehrgitterzyklen Komplexität. Ein Hauch Theorie........... Methode der konjugierten Gradienten Herleitung des Algorithmus. Eigenschaften der Methode der konjugierten Gradienten Konvergenzabschätzung................. Vorkonditionierung. Methode der verallgemeinerten minimierten Residuen Grundlagen des Verfahrens. Algorithmische Beschreibung und Eigenschaften Speicherung schwach besetzter Matrizen Inhalt 461 466 466 469 471 477 477 482 483 481 487 489 489 494 505 508 508 509 511 513 517 520 522 523 524 530 530 534 538 541 547 548 551 556 559 559 Literaturverzeichnis Sachverzeichnis 563 516