5.8 Elektrischer Schwingkreis 517 5.8. Elektrischer Schwingkreis Ziel Im ersten Versuchsteil soll anhand relativ langsamer elektromagnetischer Schwingungen (Schwingungsdauer T 1 s) das Prinzip der periodischen Umwandlung zwischen elektrostatischer und magnetischer Energie veranschaulicht werden. Der zweite Versuchsteil zielt darauf ab, den Einfluss der Dämpfung näher zu betrachten. Im dritten Teil wird schließlich das Phänomen der erzwungenen Schwingungen (Resonanzkurve, Phasenverschiebung) untersucht. Der größte Teil der Messungen wird mit Hilfe eines Oszilloskops durchgeführt. Die richtige Bedienung dieses Messinstrumentes ist daher ein wichtiger Bestandteil des Versuches. Hinweise zur Vorbereitung Die Antworten auf diese Fragen sollten Sie vor der Versuchdurchführung wissen. Sie sind die Grundlage für das Gespräch mit Ihrer Tutorin/Ihrem Tutor vor dem Versuch. Informationen zu diesen Themen erhalten Sie in der unten angegebenen Literatur. 1. Wie unterscheiden sich Wirk-, Blind- und Scheinwiderstand? Wovon hängt der Blindwiderstand eines Kondensators, bzw. einer Spule ab? Erläutern Sie die Phasenbeziehung zwischen Strom und Spannung bei sinusförmigem Wechselstrom an Reihenschaltungen aus Wirkwiderstand R,Kondensator C und Spule L. Wie können Wechselstromwiderstände anschaulich dargestellt werden? Wovon hängt die magnetische Feldenergie einer Spule ab? Wovon die elektrische Feldenergie eines Kondensators? 2. Wie unterscheidet sich eine gedämpfte von einer ungedämpften Schwingung? Welche drei Fälle einer gedämpften Schwingung unterscheidet man? Was ist eine erzwungene Schwingung? Wieso wird dafür in diesem Versuch eine induktive Kopplung benötigt? Wie sieht (qualitativ) eine Resonanzkurve aus? Wo befindet sich deren Maximum? Wie groß ist die Phasenverschiebung zwischen Anregung und schwingendem System im Resonanzfall, bei kleinen Anregungsfrequenzen und bei sehr hohen Anregungsfrequenzen? Worin unterscheiden sich Spannungsresonanz- und Stromresonanzmaximum?
518 5. Versuche zur Elektrizitätslehre Zubehör Für Versuchsteil 1: Spule hoher Induktivität L 0 = 630 H (10200 Windungen mit Mittelanzapfung, ohmscher Widerstand R Spule 280 Ω, Strombelastbarkeit I max =0.125 A) 2 bipolare Kondensatoren mit je C 0 =20μF (es handelt sich um Elektrolytkondensatoren, die allerdings in diesem Fall keine Vorzugspolung haben) yt-schreiber (das ist ein xy-schreiber, bei dem die horizontale Auslenkung wahlweise auch durch ein Uhrwerk gesteuert werden kann) regelbares Netzgerät für 0 V 15 V Gleichspannung Umschalter Für die Versuchsteile 2 und 3: Funktionsgenerator zur Erzeugung von Sinus- und Rechteckspannungen mit regelbarer Frequenz Zweikanal-Oszilloskop Kondensator (C =0.01 μf) und Spulen (L 10 mh) fester Vorwiderstand R V =10kΩ schaltbarer Widerstand R (1 Ω 99999 Ω), wahlweise auch Stöpselrheostat (10 Ω 11100 Ω) Grundlagen Qualitative Betrachtungen Entlädt man einen Kondensator über eine Induktivität, so beobachtet man, dass die Spannung am Kondensator nicht einfach auf Null absinkt, sondern sinusförmig zwischen positiven und negativen Werten hin- und herschwankt. Wie kommt dieser Effekt zustande? Bei der Entladung des Kondensators fließt ein Strom durch die Spule und erzeugt in ihr ein magnetisches Feld. Die in dem Kondensator mit der Kapazität C gespeicherte elektrische Energie 1 2 CU2 (U sei die Anfangsspannung am Kondensator) wird dabei in die magnetische Energie 1 2 LI2 (L sei die Induktivität der Spule, I die maximale Stromstärke) umgewandelt. Ist der Kondensator vollständig entladen, so kann der Strom nicht einfach aufhören, denn sein Rückgang erzeugt in der Spule eine Induktionsspannung, die einen Strom in der gleichen Richtung wie vorher hervorruft (Lenzsche Regel). Dadurch lädt sich der Kondensator entgegen seiner ursprünglichen Polung so weit auf, bis durch seine Spannung der Strom schließlich doch Null wird. Dann beginnt der Vorgang mit umgekehrten Vorzeichen von Neuem. Nach und nach wird allerdings die gespeicherte Energie
5.8 Elektrischer Schwingkreis 519 in den ohmschen Widerständen der Spule und der Leitungen in Wärme umgewandelt, so dass die Schwingung schließlich abklingt. Man kann die elektromagnetischen Schwingungen in Analogie zu mechanischen Schwingungen betrachten. Die elektrische Energie des Kondensators entspräche so z. B. der potentiellen (Lage-)Energie eines Pendels, die magnetische Energie hingegen der kinetischen Energie des schwingenden Pendelkörpers. Die Schwingungsgleichung Eine etwas genauere Betrachtung zeigt, dass in einem geschlossenen Stromkreis, der aus der Hintereinanderschaltung einer Induktivität L, einesohmschen Widerstands R und einer Kapazität C besteht, folgende Beziehung für die an den einzelnen Bauteilen anliegenden Spannungen gilt: 1 U L (t) +U R (t) +U C (t) = 0 (5.8.1) = L Q(t)+R Q(t) + 1 Q(t) = 0 (5.8.2) C = Q(t) + R }{{} L Q(t)+ 1 Q(t) =0. (5.8.3) }{{} LC =: 2β =: ω0 2 Gleichung (5.8.3) ist eine homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Unter Verwendung der neu eingeführten Abkürzungen, nämlich der sog. Dämpfungskonstante β := R 2 L (5.8.4) 1 Während bei Gleichung (5.8.2) die Vorzeichen eindeutig sind, gibt es bei Gleichung (5.8.1) eine gewisse Freiheit in der Festlegung der Vorzeichen. Dabei muss natürlich das 2. kirchhoffsche Gesetz ( Maschenregel ) jeweils berücksichtigt werden (siehe z. B. Seite 505. Die dort für stationäre Spannungen formulierte Regel gilt auch in einer erweiterten Form für Wechselspannungen, sofern man die komplexe Schreibweise verwendet, also gleichermaßen Amplitude, Frequenz und Phasenlage der Spannungen berücksichtigt.). In der hier gewählten Formulierung betrachten wir Spule und Kondensator als Wechselstromwiderstände mit den Spannungen U L =+L Q und U C =+Q/C. Wirkönnten sie mit der gleichen Berechtigung auch als Wechselspannungsquellen mit den Spannungen U L = L Q und U C = Q/C betrachten. In Gleichung (5.8.1) müssten wir die beiden Spannungen dann auf die rechte Seite schreiben, d. h. dass die Aussage der Gleichung bliebe insgesamt unverändert, und wir erhielten auch wieder Gleichung (5.8.2).
520 5. Versuche zur Elektrizitätslehre und der sog. Eigenfrequenz 2 des ungedämpften Systems ω 0 := 1 LC (5.8.5) lässt sich die Gleichung besonders übersichtlich schreiben. Gleichung (5.8.5) wird auch als thomson-kirchhoffsche Schwingungsgleichung bezeichnet. Lösungen der Schwingungsgleichung Man findet die Lösungen von Gleichung (5.8.3) z. B. über den Ansatz Q(t) =Q 0 e z t (5.8.6) = Q(t) =Q 0 z e z t (5.8.7) = Q(t) =Q 0 z 2 e z t, (5.8.8) wobei z eine komplexwertige Konstante ist. Einsetzen in Gleichung (5.8.3) liefert z 2 +2βz+ ω0 2 = 0 (5.8.9) = z 1,2 = β ± i ω0 2 β 2. (5.8.10) Man definiert ω g := ω 2 0 β 2 (5.8.11) als Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung. Zwei Lösungen lauten somit Q(t) =Q 0 e ( β±iωg) t = Q 0 }{{} Anfangsladung e βt }{{} Einhüllende e ±iωg t }{{} Schwingung. (5.8.12) Jede mögliche Lösung lässt sich nun durch Linearkombination aus diesen beiden Lösungen zusammensetzen, wobei die jeweiligen Vorfaktoren durch die Anfangsbedingungen (also z. B. Anfangsspannung und Anfangsstrom am Kondensator) bestimmt sind 3. Man unterscheidet drei Fälle in Abhängigkeit von der Stärke der Dämpfung: 2 Die Variable ω bedeutet hier genau genommen keine Frequenz, die meist mit dem Buchstaben f oder ν bezeichnet wird, sondern eine Kreisfrequenz. Der Zusammenhang zwischen diesen beiden Größen ist durch ω =2π f gegeben. Man müsste also von der Eigenkreisfrequenz oder Kreiseigenfrequenz sprechen. Beide Begriffe klingen irgendwie seltsam. Vielleicht ist das ein Grund, weshalb die Sprechweise an dieser Stelle meist etwas ungenau ist. Eine Verwechslung ist trotzdem so gut wie ausgeschlossen, solange die Formelzeichen eindeutig verwendet werden. Aus diesem Grund sollten auch die Einheiten dieser beiden Größen unterschieden werden: [f] =[ν] =1Hz,[ω] =1 rad s. Vereinfacht schreibt man allerdings meist [ω] = 1 s. 3 Die allgemein komplexwertigen Lösungen werden dabei mit ebenfalls komplexwertigen Vorfaktoren so kombiniert, dass der Imaginärteil der Linearkombination insgesamt verschwindet. Das Ergebnis für
5.8 Elektrischer Schwingkreis 521 1. Schwingfall Für den Fall kleiner Dämpfung (β 2 <ω 2 0) ergibt sich eine zeitliche Variation der Ladung nach Q(t) =Q 0 e βt [a sin(ω g t)+b cos(ω g t)]. (5.8.14) mit zwei reellen Konstanten a und b. Dies entspricht einer harmonischen Schwingung mit abnehmender Amplitude. Das gedämpfte System schwingt also mit der etwas niedrigeren Kreisfrequenz ω g an Stelle von ω 0. Wegen U C (t) = Q(t) (5.8.15) C und I(t) = Q(t) (5.8.16) sind auch der zeitliche Verlauf der Spannung U C (t) am Kondensator und des Stromes I(t) sinusförmig. 2. aperiodischer Grenzfall Für ω0 2 = β 2 spricht man vom sog. aperiodischen Grenzfall. Hierkommtesnicht zu einer Schwingung. Die Lösung hat maximal eine Nullstelle (einen Unterschwinger ). Da für diesen Fall der Wurzelausdruck in Gleichung (5.8.12) verschwindet, sind beide so gefundenen Lösungen identisch. Es muss daher noch etwas mehr Mathematik betrieben werden, um alle Anfangsbedingungen erfüllenzukönnen, denn für zwei unabhängige Anfangsbedingungen (z. B. Ladung Q(0) und Strom Q(0)) benötigt man auch zwei unabhängige Lösungen. Eine ausführliche Darstellung hierzu finden Sie z. B. im Abschnitt 2.7 bei der Anleitung zum Versuch Pohlscher Resonator. Der aperiodische Grenzfall besitzt praktische Bedeutung, da er die schnellste Rückkehr eines angestoßenen Systems zur Ruhelage beschreibt. Ist man also daran interessiert, Störungen schnell abklingen zu lassen, ohne dabei Schwingungen zu erzeugen, so muss man die Dämpfung der Eigenfrequenz des Systems anpassen. 3. Kriechfall Für den Fall großer Dämpfung (β 2 >ω 2 0) kommt es ebenfalls nicht zu einer Schwingung. Ladung und Spannung kriechen zum Wert null. Q(t) ist daher wie erwartet eine reellwertige Funktion. Das muss auch so sein, denn die Ladung auf den Kondensatorplatten ist schließlich auch nicht komplex, sondern reell. Der rechnerische Umweg über komplexe Funktionen ist nur ein Trick zum leichteren Auffinden der Lösungen. Ein Beispiel: Nach der Eulerschen Formel gilt e i ωt =cosωt +i sin ωt. Betrachtet man nun für den Schwingfall (also i ω0 2 β2 t =iω g t) diejenige Linearkombination, welche die beiden Lösungen aus Gleichung (5.8.12) jeweils mit dem Vorfaktor ( 1 /2 +i 0) enthält, so ergibt sich: 1 2 (Q 0 e βt e +i ωg t) + 1 2 (Q 0 e βt e i ωg t) = Q 0 e βt cos(ω g t). (5.8.13)
522 5. Versuche zur Elektrizitätslehre Dämpfungskonstante β und logarithmisches Dekrement Λ Û Die Dämpfungskonstante β lässt sich im Experiment aus dem Verhältnis n zweier aufeinander folgender Spannungsmaxima und der Schwingungsdauer der gedämpften Schwin- Û n+1 gung T g ermitteln. In der Hochfrequenztechnik gibt man die Dämpfung eines Schwingkreises meist durch das sog. logarithmische Dekrement Λ an. Es hat auch eine anschauliche Bedeutung: Λ ist in erster Näherung gleich dem Verhältnis aus der in einer Halbperiode verbrauchten zur am Anfang vorhandenen Energie. Es gilt: Erzwungene Schwingungen ln Ûn Û n+1 = Λ = β T g. (5.8.17) Wird die Schwingung von außen periodisch mit einer sinusförmigen Wechselspannung U err (t) =U err,0 sin(ω err t) angeregt, so entsteht eine erzwungene elektrische Schwingung. Mathematisch handelt es sich dabei um die Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung. Nach dem Einschalten kommt es zu einem Einschwingvorgang, der eine Überlagerung aus einer freien gedämpften Schwingung mit der Eigenfrequenz ω g des Systems (homogene Lösung) und einer durch die äußere Anregung verursachten Schwingung mit der Kreisfrequenz ω err (partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung) ist: U C (t) =U C,hom (t)+u C,part (t). (5.8.18) Der homogene Anteil klingt mit e βt ab, so dass nach einiger Zeit ein stationärer Zustand 4 erreicht wird, bei dem die Amplitude nur noch mit ω err variiert. Es gilt dann: mit U C (t) =U C,0 sin(ω err t ϕ) (5.8.19) ω0 2 U C,0 = U err,0, (5.8.20) (ω 2 0 ωerr) 2 2 +4β 2 ωerr ( ) 2 2βωerr ϕ = arctan, (5.8.21) ω0 2 ωerr 2 U err,0 = Amplitude der von außen angelegten sinusförmigen Wechselspannung. 4 Das heißt, dass die Spannung am Kondensator periodisch immer wieder die genau gleichen Werte annimmt. Sie ist in diesem Fall nicht konstant, sondern variiert sinusförmig, wie die Rechnung zeigt. Bei der freien gedämpften Schwingung wird ja im Gegensatz dazu die Amplitude mit jeder Periode kleiner, es handelt sich also gerade nicht um einen stationären Zustand. Stationäre Zustände stellen sich oft ein, wenn einem System z. B. Energie sowohl zu- als auch abgeführt wird. Man spricht auch von einem Fließgleichgewicht oder dynamischen Gleichgewicht im Gegensatz zu einem statischen Gleichgewicht.
5.8 Elektrischer Schwingkreis 523 Die Kreisfrequenz, bei der die Spannung am Kondensator maximal wird, ergibt sich daraus 5 zu ω res = ω0 2 2β 2, (5.8.22) sie ist also nochmals etwas niedriger als die Kreisfrequenz ω g = ω 2 0 β 2 der freien gedämpften Schwingung. Versuchsdurchführung Versuchsteil I: langsame angestoßene gedämpfte Schwingungen Beobachtung mit dem Schreiber 10 V + Drahtspule L 0 R Spule C 0 C 0 yt-schreiber Abbildung 5.8.1.: Schaltbild zum langsamen elektromagnetischen Schwingkreis mit Spule hoher Induktivität. 1. Verbinden Sie die Spule hoher Induktivität und die beiden Kondensatoren nach Abbildung 5.8.1 zu einem elektromagnetischen Schwingkreis. Der Anschluss des yt- Schreibers befindet sich hinten rechts am Gerät, die Buchsen sind mit einem Y gekennzeichnet. 2. Regeln Sie am Gleichspannungsnetzgerät die Spannung auf ca. 10 V. Bringen Sie den Umschalter zunächst in die Stellung, in der der Kondensator aufgeladen wird, und legen Sie ihn dann um, damit die Schwingung starten kann. 5 Das Maximum findet man durch Ableiten der Amplitude in Gleichung (5.8.20) nach ω err und Nullsetzen. Siehe auch Aufgabenteil.
524 5. Versuche zur Elektrizitätslehre 3. Zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung U C mit dem yt- Schreiber auf. Sinnvolle Einstellungen der Zeitablenkung des yt-schreibers liegen zwischen 0.1 s und 1 s. Notieren Sie die Skalierung der Achsen, vor allem der cm cm t-achse, auf dem Schreiberausdruck. Markieren Sie auch die Schreiberstellung für U C = 0 V (vollständig entladener Kondensator). 4. Wiederholen Sie die Messung für mindestens einen anderen Wert von (L C). Schließen Sie dazu z. B. nur eine Hälfte der Spule und/oder nur einen der Kondensatoren an. Versuchsteil II: angestoßene gedämpfte Schwingungen Beobachtung mit dem Oszilloskop Abbildung 5.8.2.: Schaltbild zur Erzeugung angestoßener elektromagnetischer Schwingungen. Hinweis: Beachten Sie bitte, dass das Massesymbol am unteren Zweig des Schaltbildes eingezeichnet ist. Die Massekontakte der BNC-Anschlüsse von Funktionsgenerator und Oszilloskop sind auch ohne weitere Verkabelung schon verbunden, sobald die Netzkabel angeschlossen sind. Würde man einen Anschluss des Vorwiderstandes an Masse legen, so wäre also auch dessen anderer Anschluss mit Masse verbunden und der Vorwiderstand wäre gänzlich ohne Funktion. Hinweis: Insbesondere die digitalen Speicheroszilloskope verleiten dazu, bei der Messung viel Zeit mit digitalen Spielereien zu verbringen, z. B. beim Ablesen von Zeitintervallen mit Hilfe der einstellbaren Cursor auf dem Bildschirm. In sehr vielen Fällen kann eine geschickte Abschätzung nicht nur mit durchaus vergleichbarer Genauigkeit, sondern zudem noch um ein Vielfaches schneller durchgeführt werden. Lassen Sie sich hierzu im Zweifelsfall Tipps von Ihrer Betreuerin bzw. Ihrem Betreuer geben. 5. Wählen Sie einen Kondensator mit C 0.01 μf und eine Spule mit L 10 mh. Bestimmen Sie die Werte der beiden Bauteile zunächst mit dem LCR-Meter.
5.8 Elektrischer Schwingkreis 525 R ist der einstellbare Widerstand. Bestimmen Sie mit dem LCR-Meter den tatsächlichen ohmschen Gesamtwiderstand von Spule und einstellbarem Widerstand bei den verschiedenen Schalterstellungen. Verbinden Sie die Bauteile nach dem Schaltbild in Abbildung 5.8.2. Achtung: Es ist wichtig, dass Funktionsgenerator und Oszilloskop den gleichen Masseanschluss haben, d. h. die Abschirmungen der BNC-Anschlüsse verbunden sind. Dies geht nur dann, wenn die Masse wie im Schaltbild eingezeichnet angeschlossen wird! Andernfalls funktioniert die Schaltung überhaupt nicht. Dieses Problem tritt auch bei anderen Messaufbauten mit Oszilloskopen häufig auf. Fragen Sie im Zweifelsfall Ihre Betreuerin bzw. Ihren Betreuer. 6. Wählen Sie am Funktionsgenerator eine Rechteck -Spannung mit einer Frequenz zwischen 500 Hz und 1000 Hz aus. 7. Stellen Sie das Signal am TTL-Ausgang des Funktionsgenerators auf dem ersten Kanal des Oszilloskops dar, benutzen Sie es auch zur Triggerung. Stellen Sie das Signal am Kondensator des Schwingkreises auf dem zweiten Kanal des Oszilloskops dar. Fragen Sie unbedingt Ihre Betreuerin/Ihren Betreuer, wenn Sie nicht verstehen, wie das Oszilloskop zu bedienen ist, oder was die Anzeigen bedeuten. Die geschickte Nutzung des Oszilloskops als Messinstrument ist ein wesentliches Lernziel dieses Versuchs! 8. Bestimmen Sie für 2 verschiedene (sinnvoll gewählte!) Werte von R jeweils die Schwingzeit T und das Dämpfungsverhältnis k zweier aufeinander folgender Maxima. Sinnvoll gewählt heißt, dass die Werte zu einem deutlich unterschiedlichen Verhalten des Schwingkreises führen sollen. Machen Sie dazu ein paar Vor- Messungen, indem Sie den Wert von R schnell über einen weiten Bereich ändern, und dabei das Signal am Oszilloskop beobachten, ohne gleich Werte aufzuschreiben. Versuchsteil III: erzwungene Schwingungen, Resonanzkurven und Phasenverschiebung 9. Verbinden Sie die Bauteile nach dem Schaltbild in Abbildung 5.8.3. Verwenden Sie wieder die gleichen Bauteile wie in Versuchsteil 2: den Kondensator mit C =0.01 μf, eine Spule mit L 10 mh und den einstellbaren Widerstand R.ImKästchen mit der Spule ist noch eine weitere Spule untergebracht. Beide sind durch ihre gegenseitige Nähe schwach induktiv gekoppelt 6, so dass eine der Spulen bei Anschluss an den Funktionsgenerator dazu verwendet werden kann, den Schwingkreis mit der zweiten Spule zu erzwungenen Schwingungen anzuregen. 10. Wählen Sie am Funktionsgenerator die Kurvenform Sinus aus. 6 Das heißt ein von der einen Spule erzeugtes Magnetfeld durchdringt auch die andere Spule und erzeugt dort eine entsprechende Induktionsspannung.
526 5. Versuche zur Elektrizitätslehre R ~ L C Oszilloskop Abbildung 5.8.3.: Schaltbild zur Erzeugung erzwungener elektromagnetischer Schwingungen. 11. Messen Sie für zwei verschiedene 7 Werte von R die Amplitude der Wechselspannung am Kondensator und ihre Phasenverschiebung ϕ zur angelegten Spannung im ganzen Frequenzbereich von 5 khz 25 khz mit einer Schrittweite von 2 khz. Nehmen Sie zusätzlich jeweils für jeden Wert von R fünf Messpunkte im Bereich der Resonanzfrequenz auf. Tipps zur Messung der Phasenverschiebung: a) Stellen Sie das Signal symmetrisch um die Null-Linie dar, damit Sie nicht die Position der relativ flachen Maxima schätzen müssen, sondern den genauer ablesbaren Nulldurchgang nutzen können. b) Bestimmen Sie mit der Messfunktion des Oszilloskops (die beiden Cursor entsprechend einstellen) sowohl die Periodendauer als auch die zeitliche Verschiebung der Sinussignale, um daraus dann später die Phasenverschiebung zu berechnen. Notieren Sie aber Rohdaten! Alternativ können Sie auch die Wellenformen (Dateiformat *.wfm) speichern und die Auswertung später zuhause durchführen. Auswertung Zu Versuchsteil I: 1. Beschreiben Sie qualitativ den Einfluss der Werte von L und C auf die Schwingung. Zu Versuchsteil II: 2. Bestimmen Sie aus T und k jeweils die Dämpfungskonstante β der Schwingung. Berechnen Sie anschließend unter Verwendung des unter Punkt 5 der Versuchsdurchführung ermittelten Wertes der Kapazität C sowie den Gleichungen (5.8.4), 7 Wählen Sie wieder solche Werte, dass sich ein jeweils deutlich unterschiedliches Verhalten ergibt.
5.8 Elektrischer Schwingkreis 527 (5.8.5) und (5.8.11) die Induktivität L und den ohmschen Gesamtwiderstand R gesamt des Schwingkreises. 3. Vergleichen Sie mit Hilfe eines t-tests die Werte aus Punkt 2 der Auswertung mit der Induktivität L und dem ohmschen Gesamtwiderstand R gesamt aus Punkt 5 der Versuchsdurchführung. Zu Versuchsteil III: 4. Zeichnen Sie für alle R jeweils die Spannungs-Resonanzkurve (Spannungsamplitude U C,0 am Kondensator als Funktion der anregenden Kreisfrequenz ω err ). 5. Zeichnen Sie für alle R jeweils ein Diagramm für den Verlauf der Phasenverschiebung ϕ als Funktion der anregenden Kreisfrequenz ω err. 6. Führen Sie jeweils eine nichtlineare Kurvenanpassung durch. Beachten Sie dabei die Hinweise zur Arcustangensfunktion auf Seite 161 (Versuch zum Torsionsoszillator). Bestimmen Sie auf diese Weise aus den Regressionsparametern die Resonanzfrequenzen. Fragen und Aufgaben 1. Ist die in diesem Experiment mit dem Oszilloskop erzielte Messgenauigkeit ausreichend, um die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Dämpfung zu bestimmen? 2. Beweisen Sie, dass bei den erzwungenen Schwingungen das Maximum der Spannungsamplitude an den verschiedenen Bauteilen im Schwingkreis bei verschiedenen Kreisfrequenzen auftritt und zwar: a) das Maximum für ÛC am Kondensator bei ω C = ω res = ω0 2 2β 2, b) das Maximum für ÛR am ohmschen Widerstand bei ω R = ω 0, c) das Maximum für ÛL an der Spule bei ω L = ω 2 0 ω 2 0 2β2. Hinweise: Das Maximum für ÛC erhalten Sie durch Ableiten von Gleichung (5.8.19) nach der Erregerkreisfrequenz ω err. Zur Bestimmung der Maxima von ÛR und ÛL benötigen Sie die erste bzw. zweite Zeitableitung von U C (t) aus Gleichung (5.8.19). 3. Bei welcher Kreisfrequenz wird der Strom im Schwingkreis maximal? 4. Warum muss bei der induktiven Ankopplung des Erregerkreises an den Schwingkreis die gegenseitige Induktivität der Spulen klein gegen die Selbstinduktivität der Spule im Schwingkreis sein?
528 5. Versuche zur Elektrizitätslehre Ergänzende Informationen Der Versuch Elektrischer Schwingkreis ist sehr analog zum Mechanik-Versuch Pohlscher Resonator. In beiden Fällen werden gedämpfte harmonische Schwingungen betrachtet. Die dabei gefundenen Resonanzphänomene sind von großer Bedeutung in vielen verschiedenen Bereichen der Natur, sei es in der Optik bei der Farbgebung von Gläsern durch resonante Absorption bestimmter Wellenlängen oder in der Telekommunikation bei der Filterung von Funksignalen. Quartzuhren nutzen einen elektrischen Schwingkreis als Taktgeber, der einen Kondensator mit einem piezoelektrischen Quartzplättchen als Dielektrikum enthält. Literaturhinweise Standardlehrbücher, z. B. [Gob87, EKS01]. Literaturverzeichnis [EKS01] Eichler, Hans J., Heinz-Detlef Kronfeldt und Jürgen Sahm: Das Neue Physikalische Grundpraktikum. Springer-Verlag, Berlin, 1. Auflage, 2001. [Gob87] Gobrecht, Heinrich: Bergmann-Schaefer Lehrbuch der Experimentalphysik, Band II: Elektrizität und Magnetismus. Walter de Gruyter, Berlin, 7. Auflage, 1987.