3.2.2. Berechnungen der ZAF-Korrekturfaktoren 1. Z-Korrekturfaktor k Z : Die erzeugte Photonenzahl hängt ab von: i) Abbremsung der PE (Energie E ) auf E n,l (Ionisierungsenergie der betrachteten Schale) bzw. Reichweite der PE in der Probe bis nach vielfacher Streuung E n,l erreicht ist (vergleiche Kapitel 4: Bethe-Reichweite) Das Bremsvermögen S wird beschrieben durch Glg. 3.13: Glg. 3.13: 1 de S = ρ dx = Konst. Z A 1 K E ln E J (nach Bethe 193) E Elektronenenergie in kev, Konstante K = 1166, J mittleres Ionisierungspotential in ev = mittlerer Energieverlust bei Wechselwirkungen; Näherung für J in Glg. 3.14: Glg. 3.14: J = 976. Z + 588. Z 19. in ev ii) Rückstreuung von Elektronen mit E BSE > E n,l Rückstreukorrekturfaktor R R = tatsächlich in der Probe erzeugten Photonen der Energie E nl, bei fehlender Rückstreuung theoretisch erzeugte Photonen R.5 bis 1: R 1 bei kleinen Z und kleinen Werten für das Überspannungsverhältnis U (U > 1) Problem: Komplizierte Abhängigkeit von Z und U = E / E n,l R ist tabelliert Durchführen von Näherungsrechnungen Näherungsweise können die gewichteten Mittelwerte benutzt werden (Glg. 3.15): j j j Gewichtsanteile der Komponente j j j ij ij Anteil der Komponente j bei der Analyse einer Komponente i j Z = c Z c Glg. 3.15: R = c R R i S = c j S j Berechnung von k Z : j Für die insgesamt pro Elektron emittierte Photonenzahl n x,a einer betrachteten Röntgenlinie der Komponente a erhält man durch Integration von Glg. 3.9 ohne Berücksichtigung der Rückstreuung Glg. 3.16: Glg. 3.16: n x, a N = da nach Glg. 3.13 gilt: A ρ c A a a w a Re ichweite σ dx = 1 ρ S de n, j dx = Konst. c a E En, l σ n, l S de
Berechnung von k Z nach Glg. 3.17 unter Einbeziehung der Rückstreukorrektur: Glg. 3.17: k Z R = R Stand Probe E En, l ( σ S Stand ) E ( σ n, l S Probe ) En, l n, l de de Näherung durch die Annahme einer mittleren Energie der Elektronen (Glg. 3.18): 1 2 Glg. 3.18: = ( E + ) E E n, l σ n,l ist nicht von der Zusammensetzung der Probe abhängig und fällt für E = E raus. Damit kann eine neue und einfachere Näherung für k Z aufgestellt werden (Glg. 3.19): RStand S( E) Probe Glg. 3.19: k Z = RProbe E) Stand Beispiel: Al - 2 wt% Cu - Legierung Z A E Kα Al 13 26.98 1.56 kev Cu 29 63.55 8.98 kev E = 3 kev: k Z (Cu) = 1.11 bei reinem Cu-Standard k Z (Cu) = 1.5 k Z (Al) =.999 bei CuAl 2 -Standard (54 wt% Cu und 46 wt% Al) bei reinem Al-Standard E = 15 kev: k Z (Cu) = 1.16 bei reinem Cu-Standard k Z (Cu) = 1.8 bei CuAl 2 -Standard (54 wt% Cu und 46 wt% Al) k Z (Al) =.998 bei reinem Al-Standard Die Analyse von schweren Elementen in eine leichte Matrix ergibt ohne Korrektur zu kleine Werte k Z > 1, und von leichten Elemente in eine schwere Matrix zu große Werte k Z < 1 Hinweis: S nimmt mit zunehmendem Z ab (Z/A und 1/J in Glg. 3.13 nehmen ab)
2. Absorptions-Korrekturfaktor k A : Tiefenverteilung der Photonenerzeugung Φ(ρ t): Φ(ρ t) Zahl der in der Tiefe t erzeugten K α - Photonen (bzw. Photonen einer anderen Linie) pro einfallendes Elektron (Abb. 3.11) Zunächst ohne Absorption (Glg. 3.2): x, a = a Glg. 3.2: n c Φ( ρ t) d( ρ t) n x,a Gesamtzahl der pro Elektron erzeugten K α -Photonen Mit Absorption entlang des Austrittsweges t / sin ### gemäß Abb. 3.12 und Glg. 3.21: Glg. 3.21: I = c Φ( ρ t) I a μ / ρ t / sin Ψ ΔΩ a a ΔΩ 4 Π e μ ( ρ t ) ρ 1 sin Vom Detektor erfaßte K α -Intensität Massenabsorptionskoeffizient Ψ d ( ρ t) Abnahmewinkel (Take-Off-Angle) des Detektors Vom Detektor erfaßter Raumwinkel Die Absorption wird beschrieben durch den Parameter χ bzw. sein für die untersuchte Probe gewichtetes Mittel χ (Glg. 3.22): Glg. 3.22: I a = c μ 1 μ 1 χ = ; χ = c i ρ sin Ψ i ρ sin Ψ a F a ( ) χ i mit der Normierung auf χ = ohne Absorption Die Definitionen der Absorptionskorrekturfunktion f in Glg. 3.23 und des Absorptionskorrekturfaktors k A in Glg. 3.24 lauten dann: F Glg. 3.23: ( ) ( χ ) f χ = F ( ) f Standard ( χ ) Glg. 3.24: k A = f ( χ ) Probe Komplizierte Abhängigkeit von Versuchsparameter und Probendaten: μ E n, l ; Φ ρ t - Kurven; Ψ Tabellierung und Näherungsr ρ a ( ) ( ) echnungen
Generelle Regel: Die Absorptionskorrektur wird kleiner bei Verringerung des Weges t / sin Ψ der Photonen in der Probe, d.h., bei Wahl einer kleineren Beschleunigungsspannung E und eines größeren Take-Off-Winkel Ψ 3. Fluoreszenz-Korrektur k F : Die Röntgenstrahlung mit der Energie E x,a eines Elements a kann eine Linie einer zweiten Komponente b in der Probe durch Röntgenfluoreszenz anregen, sofern E x,a oberhalb der entsprechenden Absorptionskante E Abs,b liegt: E x,a > E Abs,b Folgen: Stärkere Absorption der Photonen mit der Energie E x,a im Vergleich zum reinen a-standard Korrektur wird in k A berücksichtigt Stärkere Anregung der entsprechenden Linie mit der Energie E x,b im Vergleich zum reinen b- Standard Korrektur von k F ist notwendig Im Beispiel von Fe-Ni (Abb. 3.9): Anregung von Fe Kα -Strahlung (6.4 kev) durch Ni Kα -Strahlung k F (Fe) < 1 Berechnung von k F : Der Fluoreszenz-Korrekturfaktor k Fi für eine Komponente i ergibt sich aus dem Verhältnis der Gesamtintensitäten der untersuchten Linie in der Probe und im Standard (Glg. 3.25): Glg. 3.25: k F i I i + = I i + j j I f ij I f ij Standard Probe 1 + = 1 + j j I f ij I i I f ij I i Standard Probe I i Intensität aus Elektronenanregung I f ij Intensität aus Fluoreszenzanregung durch eine Linie der Komponente j k Fi wird bestimmt durch die Verhältnisse I f ij / I i Näherungsrechnungen für I f ij / I i k F ist vernachlässigbar (k F 1), wenn die Energien von anregender und angeregter Linie hinreichend weit auseinander liegen k F 1, wenn E xa -E xb > 5 kev k F 1, wenn Z a - Z b klein (wenige Einheiten)
Beispiel: 1 wt% Fe (Z Fe = 26) - 9 wt% Ni (Z Ni = 28) (Abb. 3.9) Ψ E I f Fe-Ni / I Fe k F (Fe) 52.5 15 kev.263.792 15.5 15 kev.168.856 52.5 3 kev.346.743 15.5 3 kev.271.787 Tendenzen: E klein geringe Korrektur Ψ groß größere Korrektur als bei kleineren Ψ, aber kein größerer Fehler bei der Konzentrationsbestimmung (Ergebnis von Fehlerbetrachtungen zur Näherungsrechnung von k F ) Wahl von E klein und Ψ groß ist sinnvoll (notwendig zur Minimierung der Absorptionskorrektur) Generell: Im Vergleich zur Absorptionskorrektur relativ geringer Einfluß von E und Ψ auf k F Wahl eines möglichst probennahen Standards bei k F 1 ist effektiver 4. Röntgenfluoreszenz durch das Bremskontinuum: Anregung einer Linie mit der Energie E x,a durch die Bremsstrahlung oberhalb der entsprechenden Absorptionskante E Abs,a Korrektur ist schwierig, aber überwiegend zu vernachlässigen Ausnahme: Korrektur ist nötig bei schweren Elementen in einer leichten Matrix Im Vergleich zum Reinelement-Standard tritt eine geringere Absorpton der K-Strahlung des schweren Elements in der Probe auf Die tief in der Probe entstehende Fluoreszenzstrahlung hat einen relativ höheren Anteil an der gemessenen Linie E xa als beim Standard Anmerkung: Die Fluoreszenzstrahlung ist in der Tiefenverteilungskurve in Abb. 3.11 und damit in der Absorptionskorrektur nicht enthalten Konsequenz: Zur Analyse schwerer Elemente in einer leichten Matrix sollten Linien mit möglich kleiner Energie (L-, M-Linien) bzw. Standards mit einem Absorptionsverhalten ähnlich der Probe benutzt werden (Beispiel: Schwere Elemente in Oxiden)
5. Gekippte Probe: Übliche ZAF-Korrekturen beziehen sich auf senkrechten Einfall des Elektronenstrahls. Eine Verkippung der Probe verursacht folglich: Verkippung der Anregungsbirne relativ zur Oberfläche Stärkere Rückstreuung der Elektronen wegen der ausgeprägten Richtcharakteristik des differentiellen Rückstreukoeffizienten dη / dω (vergleiche Abb. 1.4, 1.5 und 1.14) Einfluß auf k Z Kleinere Absorptionswege Einfluß auf k A Wichtig: Korrekte Bestimmung des Take-Off-Winkel Ψ EDAX-Unterprogramme zur Berechnung von Ψ aus Probenlage und Anordnung im REM Iteration: Die Berechnung der ZAF-Korrekturfaktoren setzt die Kenntnis der zu bestimmenden Konzentrationen voraus Schrittweise Annäherung durch Iteration -te Näherung durch Annahme einer linearen Beziehung ohne Korrektur (Glg. 3.26) Glg. 3.26: c = cstandard km mit km = n n Probe Standard k m gemessenes Intensitätsverhältnis Berechnung der ZAF-Korrektur mit Hilfe von c k = ZAF(c ) k m Die Annahme einer hyperbolischen c(k)-abhängigkeit (vergleiche Glg. 3.11) führt zur 1-ten Näherung: 1. Bestimmung von α durch Einsetzen von c und k in Glg. 3.11 2. Bestimmung von c 1 durch Einsetzen von α und k m in Glg. 3.11 3. Berechnung von k 1 = ZAF(c 1 ) k m Formel für n-te Näherung (Glg. 3.27): Glg. 3.27: c n = k m k m cn 1 ( 1 k n 1 ) ( c k ) + k ( 1 c ) n 1 n 1 n 1 n 1 Generell: Die üblichen ZAF-Näherungsrechnungen werden unzuverlässig für Linien kleiner 1 kev Wahl des Standards ist besonders wichtig!!!
Abb. 3.9: Analytische Eichkurven für das Röntgen-Intensitätsverhältnis k für binäre Fe- Ni-Legierungen; der Einfluß der Absorption für k Ni (konkave Abweichung von der linearen Eichgerade) und der Röntgen-Fluoreszenzstrahlung der Fe-Atome angeregt durch die Ni K a -Strahlung für k Fe (konvexe Abweichung) (Seite 366 aus [Reimer, 1985]) Abb. 3.1: Effekte, die die Röntgen-Emission von einem Festkörper beeinflüssen: 1) Anregung von Röntgenstrahlung mit einer Wahrscheinlichkeit proportional zum Ionisations-Wirkungsquerschnitt für Elektronenenergien E > E n,l ; 2) Abnahme der Emission von Röntgenstrahlen, wenn rückgestreute Elektronen emittiert werden mit einer Energie E BSE > E n,l ; 3) Absorption der von der Probe emittierte Röntgenstrahlung innerhalb der Probe; 4) Röntgen-Fluoreszenz, wenn die charakteristische Strahlung eines Elements a eine innere Schale eines Elements b anregt (Seite 366 aus [Reimer, 1985])
Abb. 3.11: Berechnete Φ(ρ z)-kurven für Kupfer bei einer Energie der Primär- Elektronen von E PE = 2 kev. Der Wert von Φ(ρ z) ist die Anzahl der pro einfallendes Elektron erzeugten K α -Röntgenquanten (Seite 39 aus [Goldstein, 1981]) Abb. 3.12: Geometrische Beziehungen zwischen der Absorption der Röntgenstrahlung angeregt in einer Tiefe z mit einer Tiefenwahrscheinlichkeitsverteilung Φ(z) und der Registrierung bei einem Take-Off-Angle Ψ (Seite 374 aus [Reimer, 1985])
4. Wechselwirkung: Elektronen - Materie 4.1. Grundlagen Die quantitative Beschreibung von Streuprozessen erfolgt mit dem Konzept von Wirkungsquerschnitt σ (Cross-Section) und mittlerer freie Weglänge λ: Wirkungsquerschnitt σ (Glg. 4.1): Glg. 4.1: σ = N n n t i in cm 2 N = Zahl der Ereignisse pro cm 3 ; n t = Zahl der Target-Atome pro cm 3 ; n i = Zahl der einfallenden Elektronen pro cm 2 ; Dimension: cm 2 entsprechend dem effektiven Querschnitt einer betrachteten Wechselwirkung. Anderer Ansatz über den Differentiellen Wirkungsquerschnitt dσ / dω (Abb. 4.1): Parallel einfallende Elektronen des differentiell kleinen Querschnitts dσ werden aufgrund der betrachteten Wechselwirkung in einem Raumwinkel dω gestreut. dσ / dω ist eine Funktion des Stoßparameters b bzw. des Streuwinkels Θ (Glg. 4.2 und Abb. 4.1): π dσ dω Glg. 4.2: σ ( α ) = 2π Θ dθ α sin σ(α) = Wirkungsquerschnitt für Streuwinkel größer α durch Integration über den Teil der Einheitskugel mit α Θ 18 (Abb. 4.2). dσ / dω ist für die jeweilige Wechselwirkung abzuleiten. Mittlere freie Weglänge λ (Glg. 4.3): Glg. 4.3: λ = A 1 N a ρ σ in cm A = Atomgewicht [g/mol]; ρ = Dichte [g/cm 3 ] N a = Avogadrosche Zahl = 6.225 1 23 Atome / mol; 4.1.1. Elastische Streuung Elastische Streuung aufgrund von Coulombkräfte zwischen ankommendes Primärelektron und des Atomkerns. Die Kernladung wird durch die Atom-Elektronen teilweise abgeschirmt und reduziert zu einer effektiven Kernladung Ablenkung der PE auf Hyperbelbahnen (Abb. 4.1) Praktisch keine Energieabgabe (ΔE < 1 ev) unter Berücksichtigung der Impuls- und Energieerhaltung Der differentielle Wirkungsquerschnitt dσ / dω für die elastische Streuung mit Streuwinkeln > ### nach dem Modell von Rutherford berechnet sich zu (Glg. 4.4):
Glg. 4.4: dσ dω R = 4 2 2 e m c + E 1 Z 2 2 2 2 64 π ε 2 + 4 Θ m c E E sin 2 2 mit E = Energie der PE und m c 2 = Ruhenergie des Elektrons und typische Streuwinkel Θ ~ 5 Zunahme der Streuprozesse mit zunehmender Ordnungszahl Z und abnehmender Elektronenenergie E In Glg. 4.4 wird die Abschirmung der Kernladung Z durch die Atom-Elektronen nicht berücksichtigt, da sonst für kleine Streuwinkel Θ Glg. 4.4 eine Singularität besitzt. Dazu müßte Z in Glg. 4.4 ersetzt werden durch die effektive Kernladung Z eff (Glg. 4.5): ighkl r Glg. 4.5: Zeff = Z f Rö g hkl = Z n r e e j ej dv z V mit f Rö (g hkl ) = Atomarer Streufaktor für elastische Röntgenstreuung und n(r) = Elektronendichteverteilung des Atoms. Das Integral in Glg. 4.5 ist die Fouriertransformierte der Elektronenverteilung. Damit ändert sich der Verlauf des differentiellen Wirkungsquerschnitts für elastische Elektronen- Streuung als Funktion des Winkels Θ, welche in Abb. 4.3 schematisch dargestellt ist. 4.1.2. Inelastische Streuung Wechselwirkungen mit Energietransfer ΔE auf die Probe, d.h.: Die kinetische Energie der Primärelektronen nimt aufgrund folgender Anregungsprozesse ab: Plasma-Anregungen: Durch die Kopplung der äußeren Elektronen (Valenz- oder Leitungselektronen) können longitudinale Dichteschwingungen des Elektronenplasmas angeregt werden: ΔE P = h ω P 1 ev - 5 ev mit ω P = Plasmafrequenz und ΔE P = Energieverlust der Plasmaanregung. Inter- und Intrabandübergänge, Aussendung von Sekundär-Elektronen: Anregung von gebundenen Elektronen mit niedriger Bindungsenergie in unbesetzten Zuständen (Anregung innerhalb eines Bandes = Intrabandübergang; Anregung eines Elektrons von einem Band in ein anderes Band = Interbandübergang) oder oberhalb des Vakuumniveaus in das Kontinuum: ΔE 1 ev - 5 ev. Ionisation innerer Schalen: Anregung von gebundenen Elektronen mit hoher Bindungsenergie in unbesetzten Zuständen oberhalb bzw. an der Fermikante. Strahlungsloser Übergang: Unter Emission von Auger-Elektronen - Strahlender Übergang = Unter Emission von Röntgenquanten durch Rekombination. Anregung von Bremsstrahlung: Abbremsung der Primärelektronen im Coulombfeld der Atome unter Emission von Bremsstrahlung Anregung von Phononen: Anregung von gequantelten Gitterschwingungen Erwärmung der Probe
Es resultieren individuelle Wirkungsquerschnitte für die einzelnen Prozesse. Für viele Anwendungen ist ein Modell kontinuierlicher Energieabgabe - anstelle der tatsächlich diskreten Energiebeträge unterschiedlicher Größe - sinnvoll: Näherung nach Bethe: (Glg. 4.6) Glg. 4.6: de dx 4 N A e Z = 2 4 π ε A m v 2 m v ln 2 J 2 2 4 N A e Z E ln 2 8 π ε A E J E = Elektronenenergie;für 2 E m v << m c ; J = mittlerer Energieverlust aller inelastischer Streuprozesse, wobei für das mittlere Ionisierungspotential J folgende Näherung gilt: (Glg. 4.7) 2 Glg. 4.7: J = 976. Z + 588. Z 19. in ev Für das Bremsvermögen (Stopping Power) S gilt: (Glg. 4.8) Glg. 4.8: S 1 = ρ de dx (nach Bethe 193) Die Streuwinkel sind klein im Vergleich zur elastischen Streuung. Der Verlauf des differentiellen Wirkungsquerschnitts für inelastische Elektronen-Streuung als Funktion des Winkels Θ ist in Abb. 4.3 schematisch dargestellt. Aus Glg. 4.6 - Glg. 4.8 ergibt sich eine Abnahme des Bremsvermögens S mit steigender Ordnungszahl Z und bei Erhöhung der Elektronenenergie E. 4.1.3. Reichweite der Elektronen Bethe-Reichweite: (Glg. 4.9 a und b) Glg. 4.9 a: R B = E= E 1 de de dx oder mit Glg. 4.8 folgt: Glg. 4.9 b: ρ R B = E = E 1 de S R B ist die Reichweite gemessen entlang der Elektronenbahn (Zick-Zack-Bahn aufgrund der elastischen Streuung). R B ist größer als die Eindringtiefe der Elektronen. Andere Definitionen der Reichweite beschreiben die mittlere oder maximale Eindringtiefe der Elektronen (Abb. 4.4) Das bei den Streuprozessen wirksame Volumen (Diffusionswolke) ist experimentell zugänglich als Ätzprofil bestrahlter Kunststoffe oder beim Eintritt des Elektronenstrahls durch eine Druckstufe in ein anderes Gas (Abb. 4.5) oder rechnerisch über Monte-Carlo-Simulationsrechnungen (Abb. 4.6). Ein birnenförmiges Profil des Wechselwirkungvolumens ergibt sich aus der Charakteristik von elastischer und inelastischer Streuung:
Relativ geringe Wahrscheinlichkeit elastischer Streuprozesse (~ 1/E 2 ) beim Eintritt der Elektronen in die Probe aufgrund der hohen Elektronenenergie (E E ) insbesondere bei kleiner Ordnungszahl Z (vergleiche Glg. 4.4) Zunächst wenig Ablenkung aus der Einstrahlrichtung Hals der Birne Zunehmende Energieverluste de/dx ~ ln(e/j)/e mit zunehmender Eindringtiefe durch inelastische Prozesse ohne nenneswerte Ablenkung Nach Glg. 4.4 erfolgt eine Zunahme der elastischen Prozesse verbunden mit einer starkeren Ablenkung auf Zick-Zack-Bahnen Bauch der Birne
Abb. 4.1: Klassisches Model für elastische Elektronenstreuung am Kern (b = Stoßparameter). Elektronen, die im Bereich dσ einfallen, werden um den Winkel Θ im Raumwinkelbereich dω gestreut. (dσ/dω = Differentieller Wirkungsquerschnitt) (Seite 58 aus [Reimer, 1985]) Abb. 4.2: Wellen-mechanisches Modell für die elastische Elektronenstreuung (asymptotische Lösung). Eine einfallende Welle mit Wellenvektor k generiert eine Welle mit einer Streuamplitude f(θ). Die Streuverteilung wird beschrieben durch Θ oder durch q = k - k, wobei k = k =1/λ. (Seite 59 aus [Reimer, 1985])
Abb. 4.3: Winkelverteilung des differentielen Wirkungsquerschnitts für elastische und inelastische Elektronenstreuung mit einer Energie der PE von 1 kev an Kohlenstoffatome Z = 6. Abb. 4.4: Extrapolierte Reichweite R x, Reichweite aus der Bethe-Formel R B und maximale Reichweite R max für a) Al und b) Ag als Funktion der Energie E nach Messungen verschiedener Autoren. (Seite 3 aus [Reimer, 1977])
Abb. 4.5: Leuchtende Diffusionswolke beim Eintritt eines 1 kev - Elektronenstrahls in a) N 2 und b) Ar unter Atmosphärendruck. Es ist die stärkere Rückstreuung im Ar gegenüber N 2 deutlich zu erkennen. (Seite 32 aus [Reimer, 1977]) Abb. 4.6: a) 1 Bahnen von 2 kev - Elektronen in Cu und b) Verteilung der charakteristischen Röntgenstrahlerzeugung (projiziert auf die Zeichenebene) nach Monte-Carlo-Rechnungen. (Seite 32 aus [Reimer, 1977])
4.2. Rückstreu-Elektronen (RE) Rückstreu-Elektronen sind Strahlelektronen, die überwiegend durch elastische - und natürlich auch inelastische - Streuprozesse so stark abgelenkt wurden, daß sie die Probe wieder verlassen können. rückgestreuter Elektronenstrom IRE Rückstreukoeffizient η: η = einfallender Elektronenstrom I Energiebereich der RE: - 5 ev bis E (vergleiche Abb. 1.3) - Abgrenzung zu Sekundär-Elektronen bei 5 ev ist willkürlich - Tatsächlich Überlappung mit SE-Bereich, aber RE-Anteil im Bereich ev bis 5 ev ist klein. 4.2.1. Energieabhängigkeit des Rückstreukoeffizienten η(e ) (Abb. 4.7) η(e ) ist im Bereich 1 kev bis 1 kev nahezu unabhängig von der Beschleunigungsspannung E. Grund: Einerseits haben die PE bei höherer Energie E eine größere Eindringtiefe, da der differentielle Wirkungsquerschnitt für die elastische Streuung nach Rutherford (dσ/dω aus Glg. 4.4) und das Bremsvermögen nach Bethe (S aus Glg. 4.8) mit zunehmender Energie abnehmen; andererseits besitzen die gestreuten Elektronen bei einer gegebenen Tiefe eine höhere Energie. Damit können die Elektronen aus größerer Probentiefe die Probe verlassen. 4.2.2. Materialabhängigkeit des Rückstreukoeffizienten η(z) (Abb. 1.4 und Abb. 1.5) η(z) wächst monoton mit zunehmendem Z, da die elastische Streuung (Glg. 4.4) proportional zu Z 2 ist. Daraus folgt eine stärkere Ablenkung und eine stärkere Rückstreuung der Elektronen. Abnahme der Materialabhängigkeit bei zunehmendem Einfallswinkel α (streifender Einfall). Als Rückstreukoeffizient der Probe läßt sich das gewichtete Mittel der Komponenten verwenden: = C mit η i und C i = Rückstreukoeffizient bzw. Gewichtsanteil der Komponente i η i i η i 4.2.3. Kippwinkelabhängigkeit des Rückstreukoeffizienten η(α) (Abb. 1.4) Schräger Einfall der PE (α 9 ) bewirkt eine entsprechend schräge, d.h., oberflächennähere Lage der Wechselwirkungs- bzw. Anregungsbirne. Dadurch wird der Austritt von rückgestreuten Elektronen erleichtert. Zunahme von η bei zunehmend schrägen Einfall der PE (η 1 für α 9 ) Abnahme der Materialabhängigkeit 4.2.4. Richtcharakteristik rückgestreuter Elektronen dη/dω (Abb. 1.13 und Abb. 1.14) Die Winkelverteilung der RE wird durch den differentiellen Rückstreukoeffizienten dη/dω (Anteil dη der RE pro Raumwinkel dω (Steradiant)) beschrieben. dη/dω ist abhängig vom Winkel ### (Winkel zwischen Einfallsrichtung der PE und Richtung von der dη/dω betrachtet wird) und vom Einfallswinkel α der PE: a) Senkrechter Einfall der PE, α = (Abb. 1.14)
Kugelförmige Richtcharakteristik beschrieben durch dη/dω ~ cos θ Maximale Rückstreuintensität in Richtung des Primärstrahls θ = Abnahme auf Null bei tangentialem Austritt der RE aus der Probe θ = 9 Maximale Materialabhängigkeit für θ = Grund: Der Weg (auf dem Absorption stattfindet) eines RE aus der Probe wächst mit 1/ cos θ t θ t / cos θ b) Schräger Einfall der PE, α 9 (Abb. 1.14) Abnahme der Materialabhängigkeit Zunehmend für α 9 keulenförmige Richtcharakteristik mit ausgeprägter Vorwärtsstreuung Grund: Oberflächennahe Wechselwirkungsbirne, geringere Ablenkung durch Abnahme der Streuprozesse bis zum Austritt der RE 4.2.5. Energieverteilung der RE dη/de a) Z-Abhängigkeit (Abb. 4.8) Zunehmend ausgeprägtes Maximum bei steigendem Z Das Maximum wandert in Richtung E bei steigendem Z Grund: Zunahme der elastischen Streuprozesse dη/dω ~ Z 2 Stärkere Ablenkung, d.h. die Elektronen erreichen nach kürzerer Wegstrecke wieder die Oberfläche Weniger Energieverlust durch inelastische Streuung Höhere RE-Intensität und schärfere Peaks bei höheren Ordnungszahlen b) Einfluß des Take-Off-Winkels ψ (Abb. 4.9) Ausgeprägtes und höheres Maximum bei großen Take-Off-Winkeln ψ Grund: Der Weg eines RE beim Austritt aus der Probe nimmt zu mit abnehmendem ψ 4.2.6. Räumliche Verteilung der austretenden RE Abb. 4.1 zeigt für 2 verschiedene Ordnungszahlen Z und 2 verschiedene Kippwinkel α der Probe die räumliche Verteilung der RE um den auftreffenden PE-Strahl: a) α = : Die Verteilung ist symmetrisch um den Einstrahlpunkt Der Peak liegt im Zentrum der Verteilung Für höheres Z (hier Au) ist die Halbwertsbreite des Peaks Schmäler und höher b) α = 45 : Die Verteilung wird mit zunehmendem Kippwinkel zunehmend assymmetrisch Der Peak ist in Einstrahlrichtung verschoben
Verteilung der RE mit geringem Energieverlust (Low-Loss Electrons): (Abb. 4.11) Der Peak ist schärfer als in Abb. 4.1. Die Austrittsfläche hat sich wesentlich verringert. Grund: RE, die in größerem Abstand vom PE austreten, haben größere Wege in der Probe zurückgelegt, und haben dadurch mehr Energie verloren. 4.2.7. Schlußfolgerungen für die Abbildung mit RE i) Materialkontrast: Optimale Bedingungen zur Erzeugung von Materialkontrast: Senkrechter Einfall des Elektronenstrahls α = Möglichst großer Take-Off-Winkel ψ Verstärkung des Materialkontrastes durch Energiefilterung unter Verwendung der Low-Loss- Elektronen möglich ii) Auflösung: Die Auflösung kann mit Hilfe der Energiefilterung verbessert werden, da die Austrittsfläche für die Low-Loss-Elektronen verkleinert ist iii) Detektoranordnung: Die Detektoranordnung sollte der Richtcharakteristik angepaßt sein: Besonders kritisch bei a 9 (Richtkeule) Bei gegebener Detektoranordnung Flächenneigungskontrast durch Kippen der Probe (vergleiche Abb. 1.13) Für viele Anwendungen ist ein großflächiger, ringförmiger Detektor um den Primärstrahl sinnvoll iv) Informationstiefe: Die Informationstiefe nimmt zu mit zunehmendem E Reduzierung der Informationstiefe durch Energiefilterung
4.3. Sekundärelektronen (SE) Die SE-Emission ist das Ergebniss inelastischer Streuprozesse zwischen energiereichen Strahlelektronen und schwach gebundenen Leitungselektronen oder Valenzelektronen. Der Energietransfer auf die emittierten Elektronen beträgt nur einige ev. Energiebereich der SE: - 5 ev mit scharfem Peak bei 3 ev - 5 ev; vergleiche Abb. 1.3 und Abb. 1.6 Zahl der emittierten SE SE-Ausbeute δ: δ = Zahl der auftreffenden PE 4.3.1. Energieabhängigkeit des Emissionskoeffizienten δ(e) (Abb. 4.12) Maximum bei ca. 5 ev - 1 ev: δ max ca. 1-2 für Metalle und ca. 5 für Al 2 O 3 Abnahme von δ bei weiterer Erhöhung von E : Näherung δ ~ E -.8 o δ (3 kev).1 für Metalle (vergleiche Abb. 1.5) 4.3.2. Materialabhängigkeit des Emissionskoeffizienten δ(z) Abb. 1.5 zeigt für reine Elemente die δ(z)-kurve keine nennenswerte Z-Abhängigkeit Für Verbindungen wie Al 2 O 3 oder MgO kann δ Werte um 1 oder darüber annehmen Grund: Komplizierte Abhängigkeit von Bindungen, Kristallorientierung, Leitfähigkeit und Oberfläche 4.3.3. Kippwinkelabhängigkeit des Emissionskoeffizienten δ(α) Zunahme der SE-Ausbeute mit zunehmender Probenneigung näherungsweise gemäß δ(α) = δ / cos α Grund: Entsprechende Zunahme der von den PE im Bereich der Austrittstiefe t der SE zurückgelegten Wegstrecke t: t = t / cos α - vergleiche Abb. 1.12 und Abb. 1.13 Außerdem: Die durch RE ausgelösten SE zeigen ähnliche Zunahme mit α wegen der Abhängigkeit η(α) - siehe Kapitel 4.2.4. PE t α t 4.3.4. Richtcharakteristik emittierter Elektronen dδ/ Ω Isotrope SE-Erzeugung hat für alle Kippwinkel α eine cos-verteilung zur Folge: dδ/dω ~ cos θ Abweichend von der RE-Verteilung - vergleiche Abb. 1.12 und Abb. 1.13
4.3.5. Energieverteilung der SE dδ/de Die Abnahme der SE-Ausbeute für steigende PE-Energien läßt sich mittels folgender Approximation beschreiben: δ ~ Eo -.8 (Abb. 4.13) Den Exponenten -.8 kann man verstehen, wenn man die Bethe-Formel (Glg. 4.6) doppeltlogarithmisch für E = E aufträgt. Auch dann ergibt sich eine Gerade mit der Steigung -.8. 4.3.6. Räumliche Verteilung der austretenden SE Aufgrund der geringen Austrittstiefe t 1 Å - 1 Å der SE ist zu unterscheiden zwischen: Von PE ausgelöste SE: Gruppe 1 in Abb. 1.9 - Austrittsfläche = Strahlquerschnitt + λ (= mittleren freien Weglänge der SE) Von Re ausgelöste SE: Gruppe 3 in Abb. 1.9 - Austrittsfläche = Austrittsfläche der RE ( 1 µm) δges = δpe + η ### δre, wobei δre / δpe 3-4 4.3.7. Schlußfolgerungen für die Abbildung mit SE i) Materialkontrast kann zwar auftreten, ist aber schwierig zu deuten. ii) Auflösung: Die optimale Auflösung wird mit dem Signal der Gruppe 1, δpe erzielt: Strahlquerschnitt + λ: ca. 1 nm für Metalle und ca. 1 nm für Isolatoren Das Signal der Gruppe 3 führt zur Überlagerung eines Bildes mit schlechter Auflösung. iii) Flächenneigungskontrast wird beobachtet, wobei für α und α 9 Abweichungen von der theoretischen δ(α) Abhängigkeit auftreten (durch "Ansaugen" bzw. "Abschatten" der SE) iv) Abbildung ohne Bedampfung der Probe möglich, wenn δ(e) = 1 bei geeigneter Wahl von E gemäß Abb. 4.12.
Abb. 4.7: Rückstreukoeffizient η als Funktion der Elektronenenergie im Energiebereich 1 kev bis 3 kev. Abb. 4.8: Energieverteilung der RE für verschiedene Elemente. Die Messungen wurden bei einem Take-Off- Winkel von 45 zur Probenoberfläche durchgeführt. E = 3 kev.
Abb. 4.9: Energieverteilung der RE von Cu bei verschiedenen Take-Off-Winkeln.
Abb. 4.1: Räumliche Verteilung der RE von Al und Au bei den Kippwinkeln α = und 45 der Probe. E = 2 kev. Abb. 4.11: Räumliche Verteilung der RE, die die Energie kleiner 1 kev verloren haben. E = 2 kev; α =
Abb. 4.12: SE-Ausbeute δ als Funktion der PE-Energie E. Abb. 4.13: Abnahme der SE-Ausbeute δ für PE- Energie E zwischen 1 kev und 1 kev in doppeltlogarithmischer Darstellung.