pezielle und Allgemeine Relativitätstheorie - schülerverständlich Christian Kiesling Ma-Planck-Institut für Physik und Ludwig-Maimilians-Universität 1
(Dezember 1916) 2
"Die mathematischen Prinzipien der Naturphilosopie"" Galileo Galilei 1564-1642 Der erste moderne Eperimentator Eperiment Erkenntnis Theorie Hypothese Isaac Newton 1642-1727 Newton sche Mechanik : Erste moderne Theorie 3
Das Newtonsche Gravitationsgesetz G m M F G R 2 Gravitationskonstante 6.673 10 2 11 Nm 2 kg M R Umlaufzeit Drittes Keplersches Gesetz Johannes Kepler (1571-1630) T 2 2 4π 3 GM R 4
Newton sche Mechanik, Galilei-Transformation Δ Zug (ystem ) Bahndamm (ystem ) w Ball w 0 U U Transformation der Raumkoordinaten: v Zug v 0 +Δ (Entsprechendes gilt für y und z ) Transformation der Geschwindigkeit: v d dt Zug steht (noch): w w d w dt t t 5
Newton sche Mechanik, Galilei-Transformation Δ(t) v (konstante Geschwindigkeit) +Δ() t Δ () t vt + vt w 0 v Geschwindigkeit der Kugel, vom Bahndamm aus gemessen: w v w w + v t t 6
Überprüfung der Galilei-Transformation v w > 0 + vt w w + v v w w + v v + v Die Kugel rolle nun im Zug gegen die Fahrtrichtung: es sei w v dann muss die Kugel im ystem stehen : 0 q.e.d. w 0 7
Das Relativitätsprinzip (A. Einstein) Die Physikalischen Gesetze sind unabhängig vom Bezugssystem (die Bezugssysteme sind unbeschleunigt zueinander) Fadenstrahlrohr v Beispiel: Lorentzkraft F q ( E + v B) ein stromdurchflossener Draht erzeugt ein Magnetfeld das bewegte Elektron wird im B-Feld zum Draht hin abgelenkt Keine Kraft auf das Elektron im ystem??? 8
Das Relativitätsprinzip Die Physikalischen Gesetze sind unabhängig vom Bezugssystem Beispiel: Lichtgeschwindigkeit in verschiedenen Bezugssystemen Taschenlampe c v c c Lichtgeschwindigkeit (~300.000 km/sec) c+ c + v c c v c c +??? c c Versuch von Michelson & Morley (1887) Licht breitet sich in allen Bezugssystemen gleich schnell aus (vergleiche aber z.b. Flugzeuge im Flug von Ost nach West gegen West nach Ost) 9
pezielle Relativitätstheorie (A. Einstein, 1905) y z t y v w vt 1 v / c 2 2 z t v/ c 1 v / c 2 2 2 w vt w w + v tatt dessen: Lorentz-Transformation w + v wv 1 + 2 c Lichtgeschwindigkeit c in jedem Bezugssystem nunmehr gleich. c ist auch die größte mögliche Geschwindigkeit Galilei-Transformation nicht meht gültig bei hohen Geschwindigkeiten v 0: E p v E c mc mc 2 2 1 v / c mv 2 2 1 v / c Δ m 5 10 m 2 2 350 km/h: 14 10
Effekte der peziellen Relativitäts-Theorie (I) Materie (und Antimaterie) aus Energie Elektron und Anti-Elektron ( Positron ) werden aus Licht (sehr energiereiche Photonen, oder Lichtteilchen ) erzeugt E mc 2 Flugrichtung Teilchenspuren krümmen sich im Magnetfeld (Lorentzkraft) 11
Effekte der peziellen Relativitäts-Theorie (II) Zeit-Dilatation U Bewegte Uhren gehen langsamer! Δ t v U Δt 1 v / c 2 2 Beispiele: μ Zwillingsparadoon Muonen in der kosmischen trahlung Lebensdauer der Muonen Reichweite ~ Rand der Atmospäre (~10 km Höhe) cτ τ Erdoberfläche 2.2μs 8 6 3 10 2.2 10 660 m 12
Effekte der peziellen Relativitäts-Theorie (III) Längen-Kontraktion Δ Δ 1 v / c 2 2 v Δ Δ 13
wie der relativistische Radler seine Umwelt wahrnehmen würde. 14
RT: Die Welt hat 4 Dimensionen: Raum (3) und Zeit (1) schon erschöpft? es kommt noch besser! z ART Ereignis E E z E t t E 15
Das erweiterte ( allgemeine ) Relativitätsprinzip Die Physikalischen Gesetze sind unabhängig vom Bezugssystem (auch in beschleunigten ystemen!!) a dw dt 0 dv dt 0 kann man immer sagen, welches das bewegte Bezugssystem ist? Einstein sagt: NEIN Zug wird beschleunigt, Kugel rollt von selbst nach hinten in beschleunigter Rakete im Gravitationsfeld 16
Gravitation, Beschleunigung und das Äquivalenzprinzip F mschwer g F mträg a a m schwer träg m m träg m g schwer Geradlinige Bahnen im freien Fall Äquivalenz-Prinzip Kein Unterschied zwischen Beschleunigung und chwerefeld (F) : Allgemeine Relativitätstheorie (ART) 1915 Massen bewegen sich auf gekrümmten Bahnen im F 17
Gravitation: Gekrümmte Bahnen im Raum Ursache der Gravitationswirkung auf der Erdoberfläche: Masse M der Erde, Abstand R vom Erdmittelpunkt Freier Fall im Gravitationsfeld: eine gekrümmte Bahn! F m g M m g G 9.81 R 2 s 2 ehr unterschiedliche Krümmungen! Können sie auf eine gemeinsame Ursache ( Raumkrümmung ) zurückgeführt werden? 18
Raum und Zeit sind eine Einheit (4-dimensionale Welt) Weltlinie des Balls 10m ct Lichtstrahl Weltlinie der Kugel Die Raum-Zeit hat eine einheitliche (lokale) Krümmung ART: auch das Licht fällt im Gravitationsfeld, hier: 15 1.4 10 m [ ] 19
Auch Lichtstrahlen laufen auf krummen Bahnen Grandioses Eperiment zur Bestätigung der ART: Totale onnenfinsternis am 29. Mai 1919 Einstein s Vorhersage: 1.75 Bogensekunden Arthur Eddington (& A. Crommins) Isle of Principe (Golf von Guinea, vor der Küste Westafrikas) 20
Ein Englisches chloss und die Allgemeine Relativitäts- Theorie mit Gravitationslinse und wie es aussehen würde, wenn die Masse des aturns, auf 10 m zusammengedrückt, davor wäre 21
und hier eine echte Gravitationslinse Die blauen Zigarren sind die gravitationsverzerrten Bilder ein und derselben Galaie hinter dem massereichen (hellen) Galaienhaufen im Vordergrund 22
ART: Vom Gang der Uhren im Gravitationsfeld (und in beschleunigten ystemen) Uhr A sendet pro ekunde einen Lichtblitz, wird von Uhr B empfangen t1 L1/ c 1. Blitz braucht Zeit L < L, weil Rakete sich bewegt 1 2. Blitz braucht Zeit L t2 L2/ c < L, weil Rakete beschleunigt 2 1 L Fazit: Uhr A geht CHNELLER als Uhr B, (von Uhr B aus gesehen). ART: Dasselbe gilt für Uhren im Gravitationsfeld Uhren am Boden gehen langsamer als Uhren in großer Höhe 23
ART: Ohne sie würde GP nicht funktionieren atellitengestütztes Global Positioning ystem Prinzip des GP: Ortsbestimmung durch Zeitmessung der ignale vom atelliten zum eigenen tandpunkt (A). atellit sendet: eigene Position, eigene Uhrzeit Laufzeit: Vergleich der atellitenuhr mit der eigenen in A 24
ART: Ohne sie würde GP nicht funktionieren v 3900 [ m/ s] ~ 26000 km A Erde 2 Effekte: RT und ART atellit fliegt schnell gemäß RT läuft daher seine Uhr langsamer als die von A (von A aus gesehen) Δt Δ t Δt 2 2 10 1 1 v / c 0.835 10 s atellit fliegt hoch gemäß ART läuft daher seine Uhr schneller als die von A (von A aus gesehen) Δt Δ t Δt Fehler ohne ART: 10 5.28 10 s 6 mal so groß! Δ l 13.3 cm Δt s [ ] [ ] Entspricht 500 m in einer tunde Messzeit!!! 25
chwarze Löcher und das epandierende Universum z 1.4 10 m 10 m 15 [ ] ct 2M RK R : R G chwarzschildc 2 Radius R photon Licht kann diesem Gravitationsfeld nicht entkommen chwarzes Loch ( black hole ) Gravitationsfeld der Erde g M G R 2 R K Beispiele Erde: R R onne: cm 1[ ] 1.5[ km] Blick auf das Zentrum der Milchstraße Vermutung: Im Zentrum der Milchstraße lauert ein ungeheuer massives chwarzes Loch 6 M 3.6 10 onnenmassen 26
chwarze Löcher und das epandierende Universum Das galaktische Zentrum Innerhalb weniger Lichtjahre mehrere 10000 terne, die das Zentrum umkreisen (auf Kepler-Bahnen). Die Umlaufszeiten lassen auf die Masse des Zentrums schließen Ergebnis: ein supermassives chwarzes Loch im Zentrum Vermutung: Die meisten Galaien haben chwarze Löcher im Zentrum 27