VWL 3: Mikroökonomie Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 2

Georg Nöldeke Frühjahrssemester 2009 VWL 3: Mikroökonomie Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 2 1. (a) Die Grenzprodukte der Produktionsfaktoren sind: MP 1 (x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2 ) x 1 MP 2 (x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2 ) x 2 Die Grenzrate der technischen Substitution ist: = Aα x α 1 1 x β 2 und = Aβ x α 1 x β 1 2. GRT (x 1, x 2 ) = MP 1(x 1, x 2 ) MP 2 (x 1, x 2 ) Aα xα 1 1 x β 2 = Aβ x α 1 xβ 1 2 = α β x2. x 1 Bemerkung: Die Grenzrate der technischen Substitution hängt von den Inputmengen nur über das Faktoreinsatzverhältnis x 1 /x 2 ab. Produktionsfunktionen mit dieser Eigenschaft bezeichnet man als homothetisch. (b) Das Gesetz der abnehmenden Grenzprodukte ist erfüllt, wenn die Ungleichung MP ii (x 1, x 2 ) = MPi(x1,x2) x i = 2 f(x 1, x 2 ) x 2 < 0 für i = 1, 2 i gilt. Da MP 1 (x 1, x 2 ) = Aα (α 1) x1 α 2 x β 2 < 0 x 1 falls α < 1, MP 2 (x 1, x 2 ) = Aβ (β 1) x α 1 x β 2 2 < 0 x 2 falls β < 1 gilt, ist das Gesetz der abnehmenden Grenzprodukte genau dann erfüllt, wenn α < 1 und β < 1 ist. Die Inputs sind komplementär, wenn MP ij (x 1, x 2 ) = MPi(x1,x2) x j = 2 f(x 1, x 2 ) > 0, für i j x i x j gilt. Die zu bestimmenden Ableitungen berechnen sich als: MP 1 (x 1, x 2 ) = MP 2(x 1, x 2 ) = Aα βx1 α 1 x β 1 2 > 0. x 2 x 1 Also sind die Inputs bei einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion für alle zulässigen Parameterwerte komplementär. 1

(c) Die Durchschnittsprodukte sind durch gegeben. Die Produktionselastizitäten sind AP 1 (x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2 ) x 1 AP 2 (x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2 ) x 2 = Ax α 1 1 x β 2 = Ax α 1 x β 1 2 ɛ 1 (x 1, x 2 ) = MP 1(x 1, x 2 ) AP 1 (x 1, x 2 ) = α ɛ 2 (x 1, x 2 ) = MP 2(x 1, x 2 ) AP 2 (x 1, x 2 ) = β und hängen für eine Cobb-Douglas Produktionsfunktion daher nicht von den Faktoreinsatzmengen ab. (d) Die Skalenelastizität der Produktionsfunktion ist ɛ S (x 1, x 2 ) = ɛ 1 (x 1, x 2 ) + ɛ 2 (x 1, x 2 ) = α + β. Hieraus folgt, dass die Skalenerträge für > 1 global steigend α + β = 1 global konstant < 1 global fallend sind. Bemerke: Man kann das Ergebnis auch über die Charakterisierung der globalen Skalenerträge erhalten. Es gilt: f(t x 1, t x 2 ) = (t x 1 ) α (t x 2 ) β = t α x α 1 t β x β 2 = tα+β f(x 1, x 2 ). Hieraus folgt das gleiche Ergebnis wie oben, da z.b. t α+β > t für alle t > 1 genau dann gilt, wenn α + β > 1 ist. (e) Ja, wie oben gezeigt muss dafür α + β > 1 und zugleich α < 1 und β < 1 gelten. Dies ist z.b. dann der Fall, wenn 0.5 < α = β < 1 gilt. 2. Diese Produktionsfunktion verletzt die Annahme der Unverzichtbarkeit. In dem (hier ausgeschlossenen) Fall α = β = 1 würde es sich um ein Beispiel für perfekte Substitute handeln. (a) Die Grenzprodukte sind MP 1 (x 1, x 2 ) = αx α 1 1 und MP 2 (x 1, x 2 ) = βx β 1 2. Das Gesetz der abnehmenden Grenzprodukte gilt, da MP 11 (x 1, x 2 ) = MP 1(x 1, x 2 ) x 1 MP 22 (x 1, x 2 ) = MP 2(x 1, x 2 ) x 2 = (α 1)αx α 2 1 < 0 = (β 1)βx β 2 2 < 0. 2

für alle (x 1, x 2 ) > (0, 0) gilt. Die Grenzrate der technischen Substitution ist GRT (x 1, x 2 ) = MP 1(x 1, x 2 ) αxα 1 MP 2 (x 1, x 2 ) = 1. βx β 1 2 Der Absolutwert der Grenzrate der technischen Substitution ist fallend, da bei einer Bewegung entlang einer Indifferenzkurve mit steigendem x 1 der Zähler des Bruchs (das Grenzprodukt von Input 1) fällt und zugleich da x 2 fällt der Nenner des Bruchs (das Grenzprodukt von Input 2) steigt. Hinweis: Bei dieser Produktionsfunktion ist das Grenzprodukt eines Inputs unabhängig von der Einsatzmenge des anderen Inputs. Zusammen mit dem Gesetz der abnehmenden Grenzprodukte impliziert diese Eigenschaft, dass der Absolutwert der Grenzrate der technischen Substitution fallend ist. (b) Die Produktionselastizität von Input 1 ist ɛ 1 (x 1, x 2 ) = MP 1(x 1, x 2 ) AP 1 (x 1, x 2 ) = Genau entsprechend erhält man αx α 1 1 ( ) x α 1 + xβ 2 = αxα 1 /x 1 x α 1 +. xβ 2 Also ist die Skalenelastizität ɛ 2 (x 1, x 2 ) = βxβ 2 x α 1 +. xβ 2 ɛ S (x 1, x 2 ) = ɛ 1 (x 1, x 2 ) + ɛ 2 (x 1, x 2 ) = αxα 1 + βx β 2 x α 1 + xβ 2 Da α < 1 und β < 1 angenommen wurde, ist der Zähler in diesem Bruch für alle (x 1, x 2 ) > (0, 0) streng kleiner als der Nenner, so dass ɛ S (x 1, x 2 ) < 1 gilt. Also liegen global fallende Skalenerträge vor. 3. Aus der Aufgabenstellung lassen sich die Durchschnittsprodukte der Faktoren als AP 1 (3, 6) = 12 3 = 4 und AP 2(3, 6) = 12 6 = 2 entnehmen. Die Produktionselastizitäten betragen also ɛ 1 (3, 6) = MP 1(3, 6) AP 1 (3, 6) = 3 4 und ɛ 2(3, 6) = MP 2(3, 6) AP 2 (3, 6) = 1 2. Die Skalenelastizität beträgt also ɛ S (3, 6) = 3/4+1/2 = 5/4 > 1, so dass lokal steigende Skalenerträge vorliegen. 4. (a) Bei dieser Produktionsfunktion sind die Inputs perfekte Substitute. Da f(tx 1, tx 2 ) = 4tx 1 + tx 2 = t (4x 1 + x 2 ) = t f(x 1, x 2 ) gilt, besitzt diese Produktionsfunktion global konstante Skalenerträge. Insbesondere sind auch die Skalenerträge bei (x 1, x 2 ) = (1, 1) lokal konstant.. 3

(b) Dieser Produktionsfunktion kann man nicht unmittelbar ansehen, wie sich die Skalenerträge verhalten, so dass die Skalenelastizität zu bestimmen ist. Die Grenzprodukte der Inputs sind: Die Durchschnittsprodukte sind: 1 x 2 MP 1 (x 1, x 2 ) = (1 + x 1 ) 2 > 0 1 + x 2 MP 2 (x 1, x 2 ) = x 1 1 + x 1 1 (1 + x 2 ) 2 > 0. AP 1 (x 1, x 2 ) = 1 1 + x 1 x 2 1 + x 2 > 0 AP 2 (x 1, x 2 ) = x 1 1 + x 1 1 1 + x 2 > 0. Die Produktionselastizitäten sind damit: Also ist die Skalenelastizität: ɛ 1 (x 1, x 2 ) = MP 1(x 1, x 2 ) AP 1 (x 1, x 2 ) = 1 1 + x 1 > 0 ɛ 2 (x 1, x 2 ) = MP 2(x 1, x 2 ) AP 2 (x 1, x 2 ) = 1 1 + x 2 > 0. ɛ S (x 1, x 2 ) = ɛ 1 (x 1, x 2 ) + ɛ 2 (x 1, x 2 ) = 1 1 + x 1 + 1 1 + x 2. Damit gilt ɛ S (1, 1) = 1, so dass die Skalenerträge bei (x 1, x 2 ) = (1, 1) lokal konstant sind. Da die Skalenelastizität je nach Wert von (x 1, x 2 ) auch grösser oder kleiner als 1 ist, liegen keine global fallende, konstante oder steigende Skalenerträge vor. 5. Die hier zu betrachtende kurzfristige Produktionsfunktion ist f(x 1, x 2 ) = 1 10 x1 x2. Um die dazugehörige Kostenfunktion zu bestimmen, benötigt man die minimale Einsatzmenge x 1 (y, x 2 ) von Input 1, die erforderlich ist, um eine gegebene Ouputmenge y zu produzieren. Diese ergibt sich daraus, dass man die Gleichung y = f(x 1, x 2 ) nach x 1 auflöst: y = 1 x1 x2 x 1 = 100y2. 10 x 2 Die kurzfristige Kostenfunktion erhält man, indem man (i) die zur Produktion von y verwendeten Inputmengen mit dem jeweiligen Faktorpreis multipliziert (um so die Ausgaben für den jeweiligen Input zu ermitteln), und dann (ii) addiert. Also: c(w 1, w 2, y, x 2 ) = w 1 100y 2 x 2 + w 2 x 2. 6. Die hier zu betrachtenden kurzfristige Kostenfunktion, die mit C(y) bezeichnet sei, erhält man, indem man die angegebenen Parameterwerte in die Kostenfunktion aus der vorhergehenden Aufgabe einsetzt: C(y) = c(2, 50, y, 4) = 50y 2 + 200. 4

(a) Die Fixkosten betragen (b) Die variablen Kosten sind F C = C(0) = 200. V C(y) = 50y 2. (c) Die Grenzkostenfunktion sind MC(y) = 100y. (d) Die Durchschnittskosten sind (e) Die durchschnittliche Fixkosten sind AC(y) = 50y + 200 y. AF C(y) = 200 y. (f) Die durchschnittlichen variablen Kosten sind AV C(y) = 50y. Abbildung 1: Kostenverläufe zur Kostenfunktion C(y) = 200 + 50y 2. 7. Siehe Abbildung 2 für eine grafische Darstellung. 5

(a) Die Durchschnittskosten sind mit Ableitung AC(y) = y 2 20y + 220 AC (y) = 2y 20. Da die Ableitung der Durchschnittskosten für y < 10 negativ und für y > 10 positiv ist, verlaufen die Durchschnittskosten zunächst fallend und dann steigend sie sind also u-förmig. Das eindeutige Minimum der Durchschnittskosten liegt bei y = 10. Die Grenzkosten sind MC(y) = 3y 2 40y + 220 mit Ableitung MC (y) = 6y 40. Da die Ableitung der Grenzkosten für y < 40/6 negativ und für y > 40/6 positiv ist, verlaufen die Grenzkosten zunächst fallend und dann steigend sie sind also u-förmig. (b) Grenzkosten und Durchschnittskosten stimmen bei y = 0 und im Minimum der Durchschnittskosten, also bei y = 10, überein: AC(0) = MC(0) = 220, AC(10) = MC(10) = 120. Abbildung 2: Grenzkosten- und Durchschnittskostenfunktion der Kostenfunktion C(y) = y 3 20y 2 + 220y. 6

8. Siehe Abbildung 3. Abbildung 3: Die kostenminmierende Einsatzmenge von Input 1 fällt bei einem Anstieg der Outputmenge. Ursache ist, dass der Absolutwert der Grenzrate der technischen Substitution fallend in der Einsatzmenge des zweiten Inputs ist. 9. Es handelt sich um die Produktionsfunktion einer Technologie mit fixen Proportionen. Entsprechend zum Fall der perfekten Komplemente in der Nachfragetheorie braucht es hier keine Ableitungen, um die Lösung des Kostenminimierungsproblems zu bestimmen: Um y Einheiten Output zu produzieren, sind zumindest die Mengen x 1 = y und x 2 = 2y erforderlich, so dass die bedingten Faktornachfragefunktionen durch x 1(w 1, w 2, y) = y und x 2(w 1, w 2, y) = 2y gegeben sind. (Beachten Sie, dass die bedingten Faktornachfragen nicht von den Inputpreisen abhängen). Die Kostenfunktion ist durch gegeben. C(w 1, w 2, y) = w 1 x 1(w 1, w 2, y) + w 2 x 2(w 1, w 2, y) = [w 1 + 2w 2 ]y Hinweis: Die Kostenfunktion ist linear, da die Produktionsfunktion global konstante Skalenerträge aufweist. Die konstanten Durchschnitts- und Grenzkosten sind die Kosten eine Einheit zu produzieren, nämlich w 1 + 2w 2. 10. Die Produktionsfunktion ist der Spezialfall der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion aus Aufgabe 1 mit α = β = 1/2 und A = 1. (a) Für y > 0 lösen die Faktoreinsatzmengen (x 1, x 2) genau dann das Kostenminimierungsproblem, wenn 7 x 2 x 1 = w 1 w 2

und x 1 x 2 = y gilt. (Die erste Gleichung ist die Bedingung, dass die Grenzrate der Transformation gleich der Steigung der Isokostenlinie sein muss. Die zweite Gleichung besagt, dass die Faktoreinsatzmengen so gewählt sind, dass tatsächlich der Output y produziert wird). Aus der ersten dieser Gleichungen folgt x 2 = w 1 x 1/w 2. Setzt man dieses in die zweite Gleichung ein und löst nach x 1 auf, erhält man bedingte Faktornachfragefunktion des ersten Inputs, x w2 1(w 1, w 2, y) = y. w 1 Setzt man diese Lösung in die Gleichung x 2 = w 1 x 1/w 2 ein, erhält man die bedingte Faktornachfragefunktion des zweiten Inputs: x w1 2(w 1, w 2, y) = y. w 2 (b) Die langfristige Kostenfunktion ist allgemein durch c(w 1, w 2, y) = w 1 x 1(w 1, w 2, y) + w 2 x 2(w 1, w 2, y) gegeben. Im vorliegenden Fall gilt also: c(w 1, w 2, y) = 2 w 1 w 2 y Hinweis: Da die Produktionsfunktion global konstante Skalenerträge aufweist (Vgl. Aufgabe 1), ist die Kostenfunktion linear. Die konstanten Durchschnittsund Grenzkosten entsprechen den minimalen Kosten eine Einheit zu produzieren, nämlich 2 w 1 w 2. (c) Shepards Lemma besagt, dass die Ableitungen der lanfristigen Kostenfunktion nach den Faktorpreisen mit den bedingten Faktornachfragen übereinstimmt. Also sind die Ableitungen der Kostenfunktion nach den Faktorpreisen zu bestimmen: c(w 1, w 2, y) w 1 = c(w 1, w 2, y) w 2 = w2 y w 1 w1 y. w 2 So wie es in Shepards Lemma behauptet wird, sind die Ausdrücke auf der rechten Seite dieser Gleichungen gleich den zuvor bestimmten Faktornachfragefunktion der Inputs. (d) Da die Kostenfunktion linear ist, sind die Grenzkosten einfach zu bestimmen: c(w 1, w 2, y) y Das Grenzprodukt von Input 1 ist MP 1 (x 1, x 2 ) = 1 2 = 2 w 1 w 2. x2 x 1. 8

Setzt man für x 1 und x 2 die bedingten Faktornachfragen x 1(w 1, w 2, y) und x 2(w 1, w 2, y) ein, so erhält man MP 1 (x 1(w 1, w 2, y), x 2(w 1, w 2, y)) = 1 w1. 2 w 2 Also gilt w 1 MP 1 (x 1 (w 1, w 2, y), x 2 (w 1, w 2, y)) = 2 w 1 w 2 und damit der behauptete Zusammenhang. Das Ergebnis für den zweiten Input folgt auf dem gleichen Wege. 11. Es handelt sich um den Spezialfall der Produktionsfunktion aus Aufgabe 2 mit α = β = 1/2. (a) Eine innere Lösung des Kostenminimierungsproblems muss die Bedingungen x2 x1 = w 1 w 2 und x1 + x 2 = y erfüllen. Hieraus folgt, dass die bedingten Faktornachfragefunktionen durch x 1(w 1, w 2, y) = ( w2 ) 2 y 2, x 2(w 1, w 2, y) = ( w1 ) 2 y 2 gegeben sind. Die langfristige Kostenfunktion bestimmt sich damit als c(w 1, w 2, y) = w 1 x 1(w 1, w 2, y) + w 2 x 2(w 1, w 2, y) [ ( ) 2 ( ) ] 2 w2 w1 = w 1 w 2 = y 2. Hinweis: Hat man die Kostenfunktion einmal berechnet, kann man leicht erkennen, dass das Kostenminimierungsproblem für y > 0 keine Randlösung besitzen kann. In einer solchen müsste entweder x 1 = y 2 oder x 2 = y 2 gelten, so dass die resultierenden Kosten entweder w 1 y 2 oder w 2 y 2 wären. Beide dieser Ausdrücke sind aber streng grösser als die soeben bestimmten Kosten zur Produktion von y. (b) Die langfristigen Grenzkosten sind die Ableitung der langfristigen Kostenfunktion nach der Outputmenge. Also MC(y) = 2 w 1w 2 y. Die langfristigen Durchschnittskosten erhält man, indem man die Kosten durch die Outputmenge teilt. Also: AC(w 1, w 2, y) = w 1w 2 y. 9 y 2

Hinweis: Die Produktionsfunktion weist global fallende Skalenerträge auf (Vgl. Aufgabe 2), so dass die Durchschnittskosten streng steigend verlaufen und unterhalb der (ebenfalls streng steigenden) Grenzkosten liegen. 12. (a) Die kurzfristige Produktionsfunktion zu der langfristigen Produktionsfunktion f(x 1, x 2 ) = min{x 1, 0.5x 2 } bei x 2 = 20 ist f(x 1 ) = min{x 1, 10}. Beachte, dass es nicht möglich ist, mehr als 10 Einheiten des Outputs zu produzieren. Siehe Abbildung 4 für die grafische Darstellung. Abbildung 4: Die kurzfristige Produktionsfunktion f(x 1 ) = min{x 1, 10}. Einsatzmengen x 1 des variablen Faktors sind auf der horizontalen Achse dargestellt. Die resultierende Outputmenge y ist auf der vertikalen Achse dargestellt. (b) Die kurzfristige Kostenfunktion ist nur für y 10 definiert, da grössere Outputmengen kurzfristig nicht produziert werden können. Um y 10 zu produzieren, sind x 1(y, 20) = y Einheiten des ersten Inputs erforderlich, so dass die kurzfristige Kostenfunktion durch C k (y) = w 1 x 1(y) + w 2 x 2 = 30 + 12y gegeben ist. Die entsprechende langfristige Kostenfunktion ist (Vgl. die Lösung zu Aufgabe 9) C l (y) = 15y. Siehe auch Abbildung 5. 13. (a) Für die Kostenfunktion C(y) = 100 + 2y 2 sind die Grenzkosten durch MC(y) = 4y gegeben und daher streng steigend. Da zudem MC(0) = 0 gilt, ist die eindeutige Lösung des Gewinnmaximierungsproblems für alle p > 0 durch die Bedingung 10

Abbildung 5: Die kurzfristige Kostenfunktion C k (y) = 30 + 12y, die nur für y 10 definiert ist, und die langfristige Kostenfunktion C l (y) = 15y. erster Ordnung p = MC(y ) = 4y gegeben. Löst man diese Bedingung nach y auf, erhält man die gewinnmaximierende Outputmenge y = p/4 und damit die Angebotsfunktion: s(p) = p 4. (b) Für die Kostenfunktion C(y) = y + 0.1y 2 sind die Grenzkosten durch MC(y) = 1 + 0.2y gegeben und verlaufen streng steigend mit C (0) = 1. Für p 1 wird das Gewinnmaximierungsproblem also durch y = 0 gelöst. Für p > 1 ist die Lösung des Gewinnmaximierungsproblems durch die Lösung der Gleichung p = MC(y ) = 1 + 0.2y gegeben. Für solche p gilt also y = 5 (p 1). Die Angebotsfunktion ist also s(p) = max{0, 5(p 1)}. (c) Wie bereits in Aufgabe 7 gezeigt, verlaufen die Durchschnittskosten und Grenzkosten der Kostenfunktion C(y) = y 3 20y 2 +220y u-förmig, wobei das Minimum der Durchschnittskosten bei ŷ = 10 angenommen wird und 120 beträgt. Da es hier keine Fixkosten gibt, entsprechen die Durchschnittskosten den durchschnittlichen variablen Kosten. Also ist für p < 120 die eindeutige Lösung des Gewinnmaximierungsproblems durch y = 0 gegeben. Für p = 120 sind sowohl y = 0 als auch y = 10 Lösungen des Gewinnmaximierungsproblems. Für p > 120 ist die eindeutige Lösung des Gewinnmaximierungsproblems durch die Bedingung p = MC(y ) und y > 10 11

gegeben, d.h. die inverse Angebotsfunktion ist für y > 10 durch p(y) = MC(y) = 3y 2 40y + 220 gegeben. Um die eigentliche Angebotsfunktion für p > 120 zu bestimmen, ist die quadratische Gleichung nach y aufzulösen. Dieses ergibt p = 3y 2 40y + 220 y = 1 3 [ 20 + ] 3p 260. (Zur Kontrolle der Rechnung kann man überprüfen, dass man für p = 120 das Ergebnis y = 10 erhält und y für p > 120 streng steigend in p ist.) Zusammenfassend ist die Angebotsfunktion also durch { 0 für p 120 gegeben. s(p) = 1 3 [ 20 + 3p 260 ] für p 120 (d) Für die Kostenfunktion C(y) = 25y sind die Grenzkosten konstant gleich 25. Also besitzt das Gewinnmaximierungsproblem nur für p 25 eine Lösung: Für p < 25 ist die eindeutige Lösung y = 0. Für p = 25 löst jede Menge das Gewinnmaximierungsproblem. Eine Angebotsfunktion ist hier nur für p < 25 definiert; man sagt aber, dass das Angebot bei p = 25 unendlich elastisch ist. (e) Für die Kostenfunktion C(y) = 2 y verlaufen die Grenzkosten MC(y) = 1/ y streng fallend, so dass allenfalls y = 0 als eine Lösung des Gewinnmaximierungsproblems in Betracht kommt. Dieses kann nur dann der Fall sein, wenn min AV C(y) p erfüllt ist. Da die durchschnittlichen variablen Kosten (die hier gleich den Durchschnittskosten sind) streng fallend mit 2 lim AV C(y) = lim = 0 y y y sind, gilt hier min AV C(y) = 0, so dass es für kein p > 0 eine Lösung des Gewinnmaximierungsproblems gibt. 1 14. Die langfristige Kostenfunktion und die Faktornachfragefunktionen wurden bereits in Aufgabe 11 als c(w 1, w 2, y) = w 1w 2 y 2 und x 1(w 1, w 2, y) = x 2(w 1, w 2, y) = ( w2 ) 2 y 2, ) 2 y 2 ( w1 bestimmt. 1 Für diejenigen, die mehr Wert auf mathematische Präzision legen, als es in diese Vorlesung üblich ist, sollten das Minimum der Durchschnittskosten durch das Infimum der Durchschnittskosten ersetzen. 12

(a) Setzt man (w 1, w 2 ) = (1, 1) in die obige Kostenfunktion ein, erhält man die langfrstige Kostenfunktion C l (y) = y 2 /2 mit Grenzkostenfunktion MC l (y) = y. Die langfristige Angebotsfunktion ist also s l (p) = p. (b) Bei p produziert das Unternehmen 4 Einheiten Output. Hierfür wird es die kostenminimierenden Faktoreinsatzmengen verwenden, die bei den Preisen (w 1, w 2 ) = (1, 1) durch x 1 = x 2 = 4 gegeben sind. (c) Die hier zu betrachtende kurzfristige Produktionsfunktion ist f(x 1, 4) = 2 + x 1. Um y 2 Einheiten zu produzieren, benötigt das Unternehmen also keine Einheiten des ersten Inputs. Für y > 2 benötigt es (y 2) 2 Einheiten des ersten Inputs. Damit ist die kurzfristige Kostenfunktion { C k (y) = 4 für y 2 4 + (y 2) 2 für y > 2. Für die kurzfristigen Grenzkosten gilt somit { MC k(y) 0 für y 2 = 2y 4 für y > 2. Da für die Produktion von bis zu zwei Outputeinheiten keine variablen Kosten anfallen und die Grenzkostenfunktion anschliessend streng steigend verläuft, wird das Unternehmen für p > 0 diejenige Menge anbieten, bei der Preis gleich Grenzkosten gilt. Also ist die kurzfristige Angebotsfunktion durch gegeben. s k (p) = p + 4 2 (d) Die beiden Angebotsfunktionen schneiden sich bei dem Preis p = 4. Für p < 4 ist das kurzfristige Angebot streng grösser als das langfristige Angebot; während für p > 4 das kurzfristige Angebot streng kleiner als das langfristige Angebot ist. Siehe auch Abbildung 6. 13

Abbildung 6: Kurzfristige und langfristige Angebotsfunktion zu Aufgabe 14. Beachte, dass hier (wie es üblich ist) der Preis auf der vertikalen Achse dargestellt ist, so dass die kurzfristige Angebotsfunktion steiler verläuft obgleich die Reaktion auf eine Preisänderung in der kurzen Frist weniger stark als in der langen Frist ist. 14