Prof. Dr. J. Dorfmeister und Tutoren Vorkurs Mathematik Intensiv TU München WS 06/07 Geraden, Ebenen und lineare Gleichungssysteme - Musterlösung. Gegeben seien die Gerade G und die Ebene E : G : x (0, 3, ) T + λ ( 4,, 3) T E : x x + x 3 (a) Geben Sie die Normalengleichung der Ebene E an, die durch G verläuft und auf der x x - Ebene senkrecht steht. (b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und E. (c) Zeigen Sie, dass G parallel zu E ist. (d) Geben Sie die Gleichung der Geraden h an, die durch Spiegelung von G an E entsteht. (a) n /... Normalenvektor der x -x -Ebene n i... Normalenvektor von E i E x -x -Ebene n n / < n, n / > 0 n 3 0 g E n ( 4,, 3) T < n, ( 4,, 3) T > 0 4n + n 0 wähle n 4 n n (, 4, 0) T (0, 3, ) E E : [x (0, 3, ) T ](, 4, 0) T < x (0, 3, ) T, (, 4, 0) T > 0 (b) aus E : x x + x 3 x + x x 3 () aus E : 0 x + 4(x 3) x 4x () () () : + x x 3 4x x 3 3x 0 x + x 6x + 0 4x + S : x (, 0, 0) T + x ( 4,, 3) T (, 0, 0) T + σ( 4,, 3) T σ R (c) G E ( 4,, 3) T n < ( 4,, 3) T, n > 0 }{{}}{{} G E G E < ( 4,, 3) T, n >< ( 4,, 3) T, (, 4, 0) T > 4 + 4 + 3 0 0 G E G E (0, 3, ) / E in E : 0 3 + ( ) 6 (0, 3, ) / E (d) G E Spiegelt P(0, 3, ) an E und behalte Richtungsvektor bei Gerade A durch (0, 3, ) E : A: x (0, 3, ) T + λ n (0, 3, ) T + λ(,, ) T λ R A E : aus A: (x, x, x 3 ) T (λ, 3 λ, + λ) T in E : λ (3 λ) + ( + λ) 9λ 6 λ S(,, ) (p p) (s p) s p p s p + p s p (,, ) T (0, 3, ) T (4,, 3) T h : x p + σ( 4,, 3) T (4,, 3) T + σ( 4,, 3) T σ R. Die Gerade g : x 6 + λ ; 0 λ R sowie der Punkt S 3 (0, 0, 3) liegen in der Ebene E 3. E 3 schneidet die x -Achse in S und die x -Achse in S.
(a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E 3. (b) Zeichnen Sie eine Skizze der Geraden g und des Dreiecks S S S 3. (c) Eine Kugel hat ihren Mittelpunkt im Ursprung und berührt E 3. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Kugel. Die Gerade g schneidet die Strecke S S 3 im Punkt P. In welchem Verhältnis teilt P diese Strecke? (a) Richtungsvektoren von E 3 u (,, 0) T ; u (0, 0, 3) T (6,, ) T ( 6,, ) T u (3,, ) n u, u < n, u > n + n 0 n n () < n, u > 3n + n n 3 0 () 0 4n n 3 wähle n 3 4 n n n (,, 4) T E 3 : x + x + 4x 3 σ; σ? S 3 einsetzten: σ 4 3 E 3 : x + x + 4x 3 (b) x -Achse: x x 3 0 ine x S (, 0, 0) T x -Achse: x x 3 0 ine x S (0,, 0) T (c) Gerade durch 0, h E 3 : h : x (0, 0, 0) T + µ(,, 4) T µ(,, 4) T ; µ R Schnittpunkt H 3 von h mit E 3 : aus h: (x, x, x 3 ) T µ(,, 4) T in E 3 : 8µ µ 3 H 3( 3, 3, 8 3 ) h 3 < h 3, h 3 > ( 3 ) + ( 8 3 ) 8, 83 Kugelgleichungen: [x m] r x 8 x + x + x 3 S S 3 in x -x 3 -Ebene x 0 in g einsetzten: 0 6 λ λ 6 P (0, 8, ) m: Mittelpunktsvektor d(s,p) d(s s p,p) s <s p,s p> 0 +4 +( ) p <s p,s 7 p> 0 +( 8) + 7 3. Sei G die Gerade durch den Punkt (0,, 3) T mit Richtungsvektor r (, 0, 0) T. Sei G die Gerade durch (, 3, ) T mit Richtungsvektor r (0,, ) T. Bestimmen Sie diejenigen Punkte y G und y G, für die der Abstand d(y, y ) minimal ist. (Tipp: Das Vektorprodukt r r ist nützlich) G : x (0,, 3) T + λ(, 0, 0) T ; λ R G : x (, 3, ) T + σ(0,, ) T ; σ R H sei Gerade G ; G : r 3 r ; r wähle r 3 r r (0,, ) T H schneidet G :S (λ 3) H : x (λ,, 3) T + ω(0,, ) T ; ω R
H schneidet G :S ( 3 + σ + σ ) H G : (, 3 + σ, + σ ) T (λ,, 3) T + ω (0,, ) T I. λ II. 3 + σ ω σ (ω + ) () III. + σ 3 + ω σ ω + () ()(): ω + ω ω, σ 0, S ( 3); S (,, ) d S S,, 4. Zeigen Sie unter Verwendung von Vektorrechnung: Ein Parallelogramm ist ein Rechteck genau dann, wenn seine beiden Diagonalen gleich lang sind. z.z.: d d < s i, s j > 0 (s i : Vektoren der Seiten) " " s d d s d + d < s, s >< d d, d + d > 4 [< d, d > + < d, d > < d, d > < d, d >] 4 [ d d ] d d 0 andere Seite analog " " < s, s > 4 [ d d ] 0 d d d d. Zeigen Sie unter Verwendung von Vektorrechnung: Die Seiten eines Parallelogramms sind gleich lang, genau dann, wenn seine beiden Diagonalen zueinander orthogonal sind. z.z. s i s j < d, d > 0 " " s d d < d d, d d > 4 (< d, d > < d, d > < d, d > + < d, d >) 4 ( d < d, d > + d ) s d + d 4 ( d + < d, d > + d ) s s 4 ( d < d, d > + d ) 4 ( d + < d, d > + d ) 3
< d, d > < d, d > < d, d > 0 " " s 4 d < d, d > + d ) <d,d>0 s 4 d + < d, d > + d ) <d,d>0 s s (andere Seite analog) d + d d + d 6. Der Chinese Xu Yue stellte gegen 90 n. Chr. das folgende Problem: Wieviele Hähne, Hennen und Kücken kann man für 00 Münzen kaufen, wenn man insgesamt 00 Tiere haben will und ein Hahn Münzen, eine Henne 4 Münzen und 4 Kücken eine Münze kosten? Die 00 Münzen sollen hierbei vollständig verbraucht werden. x...hahn( Münzen) y...henne(4 Münzen) z...küken(4 KükenMünze beachte z mod 4 0) I. x + y + z 00 z 00 x y () II. x + 4y + 4 z 00 0x + 6y + z 400 () 9x + y + 00 400 y 9 x + 0 x 0; x möglich y 0; y z 80; z 84 L {(0 0 80); ( 84)} 7. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von k die Schnittmenge der Ebene E : 3y + z mit der Gerade G : x (,, 0) T + t (k,, ) T, t R. x (x, y, z) T (,, 0) T + t (k,, ) T ; t R in E:3( + t) + (0 + t) t G E {x; x ( + 0, 4k;, 4; 0, 8) T ; k R} 8. Sei P (, 0, ) ein Punkt und E : x + y z 0 eine Ebene. (a) Geben sie die Gleichung derjenigen Ebene an, die durch P geht und zu E parallel ist. (b) Bestimmen Sie die Geradengleichungen für die gemeinsame Senkrechte, die durch P läuft. E : x + y z 0 Normalenvektor:n (,, ) T eine parallele Ebene hat denselben Normalenverktor E p : x + y z σ; σ R, σ? setze P ein: + 0 σ E p : x + y z n E g : x (, 0, ) T + λ (,, ) T ; λ R 9. Man suche den geometrischen Ort aller Punkte, deren Abstände von den Geraden G : 3x + y 0 und G : 6x + 0y 3 0 sich wie : verhalten. Man bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes und den Schnittwinkel von G und G und stelle die Gleichung der inneren Winkelhalbierenden auf. n i...normalenvektor zu G i u i...richtungsvektor zu G i G : n (3, ) T wähle u (, 3) T G : n (3, ) T wähle u (, 8) T sin α d c sin β d c sin β sin α cos β cos α 0 3 + cos β 4 cos α cos α <u,v> u v cos β <u,v> u v v 3v 34 v +v v 8v 89 v +v 0 3 + v 80vv+64v 89(v +v ) 4 v 30vv+9v 34(v +v ) 0 08v + 7960v v + 800v v 3980 800 v ± 3980 800 v 08 800 v 0, 494v ± 0, 7v 4
wähle v v a 0, 760; v b 4, 80 h : x s + ν (; 4, 8) T ; ν R h : x s + ν (; 0, 76) T ; ν R analog für sin α sin β: h : x s + ω (;, 766) T ; ω R h : x s + ω (; 9, 74) T ; ω R Schnittpunkt von G ; G : aus G : y 3 x in G : 0 6x + 0y 3 0x + x, y, 9 S(,, 9) innere Winkelhalbierende: w : x s + κ ( n n n n ) (, ;, 9) T + ζ(0, 333; 0, 37) T ; κ; ζ R 0. Sei C der Kreis mit Zentrum O(0, 0) und Radius. (a) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts P von C mit der Gerade G : y x, sowie die Koordinaten seines symmetrischen Bildes M bezüglich der x Achse. (b) Die Tangenten an C an den Punkten P und M treffen sich in einem Punkt N. Berechnen Sie die Koordninaten von N und vergleichen Sie die Winkel [OP, OM] und [NP, NM] (c) Liegen O, M, N und P auf einem Kreis? Wenn ja, bestimmen Sie die Zentrumskoordinaten und den Radius. C {(x, y) x + y } (a) x > 0 x + y y x x + x 4 x 4 x P y P P ( ) M( )
(b) P;M Spiegelung an der x-achse y N 0 Tangente in P: m t m y x P einsetzen: ( ) + n t n t 0 x N + x N N( 0) t : y x + P OM α tan α m y x α 6, 7 P OM 3, 4 MNP 80 P OM 6, 86 P OM < MNP (c) Kreis: (x y) + (y b) r (P;M;N;O einsetzten) I. ( a) + ( b) r II. ( a) + ( b) r III. ( a) + b r IV. a + b r III.-IV.: 0 ( a) a 4 a a a () I.-II.: 0 ( b) ( b) 4 b b 0 () () und () in IV.: 6 r Überprüfen der Gleichungen: okay (x 4 ) + y 6 ; Z( 4 0); r 4 6