Übung zur Vorlesung Statistik I WS 2013-2014 Übungsblatt 12 20. Januar 2014 Die folgenden ufgaben sind aus ehemaligen Klausuren! ufgabe 38.1 (1 Punkt: In einer Studie werden 10 Patienten therapiert. Die Heilungswahrscheinlichkeit sei 50%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die letzten drei Patienten alle geheilt werden? mindestens zwei der letzten drei Patienten geheilt werden? der erste, der letzte und von den übrigen weitere 3 geheilt werden?
1 8 1 1 4( 8 3 8 + 3 1 8 = 4 8 = 1 2 ) 1 256 = 7 128 ufgabe 38.2 (1 Punkte): eschreiben Sie mit Hilfe eines Laplace Wahrscheinlichkeitsraums das dreimalige Werfen einer unverfälschten Münze. Geben Sie die Elemente dieses Raums und die Wahrscheinlichkeit für jedes Element explizit an. Obiges Experiment werde beschrieben durch drei unabhängige Zufallsvariablen X i, i = 1, 2, 3, jeweils mit X i = 1 für Zahl und X i = +1 für Kopf beim i-ten Wurf. Wie lautet die ildmenge und Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsvariable S = X1 + X2 + X3. 1 stehe für Kopf und 1 für Zahl. Ω = {(1, 1, 1), ( 1, 1, 1), (1, 1, 1), ( 1, 1, 1), (1, 1, 1), ( 1, 1, 1)(1, 1, 1), ( 1, 1, 1)} Da Ω Laplace Raum ist, hat jedes Element von Ω die Wahrscheinlichkeit 1 Ω = 1 8.
ildmenge: = {3, 1, 1, 3}. P(3) = 1 8 P(1) = 3 8 P( 1) = 3 8 P( 3) = 1 8 ufgabe 38.3 (1 Punkt): Die Wahrscheinlichkeit, beim Wurf eines fairen Würfels eine 1 zu würfeln, ist 1. In drei Versuchen würfelt man genau zweimal eine 1. Wie 6 wahrscheinlich ist es, dass man beim ersten mal eine 1 gewürfelt hat? Wie wahrscheinlich ist es, dass man beim ersten mal eine 1 gewürfelt hat, wenn bekannt ist, dass man beim dritten mal eine 1 gewürfelt hat?
: Unter den drei Würfen befinden sich genau 2 mal die 1. : Der erste Wurf ist eine 1. Gefragt ist nach der bedingten Wahrscheinlichkeit P( ) = P( ) P() Durch bzählen der Elementarereignisse im zugehörigen Laplaceraum erhält man: P( ) = 5 108 und P() = 15 216. Daraus folgt P( ) P( ) = = 2 P() 3. Jetzt definiert man: : Unter den drei Würfen befinden sich genau 2 mal die 1 und der dritte Wurf ist eine 1. : Der erste Wurf ist eine 1. Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit: P( ) = P( ) P() Es gilt und Daraus folgt P( ) = 5 216 P( ) = P() = 10 216. P( ) P() = 1 2. ufgabe 38.4 (1 Punkt):
Eine Zufallsvariable X hat Erwartungswert 3 und Varianz 9. estimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Streuung (Standardabweichung) der Zufallsvariablen 3 X + 3. Eine Zufallsvariable Y nimmt nur die Werte 0 und 1 an. Y hat Erwartungswert 0.2. erechnen Sie Varianz und Streuung von Y. E(3 X + 3) = 3E(X) + 3 = 12 Var(3 X + 3) = Var(3 X) = 9 Var(X) = 81 σ(3 X + 3) = Var(3 X + 3) = 9 Y ist binomialverteilt mit einer Versuchswiederholung. Damit gilt ganz allgemein E(Y ) = p, und Var(Y ) = p(1 p) σ(y ) = p(1 p). us p = 0.2 folgt damit Var(Y ) = 0.2 0.8 = 0.16 und σ(y ) = 0.4. ufgabe 38.5 (1 Punkt): Eine Zufallsvariable X habe Erwartungswert 3 und Standardabweichung 4. Eine Zufallsvariable Y habe Erwartungswert 4 und Standardabweichung 3. ngenommen die Zufallsvariable X + Y habe Erwartungswert 7 und Standardabweichung 5 Erwartungswert 7 und Standardabweichung 7 Erwartungswert 7 und Standardabweichung 9.
Geben Sie für jeden der drei Fälle an, ob die beiden Zufallsvariablen unabhängig sein können (mit egründung). Sind X und Y unabhängig, dann gilt Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) = 9 + 16 = 25. Die Standardabweichung von X + Y muss also 5 sein. Damit können nur in X und Y unabhängig sein. ufgabe 38.6 (1 Punkt): Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Zufallsexperiment das Ereignis X < 5 zu erhalten, sei 0.05, die Wahrscheinlichkeit X > 5 zu erhalten sei ebenfalls 0.05. Kann die Zufallsvariable mit einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung verteilt sein? (egründung!) Nein! Da und damit 1 = P(X < 5) + P(X = 5) + P(X > 5) P(X = 5) = 0.9 gilt, macht die Verteilungsfunktion bei 5 einen Sprung der Höhe 0.9. Sie ist damit nicht stetig. ei stetigen Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit einzelner Punkte immer 0. ufgabe 38.7 (1 Punkt): Die Funktion f ist stetig, symmetrisch zur y- chse und größer gleich Null. Es gilt für f: Das Integral von bis 3 ist
0.2 und das Integral von 3 bis +3 ist 0.6. Kann f eine Dichtefunktion sein? egründen Sie Ihre ntwort. Ja! Da das Integral von 3 bis wegen der Symmetrie von f auch 0.2 sein muss, ist das Integral von f über die gesamte reelle chse gleich 1. ufgabe 38.8 (1 Punkt): erechnen Sie für eine poissonverteilte Zufallsvariable X mit Erwartungswert λ die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass X 2 ist, wenn X 1 ist. P(X 2 X 1) = P(X 2 und X 1) P(X 1) = P(X 2) P(X 1) = 1 e λ λe λ 1 e λ. ufgabe 38.9 (1 Punkt): Es sei S die Summe zweier unabhängiger poissonverteilter Zufallsvariablen mit Parameter λ 1 und λ 2. Man kann beweisen, dass dann S wieder poissonverteilt ist. erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass S = 0 ist. Seien X und Y unabhängig und poissonverteilt mit Erwartungswerten λ 1 und λ 2. P(X + Y = k) = k i=0 e λ 1 λi 1 λ k i i! e λ 2 2 (k i)!
= e (λ 1+λ 2 ) = e (λ 1+λ 2 ) k! = e (λ 1+λ 2 ) k! k i=0 k i=0 k i=0 λ i 1λ (k i) 2 i!(k i)! λ i 1λ (k i) 2 λ i 1λ (k i) 2 = e (λ 1+λ 2 ) (λ 1 + λ 2 ) k Im letzten Schritt wird die allgemeine inomische Formel (a + b) k = k i=0 k! ( ) k a i b k i i k! i!(k i)! ( ) k i angewandt. Das beweist, dass S = X + Y poissonverteilt mit Erwartungswert λ 1 + λ 2 ist. Demnach ist P(S = 0) = e (λ 1+λ 2 ). ufgabe 38.10 (1 Punkt): ls Normbereich bezeichnet man bei diagnostischen Tests diejenigen Messwerte, die dafür sprechen, dass der/die Getestete gesund ist (=negatives Testresultat). eurteilen Sie die folgenden ussagen: Wenn der Normbereich verkleinert wird, steigt die Spezifität. Richtig oder falsch? Wenn der Normbereich verkleinert wird, steigt die Sensitivität. Richtig oder falsch? (Es wird davon ausgegangen, dass durch die Änderung des Normbereichs sich für mindestens einen Kranken und mindestens einen Gesunden das Testergebnis ändert.) Falsch. Richtig. Folgt direkt aus den Definitionen von Sensitivität und Spezifität. ufgabe 38.11 (1 Punkt): ei einem Patienten verlief ein klinischer Test positiv. Sollte es den Patienten eher beunruhigen, wenn er erfährt, dass die
Sensitivität des Tests niedrig ist oder wenn er erfährt, dass die Spezifität des Tests niedrig ist? Irgendwie ist zwar alles in der Medizin beunruhigend, aber wenn die Spezifität des Tests gering ist, dann ist auch der positive prädiktive Wert eher klein. D.h. ein positiver Test bedeutet nur mit mäßiger Wahrscheinlichkeit, dass der Patient auch wirklich krank ist. Es besteht also noch eine gewisse Hoffnung!. ufgabe 38.12 (1 Punkt): Füllen Sie die vier Lücken aus. Ein Fehler erster rt wurde begangen, wenn die Nullhypothese aber nach der Studie die lternative wurde. Ein Fehler zweiter rt wurde begangen, wenn die Nullhypothese aber nach der Studie die lternative wurde. war, Ein Fehler erster rt wurde begangen, wenn die Nullhypothese wahr war, aber nach der Studie die lternative angenommen wurde. Ein Fehler zweiter rt wurde begangen, wenn die Nullhypothese falsch war, aber nach der Studie die lternative nicht angenommen wurde. ufgabe 38.13 (1 Punkt): Verifizieren Sie die folgenden ussagen: war, Die Power einer Studie steigt, wenn bei sonst gleichen Rahmenbedingungen die Fallzahl verdoppelt wird. Richtig/falsch? Die Power einer Studie steigt, wenn bei sonst gleichen Rahmenbedingungen das Signifikanzniveau verdoppelt wird. Richtig/falsch? Die Power einer Studie steigt, wenn bei sonst gleichen Rahmenbedingungen der wahre Effekt verdoppelt wird. Richtig/falsch? Richtig. Richtig. Richtig.
ufgabe 38.14 (1 Punkt): Ziel einer Studie ist die Senkung des lutdrucks. Die Patienten werden zufällig auf zwei Medikamente und verteilt. Der lutdruck wird unmittelbar vor eginn der Studie und nach drei Wochen Therapie gemessen. Die Werte werden stetig gemessen und sind normalverteilt. Dasselbe gilt für Differenzen der Werte. Mit welchem statistischen Test bzw. welcher statistischen Methode wird geprüft, D E ob sich die beiden Gruppen am nfang unterschieden, ob die Werte am Ende der Studie für die Patienten insgesamt unterschiedlich zu den Werten am nfang der Studie waren, ob sich die beiden Gruppen am Ende unterschieden, ob die Differenz Messung nach drei Monaten minus nfangswert in den Gruppen unterschiedlich war, ob ein Zusammenhang zwischen den Werten am nfang und am Ende besteht? D E t-test für unabhängige Stichproben. t-test für abhängige Stichproben. t-test für unabhängige Stichproben. t-test für unabhängige Stichproben. Korrelations- und Regresionsanalyse. ufgabe 38.15 (1 Punkt): Die Prüfgröße des hi-quadrat Tests lautet: X = Zellen (eobachtete Häufigkeit - Erwartete Häufigkeit) 2 Erwartete Häufigkeit In einer Studie kam es zu folgenden Ergebnissen: krank gesund gesamt Therapie 40 60 100 Therapie 110 90 200 War das Ergebnis auf dem 5% Niveau (zweiseitig) signifikant? (Kritischer Wert: 3.84) X = 6, also signifikant auf dem Niveau 5%. ufgabe 38.16 (1 Punkt):
Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit Varianz σ 2 1 bzw. σ 2 2. erechnen Sie die Varianz von X Y und X + Y. X werde in m (Meter) und Y in kg gemessen. Welche Einheiten tragen die ov(x, Y ), die Pearson Korrelation und die Spearman Korrelation von X und Y? Var(X Y ) = ov(x Y, X Y ) = Var(X) ov(x, Y ) ov(y, X)+Var( Y ) = σ 2 1+σ 2 2 und Var(X+Y ) = ov(x+y, X+Y ) = Var(X)+ov(X, Y )+ov(y, X)+Var(Y ) = σ 2 1+σ 2 2 Die Kovarianz wird in mkg gemessen. Die beiden Korrelationskoeffizienten sind dimensionslos. Schicken Sie Ihre Lösung bis spätestens Sonntag, den 26.1.2014 direkt an Ihre(n) Tutor(in): franzime@zedat.fu-berlin.de (Franziska Metge). Konrad.Neumann@charite.de (Konrad Neumann) r3p10id0@zedat.fu-berlin.de (Ivo Parchero)