zentrale Augabe der statistischen echanik: estimmung von oltzmanns Hypothese der gleichen a-priori Wahrscheinlichkeit: das mikrokanonische nsemble isoliertes ystem: ystem ist gegen die Umgebung abgeschirmt vorgegebene akroparameter:,, ikrokanonisches ( nsemble alle ikrozustände gleicher g nergie g sind gleich g wahrscheinlich ( q, p ( H( q, p 0 ( H( q, p tationarität! const. statt Funktion wieder nergieschale mit Dicke << p olumen der nergieschale: - ( ( C d qd p eispiel: ideales Gas z H Hqp, z (,, d qd p q b g pi mm i zz vorläuig C = z H / / a a d p m / H / ln ( ln( ( ( ln ( ln ( Grenzübergang 0: ( ( d ( lim lim D ( 0 d 0 Zustandsdichte
ntropie - mikrokanonisch k ln k statistische Deutung von : z Phasenraumvolumen Wahrscheinlichkeit k =.8066 0 - J/ kln kln d qd p z H k d qd p ln z k ln d qd p k ln ist die generierende Funktion des mikrokanonischen nsembles, alle thermodynamischen Größen lassen sich aus ihr ableiten. d (,, d d d durch ergleich g mit F H d (,, d pdp d F ; p ; H H,,, F als Funktion von (ih (siehe Formelsammlung: l k F ln F ln ; k p; H,, H ergleich mit xperiment zeigt, dass Wahl von gerechtertigt war.
mikroskopische rklärung von : (,, (,, (,, (,, zwei isolierte ysteme:,,,,, (,, (,, (,, (,, (,, (,, nergieaustausch erlaubt, wahrscheinlichste nergien der ysteme:, ~ / C / const. Gleichgewicht ~ / / C a ln ln C ~ ln ln Glih Gleichgewichtszustand ih = wahrscheinlichster hilih Zustand Phasenraumvolumen maximal a thermisches Gleichgewicht aximum von ln 0 ln F max ; HG J 0 ntwicklung um : ln ln ~ ln C Q P ln F c HG h ch 4 J F H G J ~ ~ exp
d a d,, d 0 ln ln d d d 0,, d d d,, ( (,, 0 Gleichgewichtsparameter : k ln k,,, 0. Hauptsatz: n einem e isolierten e ystem herrscht im Gleichgewicht überall dieselbe emperatur. (,, (,, isoliert (,, k ln (,, k ln (,, (,, (,, ontakt ( (,, k ln (,, k ln (,, isoliert (,, ntropie wächst an d 0 statistische Deutung des zweiten Hauptsatzes der Wärmelehre
estimmung der Dimension von k ür die ntropie gilt: / C m / wegen a / a / kln kln kln C m a / a emperatur: / PQ / ln k k, [J] k [] [] Dimension von k = [J/] estimmung des ormierungsaktors C :. ln muß dimensionslos sein z C d qd p C qp Dim. einer Wirkung Quantenmechanik: xp h (h... Planck sches Wirkungsquantum ormierung au inheitszelle im Phasenraum: C C' h
damit gilt ür die ntropie: k ln k ln / C' F m U k ln H Q P a / h W / F m kln C' kln a / kln H Q P h F m kln C' k ln a / k k ln H h / F 4m U ntropie des kln C' k ln P H h Q W / idealen Gases (ast P Q (!. ersuch a: verschiedene Gase, asse der eilchen sei gleich (,, (,, Anangsbedingung im thermischen Gleichgewicht: ; ; 0 F 4m ln ' ln H h kln C' k ln a UW ( 0 ( k C k / P Q nternung der rennwand: wir erwarten Durchmischung Unordnung steigt >0 UW UW ( 0 ( 0 c h ln 0 ischentropie k Ck a k a ln ' ln ln k U W
ersuch b: gleiches Gas in beiden ästen nternung der rennwand: wir erwarten keine makroskopische Änderung; = 0 (xtensivität der ntropie aber wie zuvor c ( 0 ( 0 k ln0 Ausdruck im ogarithmus muß größenunabhängig werden Ansatz: C' C k C k ln ' ln h! h ( 0 ( 0 F 4m k ln H h h Q / 4 5 P est der xtensivität: k ( a k a UW 0 ( 0 5 5 c h ln ln QP a U W QP UW 0 egründung des Faktors /!: korrekte oltzmann-abzählung n der klassischen echanik kann der Weg jedes eilchens eigentlich genau verolgt werden. Wir betrachten hier aber nur omentau- nahmen des ystems, über die gemittelt wird (nsemble. Wir wissen nicht, woher das ystem kam eilchen werden ununterscheidbar iz ijk i j k j k i iz jki ei eilchen gibt es! Permutationen mit selbem ikrozustand (iz. emerkung: in der Quanten-tatistischen echanik werden alle Faktoren im Grenzwert ür hohe emperatur ohne Zusatzannahmen abgeleitet werden können.
ntropie des idealen Gases: emperatur: (,, k ln / F 4m H h P Q k k, Druck: p k p k mit, (,, k ln 5 a a / U QP W / mk k h eilchendichte: n 5 n U W ackur-etrode-gleichung de roglie Wellenlänge eines eilchens mit k kin