Mathematik für Klasse 6/7 Prozentrechnen Teil : Grundlagen Trainingseinheiten zum Üben und Vertiefen Datei Nr. 055 Stand 2. August 207 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mathe-cd.schule
055 Prozentrechnung 2 Vorwort Die Anwendungen (Sachaufgaben) befinden sich im Text 0552. Inhalt Teil : Die Grundlagen Was bedeutet Prozent? Wie vergleicht man Daten richtig? 2 Umrechnungen in Prozent 5 Grundaufgabe : Berechnung des Prozentsatzes 9 4 Grundaufgabe 2: Berechnung des Prozentwertes 5 Grundaufgabe : Berechnung des Grundwertes 5 6 Verkettete Prozentaufgaben 8 Verhältnisgleiche Paare 9 7 Rechnen mit Prozentformeln 2 8. Promille 2 Lösungen der Aufgaben 4-29
055 Prozentrechnung Was bedeutet Prozent? Wie vergleicht man Daten richtig? Zwei Gruppenleiter unterhalten sich über ihre Tätigkeit. Klaus sagt: Ich habe unter meinen 20 Personen 4 Männer. Peter antwortet ihm: Bei mir ist der Anteil der Männer höher, denn ich habe unter meinen 25 Personen 6 Männer. Wir wollen diese Aussagen näher untersuchen. Das Problem liegt darin, dass die Gruppen verschieden groß sind. Zwar sind in Peters Gruppe (absolut gesehen) mehr Männer als bei Klaus. Doch weil die Gruppengrößen verschieden sind, kann man nicht ohne weiteres sagen, bei wem der Anteil der Männer größer ist. Statt Anteil sagt man vielleicht besser Bruchteil. Diese sind leicht auszurechnen: Bei Klaus bedeuten 4 Männer unter 20 Personen den Anteil 4 20. Bei Peter bedeuten 6 Männer unter 25 Personen den Anteil 6 25 Die Frage, welcher Bruchteil größer ist, heißt also: Welcher dieser Brüche ist größer? Grundsatz für alle Vergleiche ist: Die Bezugsgröße muss dieselbe Zahl sein. Die Bezugsgrößen (man sagt dazu auch Grundwert), also die Anzahlen der Personen, sind verschieden. Also muss man die Verhältnisse anpassen, das heißt auf eine gedachte gemeinsame Gruppengröße umrechnen. Die Gruppengröße steht im Nenner unserer Brüche. Wir erweitern also diese Brüche so, dass sie gleichnamig sind. Die Nenner 20 und 25 haben beispielsweise 00 als gemeinsames Vielfaches. Also erweitert man beide Brüche so, dass sie den Nenner 00 erhalten: Bei der Gruppe von Klaus erweitert man mit 5, Bei der Gruppe von Peter erweitert man mit 4. d.h. man multipliziert Zähler und Nenner mit 5. d.h. man multipliziert Zähler und Nenner mit. 4 5 70 6 4 64 20 5 00 25 4 00 Jetzt sieht man, dass bei unveränderten Anteilen die 00-Personengruppe von Klaus 70 Männer enthalten würde, bei Peter jedoch nur 64. Der Männer-Anteil ist bei Klaus also größer als bei Peter. Obwohl er absolut gesehen mehr Männer in der Gruppe hat, sind es relativ doch weniger. Wenn man 00 als Bezugsgröße verwendet, nennt man den Anteil Prozent. Dies kommt aus dem Lateinischen: pro centum heißt von hundert. Nun halten wir ganz ausführlich fest, was wir ermittelt haben: Bei Klaus sind 4 von 20 Personen Männer. Das entspricht anteilsmäßig 70 von 00 Personen, dazu sagt man 70% der Personen sind Männer. Bei Peter sind 6 von 20 Personen Männer. Das entspricht anteilsmäßig 64 von 00 Personen, dazu sagt man 64% der Personen sind Männer. Mit dem Begriff Prozent gibt man Anteile an, die sich auf die Standardgröße 00 beziehen.
055 Prozentrechnung 4 Weitere Beispiele: Teil von 00 Teilen sind Teil von 20 Teilen sind, und dazu sagt man Prozent: %. 00 5 = 00, dazu sagt man 5 Prozent: 5%. 20 Umgekehrt: 5 Prozent ( 5% ) bedeuten 00 5, also 5 von 00 oder von 20. 2,5% bedeuten 2,5 25 00 200 8 25% bedeuten 25, Also immer wenn man ein Viertel von etwas hat, sind es 25%, 00 4 z. B. 7 von 28, von 52 usw., was z. B. bei von 8 oder bei 2 von 6 Teilen usw. zutrifft. Noch einige Anwendungsbeispiele. a) Wie groß ist der Anteil der Brillenträger, wenn unter 2 Schülern 8 eine Brille tragen? Der Anteil beträgt 8 25 25% 2 4 00 b) Wie groß ist der Anteil der -Münzen in meinem Sparschwein, wenn sich darin unter 240 Münzen 0 -Münzen befinden? Der Anteil beträgt 0 0,5 2,5 2,5%. 240 8 4 00 c) Eine Lampe kostete 40. Dann wurde der Preis um 8 erhöht. Wieviel Prozent betrug die Preiserhöhung: 8 von 40 sind 8 des alten Preises. Umrechnen auf den Grundwert 00: 40 8 2 20 20% 40 0 00 d) In den meisten Aufgaben ist die Umrechnung in Hundertstel, also in Prozent nicht einfach. Etwa hier: Unter 5 Autos sind 5 weiße. Wieviel Prozent sind das? Der Anteil beträgt 5 % 5 Doch wie kommt man darauf? Das lernen wir im nächsten Abschnitt.
055 Prozentrechnung 5 2 Umrechnungen in Prozent Man kann Brüche so in Prozent umrechnen: Wieviel Prozent sind 2? 00% 50% 2 Wieviel Prozent sind 8? 00% 00 8 8 % 2,5% Erklärung: Prozent bedeutet 00. Also sind 00% 00. 00 Wenn man also z. B. 8 mit 00% multipliziert, hat man es im Grunde mit multipliziert. Man hat also am Wert nichts geändert. Nur die Schreibweise sieht anders aus. Wieviel Prozent sind? 00% 00 % %,% Wieviel Prozent sind 2? 2 00% 200 % 66 2% 66,7% Wieviel Prozent sind 5 6? 5 00% 500 % 250 % 8 % 8,% 6 6 Eine etwas andere Methode geht diesen Weg: Man rechnet zuerst den Bruch(teil) in eine Dezimalzahl um und multipliziert dann erst mit 00% Wieviel Prozent sind? 0, 0, 00%,% Wieviel Prozent sind 2? 2 0,666 0,666 00% 66,7% Wieviel Prozent sind 5 6? 5 0,8 0,8 00% 8,% 6 Wieviel Prozent sind 8? 0,75 0,75 00% 7,5% 8 Wieviel Prozent sind 8 5? 8 0,5 0,5 00% 5,% 5 Merke: Soll man den Bruch a b in Prozent umrechnen, dann multipliziert man mit 00% : a a 00% 00 a % b b b Oder man rechnet zuerst in eine Dezimalzahl d um: a b d d 00% 50 2 00 Einige Prozentzahlen zum Auswendig lernen 50% 25 25% 75 75% 20 20% 2 40 40% 4 00 % 2 66 2% 8 5 25 4 00 25% 4 00 2,5% 8 5 00 50% 7 40 40% usw. 2 5 00 7,5% 5 8 5 00 62,5%
055 Prozentrechnung 6 Übungsaufgaben () Gib die folgenden Anteile in Prozent an. a) 9 0 b) 7 20 c) 7 50 d) 24 25 e) 2 40 f) 4 g) 2 5 h) 8 45 i) 9 65 j) 90 24 (2) Gib die folgenden Dezimalzahlen in Prozent an. a) 0,4 b) 0, c) 0,005 d),74 e),9 () Rechne die folgenden Bruchteile zuerst in Dezimalzahlen um und dann in Prozent. Runde ggf. auf eine Dezimale. (Taschenrechner ist erlaubt) a) 5 b) 5 c) 4 24 d) 7 60 e) 4 0 (4) Wie viel Prozent entsprechen a) 50 von 200 b) 80 von 40 c) 0 von 000 d) 4 von 0 e) 9 m von 60 m f) 5 kg von 80 kg g) 2 von 60 h) 64 t von 80 t i) 59 von 20 j) 5 cm von 80 cm k) 4 m von 20 m l) von 27 (5) Welcher der beiden Anteile ist größer? Rechne in Prozent um und vergleiche dann. a) 4 von 5 bzw. 45 von 60 b) 9 von 2 bzw. 6 von 50 c) von 40 bzw. 45 von 0 d) 27 von 20 bzw. 54 von 20 (6) Schreibe als Bruch und kürze dann. a) 70% b) 80% c) 25% d) 2,5% e) 0,5% (7) Schreibe als Dezimalzahl: a) 6% b),5% c),25% d) 0,5% f) 22,5%
055 Prozentrechnung 7 Lösungen () Gib die folgenden Anteile in Prozent an. a) 9 90 0 00 d) 24 96 25 00 90% b) 7 5 5% c) 7 4 4% 20 00 96% e) 2 6 80 80% f) g) 2 220 240 5 00 00 40 20 00 50 00 240% h) 8 2 40 40% i) 9 60 65 5 00 45 5 00 25 265 4 00 00 265% 60% j) 90 5 525 75 75% 24 4 00 00 (2) Gib die folgenden Dezimalzahlen in Prozent an. a) 0,4 = 40% b) 0, = % c) 0,005 = 0,5% d),74 = 74% e),9 = 9% () Rechne die folgenden Bruchteile zuerst in Dezimalzahlen um und dann in Prozent. Runde ggf. auf eine Prozent-Dezimale. (Taschenrechner ist erlaubt) a) 5 c) 4 24,666 66,6% b) 5,792 79,2% d) 7 60 e) 4 0,775 77,5% 0 (4) Wie viel Prozent entsprechen a) 50 von 200 sind 50 25 25% 200 00 b) 80 von 40 sind 80 20 200 200% 40 0 00 c) 0 von 000 sind 0 % 000 00 d) 4 von 0 sind 4 40 40% 0 00 e) 9 m von 60 m sind 9 65 65% 60 20 00 0,7 7,%,8 8,% f) 5 kg von 80 kg sind 5 5:4,25,25 5 6,25 6,25% 80 80 : 4 20 20 5 00 oder so: 5 0,0625 0,0625 00% 6,25% 80 g) 2 von 60 sind 2 20 20% 60 5 00 h) 64 t von 80 t sind 64 8 80 80% 80 0 00 i) 59 von 20 sind 59 0,28 28,% 20 j) 5 cm von 80 cm sind 5 0,875 8,75% 80 6 k) 4 m von 20 m sind 4 7 0,28 28,% 20 60 l) von 27 sind 00 27 9 9 %,%
055 Prozentrechnung 8 (5) Welcher der beiden Anteile ist größer? Rechne in Prozent um und vergleiche dann. a) 4 von 5 sind 4 80% 5 45 von 60 sind 45 75% 60 4 b) 9 von 2 sind 9 75% 2 4 6 von 50 sind 6 72 50 00 72% c) von 40 sind 5,5 5,5 5 27,5 27,5% oder 0,275 27,5% 40 20 20 5 00 40 45 von 0 sind 45 9 0,409 40,9% 0 22 d) 27 von 20 sind 27 9 4,5 4,5 5 22,5 22,5% oder 27 0,225 22,5% 20 40 20 20 5 00 20 54 von 20 sind 54 0,269 26,9% 20 (6) Schreibe als Bruch und kürze dann. a) 70% 70 7 b) 80% = 80 8 4 00 0 00 0 5 c) 25% = 25 6 d) 2,5% = 2,5 25 00 5 e) 0,5% = 0,5 00 200 00 200 8!! (7) Schreibe als Dezimalzahl: a) 6% = 0,06 b),5% = 0,5 c),25% = 0,025 d) 0,5% = 0,005 f) 22,5% = 0,225
055 Prozentrechnung 9. Grundaufgabe : Berechnung des Prozentsatzes a) Klaus will sich ein Fahrrad kaufen. Der ausgeschilderte Preis beträgt 280. Er erhält vom Händler 42 Preisnachlass. Wie viel Prozent sind das? Lösung: Man berechnet den Bruchteil, den der Preisnachlass bezogen auf den ausgeschilderten Preis ausmacht: 42 6 5 p 5% 280 40 20 00 Der Bruch wird so umgeformt, dass Hundertstel entstehen. Ich habe dazu durch 7 und dann durch 2 gekürzt, und am Ende habe ich mit 5 erweitert. Und statt Hundertstel schreibt man Prozent. Brüche kann man aber auch in Dezimalzahlen umrechnen. Etwa mit einem Taschenrechner: 42 p 0,5 5%. 280 Wenn man weiß, dass hinter dem Komma Zehntel und 5 Hundertstel stehen oder anders gesagt 5 Hundertstel, dann weiß man, dass 0,5 genau 5 % sind. Man kann dabei erkennen, dass man einfach das Komma um 2 Stellen nach rechts verschieben muss und dann % dahinter schreibt. b) Wie viel Prozent sind 45 von 60? 45 75 Wir berechnen den Bruch p 75% 60 25 4 4 25 00 Hier habe ich zuerst durch 5 gekürzt und dann mit 25 auf Hundertstel erweitert. Mit einem Taschenrechner wird man aus dem Bruch eine Divisionsrechnung machen: 5 : 60 0,75, und dann rückt man das Komma um 2 Stellen nach rechts und erhält 75%. Beim Berechnen des Prozentsatzes mit dieser Methode, die als Formel so aussieht W p=, G erhält man stets einen Bruch bzw. mit dem Taschenrechner in der Regel eine Dezimalzahl. Die Multiplikation mit 00% (d. h. Verschiebung des Kommas um 2 Stellen nach rechts) erzeugt dann eine Prozentzahl. c) Wie viel Prozent sind 6 von 55? Ein Taschenrechner liefert: W 6 p 0,2 2257... 2,2% G 55 Die ersten beiden Dezimalen geben die Hundertstel an, also haben wir 2 Hundertstel, das sind 2 Prozent (und noch ein paar Zerquetschte ). Die Multiplikation mit 00 verschiebt das Komma um 2 Stellen nach rechts an die Stelle des Trennstriches. Dann muss man noch % dahinter schreiben. Im Grunde rechnet man also: 6 6 p 00% 55 55 Dies kann man als Formel auch so aufschreiben: p W 0% G 0
055 Prozentrechnung 0 Die folgenden Musterbeispiele werden auf 2 Arten gelöst: d) Wie viel Prozent sind 6 von 800? W W Mit der Formel p : bzw. mit p 00% : G G 6 W 6 p 0,04 5 4,5% p 00% 00 % 4,5% 800 G 800 Hier erhält man einen Bruch, den man in eine Dezimalzahl umrechnet und dann das Komma um 2 Stellen nach rechts verschiebt: Aus 0,045 wird 4,5%. Hier erhält man gleich die Prozentzahl. e) Wie viel Prozent sind 95,20 von 2,25? 95,2 p 0,77 24... 77,2% 2,25 W 95,2 p 00% 00% 77,2% G 2,25 f) Wie viel Prozent sind 54,2 von 48,5? MERKE: 54,2 p,2 2% 48,5 W 54,2 p 00% 00% 2% G 48,5 Hier ist der Prozentwert höher als der Grundwert, was natürlich mehr als 00% ergibt! % entsprechen = 0,0 00 2% entsprechen 2 = 00 50 = 0,02 5% entsprechen 5 = 0,05 00 20 0% entsprechen 0 = 00 0 = 0, 2,5 2,5% entsprechen 0,25 00 8 20% entsprechen 20 = 0,2 00 5 25% entsprechen 25 = 0,25 00 4 % entsprechen 50% entsprechen 50 = 00 2 = 0,5 75% entsprechen 75 = 00 4 = 0,75 00% entsprechen 00 =, also das Ganze ungeteilt. 00 Merke auch diese Begriffe: Die volle Menge, die 00% entspricht, heißt Grundmenge G. Der Wert, der dem Prozentsatz p entspricht, heißt Prozentwert W. 8 % von 75 sind 6 8 % ist der Prozentsatz p 75 ist der Grundwert G 6 ist der Prozentwert W
055 Prozentrechnung Aufgabe 8 (Lösungen Seite 24) Berechne die Prozentsätze zu diesen Daten im Kopf (als Bruch auf Hundertstel bringen): a) 24 von 50 b) 5 cm von 25 cm c) 5 von 4 d) 0 von 50 e) 25 m von 500 m f) 4 von 40 g) 9 kg von 75 kg h) 8 von 6 i) 5 L von 40 L Aufgabe 9 Berechne die Prozentsätze mit Taschenrechner a) von 9 b) 2, m von 57 m c) 5 von 4. Grundaufgabe 2: Berechnung des Prozentwertes. Methode: Berechnung mit einfachen Prozentsätzen im Kopf. Beispiele: 25% von 240 km sind 50% von 90 sind 75% von 40 Personen sind 20% von 5 sind % von 20 t sind 2,5% von 000 sind 40% von 250 sind 4 von 240 km, also 240km 60km. 4 2 von 90, also 90 95. 2 4 von 40, also 40 0 Personen. 4 5 von 5, also 5 7. 5 von 20 t, also 20 t 40 t. 8 von 000, also 000 25 8 2 5 von 250, also 2 250 00 5 Diese Übungen sollte man sicher und fix beherrschen. Dazu gehört, dass man die zu den Prozentzahlen gehörenden Brüche gelernt hat, und dass man diese einfachen Bruchrechnungen im Kopf machen kann. Aufgabe 0 (Lösungen Seite 24) Ich beginne mit einem Muster: 0% von 80 = 80 8 0 20% von 80 = 50% von 660 = 0% von 4 = 25% von 64 = 25% von 900 = 75% von 80 = 75% von 28 = % von 75 = % von 44 = 40% von 50 = 40% von 200 = 5% von 20 = 2% von 400 =
055 Prozentrechnung 2 Beispiele zu Rechnungen die auf Dezimalzahlen führen: a) 0% von 7 = 7,7 0 b) 0% von 5,24 = 5,24 0,524 0,52 (Komma verschieben) 0 c) 25% von 0 = 5 4 2 4 0 7,5 d) 25% von 7 7 7 : 4 9,25 e) 50% von 9 = 9 9 : 2 9,5 2 f) 50% von,7 =,7,7 : 2,85 (6 : 2 = 8!) 2 g) 5% von 4 = h) Wie viel sind 4 7 20 20 0 4,7 2 0% von 27, m? 2 2 2 = = 0 0% von 27, m 27, m 2,7 m i) j) 00 % von 2,5 t = 2,5 t = 0,025 t = 2,5 kg 0,9 60 4,5 60% von 4,5 km = 0 0 4,5 km = 5 km = 2,7 km oder so: 60% von 4,5 km = 0,6 4,5 km = 2,70 km e) 75% von 000 Personen = 000 4 750 Personen = 2250 Personen oder so: 75% von 000 Personen = 0, 75 0 00 P. = 75 0 P. = 2250 P. f) 9% von 5,4 sind,9 5,4 42,26 42, Bei Geldbeträgen wird man stets die. Dezimale durch Auf- oder Abrunden beseitigen! Aufgabe (wie eben gezeigt) (Lösungen Seite 25) 0% von 7 = 0% von 0,57 = 0% von 7 = 0% von 0,57 = 0% von 4,20 = 20% von 4 = 20% von 42,5 = 20% von 0,75 = 25% von 2 = 25% von 0 = 25% von 2,5 = 25% von 0,64 = 40% von 4 = 40% von = 50% von = 50% von,7 = 50% von 0,04 = 50% von 0,0 75% von 0 = 75% von = % von 0 = % von 2,46 =
055 Prozentrechnung 2. Methode: Berechnung des Prozentwertes ohne Taschenrechner Beispiele: Da man nicht immer einen Taschenrechner parat hat, sollte man in der Lage sein, nicht zu umfangreiche Berechnungen auch schriftlich durchführen zu können: 2% von 50 sind 6% von 25 sind 78% von 0 sind 2 50 6 00 2 6 25 9 00 4 78 0 0 0 24 0 2,4 Hier hilft mehrfaches Kürzen: Zuerst durch 50, dann noch durch 2! Ebenso hier: Zuerst durch 25 und dann durch 4 kürzen. Hier habe ich durch 0 gekürzt, dann mit multipliziert und schließlich durch 0 dividiert. Diesen Beispielen konnte man ansehen, dass man den Grundwert (50,25 oder 0) gegen die Hundertstel kürzen kann. Die folgenden Beispiele gestatten dies nicht mehr: 5% von 8 sind 6,0. Nebenrechnung: Nach der Multiplikation trennt man wie in 0,5 auch in 60 zwei Dezimalstellen ab. 0,5 8 280 60 % von 74,50 sind 2,25. Nebenrechnung: 74,5 0,0 2 25 Nach der Multiplikation trennt man insgesamt Dezimalstellen vom Ergebnis ab. Da es sich um handelt, sollte man dann noch runden, in diesem Falle aufrunden: 2,24 2,5% von 24 sind,000, also. Nebenrechnung: Hier sind am Ende noch Stellen abzustreichen! 0,25 24 250 500 000 Aufgaben 2 (Nebenrechnungen auf einem Blatt!) (Lösungen Seite 25) 24% von 5600 = % von 00 = 2,8% von 75 = 4% von 80 = 44% von 2,5 =,5% von 250 000 =,5% von 420 = 82% von 50.000 =,25% von 4 = % von 5 =
055 Prozentrechnung 4. Methode: Berechnung des Prozentwertes mit Taschenrechner Dies dürfte wohl am wenigsten Probleme bereiten, wenn man weiß, wie man den Prozentsatz in die geeignete Dezimalzahl umwandelt. Oftmals muss man am Ende noch runden, etwa wenn Tausendstel Euro entstehen. Beispiele: 97% von 267, sind 0,97 267, 259,28 259,28 4,65% von 20 sind 45,08 6,4% von 9,5 sind 6,478 24% von 26 sind,24 26 2,24 Wenn der Prozentsatz die Zahl 00 übersteigt, erhält man mehr als den Grundwert: 24% von......,24...! 24 00 Aufgaben (Runde wenn nötig) (Lösungen Seite 25) 70% von 82 =,5% von 52 = 8% von 0,9 = 5,2% von 7 = 6,2% von 56 = 4% von 7 = 55% von 55 = 05% von 58 = 28% von 520 = 0,45% von 80 = 2% von 65 kg = 42% von 80 kg = 0,06% von 27 = 0,29% von 5 kg =,5% von 25,86 = 4,8% von 8 = 29% von 48 = 9,5 % von 260 km =
055 Prozentrechnung 5 5. Grundaufgabe : Berechnung des Grundwerts Ich zeige drei verschiedene Methoden zur Berechnung. Bitte aussuchen!. Methode: Berechnung des Grundwerts durch Hochrechnung auf 00%. a) 25% Rabatt sind 20. Was war der ursprüngliche Preis? Der Grundwert ist immer der Ausgangszustand, also 00%. Durch Multiplikation mit 4 kommt man einerseits auf 00%, andererseits auf 80. 4 25% 00% Der Hintergrund ist die Proportionalität zwischen dem Prozentsatz und dem Prozentwert. W = 20 G = 80 4 Multipliziert man den Prozentsatz mit einer Zahl, muss man den Prozentwert mit derselben Zahl multiplizieren! Ergebnis: G = 80. b) 50% sind 2. Um den Grundwert zu bestimmen muss man auf 00% kommen. Dies gelingt durch Verdoppelung: 2 50% 00% W = 2 G = 46 Also ist G = 46. 2 c) 25% sind 4,50 m. Der Grundwert beträgt 8 m, das Vierfache. d) 0% sind 7,50. Der Grundwert ist dann das 0-fache: 75. e) 2,5% sind 5. 00% sind dann das 8-fache: G 85 40. f) % sind 2,50 kg. 00% sind das Dreifache: G = 7,50 kg. g) 20% sind 4 kg. 00% sind dann das Fünffache, also ist G 54kg 205 kg. Diese Methode liefert schnell den Grundwert, weil die hier gegebenen Prozentsätze Teiler von 00 sind.
055 Prozentrechnung 6 2. Methode: Berechnung des Grundwerts mittels Dreisatz a) 2% sind 50. % sind 50 2 00% sind 50 5000 00 250 2 2 Oder kürzer so: 00% sind 50 250 0,2 (Taschenrechner) b) 45% sind 5,75, % sind 5,75 45 00% sind 5,75 575 00 5 45 45 Oder so: 00% sind 5,75 5 0,45 c) 9% sind,2 % sind,2 9 00% sind,2 2 00 28 9 9 Oder so: 00% sind,2 28,9. Methode: Berechnung des Grundwerts als Divisionsaufgabe. In der Aufgabe Wie viel sind 2% von 250? haben wir in der Kurzlösung den Prozentwert durch eine Multiplikation mit dem Prozentsatz gefunden: 2% von 250 sind W pg 0,2250 50. Diesen Prozess sollte man grafisch darstellen: Grundwert 250 0,2 Prozentwert 50 Nun stelle ich die Aufgabe um und frage: 2% sind 50. Wie groß war der Grundwert? Grundwert 250 :0,2 Prozentwert 50 Zur Lösung kehrt man einfach die Aufgabe um und dividiert durch den Prozentsatz! Allgemein haben wir somit diese Prozesse zu berechnen: Grundwert Prozentwert p :p Prozentwert Grundwert
055 Prozentrechnung 7 Als Formeln: W G p und W G (p als Dezimalzahl ohne %) p Musterbeispiele: a) 2% sind 50. Also ist b) 45% sind 5,75, es folgt c) 94% sind 4, daher ist d) 9% sind,2, daher ist W 50 G 250 p 0,2 5,75 G 5 0,45 4 G 50 0,94,2 G 28,9 Aufgabe 4: Berechne den Grundwert (Lösung Seite 26) a) 8% sind 45 km b) 2% sind 44,6 c) 45% sind 57,60 d) 5,6% sind 68 e) 9% sind 5,58 f) 70% sind 6, kg. Aufgabe 5: Berechne den Grundwert (Lösung Seite 26) a) p = 4,5%, W = 50 b) p = 2%, W = 6,72 c) p = 5%, W =,06 d) p = 20,8%, W = 2,48 e) p = 90%, W = 8,9 f) p = 0,26% W = 7
055 Prozentrechnung 8 6 Verkettete Prozentaufgaben a) 8 % einer Menge sind 75 kg, wie viel sind 6 %? Es geht hier um zwei Zustände, die zum gleichen Grundwert gehören, den wir aber nicht kennen. Zum einen weiß man, dass 8% genau 75 kg sind. Zum anderen geht es um 6% und den zugehörenden unbekannten Prozentwert. Für diese einfache Aufgabe verwenden wir am besten diese. Lösungsmethode (Zweisatz) Diese bietet sich an, weil hier 6% gerade das Doppelte von 8% sind. Dann ist der zugehörige Prozentwert das Doppelte von 75 kg, also 50 kg. 2 8% 6% 75 kg 2 75 kg 50 kg 2 b) 8 % einer Menge sind 75 kg, wie viel sind 57 %? Da hier die Prozentsätze keine günstigen Vielfachen voneinander sind, muss man andere Methoden verwenden. 2. Lösungsmethode (Dreisatz) 8 % einer Menge sind 75 kg % sind dann der 8. Teil, also 75 kg. 8 57% sind dann das 57-fache davon, also 75 57 kg 27,50 kg 8. Lösungsmethode (Berechnung des Grundwerts als Brücke ) 8 % einer Menge sind 75 kg Der zugehörige Grundwerft ist dann W 75 G kg 46,67 kg p 0,8 Davon 57% sind dann: W pg 0,57 46,67 27,50 kg Hier habe ich zweimal statt = verwendet, denn ich habe zuerst mit dem gerundeten Wert 46,67 gerechnet und dann am Ende noch einmal gerundet. Genauer wird das Ergebnis, wenn man für G den exakten Bruch 75 verwendet: W pg 0,57 27,50 kg 0,8 Bei dieser Methode wird aus dem ersten Paar (8% und 75 kg) zuerst der Grundwert berechnet, und daraus dann der Prozentwert zu 57%. Der Grundwert stellt sozusagen eine Brücke vom einen Paar zum anderen dar. In der Schule wird noch eine ganz andere Methode gezeigt, die im Alltag wenig Verwendung findet, weil sie etwas abstrakt erscheint und Wissen voraussetzt:
055 Prozentrechnung 9 4. Lösungsmethode (Rechnen mit verhältnisgleichen Paaren) Wir kennen jetzt schon das Ergebnis, daher kann ich ganz einfach zeigen, worin diese Methode besteht. Es geht um die beiden Paare 8% 75 kg und 57% 27,50 kg, wobei 27,50 kg gesucht ist. Beide Paare gehören zum selben Grundwert. Das erkennt man, wenn man aus beiden Paaren unabhängig voneinander diesen Grundwert berechnet: Aus 8% 75 kg folgt: W 75 G kg 46,67kg p 0,8 Aus 57% 27,50 kg folgt: W 27,50 G kg 46,67 kg p 0,57 Das Entscheidende daran ist die Tatsache, dass die aus beiden Paaren gebildeten Brüche (man sagt auch Verhältnisse) gleich sind. Man sagt: Die Paare 8% 75 kg und 57% 27,50 kg sind verhältnisgleich. Mit diesem Wissen kann man die Lösungsmethode so zeigen: Gegeben ist das Paar Da beide verhältnisgleich sind gilt: Günstiger ist es sogar, wenn man aufschreibt: 8% 75 kg, und gesucht ist der Prozentwert W zum Paar 75 W. 0,8 0,57 75 W 8 57 Diese Gleichung löst man, indem man sie beidseitig mit 57 multipliziert: 75 57 W 27,50 (Taschenrechner) 8 57% W. c) 4% eines Betrages sind 86,6. Wie viel sind 9%? Lösung mit dem Dreisatz: 4% sind 86,6 % sind Lösung über den Grundwert: 86,6 4 9% sind dann 86,6 9 99,06 4 W 86,6 Zuerst berechnet man den Grundwert: G. p 0, 4 Den rechnet man noch nicht gleich aus, sondern berechnet weiter den gesuchten Prozentwert, 86,6 der zu 9% gehört: W pg0,9 99,06 0,4 Bevor man dies mit einem Taschenrechner bearbeitet, wird man günstigerweise 9 86,6 mit 00 erweitern, so dass die Rechnung lautet: W : 4 Lösung über verhältnisgleiche Paare: Die Paare 4% 86,6 und 9% W sind verhältnisgleich. Also gilt: 86,6 W 86,6 9 9 W 99,06 4 9 4
055 Prozentrechnung 20 d) 48% eines Betrages sind 45. Wie viel Prozent sind 88? Lösung mit dem Dreisatz: 45 sind 48% sind 88 sind 48 % 45 48 88 % 29,% 45 Lösung über den Grundwert: Zuerst berechnet man den Grundwert: Der Prozentsatz zu 88 ist daher W 45 G. p 0,48 W 88 88 0,48 p 0,29 29, % G 45 45 0, 48 Lösung über verhältnisgleiche Paare: Die Paare 48% 45 und p 88 sind verhältnisgleich, also gilt: 48% p 48% 88 88 p 29, % 45 88 45 Es wird empfohlen, die Einheiten, also % und in die Brüche zu schreiben. So wird klar, dass hier das Ergebnis bereits der Prozentsatz ist, während man bei der Lösung über den Grundwert eine Dezimalzahl erhält, die man erst durch Kommaverschiebung zur Prozentzahl machen muss. Aufgabe 6: Löse auf eine der gezeigten Arten. (Lösung Seite 26/27) a) 72% sind 8, wie viel sind 50%? b) % sind 64, wie viel sind 60%? c) 2% sind 4 km, wie viel sind 2%? d) 75% sind 20, wie viel sind 20%? e) 9% sind 65, wie viel % sind 50? f) 25% sind 8 m, wie viel % sind 200 m? g) 28% sind 7 L, wie viel % sind 0 L? Aufgabe 7: Prüfe nach, ob folgende Aussagen zusammenpassen. a) 2% sind 54 und 8% sind 8. b) 4% sind 7,44 m und 45% sind 96,2 m. c) 55% sind 9,60 kg und 65% sind 48.2 kg. (Lösung Seite 28)
055 Prozentrechnung 2 7 Rechnen mit Prozentformeln () Die Grundformel für Prozentsatzberechnung lautet Anwendungsbeispiel: W p (a) G Gegeben: W 0, G 50 Folgerung: 0 p 0,2 50 5 Zur Umrechnung in Prozent muss man in Hundertstel umformen. Dazu multipliziere ich mit 00%: p 0,2 00% 20% Dabei rückt das Komma um 2 Stellen nach rechts: 00 0,20 20 Man kann die Umrechnung auch gleich in die Formel einfügen, dann lautet sie so: p W 00% (b) G Anwendungsbeispiel: Gegeben: W 0, G 50 Folgerung: wobei ich zuerst durch 50 gekürzt habe. 0 p 00 50 0 2 % 20% Die Formel () liefert den Prozentsatz als Bruch oder Dezimalzahl, die man dann erst noch in Prozent umformen muss, z. B. durch Multiplikation mit 00. Die Formel (2) liefert gleich den Prozentsatz in der Angabe mit %. (2) Die Formel für den Prozentwert lautet: Anwendungsbeispiel: W pg (2a) Gegeben: G 50, p 20% Folgerung: 20% vom 50 sind W 0,20 50 0 Hinweis: In dieser Formel wird der Prozentsatz p als Dezimalzahl oder Bruch eingegeben. 20 Es ist 20% 0,20 oder = 0,2. 00 Die Rechnung W 0,2 50 2 5 0 funktioniert durch Dezimalausgleich: Ich verwende den Faktor 0 in 50 um aus 0,2 die Zahl 2 zu machen. Die Formel (2a) entsteht aus (a) durch Umstellen: Man multipliziert auf beiden Seiten mit G. Verwendet man die Formel (b), dann erhält man durch Umstellung: Anwendungsbeispiel: W p G (2b) 00% Gegeben: G 50, p 20% Folgerung: Jeder kann sich seine Methode aussuchen. 20% 2 W 50 5 0 0 00% 0
055 Prozentrechnung 22 () Die Formel für den Grundwert lautet: Anwendungsbeispiel: G W p (a) Gegeben: W = 50, p = 2 % (2% sind 50, wieviel sind 00%?) Folgerung: 50 5000 G 250 0,2 2 Hier muss p als Dezimalzahl eingesetzt werden, also 2% = 0,2. Man kann für p auch 2% einsetzen, dann aber muss man diese abgewandelte Formel verwenden; G W 00% p (b) Anwendungsbeispiel: Gegeben: W = 50, p = 2 % (2% sind 50, wieviel sind 00%?) Folgerung: Dabei wurde % herausgekürzt. Die Formel (b) wird kaum verwendet. 50 00% 5000 G 250 2% 2 Empfehlung: Wer mit Formeln arbeiten möchte, sollte diese Formeln verwenden: W p, W p G G und G W p und sollte dabei stets im Kopf haben, dass man für p eine Dezimalzahl verwendet, also das Prozentzeichen weglässt.
055 Prozentrechnung 2 8 Promille Zur Erinnerung: Bei der Prozentrechnung rechnet man die Anteile auf Hundertstel um: 4 Teile von 5 ergeben den Bruchteil 4 5. Durch Erweiterung erreicht man 4 20 80 80% 5 20 00 Oder man dividiert: 4:5 0,80 und verschiebt das Komma um 2 Stellen nach rechts, dann erhält man 80 den Prozentsatz: 0,80 80% 00 Bei sehr kleinen Teilverhältnissen ist die Prozentangabe eher ungünstig: Wie viel Prozent sind 20 mg Kalium in einer Medikamentenkapsel der Masse 5 g? 20 mg 20 mg 2 4 p 0,00 4 0,4% 5 g 5000 mg 500 000 Um solche kleinen Prozentangaben etwas anschaulicher zu machen, hat man Promille eingeführt. Dabei bezieht man sich auf Tausendstel. 4 p 4 liest man 4 Promill(e). 000 Beispiele a) Bei einer Polizeikontrolle wird einem Autofahrer eine Blutprobe entnommen. Sie ergab,8 Alkoholgehalt. Wie groß ist die Alkoholmenge. Lösung,8 von 6 L sind 6 L = 6000,8,8 000 000 Zur Erinnerung: Liter = dm = 000 cm cm = 0,8 cm b) Welche Menge wurde untersucht, wenn man festgestellt hat, dass mg des Wirkstoffes Celimbin in einem Medikament enthalten sind, was 2,5 entspricht? Lösung Hier sind der Promillesatz und der Promillewert gegeben, gesucht ist der Grundwert. W Aus p erhält man durch Umstellen G W mg 000 2.000 G mg mg 200 mg,2 g p 2,5 0 2,5 000 Hier musste man durch einen Bruch teilen, also mit seinem Kehrwert malnehmen, dann wurde mit 4 erweitert, was den Nenner 0 ergeben hat. Aufgabe 8: (Lösung Seite 29) a) Wie viele Promille sind 2 mg bezogen auf 0 g? b) Berechne 2,5 von 50 ml. c) 2 sind 4,5 mg, wie viel Promille sind 6 mg? d) 2,5 sind 8,2 cm, wie viel Promille sind 8,08 cm?
055 Prozentrechnung 24 Lösungen der Aufgaben Lösung Aufgabe 8 a) 24 von 50 sind b) 5 cm von 25 cm sind c) 5 von 4 sind d) 0 von 50 sind e) 25 m von 500 m sind f) 4 von 40 sind g) 9 kg von 75 kg sind h) 8 von 6 sind i) 5 L von 40 L sind 24 48 p 48% 50 00 5 5 4 60 p 60% 25 25 4 00 5 5 25 25 p 25% 4 4 25 00 0 0 20 p 20% 50 50 00 25 :5 25 p 25% 500 :5 00 4 0 p 0% 40 0 00 9 : 4 52 p 52% 75 : 25 4 00 8 p 50% 6 2 5 : 5 p 25% 40 : 5 4 Lösung Aufgabe 9 a) von 9 sind 68,4% b) 2, m von 57 m sind 4,0% c) 5 von sind 06,% Lösung Aufgabe 0 0% von 80 = 80 8 20% von 80 = 80 80 : 5 6 0 5 50% von 660 = 660 0 0% von 4 = 4 4 :0,4 2 0 25% von 64 = 64 64 : 4 6 25% von 900 = 900 225 4 4 75% von 80 = 80 20 60 75% von 28 = 28 2 96 4 4 % von 75 = 75 75 : 25 % von 44 = 44 44 : 48 40% von 50 = 2 50 2 0 20 40% von 200 = 2 200 2 40 80 5 5 5% von 20 = 20 2% von 400 = 400 8 20 50
055 Prozentrechnung 25 Lösung Aufgabe 0% von 7 = 7 7, 0% von 0,57 = 0,57 0,057 0 0 0% von 4,20= 4,20 4,2 0 20% von 4 = 4 4 : 5 2,8 5 20% von 42,5 = 42,5 8,5 5 20% von 0,75 = 0,75 0,5 5 25% von 2 = 2 0,5 25% von 0 = 0 0 : 4 27,5 4 4 2 25% von 2,5 = 2,5 2,5 : 4 0,625 25% von 0,64 = 0,64 0,6 4 4 2 8 6 2 26 52 40% von 4 = 4,6 40% von = 5,2 5 5 0 5 5 0 50% von =,5 50% von,7 =, 7, 7 : 2 0, 85 2 2 2 50% von 0,04 = 0,04 0,02 50% von 0,0 = 0, 0,0: 2 0,005 2 2 75% von 0 = 0 2,5 7,5 75% von = 4 28,25 84,75 4 4 0 % von 0 = 0, % von 2,46 = Lösung Aufgabe 2 2,46 2,46 : 0,82 24% von 5600 = 0,24 5600 44 % von 00 = 0, 00 9 2,8% von 75 = 0,028 75 4,9 4% von 80 = 0,04 8 0 0,4 8,2 44% von 2,5 = 0,44 2,5 5,5,5% von 250 000 = 0,05 250 000 5 250 750,5% von 420 = 0,05 420 0,5 42 4,7 82% von 50.000 = 0,82 500 00 82 500 4000 4000,25% von 4 = 0,25 4 0,05 % von 5 = 0, 5 6,6 Einige Nebenrechnungen dazu: 0,02875 4 900 0 0,05 250 000 5 250 750 0 0,24 5600 24 56 56 24 28 75 2 96 0 224 750 40 44 49000 0,442,5 2,5 0,44 5 500 5,5 0, 5 6,6 0,05 420 0,5 42 4,7 500 65 500 40 70 5500 66 4 70 Lösung Aufgabe 70% von 82 = 0,7 82 57,4,5% von 52 = 0,5 52 69,2 8% von 0,9 = 0,8 0,9 0,42 5,2% von 7 = 0,52 7 62,04 6,2% von 56 = 0,62 56 5,92 4% von 7 = 0,4 7 4, 55% von 55 = 0,55 55 0,25 05% von 58 =,05 58 54,9 28% von 520 =,28 520 665,6 0,45% von 80 = 0,0045 80,645 2% von 65 kg = 0,265 kg,65 42% von 80 kg = 4,2 80 kg 426, kg 0,06% von 27 = 0,0006 27 0,0762 0,29% von 5 kg = 0,0029 5 kg 0,05 kg,5% von 25,86 = 0,0525,86 4,4 4,8% von 8 = 0,48 8 47,08 29% von 48 =, 29 48 6, 92 9,5 % von 260 km = 0,95 260 km 27,9 km
055 Prozentrechnung 26 Lösung Aufgabe 4 a) 8% sind 45 km b) 2% sind 44,6 c) 45% sind 57,60 d) 5,6% sind 68 e) 9% sind 5,58 f) 70% sind 6, kg. W 45 G km 250 km p 0,8 W 44,6 G 92 p 0,2 W 57,60 G 28 p 0,45 W 68 G 000 p 0,056 W 5,58 G 82 p 0,9 W 6, G kg 2kg p 0,7 Lösung Aufgabe 5 a) p = 4,5%, W = 50 b) p = 2%, W = 6,72 c) p = 5%, W =,06 d) p = 20,8%, W = 2,48 e) p = 90%, W = 8,9 f) p = 0,26% W = 7 W 50 50.000 0.000 G, p 0,045 45 9 W 6,72 672 G 56 p 0,2 2 W,06 06 G 2 p 0,5 5 W 2,48 G 60 p 0,208 W 8,9 89 G 2 p 0,9 9 W 7 G 658,46 p 0,0026 Lösung Aufgabe 6 Lösungen mit quotientengleichen Größen und Dreisatz a) 72% sind 8, wie viel sind 50%? 50% W und 72% 8 72% sind 8 sind quotientengleich: W 8 8 50% W 26,9 50% 72% 72% 8 72 % sind 8 50 50% sind 26,9 72 b) % sind 64, wie viel sind 60 %? 60% W und % 64 % sind 64 sind quotientengleich: W 64 64 60% W 6,6 60% % % 64 % sind 64 60 60% sind 6,6
055 Prozentrechnung 27 c) 2% sind 4 km, wie viel sind 2 %? 2% W und 2% 4 km 2% sind 4 km sind quotientengleich: W 4 km 4 km 2% W 7km 2% 2% 2% d) 75% sind 20, wie viel sind 20%? 4 km 2 % sind 4 2 2% sind km 7km 2 20% W und 75% 20 75% sind 20 sind quotientengleich: W 20 20 20% W 968 20% 75% 75% e) 9% sind 65, wie Prozent sind 50? 9% 65 und p 50 65 sind 9% 20 75 % sind 20 20 20% sind 968 75 sind quotientengleich: sind 9 65 % p 9% 50 9% p 4,6% 50 sind 50 9 % 4,6% 50 65 65 65 f) 25% sind 8 m, wie viel Prozent sind 200 m? 25% 8 m und p 200 m 8 m sind 25% sind quotientengleich: m sind 25 8 % p 25% 200 m 25% p,58m 200 m sind 200 25 %,58 m 200 m 8 m 8 m 8 g) 28% sind 7 L, wie viel Prozent sind 0 L? 28% 7L und p 0 L 7 L sind 28% sind quotientengleich: L sind 28 7 % p 28% 28% p 0L 7,6% 0L sind 0 L 28 % 7,6% 0 L 7 L 7 L 7 Hinweis: Eine weitere Lösungsmöglichkeit wäre bei all diesen Aufgaben, zuerst den Grundwert zu berechnen. Ein Beispiel zu g) sei gezeigt: Gegeben: 28% sind 7 L. Daraus folgt 7 G 2,4 L, Also sind 0 L 0,28 0 p 0,07 56 7,6% 2,4
055 Prozentrechnung 28 Lösung Aufgabe 7 a) 2% sind 54 und 8% sind 8. Prüfe nach, ob folgende Aussagen zusammenpassen: Sind 2% 54 und 8% 8 quotientengleich? 2% sind 54 54 % sind 2 4,5 54 4,5 8% sind 8 2% % 8 8 4,5 % sind 8 8% % 4,5 Die Paare sind quotientengleich, Das passt zusammen. passen also zusammen. Oder man berechnet zu beiden Paaren den Grundwert: 54 8 G 450, G 450. Also passen sie zusammen! 2 0,2 0,8 b) 4% sind 7,44 m und 45% sind 96,2 m. Sind 4% 7,44 m und 45% 96,2 m 4% sind 7,44 m 7,44 quotientengleich? % sind m 2,6 m 4 7,44 m m 2,6 45% sind 96,2 m 4% % 96,2 m m 96,2 2,4 % sind m 2,4 m 45 45% % Die Paare sind nicht quotientengleich, Das passt nicht zusammen! passen also nicht zusammen. Oder man berechnet zu beiden Paaren den Grundwert: 7,44 m 96,2 m G 26 m, G 24 m. Sie passen also nicht zusammen. 2 0,4 0, 45 c) 55% sind 9,60 kg und 65% sind 48.2 kg. Sind 55% 9,60 kg und 65% 48,2 kg 55% sind quotientengleich? % sind 9,60 kg kg 0,72 55% % (G = 72 kg) 65% sind 48,2 kg 48,2 kg kg 48,2 0,74 (G = 74 kg) % sind 65 65% % Die Paare sind nicht quotientengleich, passen also nicht zusammen. 9,6 55 kg 0,72 kg kg 0,74 kg Das passt nicht zusammen! Oder man berechnet bei beiden Paaren den Grundwert: 9,6 kg 48,2 kg G 72 kg, G 74 kg. Sie passen also nicht zusammen. 2 0,55 0,65
055 Prozentrechnung 29 Lösung Aufgabe 8: a) Wie viele Promille sind 2 mg bezogen auf 0 g? Lösung mit der Formel W 2mg 2 4 p = =0,4 G 0.000 mg 0 0 b) Berechne 2,5 von 50 ml. Lösung mit der Formel 2,5 25 W Gp 50ml ml 0,25ml 000 000 c) 2 sind 4,5 mg, wie viel Promille sind 6 mg?. Lösung (mit quotientengleichen Paaren) Die Paare 2 4,5 mg und p 6 mg sind quotientengleich. Also gilt 2. Lösung (als Dreisatz) p 2 2 6 mg p 6 mg 4,5 mg 4,5 mg 4,5 mg entsprechen 2 mg entspricht 6 mg entsprechen 2 4,5 2 4,5 6 42,7 = 4,27% d) 2,5 sind 8,2 cm, wie viel Promille sind 8,08 cm?. Lösung (mit quotientengleichen Paaren) 42,7 = 4,27% Die Paare 2,5 8,2 cm und p 8 cm sind quotientengleich. Also gilt p 2,5 2,5 8 cm p 8 cm 9,2 cm 9,2 cm 2, =,2% 2. Lösung (als Dreisatz) 8,2 cm entsprechen 2,5 cm entspricht 8 cm entsprechen 2,5 8,2 2,5 8 2, =,2% 8,2