Wirtschaftsmathematik

Hochschule Darmstadt FB Mathematik und Naturwissenschaften Wirtschaftsmathematik für die Betriebswirtschaftslehre (B.Sc.) Sommersemester 207 Adam Georg Balogh Dr. rer. nat. habil. Adam Georg Balogh E-mail: adam-georg.balogh@h-da.de Adam Georg Balogh

. Folgenbegriff, arithmetische und geometrische Folgen 2. Konvergenz. Divergenz. Grenzwert. 3. Reihen. Endliche und unendliche Reihen Harmonische Reihe

. Folgenbegriff Darstellung von Folgen Definition: Eine Abbildung der positiven natürlichen Zahlen N bzw. eines Abschnitts von N in die reellen Zahlen R heißt unendliche bzw. endliche Folge und wird mit a, a 2, a 3, oder (a n ) bezeichnet. Die a n heißen Glieder der Folge.. Vollständige Aufzählung der Folgenglieder ist nur bei endlichen Folgen möglich. Für Folgen, deren Folgenglieder keine Gesetzmäßigkeiten aufweisen (sog. Empirische Folgen) ist sie die einzig mögliche Darstellungsform. Beispiel:, 7, 2, 5, 3

2. Aufzählen der ersten Folgenglieder und gegebenenfalls des letzten : Man deutet die Gesetzmäßigkeit durch die Angabe der ersten Folgenglieder an. Es muss sichergestellt sein, dass die Gesetzmäßigkeit unmissverständlich deutlich wird. Beispiel : 2, 4, 6, 8,, 00 bzw., 3, 5, 7,. Beispiel 2 (nächste Folie): 2, 4,, 32 Marie: 2 + 4 + + 32 = 2 + 4 + 6 + + 32 2, 4, 6,, 32 Peter: 2 + 4 + + 32 = 2 + 4 + 8 + + 32 2, 4, 8,, 32

Peter streitet mit seiner Schwester Marie. Diese behauptet 2 + 4 + + 32 ergibt 272. Ihrem Bruder dagegen leuchtet nicht ein. Er beharrt darauf, dass 2 + 4 + + 32 gleich 62 ist. (Er hat die Summe 2 + 4 + 8 + 6 + 32 berechnet). Über eines sind sie jedoch einig: die drei Punkte zwischen 4 und 32 bedeuten weitere nicht ausgeschriebene Glieder der Summe. Marie: 2 + 4 + 6 + + 32 Peter: 2 + 4 + 8 + 6 + 32 6 i= 5 i= 2i i 2

3. Explizite Darstellung: Das allgemeine Folgenglied ist mit der Funktion des Folgenindex gegeben. Beispiel: a k = 2k, a k = 2 k 4. Rekursive Darstellung mit einer Rekursionsformel, die es gestattet, die Folgenglieder Schritt für Schritt aus den vorhergehenden Folgenglieder zu berechnen. Dabei muss der Folgenstart zusätzlich angegeben werden. Beispiele: a) a k+ = 2a k, a = b) a k+ = (a k- + a k )/2, a =, a 2 = 2

.2 Arithmetische und geometrische Folgen Definition.2: Eine Folge, bei der die Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder immer gleich groß ist, heißt arithmetische Folge. Die arithmetische Folge lässt sich folgendermaßen darstellen: a k+ = a k + d bzw. a k+ = a + kd Definition.3: Eine Folge, bei der der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder immer gleich groß ist, heißt geometrische Folge. Die geometrische Folge lässt sich folgendermaßen darstellen: a k+ = qa k bzw. a k+ = a q k (a 0, q 0 )

Anmerkungen:. Bei einer arithmetischen Folge ist jedes Folgenglied (außer dem ersten und gegebenenfalls dem letzten) das arithmetische Mittel der benachbarten Folgenglieder, d.h. a k = (a k- + a k+ )/2 2. Bei einer geometrischen Folge ist jedes Folgenglied (außer dem ersten und gegebenenfalls dem letzten) das geometrische Mittel der benachbarten Folgenglieder, d.h. a k 2 = (a k- a k+ ) Beispiel: Arithmetische Folgen: a =, d = 2:, 3, 5, 7, 9, a =, d = /2:, 0.5, 0, 0.5, Geometrische Folgen: a =, q = /2:, /2, /4, /8, a = 2, q = 2: 2, 4, 8, 6,

.3 Elementare Eigenschaften von Folgen Die Beschreibung und Charakterisierung von Folgen erfolgt u.a. mit Hilfe der in diesem Abschnitt aufgeführten Eigenschaften. Definition: Gilt für alle Folgenglieder a k+ a k (a k+ a k ), so nennt man die Folge monoton steigend (fallend). Gilt sogar a k+ > a k (a k+ < a k ), so nennt man die Folge streng monoton steigend (fallend). Definition: Eine unendliche Folge heißt nach oben (unten) beschränkt, wenn alle Folgenglieder a k kleiner (größer) als eine geeignete Schranke S sind. Eine Folge, die nach oben und unten beschränkt ist, heißt beschränkt.

Definition: Eine Folge, deren Folgenglieder abwechselndes Vorzeichen haben, heißt alternierende Folge. Beispiele: a) Die Folge, ½, /4, /8, /6, ist alternierend und beschränkt. S = und ½ b) Die Folge 9, 3,, /3, /9, ist streng monoton fallend und beschränkt. S = 9 und 0 c) Die Folge 2, 4, 8, 6, 32, ist alternierend und weder nach unten noch nach oben beschränkt.

Konvergenz, Diverenz und Grenzwert Definition: Eine unendliche Folge heißt konvergent gegen den Grenzwert a, wenn sich die Folgenglieder der Zahl a beliebig genau annähern, d.h., wenn in jeder noch so kleinen Umgebung der Zahl a alle Folgenglieder bis auf endlich viele liegen. Für eine gegen a konvergente Folge schreibt man Eine nicht konvergente Folge heißt divergent.

Beispiele: a) Die geometrische Folge a k+ = qa k bzw. a k+ = a q k (a 0, q 0 ) ist für q < konvergent gegen Null und für q > divergent. b) Die arithmetische Folge a k+ = a k + d bzw. a k+ = a + kd ist für d 0 divergent und für d = 0 konvergent. c) Die konstante Folge a k = a ist konvergent gegen a. Sie ist eine arithmetische Folge mit d = 0, bzw. für a 0 eine geometrische Folge mit q =.

d) Die alternierende Folge a k = ( ) k+ a (a 0 ) ist divergent. Sie ist eine geometrische Folge mit q =. e) Die Folge ist konvergent gegen Null. f) Die Folge ist divergent und strebt gegen +.

g) Die Folge ist konvergent gegen a = /2. h) Die Folge ist konvergent gegen die Eulersche Zahl e 2,7828828459

Für Folgen und deren Grenzwerte gibt es einige wichtige Rechenregeln, die leicht einzusehen sind und ohne Begründung angegeben werden. Satz: Es seien (a n ) und (b n ) konvergente Folgen mit Dann gilt: und. 3. 2. 4. 5., b n 0, b 0

Satz: Jede unendliche, beschränkte und monotone Folge ist konvergent. Definition: Eine konvergente Folge mit dem Grenzwert Null heißt Nullfolge. Beispiel : Die Folge 9, 3,, /3, /9, ist unendlich, streng monoton fallend, beschränkt (mit untere Schranke 0) konvergent gegen Null Nullfolge. Beispiel 2: Die Folge a k = /k ist beschränkt, monoton fallend konvergent gegen Null Nullfolge

.5 Endliche Reihen Definition: Unter einer endlichen Reihe versteht man die Summe aller Folgenglieder einer endlichen Folge (a k ). Man schreibt Satz:. Für die Summe der ersten n > 0 natürlichen Zahlen gilt: 00 k= 00 0 000 = + 2+... + 00= = 2 2 Man nennt diese Formel die Gauß sche Summenformel. a k = 5050

2. Die Summe der ersten n > 0 Glieder einer arithmetischen Folge heißt arithmetische Reihe: Es gilt: bzw.

3. Die Summe der ersten n > 0 Glieder einer geometrischen Folge heißt geometrische Reihe: Es gilt: Beweis: Bilden wir nun die Differenz S n qs n, so erhalten wir S n qs n = a a q n S n ( q) = a ( q n ) ) q.e.d.

Beispiele: a) +2+3+ + 50 = 50*5 / 2 = 275 b) c) 6 5 3 6 4 64 4 2 64 2 2 2 2 6 8 4 2 2 6 = = = = = + + + + +

Unendliche Reihen Definition: Die aus einer gegebenen Folge (a k ) gebildete Folge von Partialsummen heißt unendliche Reihe (kurz Reihe) mit den Gliedern a, a 2, a 3,... : Je nachdem, ob einer Grenzwert (S) der Partialsummenfolge (S n ) existiert oder nicht existiert, spricht man von einer konvergenten bzw. divergenten unendlichen Reihe. Für den Grenzwert einer unendlichen Reihe schreibt man S =

Beispiele: a) Der Folge a k = k (, 2, 3, 4, ) entspricht die Reihe: + 2 + 3 + 4 + und somit die Folge der Partialsummen, 3, 6, 0, b) Der geometrischen Folge a k+ = a q k (a =, q=/2;, ½, ¼, ) entspricht die geometrische Reihe + ½ + ¼ + /8 + und die Folge der Partialsummen, ½, ¾, 7 / 8 c) Der alternierenden Folge a k+ = a q k (a =, q= ;,,, ) entspricht die unendliche Reihe + + + und somit die Folge der Partialsummen, 0,, 0,, 0,.

Die unendliche arithmetische Reihe Für die Partialsummen der arithmetischen Reihe gilt: bzw. Die unendliche arithmetische Reihe ist also (außer im Spezialfall a = d = 0) divergent.

Die unendliche geometrische Reihe Für die Partialsummen der geometrischen Reihe gilt: Für q ist die unendliche geometrische Reihe divergent. Für q < ist sie konvergent;

Die harmonische Reihe Die harmonische Reihe ist die der Folge a k = /k zugeordnete unendliche Reihe. Die Divergenz dieser Reihe kann man durch folgende Überlegung nachweisen: Die harmonische Reihe lässt sich also durch die divergente unendliche Reihe + ½ + ½ + ½ + ½ annähern und ist demnach ebenfalls divergent.

Satz: Die wichtigsten Konvergenzkriterien sind:. Notwendige Bedingung für die Konvergenz einer unendlichen Reihe ist Eine alternierende Reihe, bei der die Beträge der Folgenglieder eine monotone Nullfolge bilden, ist konvergent. 2. Je nach Wert des Quotientengrenzwerets konvergiert (Q < ) oder divergiert (Q > ) eine unendliche Reihe Bei Q = sind weitere Untersuchungen anzustellen.

3. Gegeben seien die beiden unendlichen Reihen R u = u + u 2 + u 3 R o = o + o 2 + o 3 mit nur positiven Gliedern. Gilt nun un o n für alle n, so heißt R o Majorante oder Oberreihe der Reihe R u und R u heißt Minorante oder Unterreihe der Reihe R o. Gibt es zu einer Reihe S mit nur positiven Gliedern a k eine konvergente Majorante (bzw. eine divergente Minorante), so konvergiert (bzw. divergiert) auch die Reihe S.

Aufgabe : Geben Sie die ersten fünf Folgenglieder der unendlichen Folge an und beschreiben Sie die Folge hinsichtlich der Eigenschaften monoton, beschränkt, alternierend und konvergent. Geben Sie gegebenfalls den Grenzwert an. Folgenglieder: 2/3, 3/5, 4/7, 5/9, 6/ Die Folge ist alternierend und beschränkt: a k + Sie ist nicht konvergent, nähert sich aber den Werten /2 und +/2 beliebig nahe.

Aufgabe 2: Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz a) b) c) 2 a k k = 3 + k 2

Aufgabe 3: Ermitteln Sie den Grenzwert der Folge Lösung: Wir führen die Substitution k = 2n durch verwenden den Grenzwertsatz für Produktfolgen und erhalten

Aufgabe 4: Ermitteln Sie den Grenzwert der unendlichen Reihe, 2 4/3 + 8/9 6/27 + 32/8 - + Lösung: Diese unendliche Reihe baut sich aus den Folgenglieder der geometrischen Folge a k+ = a q k (a =2, q= 2/3) auf : Für q < ist sie konvergent; Somit erhalten wir (allgemein: )

Aufgabe 5: Ermitteln Sie den Grenzwert der unendlichen Reihe, /2 + /4 + /6 + /8 + /0 + = /2 ( + ½ + /3 + ¼ + /5 + ) Lösung: Diese unendliche Reihe ist bis auf den Faktor ½ die harmonische Reihe. Sie ist daher divergent.