3 Längenendliche Verbände. Dimension

3 Längenendliche Verbände. Dimension Unser Ziel ist es, projektive Geometrien endlicher Dimension durch Spezialisierung der betrachteten Verbände zu kennzeichnen. Dazu gehört sicher, dass es endliche viele Typen geometrischer Objekte (Punkte, Geraden, Ebenen.) gibt, die durch eine Dimension gekennzeichnet werden können. Wenn man also im Verband von unten nach oben aufsteigt, muss man nach endlich vielen Schritten zum Gesamtraum gelangen. Dies soll mathematisch präzisiert werden. Wir setzen einen Verband (L,, ) mit Nullelement N und Einselement E voraus. 3.1 Ketten und Reihen 3.1.1 Definitionen: a) Eine nichtleere Teilmenge K von L heißt (Teil-) Kette, wenn (K, ) linear geordnet ist. b) K heißt Kette von A nach B, wenn K eine Kette ist mit min(k) = A ( K) und max(k) = B ( K). c) Enthält K genau r+1 Elemente, so bezeichnet man K als Kette der Länge r. d) Sind K und K Ketten von A nach B, so bezeichnet man im Falle K K die Kette K auch als Verfeinerung von K. e) Eine (endliche) Kette K von A nach B bezeichnen wir als (endliche) Reihe von A nach B, wenn sie keine echte Verfeinerung gestattet. 3.1.2 Folgerung: Ist K eine Reihe der Länge r von A nach B, so besteht K aus r+1 Elementen, die aufsteigend als Nachbarn geordnet werden können: A = A 0 A 1 A r = B. 3.1.3 Beispiele: a) Jede endliche Teilmenge von (N, max, min) kann zu einer endlichen Reihe verfeinert werden. Gleiches gilt auch für die Teilerverbände mit Trägermengen des Typs T n, vgl. Aufgabe in 2.7. b) Für (R, min, max) gilt eine Aussage gemäß a) nicht, weil man zwischen zwei verschiedene Elemente stets unendlich viele Elemente einfügen kann. Dies gilt auch für Q anstelle von R, obwohl man wesentlich weniger Elemente zwischen zwei schieben kann. Letzte Änderung 22.10.2007

N. Christmann: Projektive Geometrie WS 2007/2008 58 3.2 Längenendliche Verbände 3.2.1 Definition: Ein Verband (L,, ) heißt längenendlich, wenn er ein Null- und ein Einselement enthält und sich jede Kette von N nach E zu einer endlichen Reihe verfeinern lässt. Jeder endliche Verband ist auch längenendlich, ebenso der Untervektorraumverband eines endlichdimensionalen Vektorraumes und die Teilerverbände N n. Der Verband (R, min, max) ist dagegen sicher nicht längenendlich. 3.2.2 Bemerkungen: a) In einem längenendlichen Verband müssen nicht alle Reihen von N nach E die gleiche Länge haben, vgl. Bild 3.2a. b) Aus der Längenendlichkeit eines Verbandes folgt nicht, dass die Reihen von N nach E eine obere Schranke haben, vgl. Bild 3.2b. c) Die Bedingung längenendlich zitieren wir mit (L), wir sprechen auch kurz von L-Verbänden. Bild 3.2a E N Bild 3.2b Beispiel eines längenendlichen Verbandes, dessen Reihen von N nach E nicht beschränkt sind. Zwischen N und E werden nacheinander Reihen der Länge 2, 3 4,. eingefügt, alle Reihen sind endlich, dennoch ist ihre Länge nicht beschränkt.

3 Längenendliche Verbände. Dimension 59 3.3 Maximalbedingung und Maximalkettenbedingung Sei (L,, ) ein Verband. 3.3.1 Definition: Der Verband (L,, ) genügt a) der Maximalkettenbedingung (notiert mit (MaK)), wenn jede aufsteigende Kette nach endlich vielen Schritten abbricht. b) der Minimalkettenbedingung (notiert mit (MiK)), wenn jede absteigende Kette nach endlich vielen Schritten abbricht. c) der Maximalbedingung (notiert mit (Max)), wenn jede nichtleere Teilmenge T von L mindestens ein maximales Element besitzt, es gibt also ein M T, so dass für alle X T aus M X stets X = M folgt. d) der Minimalbedingung (notiert mit (Min)), wenn jede nichtleere Teilmenge T von L mindestens ein minimales Element enthält, es gibt also ein m T, so dass für alle X T aus X m stets X = m folgt. Die Aussagen (MiK) und (MaK) sind dual zueinander, ebenso die Bedingungen (Max) und (Min). Dies nutzen wir beim Nachweis der folgenden Äquivalenz aus. 3.3.2 Satz (Äquivalenz von Maximal- und Maximalkettenbedingung): (Max) (MaK). 3.3.3 Satz (Äquivalenz von Minimal- und Minimalkettenbedingung): (Min) (MiK). Beweis: Sobald 3.3.2 bewiesen ist, folgt 3.3.3 aus (DP). a) (Max) (MaK): Wenn unter der Voraussetzung (Max) die Bedingung (MaK) nicht gelten würde, würde die Existenz einer unendlich aufsteigenden Kette K des Typs A 1 A 2 A 3 A k A k+1. folgen. Diese Kette enthält dann im Widerspruch zu (Max) kein maximales Element. b) (MaK) (Max): Es sei T eine nichtleere Teilmenge von L ohne maximales Element. Sei also A 1 T. Dann ist dieses Element nicht maximal, es gibt daher in T ein größeres A 2. Dieses ist ebenfalls nicht maximal, es gibt also A 3 T mit A 1 A 2 A 3. Fortsetzung des Verfahrens lieferte eine nicht abbrechende aufsteigende Kette im Widerspruch zu (MaK). Im nachfolgenden Satz stellen wir einen Zusammenhang zwischen den Bedingungen aus 3.3.1 und der Längenendlichkeit her.

N. Christmann: Projektive Geometrie WS 2007/2008 60 3.3.4 Satz: Ein Verband (L,, ) ist genau dann längenendlich, wenn in ihm die Maximal- und Minimalbedingung gelten: Beweis: (L) (Max) und (Min) ( (MaK) und (MiK) ). a) (L) (Max) und (Min): Nehmen wir an, in L würde (Max) nicht gelten. Dann würde eine unendliche Kette zwischen N und E existieren, die sich nicht mehr zu einer endlichen Reihe verfeinern ließe. Widerspruch. b) (Max) und (Min) (L): L ist nichtleere Teilmenge von sich selbst, besitzt daher ein maximales und minimales Element. In geordneten Mengen kann es zwar mehrere dieser Elemente geben, in Verbänden stimmen sie aber mit dem eindeutig bestimmten Nullelement bzw. Einselement überein. Wären etwa E und E maximal, so wäre auch E E maximal, woraus E=E folgt. Sei eine endliche Kette K mit N = A 0 A 1 A i A i+1. A r = E gegeben. Wir müssen zeigen, dass zwischen diese Kettenglieder jeweils nur noch endlich viele Elemente eingeschoben werden können. Wir setzen dazu M i := ]A i, A i+1 ] := {X L / A i X A i+1 } (i = 1,., r-1). Jede dieser Mengen M i ist nicht leer, enthält daher nach Voraussetzung ein minimales Element m i,1. Gäbe es ein X mit A i X m i,1, so wäre X aus M i und somit m i,1 nicht minimal, daher ist m i,1 ein oberer Nachbar von A i. Wir setzen M i,1 := ]m i,1, A i+1 ] und wenden den gleichen Schluss auf diese Menge an. Auf diese Weise konstruieren wir eine aufsteigende Reihe A i m i,1.. m i,s A i+1, diese muss wegen (MaK) nach endlich vielen Schritten abbrechen, d.h. es gibt ein t N mit Damit ist unser Satz bewiesen. m i,t = A i+1. 3.3.5 Bemerkung: Im Zusammenhang mit unendlichen Mengen liefert das Zornsche Lemma die Möglichkeit, auf die Existenz maximaler Elemente zu schließen. Es lautet: Sei M eine teilweise geordnete Menge, in der jede nichtleere Teilkette K eine obere Schranke S( M!!) besitze. Dann hat M mindestens ein maximales Element. Dieses Lemma ist zum Auswahlaxiom der Mengenlehre gleichwertig, es wird z. B. in der Algebra zu Beweisen der Existenz von Erweiterungen bei algebraischen Strukturen angewandt.

3 Längenendliche Verbände. Dimension 61 3.4 Dimensionsverbände In der Geometrie sind Punkte, Geraden, Ebenen usw. Dimensionen zugeordnet. Wir wollen hier eine Verbandsklasse einführen, deren Elementen wir eine Dimension sinnvoll zuordnen können. Wir beschränken uns dabei auf den Fall, dass die auftretenden Dimensionen endlich sind. 3.4.1 Definition: Ein Verband (L,, ) heißt Dimensionsverband (genügt der Bedingung (D)), wenn er längenendlich ist und alle Reihen vom Nullelement N zum Einselement E die gleiche Länge (Elementeanzahl) haben. Für N und E ist damit eine Dimension sinnvoll erklärbar, für die andern Elemente ergibt sich eine solche Möglichkeit aus dem folgenden 3.4.2 Satz: Sei (L,. ) ein Dimensionsverband. Dann haben alle Reihen zwischen zwei Elementen A und B von L die gleiche Länge. Beweis: Sind zwei Reihen A=A 0 A 1.. A r =B A=B 0 B 1. B s = B der Längen r bzw. s zwischen A und B gegeben, so kann man diese zu Reihen zwischen E und N verfeinern, wobei wir zwischen N und A bzw. B und E die gleichen Elemente zur Verfeinerung einsetzen. Wären r und s verschieden, so hätten wir im Gegensatz zu (D) Reihen unterschiedlicher Länge zwischen N und E gefunden. Also gilt r = s. Durch Spezialisierung (A = N) ergibt sich unmittelbar die 3.4.3 Folgerung: Alle Reihen zwischen dem Nullelement N und A L haben die gleiche Länge. 3.4.4 Definition: Sei (L, ) ein Dimensionsverband. Für A L sei l(a) die gemäß 3.4.3 eindeutig bestimmte Länge der Reihen vom Nullelement N nach A. Dann setzen wir Dim(A) := l(a) 1. Insbesondere bezeichnen wir A L mit dim(a) = 0 als Punkt, A mit Dim(A) = 1 als Gerade und A mit Dim(A) = 2 als Ebene. Weiter setzen wir Dim(L) := Dim(E) und nennen A L mit Dim(A) = Dim(L) 1 auch Hyperebene.

N. Christmann: Projektive Geometrie WS 2007/2008 62 Aus dieser Definition ergibt sich die 3.4.5 Folgerung: a) Dim(N) = 1 b) Für alle A,B L gilt: A B Dim(B) = Dim(A)+1 c) Für alle A,B L gilt: A B und Dim(A) = Dim(B) A = B. 3.5 Projektives Dimensionsaxiom Im nebenstehenden Dimensionsverband treten einige Effekte auf, die für die Geometrie ungeeignet sind: Geraden inzidieren nur mit einem Punkt, E- benen besitzen nur eine Gerade und inzidieren auch nur mit einem Punkt. e1 e2 e3 g1 g2 g3 E Der Gesamtraum wird, obwohl er dreidimensional ist, von nur zwei Punkten bereits aufgespannt. p1 p2 p3 N Bild 3.5 Geometrische Mängel eines speziellen Dimensionsverbandes Um die zuvor angedeuteten geometrischen Mängel zu beseitigen, müssen wir offensichtlich weiter spezialisieren. Bevor wir dies durchführen, wollen wir unsere Anforderungen an den (projektiven) Dimensionsbegriff offen legen. 3.5.1 Definition: Ein A,B L gilt: Dimensionsverband (L,, ) erfüllt das projektive Dimensionsaxiom, wenn für alle (P) Dim(A) + Dim(B) = Dim(A B) + Dim(A B). 3.5.2 Beispiel: Sei V ein endlichdimensionaler IK-Vektorraum und IU(V) der Verband der Untervektorräume von V. Bezeichnen wir die aus der linearen Algebra bekannte Dimension der Untervektorräume mit dim (Erinnerung: dim(u) = k U hat eine Basis der Länge k jede Basis von U hat die Länge k) und setzen wir die verbandstheoretische Dimension Dim fest durch Dim(U) := dim(u) 1, so wird (IU(V),, ) zu einem Dimensionsverband, in dem das projektive Dimensionsaxiom gilt.

3 Längenendliche Verbände. Dimension 63 Im Falle affiner Unterräume gilt dagegen in (P) nur. Man wähle z. B. für A und B zwei parallele Geraden. Dann erzeugen diese eine Ebene (Dimension zwei), der leere Schnitt hat aber die Dimension 1, daher ergibt die rechte Seite von (P) den Wert 1, die linke dagegen 2. Das zuvor gegebene Beispiel 3.5.2 wird für die projektive Geometrie von entscheidender Bedeutung sein. In (P) enthalten sind z. B. die 3.5.3 Folgerungen: In einem Dimensionsverband mit (P) gelten: a) Die (verbandstheoretische) Vereinigung zweier Punkte ist eine Gerade b) Zwei verschiedene, in einer Ebene liegende Geraden haben genau einen Punkt gemeinsam. c) In einem mindestens dreidimensionalen Raum schneiden sich zwei Geraden, die nicht in einer Ebene liegen, nicht. 3.6 Aufgaben zu 3 Aufgabe 1: Begründen Sie die projektive Dimensionsformel für den Verband der Untervektorräume eines endlichdimensionalen Vektorraumes. Aufgabe 2: Versuchen Sie, eine Dimensionsformel für affine Unterräume zu finden, indem Sie die Fälle, dass sich beide Teilräume schneiden / nicht schneiden unterscheiden. Aufgabe 3: Sind unter den Verbänden des Typs (T n,ggt,kgv) auch Dimensionsverbände? Aufgabe 4: In einem Dimensionsverband kann man auch den Begriff der Codimension erklären als Länge einer Reihe von A nach E. Gilt unter der Voraussetzung (P) ein diesem Gesetz vergleichbares für die Codimension? Aufgabe 5: Ist der duale Verband eines längenendlichen Verbandes (eines Dimensionsverbandes) wiederum ein solcher? Aufgabe 6: Es sei (M, ) eine teilweise geordnete Menge. Man zeige die Äquivalenz folgender Bedingungen (1) und (2) (1) M genügt der Minimalbedingung und enthält keine unendliche, total ungeordnete Teilmenge (das ist eine Teilmenge, deren Elemente alle paarweise nicht vergleichbar sind). (2) Keine unendliche Teilmenge von M genügt der Maximalbedingung.

N. Christmann: Projektive Geometrie WS 2007/2008 64 Aufgabe 7: Sei M:= N n die Menge aller n-tupel natürlicher Zahlen mit der Ordnungsrelation (a(1),a(2),, a(n)) (b(1), b(2),.., b(n)) : a(i) b(i) für alle i = 1, 2,., n. Man zeige, dass (M, ) eine teilweise geordnete Menge ist, welche keine unendliche, total ungeordnete Teilmenge enthält.