8. Vorlesung EP I. Mechanik 5. Mechanische Eigenschaften von Stoffen a) Deformation von Festkörpern b) Hydrostatik, Aerostatik c) Oberflächenspannung und Kapillarität Versuche: Dehnung eines Drahtes und Hooke sches Gesetz Hydraulische Presse Schuss in Styroporzylinder (leer und wassergefüllt) Kommunizierende Röhren (hydrostatisches Paradoxon)
5. Mechanische Eigenschaften von Stoffen Protonen Kernkräfte Atomkern Neutronen Elektronen können als Folge der Wechselwirkung zwischen den Bausteinen erklärt werden. Elektrische W.W. (Coulomb W.W.) Atom Atom Atom Elektrische W.W. (Coulomb-, v.d. Waals W.W., H-Brückenbindung) (Gas-)Molekül, Flüssigkeit, Festkörper In diesem Schema spielen nur die starke u die elektromagentische Kraft eine Rolle. Die schwache Kraft ist z.b. für Zerfall von Neutronen und Fusion auf der Sonne ver- Antwortlich. Die Schwerkraft wie bekannt für große Objekte.
Die Wechselwirkungen wiederum hängen wesentlich von der Dichte des Mediums ab Gas Flüssigkeit Festkörper Dichte in kg m -3 Luft H 2 O Stahl Ca. 1,3 Ca. 1000 7900 Ordnung Keine Ordnung Nahordnung; große Regelmäßige Struktur Schwankungen der Atomabstände um (Kristallgitter); geringe Abstandsschwankungen einen Mittelwert r 0 infolge thermischer Bewegung Form nicht formbeständig nicht formbeständig (falls dünnflüssig); formbeständig Formbeständig (falls zähflüssig, z.b. Glas) Energiebilanz thermische Energie größer als Bindungsenergie thermische Energie ausreichend zur Verschiebung der Atome thermische Energie klein gegen Bindungsenergie gegeneinander
Welche Verformungen werden wir betrachten: Dehnung - Stauchung Scherung Torsion(=Drillung) Biegung - Knickung Kompression a) Deformation von Festkörpern
Dehnung - Stauchung Hooke sches Gesetz: Die Länge L ändert sich beim Anlegen einer Kraft F um L, wie bei einer Feder, wobei F A = E L L E: Elastizitätsmodul (statt Federkonstante) a) Deformation von Festkörpern Versuch Hooke sches Gesetz Man nennt: F N σ = 2 A m mechanische Spannung (gleiche Maßeinheit wie Druck) Zahlenwerte für Elastizitätsmodul (E in 10 9 Nm -2 ): Al: 73 Cu: 125 Fe: 216 Beton: 10
a) Deformation von Festkörpern Hooke-Bereich Das Hooke sche Gesetz gilt nur für kleine elastische Verformungen. Spröde Materialien: keine plastische Verformung möglich. Plastische Verformung durch Verschiebung von Atom-Gitterebenen. Jenseits plastischem Bereich fließen manche Stoffe, bis zum Zerreißen
a) Deformation von Festkörpern Scherung und Torsion Kraft greift tangential an. Gegenkraft am Boden. Relevante physikalische Größe: Schubspannung σ S = F A Führt zu Scherung um Winkel α: σ s = G α G= Schub-, Scher-, Torsionsmodul Verdrehen (Torsion) z.b. eines Drahtes läßt sich auf Scherung zurückführen
a) Deformation von Festkörpern Kompression (allseitige Stauchung) von Festkörpern: oder: Druck = F A = K V V (Gleiche Formel ist auch für Flüssigkeiten und Gase gültig)
a) Deformation von Festkörpern Knochen: kleine Kristalle (Hydroxylapatit) (50 nm) in elastischer Fasermatrix * Spannbeton: Beton (druckfest, nicht zugfest), kombiniert mit Stahl (elastisch, zugfest) Kohlefaser- oder glasfaserverstärkte Plastikmaterialien * Die Evolution hat die Mechanik deformierbarer Medien bestens studiert u angewandt. Detaillierte Beschreibung von Spannung, Druck im Knochengerüst in Kamke/Walcher Kap. 6.3.3)
b) Hydrostatik, Aerostatik b) Hydrostatik und Aerostatik Lehre von ruhenden Flüssigkeiten und Gasen : fest flüssig gasförmig Bindungsenergie ~ kinetische Energie der Teilchen Keine Scherelastizität (Teilchen gleiten aneinander) Kaum komprimierbar (fast wie Festkörper) Starke Kohäsionskräfte (Oberflächenspannung)
b) Hydrostatik, Aerostatik Die Oberfläche einer Flüssigkeit steht immer senkrecht zu wirkenden Kräften (hier Wand und Schwerkraft) Eine flache Oberfläche ist energetisch am günstigsten.
b) Hydrostatik, Aerostatik Stempeldruck (vernachlässigbare Schwerkraft): Eine Kraft F drückt senkrecht auf einen beweglichen Stempel der Fläche A, der ein Gefäß abschließt Druck p Kraft Fläche F N A m = 2 1Pa= 1N m = 10 2 5 Bar Der Druck breitet sich in alle Richtungen gleichmäßig aus (isotrop), an allen Stellen der inkompressiblen Flüssigkeit und an allen Ausgängen herrscht der gleiche Druck p = F/A
Versuch: Schuss mit Gewehrkugel durch luft- bzw. wassergefüllten Styroporzylinder. Kompressionsmodul von Luft klein, von Wasser groß.
b) Hydrostatik, Aerostatik Anwendung: Hydraulische Presse Hebelgesetz der Hydrostatik: Links Verschiebung um den Weg s 1 Volumen V 1 = A 1 s 1 Rechts s 2 V 2 = A 2 s 2 Links Arbeit W 1 = F 1 s 1 = F 1 V 1 / A 1 Rechts W 2 = F 2 s 2 = F 2 V 2 / A 2 Es gilt W1 = W2 weil V 1 = V 2 (Inkompressibilität) und weil F 1 /A 1 = F 2 /A 2 Versuch Hydraulische Presse Damit ist Energieerhaltung gewährleistet.
Druckmessung und alte (gebräuchliche) Einheiten: Flüssigkeitsmanometer (Schweredruck, siehe nächste Seite) 1 Atmosphäre = 10 m Wassersäule = 760 mm Quecksilber (Hg) Säule (= 760 Torr) 1Atm = 1013 mbar = 1013 hpa = 760 Torr 1Torr = 133.3 mbar = 1mm Hg
Schweredruck : = Gewichtskraft pro Fläche A der über der Fläche stehenden Substanz ( für Flächen in beliebiger Höhe der Flüssigkeit, nicht nur am Boden) Schweredruck steigt bei inkompressibler Flüssigkeit, für die die Dichte ρ nicht vom Druck abhängt, linear mit Tiefe h Aus F = m g= ρ V g folgt: p mg ρ V g = = = ρ g h A A
Der Schweredruck verschiedener Substanzen addiert sich. Beispiel Luftatmosphäre + Wasser: Hydrostatisches Paradoxon: Der Schweredruck (ρ g h) hängt NUR von der Tiefe und der Dichte ab, NICHT von der Form eines Gefäßes Versuch Konstante Wasserhöhe in kommunizierende Röhren
Auftrieb (Herleitung unter Annahme einer einfachen Form des Körpers K): Auftrieb = Differenz der Kräfte F A = (F 2 -F 1 ) = ρ F g A h Man kann auch für kompliziertere Formen zeigen: Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit (Archimedisches Prinzip)
Auftrieb und Schwimmen: Ein schwimmender Körper taucht soweit in eine Flüssigkeit ein, bis der Auftrieb (entspr. der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit) seiner Gewichtskraft entspricht V K F auf = m Fl g = ρ Fl V e g F G = m k g = ρ k g V k h V e F Auf = F G ρ K V K = ρ Fl V e (V e = A h = eingetauchtes Volumen = Volumen der verdrängten Flüssigkeit), wenn die Gewichtskraft größer als der maximal erreichbare Auftrieb ist.
Auftrieb: Das Hintergrundmedium kann auch Luft sein: Gleichgewicht der Waage in Luft (links) Nach Evakuieren ist die Waage nicht mehr im Gleichgewicht Der voluminösere Körper (Ball) sinkt ab, da er an Luft den größeren Auftrieb erfahren hat
Herleitung der barometrischen Höhenformel für Interessierte: Luftdruck = Schweredruck der Atmosphäre läßt sich wie der Schweredruck von Flüssigkeiten verstehen, mit dem Unterschied, daß Gase komprimierbar sind deshalb ist die Dichte hier druckabhängig. h 2 Höhe h h 1 A F 2 F 1 h Boden (Meereshöhe) Luftsäule (Fläche A, Höhe h = h 2 -h 1 Gewichtskraft F = F 1 -F 2 = M g = ρ Luft A h g p = - F / A = - ρ g h (Minuszeichen, weil h von unten nach oben gemessen und der Druck von oben abnimmt.) Für ideale Gase gilt die Zustandsgleichung (Boyle-Mariotte-Gleichung, s. III Wärmelehre): p V = const. p/ρ = const.: (bei fester Temperatur und Molzahl)
Einsetzen von ρ=p/const. in die Gleichung für p : p g dp g = p p const. dh const. p = (p / const.) g h, = h, Ende der Herleitung. Die barometrische Höhenformel p = p 0 e h / H mit H = g/const. = p 0 /(g ρ 0 ) = 7930m Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe über Meeresspiegel