KOMPETENZHEFT ZUR STOCHASTIK II

KOMPETENZHEFT ZUR STOCHASTIK II Inhaltsverzeichnis 1. Aufgabenstellungen 1 2. Binomialverteilung 4 3. Erwartungswert und Standardabweichung 10 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Milchverpackungen werden maschinell ausgestanzt. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Maschine eine Milchverpackung korrekt ausstanzt, beträgt laut Hersteller 9 %. Bei einer Qualitätsprüfung der Produktion werden 4 zufällig ausgewählte Milchverpackungen kontrolliert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den kontrollierten Milchverpackungen mindestens 1 Milchverpackung fehlerhaft ist. Aufgabe 1.2. Jedes Jahr im Frühjahr findet die CeBIT, die Messe für Informationstechnik, in Hannover statt. Für den Besuch der CeBIT soll ein Flug nach Hannover gebucht werden. Erfahrungsgemäß werden % der Buchungen storniert. Aus diesem Grund wurden 10 voneinander unabhängige Buchungen für eine Maschine mit 15 Sitzplätzen durchgeführt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass am Flugtag niemand aus Platzgründen auf eine andere Maschine umgebucht werden muss. Aufgabe 1.3. Nach Karl Landsteiner unterscheidet man vier Blutgruppen: 0, A, B und AB. Diese kommen in Österreich annähernd mit folgender relativer Häufigkeit vor: Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit in einer Zufallsstichprobe von 25 Personen in Österreich mindestens 9 Personen die Blutgruppe 0 haben. Aufgabe 1.4. Stefan nimmt ohne hinzusehen ein Gummibärchen aus einer Packung, die verschiedenfärbige Gummibärchen enthält. Ist dieses zufällig ausgewählte Gummibärchen weiß, legt er es zurück, ist es ein andersfärbiges, wird es sofort gegessen. Das macht er 10-mal hintereinander. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der dabei gezogenen weißen Gummibärchen. Datum: 27. März 2018. 1

Erklären Sie, warum dieses Zufallsexperiment nicht durch eine Binomialverteilung beschrieben werden kann. Aufgabe 1.5. Die Mathematiker Blaise Pascal und Pierre de Fermat beschäftigten sich in einem Briefwechsel mit der folgenden Frage: Was ist wahrscheinlicher: Bei 4 Würfen mit einem Würfel mindestens einen Sechser zu werfen oder bei 24 Würfen mit 2 Würfeln mindestens einen Doppelsechser? Dabei wird mit einem herkömmlichen Spielwürfel gewürfelt, wobei die Augenzahlen 1 bis jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Überprüfen Sie die Fragestellung durch Berechnung der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. Aufgabe 1.. Ein Zimmereibetrieb überprüft eine Lieferung von Konstruktionsholz aus Fichte. Erfahrungsgemäß ist ein bestimmter Prozentsatz der Fichtenstämme von minderer Qualität und daher nicht verwendbar. X ist die Anzahl der Fichten von minderer Qualität in einer Lieferung. Erklären Sie, welche Wahrscheinlichkeit mit dem Ausdruck 1 P (X 2) beschrieben wird. Aufgabe 1.7. Das chinesische Spiel Pat Cha ( Griff nach acht ) wird mit 8 Würfeln gespielt. Jede Spielerin / jeder Spieler setzt auf eine der Augenzahlen. Eine Spielerin / ein Spieler gewinnt, wenn mindestens 3 der 8 Würfel die gesetzte Zahl zeigen. Martin setzt auf die Augenzahl. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Martin gewinnt. Aufgabe 1.8. Ein Hotel kann 93 Zimmer vermieten. a) Anlässlich einer Sportveranstaltung besteht eine große Buchungsnachfrage. Aus Erfahrung weiß man, dass im Schnitt p % aller Buchungen wieder kurzfristig storniert werden. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der vorgenommenen Stornierungen an. Erklären Sie, unter welchen Bedingungen diese Zufallsvariable im gegebenen Sachzusammenhang binomialverteilt ist. b) Erfahrungsgemäß nehmen 55 % der voneinander unabhängig buchenden Gäste Vollpension in Anspruch. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei 40 zufällig ausgewählten Gästen mehr als 20 und weniger als 25 Personen Vollpension buchen. Aufgabe 1.9. Erfahrungsgemäß enthalten 4 % aller Joghurtbecher eine Woche nach dem Ablaufdatum bereits verdorbene Ware. Im Lager einer Lebensmittelkette befinden sich noch 200 solcher Becher. a) Berechnen Sie den Erwartungswert der Anzahl der Becher mit verdorbenem Joghurt. 2

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in höchstens 5 der 200 Joghurtbecher verdorbene Ware enthalten ist. Aufgabe 1.10. Wenn Teilchen im Teilchenbeschleuniger kollidieren, können neue Teilchen entstehen. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Kollision ein Teilchen eines bestimmten Typs entsteht, beträgt 3,4 %. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E wird mit P (E) = ( ) 500 2 0,0342 (1 0,034) 498 berechnet. Beschreiben Sie im gegebenen Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit so berechnet wird. Berechnen Sie, wie viele dieser Teilchen im Mittel entstehen, wenn 1000 Kollisionen stattfinden. Aufgabe 1.11. Ein Schmerzmittel wirkt erfahrungsgemäß in 0 % aller Fälle positiv. In den anderen Fällen zeigt es keine positive Wirkung. n Personen nehmen das Medikament ein. Interpretieren Sie, was durch den Term 0,4 n in diesem Sachzusammenhang berechnet wird. Interpretieren Sie, was durch den Term (1 0,4 n ) in diesem Sachzusammenhang berechnet wird. 1.1 15,0...% 1.2 98,80...% 1.3 1,52...% 1.4 Die Verwendung der Binomialverteilung setzt voraus, dass die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Versuchsausgangs jeweils konstant bleibt. Bei jedem Zug, bei dem kein weißes Gummibärchen gezogen wird, ändert sich die Gesamtzahl in der Packung und damit die Wahrscheinlichkeit des Versuchsausgangs. 1.5 Die Wahrscheinlichkeit für mind. ein Sechser bei 4 Würfen ist 51,77...%. Die Wahrscheinlichkeit für mind. ein Doppelsechser bei 24 Würfen ist kleiner, nämlich 49,14...%. 1. Der Ausdruck steht für die Wahrscheinlichkeit, dass in der Lieferung mehr als 2 Fichten von minderer Qualität sind. 1.7 13,48...% 1.8 a) Die Binomialverteilung kann verwendet werden, wenn die Stornierung von Zimmern als Zufallsexperiment mit 2 möglichen Ausgängen (Stornierung, keine Stornierung) aufgefasst werden kann. Die Wahrscheinlichkeit für eine Stornierung ist unabhängig von eventuell bereits vorausgegangenen Stornierungen. Die Wahrscheinlichkeit p für eine Stornierung muss bei jeder Buchung konstant sein. b) 47,02...% 1.9 a) 8 b) 18,5...% 1.10 E ist das Ereignis, dass bei 500 Kollisionen genau 2 Teilchen dieses Typs entstehen. Bei 1000 Kollisionen entstehen im Mittel 34 Teilchen dieses Typs. 1.11 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen n Personen das Schmerzmittel keine positive Wirkung zeigt, ist 0,4 n. Die WS, dass bei mindestens einer der n Personen das Schmerzmittel eine positive Wirkung zeigt, ist 1 0,4 n. 3

2. Binomialverteilung Bernoulli-Experiment Ein Zufallsexperiment mit genau 2 möglichen Ergebnissen heißt Bernoulli-Experiment. Beispiel 2.1. a) Ein Münzwurf ist ein Bernoulli-Experiment mit Ω = {Kopf, Zahl}. Beide Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich: P (Kopf) = 1 2 und P (Zahl) = 1 2. b) Auch der Wurf eines -seitigen Würfels ist ein Bernoulli-Experiment, wenn wir nur zwischen den Ergebnissen Ω = {, } unterscheiden. Dann sind die beiden Ergebnisse aber nicht gleich wahrscheinlich: P ( ) = 1 und P ( ) = 5. Beispiel 2.2. In einer Urne befinden sich graue und 4 weiße Kugeln. Du ziehst 3 Mal hintereinander eine Kugel. Jede gezogene Kugel legst du gleich wieder zurück in die Urne. a) Stelle alle möglichen Ergebnisse in einem Baumdiagramm dar. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 graue Kugeln zu ziehen? Lösung. a) Die Wahrscheinlichkeit, eine graue Kugel zu ziehen, ist jedes Mal = 0, = 0 %. Eine 10 weiße Kugel zieht man mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 = 0,4 = 40 %. Mit der 1. Pfadregel 10 können wir die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses berechnen: 0, 0,4 0, 0,4 0, 0,4 0, 0,4 0, 0,4 0, 0,4 0, 0,4 = P ( ) = 0, 0, 0, = 0, 3 0,4 0 = 21, % = P ( ) = 0, 0, 0,4 = 0, 2 0,4 1 = 14,4 % = P ( ) = 0, 0,4 0, = 0, 2 0,4 1 = 14,4 % = P ( ) = 0, 0,4 0,4 = 0, 1 0,4 2 = 9, % = P ( ) = 0,4 0, 0, = 0, 2 0,4 1 = 14,4 % = P ( ) = 0,4 0, 0,4 = 0, 1 0,4 2 = 9, % = P ( ) = 0,4 0,4 0, = 0, 1 0,4 2 = 9, % = P ( ) = 0,4 0,4 0,4 = 0, 0 0,4 3 =,4 % b) Mit der 2. Pfadregel berechnen wir die WS, 2 graue Kugeln und eine weiße Kugel zu ziehen. P ( ) + P ( ) + P ( ) = 3 14,4 % = 43,2 % Es gibt nur einen Pfad für das Ereignis 3 graue Kugeln ziehen, aber 3 Pfade für das Ereignis 2 graue und eine weiße Kugel ziehen, weil die weiße Kugel an erster, zweiter oder dritter Stelle gezogen werden kann. 4

Beispiel 2.3. Du wirfst einen fairen -seitigen Würfel insgesamt 10 Mal und notierst die Ergebnisse. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit...... nur Sechser zu würfeln? 1 1... 1 ( ) 1 10 = = 0,000 000 01 5... = 0,000 001 5...% = 1,5... 10 % }{{ } 10 Faktoren... mindestens einen Sechser zu würfeln? Das ist der Trick mit der Gegenwahrscheinlichkeit. ( ) 5 10 1 P (kein Sechser bei 10 Würfen) = 1 = 83,84...%... zuerst einen Sechser und danach 9 Mal keinen Sechser zu würfeln? ( ) 1 5 9 = 3,23...%... beim letzten Wurf den ersten Sechser zu würfeln? ( ) 5 9 1 = 3,23...%... genau einen Sechser zu würfeln? 10 günstige Pfade im Baumdiagramm mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. ( ) 1 5 9 10 = 32,30...%... nur beim 3. Wurf und beim 8. Wurf einen Sechser zu würfeln? ( ) 1 2 ( ) 5 8 = 0,4...%... genau zwei Sechser zu würfeln? Jeder günstige Pfad hat Länge 10. Wähle 2 der 10 Würfe für den Sechser aus. ( ) 1 2 ( ) ( ) 5 8 10 = 29,07...% 2 5

Wir wiederholen das Bernoulli-Experiment mit den beiden Ergebnissen {, } unabhängig voneinander 10 Mal. Das Gesamtergebnis des Zufallsexperiments schreiben wir als Folge an, zum Beispiel,,,,,,,,,. Erkläre: 1) Jede Folge von 10 Würfen, die genau k Sechser beinhaltet, hat die Wahrscheinlichkeit ( 1 ( 5 Säulendiagramm ) k = 0, 1, 2,..., 10 k ) 10 k. 1. Pfadregel 2) Es gibt ( ) 10 k verschiedene Ergebnisfolgen, die genau k Sechser beinhalten. Kombinatorik 3) Die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Sechser gewürfelt werden, ist ( ) ( ) 10 1 k ( ) 5 10 k. 2. Pfadregel k Wir verwenden diese Formel und berechnen jeweils die Wahrscheinlichkeit für genau k Sechser: Anzahl Sechser Wahrscheinlichkeit 0 1,14...% 1 32,30...% 2 29,07...% 3 15,50...% 4 5,42...% 5 1,30...% 0,21...% 7 0,024...% 8 1,8... 10 3 % 9 8,27... 10 5 % 10 1,5... 10 % Zufallsvariable Wenn wir die Anzahl der Sechser in der Ergebnisfolge zählen, übernehmen wir mathematisch die Aufgabe einer Zufallsvariablen X. X ist die Funktion, die jeder Ergebnisfolge die Anzahl der Sechser zuordnet. Zum Beispiel: X(,,,,,,,,, ) =. Statt P (genau k Sechser unter 10 Würfen) können wir dann kurz schreiben: ( ) ( ) 10 1 k ( 5 10 k P (X = k) = k )

Ein Bernoulli-Experiment hat 2 mögliche Ergebnisse: {Erfolg, Misserfolg}. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist P ({Erfolg}) = p. Wir wiederholen dieses Bernoulli-Experiment n Mal immer unter denselben Bedingungen. Bei jeder Wiederholung ist die Erfolgswahrscheinlichkeit also genau p. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Erfolge unter den n Wiederholungen an. Dann ist X eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern n und p. Erkläre die folgende Formel für die Wahrscheinlichkeit von genau k Erfolgen unter n Wiederholungen: ( ) n P (X = k) = k p k (1 p) n k }{{} 1. Pfadregel Kombinatorik und 2. Pfadregel Binomialverteilung k = 0, 1, 2,..., n Galtonbrett Jedes Mal, wenn die oben eingeworfene Kugel auf einen Nagel ( ) trifft, fällt sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit entweder nach links oder nach rechts. 0,5 0,5 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel genau den eingezeichneten Pfad nimmt? Haben alle Fächer die gleiche Chance, dass die Kugel dort landet? 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Gib 2 Fächer an, in die die Kugel mit gleicher Wahrscheinlichkeit fällt. k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel im Fach k = 2 landet? Die Zufallsvariable X gibt an, wie oft die Kugel nach rechts fällt. Erkläre, warum X binomialverteilt ist. Wie groß sind die Parameter n und p? 7

Beispiel 2.4. Du wirfst einen fairen -seitigen Würfel insgesamt 10 Mal. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. Erkläre, warum X eine binomialverteilte Zufallsvariable ist. Wie groß sind die Parameter n und p? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit...... höchstens zwei Sechser zu würfeln? P (X 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 1,14...% + 32,30...% + 29,07...% = 77,52...%... mehr als zwei Sechser zu würfeln? P (X > 2) = 1 P (X 2) = 100 % 77,52...% = 22,47...%... ein, zwei oder drei Sechser zu würfeln? P (1 X 3) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 32,30...% + 29,07...% + 15,50...% = 7,87...% Ränder beachten P ( X ist mindestens 3 ) = P (X 3) P ( X ist größer als 3 ) = P (X > 3) P ( X ist höchstens 3 ) = P (X 3) P ( X ist kleiner als 3 ) = P (X < 3) P ( X ist nicht größer als 3 ) = P (X 3) P ( X ist nicht kleiner als 3 ) = P (X 3) 8

Beispiel 2.5. Aus einer Gruppe von 1 Personen wird jede Woche zufällig eine Person zur Stundenwiederholung ausgewählt. Die Auswahl erfolgt zum Beispiel mit einem fairen 1-seitigen Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Person im Zeitraum von 28 Wochen... 1)... mindestens einmal ausgewählt wird? 2)... öfter als zweimal ausgewählt wird? 3)... mindestens zweimal, aber höchstens fünfmal ausgewählt wird? Lösung. Die Zufallsvariable X gibt an, wie oft diese bestimmte Person ausgewählt wird. Das gleiche Bernoulli-Experiment ( Bestimmte Person ausgewählt oder nicht ausgewählt? ) wird 28 Mal unabhängig voneinander durchgeführt. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist jedes Mal 1 1. X ist damit eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n = 28 und p = 1 1. 1) P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1 ( ) 15 28 = 83,58...%. 1 2) P (X > 2) = 1 P (X 2) = 1 P (X = 0) P (X = 1) P (X = 2) ( ) 15 28 P (X = 0) = = 1,41...% 1 P (X = 1) = 1 ( ) ( ) 15 27 28 1 = 30,3...% 1 1 ( ) 1 2 ( ) ( ) 15 2 28 P (X = 2) = = 27,57...% 1 1 2 = P (X > 2) = 25,37...% Im Bild rechts berechnen wir P (X > 2) = P (3 X 28) mit dem Wahrscheinlichkeitsrechner von GeoGebra. 3) P (2 X 5) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) ( ) 1 3 ( ) ( ) 15 25 28 P (X = 3) = = 15,93...% 1 1 3 ( ) 1 4 ( ) ( ) 15 24 28 P (X = 4) = =,3...% 1 1 4 ( ) 1 5 ( ) ( ) 15 23 28 P (X = 5) = = 2,12...% 1 1 5 = P (2 X 5) = 52,2...% 9

3. Erwartungswert und Standardabweichung Kenngrößen einer diskreten Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable X kann die Werte x 1, x 2,..., x n annehmen. 1) Der Erwartungswert von X ist µ = E(X) = x 1 P (X = x 1 ) + x 2 P (X = x 2 ) + + x n P (X = x n ). Wenn wir das Zufallsexperiment häufig unabhängig wiederholen, dann ist E(X) jene Zahl, der sich der durchschnittliche Wert von X aller Wahrscheinlichkeit nach beliebig genau annähert. 2) Die Varianz von X ist V (X) = (x 1 µ) 2 P (X = x 1 ) + (x 2 µ) 2 P (X = x 2 ) + + (x n µ) 2 P (X = x n ). Die Varianz ist ein Maß für die Streuung der Werte x i um den Erwartungswertwert µ. Kann V (X) = 0 sein? 3) Die Standardabweichung von X ist σ = V (X). Auch σ ist ein Streuungsmaß. Im Gegensatz zur Varianz hat σ aber die gleiche Einheit wie die Werte x i. Beispiel 3.1. Würfelt man mit einem sogenannten gezinkten -seitigen Würfel, so sind die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Augenzahlen bei einem Wurf nicht gleich groß. Die Zufallsvariable X gibt die Augenzahl der gewürfelten Seite an. Die Wahrscheinlichkeiten für die sechs Seiten sind rechts in einem Stabdiagramm dargestellt. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. Lösung. Der Erwartungswert von X ist µ = E(X) = 1 P (X = 1) + 2 P (X = 2) + + P (X = ) = 1 0,3 + 2 0,05 + 3 0,15 + 4 0,25 + 5 0,1 + 0,15 = 3,25. Die Varianz von X ist V (X) = (1 µ) 2 P (X = 1) + (2 µ) 2 P (X = 2) + + ( µ) 2 P (X = ) = 3,1875. 10

Die Standardabweichung von X ist also σ = V (X) = 1,785... Beispiel 3.2. Du wirfst einen fairen 4-seitigen Würfel und einen fairen -seitigen Würfel. Die Seiten sind jeweils von 1 bis 4 bzw. von 1 bis durchnummeriert. Spielwürfel a) X 1 gibt die gewürfelte Augenzahl des 4-seitigen Würfels an. Berechne E(X 1 ) und V (X 1 ). b) X 2 gibt die gewürfelte Augenzahl des -seitigen Würfels an. Berechne E(X 2 ) und V (X 2 ). c) X gibt die Augensumme der beiden Würfel an. Berechne E(X) und V (X). Lösung. a) Jede Augenzahl k ist gleich wahrscheinlich: P (X 1 = k) = 1 4. E(X 1 ) = 1 1 4 + 2 1 4 + 3 1 4 + 4 1 4 = 1 (1 + 2 + 3 + 4) = 2,5 4 V (X 1 ) = 1,5 2 1 4 + 0,52 1 4 + 0,52 1 4 + 1,52 1 4 = 1 4 ( 1,5 2 + 0,5 2 + 0,5 2 + 1,5 2) = 1,25 b) Jede Augenzahl k ist gleich wahrscheinlich: P (X 2 = k) = 1. E(X 2 ) = 1 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ) = 3,5 V (X 2 ) = 1 (2,52 + 1,5 2 + 0,5 2 + 0,5 2 + 1,5 2 + 2,5 2 ) = 2,91... c) Es gibt 4 = 24 mögliche Würfelkombinationen, die alle gleich wahrscheinlich sind. E(X) = 1 (Summe aller Würfelergebnisse) = 24 V (X) = 1 24 (42 + 3 2 2 + 2 2 3 + 1 2 4) 2 = 4,1... 2 3 4 5 7 3 4 5 7 8 4 5 7 8 9 5 7 8 9 10 Kannst du einen Zusammenhang zwischen E(X 1 ), E(X 2 ) und E(X) erkennen? Gibt es auch zwischen der Varianz von X 1, X 2 und X einen Zusammenhang? Das ist kein Zufall. 11

Zwei Zufallsexperimente werden unabhängig voneinander durchgeführt. X 1 ist eine Zufallsvariable beim ersten Zufallsexperiment. X 2 ist eine Zufallsvariable beim zweiten Zufallsexperiment. Gewürfelte Zahl beim 4-seitigen Würfel. Gewürfelte Zahl beim -seitigen Würfel. Zu jedem Ergebnispaar (ω 1, ω 2 ) der beiden Zufallsexperimente berechnet die Zufallsvariable X die Summe der Einzelwerte: X((ω 1, ω 2 )) = X 1 (ω 1 ) + X 2 (ω 2 ). Summe unabhängiger Zufallsvariablen Gewürfelte Augensumme. Dann ist E(X) = E(X 1 ) + E(X 2 ) und V (X) = V (X 1 ) + V (X 2 ). Für die Varianz ist es entscheidend, dass die Experimente keinen Einfluss aufeinander haben, also unabhängig sind. Wir führen ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p durch. Die Zufallsvariable X mit 1, falls Experiment erfolgreich, X = 0, falls Experiment nicht erfolgreich, hat dann die folgenden Kenngrößen: 1) Der Erwartungswert von X ist 2) Die Varianz von X ist E(X) = 0 P (X = 0) + 1 P (X = 1) = 0 (1 p) + 1 p = p. V (X) = (0 p) 2 P (X = 0) + (1 p) 2 P (X = 1) = p 2 (1 p) + (1 p) 2 p = p (1 p). 3) Die Standardabweichung von X ist σ = V (X) = p (1 p). Kenngrößen der Bernoulliverteilung 12

X ist eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern n = 100 und p. Binomialverteilung Welche Verteilung erwartest du, wenn p = 0 ist? Welche Verteilung erwartest du, wenn p = 1 ist? Welche Eigenschaft hat die Verteilung, wenn p = 0,5 ist? Welche Anzahl an Erfolgen erwartest du bei p = 0,42? X ist eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern n und p. Das gleiche Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p wird also n Mal unabhängig voneinander durchgeführt. 1) Der Erwartungswert von X ist E(X) = n p. Kenngrößen der Binomialverteilung 2) Die Varianz von X ist V (X) = n p (1 p). Vergleiche mit dem Erwartungswert vom Bernoulli-Experiment. Vergleiche mit der Varianz vom Bernoulli-Experiment. 3) Die Standardabweichung σ von X ist σ = V (X) = n p (1 p). Für welches p ist V (X) am größten? Beispiel 3.3. Eine Fluglinie hat die Erfahrung gemacht, dass 3 % der gebuchten Flugtickets nicht in Anspruch genommen werden. Die Fluglinie verkauft für einen Flug mit 350 Sitzplätzen insgesamt 355 Tickets. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der in Anspruch genommenen Tickets an. Wir nehmen an, dass X binomialverteilt ist. a) Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden höchstens so viele Tickets in Anspruch genommen, wie es Sitzplätze gibt? Lösung. Ob ein Fluggast ein Ticket in Anspruch nimmt, ist ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p = 97 %. Nach unserer Annahme ist X binomialverteilt mit n = 355 und p = 0,97. 13

a) E(X) = n p = 344,35 Tickets, σ = n p (1 p) = 3,214... Tickets. b) Mit Technologieeinsatz berechnen wir P (X 350) = 0,9821... = 98,21...%. Die Binomialverteilung ist hier ein Modell, das als Annäherung der Realität verwendet wird. Welche Voraussetzung für eine Binomialverteilung ist in der Praxis wohl nicht erfüllt? Nimmt jeder gebuchte Passagier wirklich unabhängig von allen anderen Passagieren das Flugticket in Anspruch? Dieses Werk von Mathematik macht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz. http://mathematikmachtfreunde.univie.ac.at