Lösungen II. / selbe Länge:,, 7;,, ;,, ;, ;, 9 selbe Tanslation:, ;, ;,, ;, Lösungen II. / a b a b c c d d s u v s u v b) ein Pfeil de Länge /7 a b ; y b a b) Kommutativgesetz / u a b ; v b c b) w u c ( a b) c ; w a v a ( b c) c) Assoziativgesetz 7/9 ( a b) c b) c) a b c d e b ( c d ) e / b a d a b) ein Pfeil zu b c d
/ a y ; b, y ; c ; d 7 b) t s y ; w u v, y Lineakombinationen: / AC a b ; AD a b c ; BD b c b) /; AC a b c ; BE a b c ; BG a b c ; AB a b c ; HB a b c b) BA ; AF; DF / AM a b ; MD a b ; DE a b ; AF a b ; ED a b (vgl. DE!); EM b ; MF a b / AE a b c ; AG a b c ; BD a b c ; BE a b c ; CA a b c ; CG a b c AE ; EC a b c ; FA a b c ; HB a b c b) AE a b d ; AG a b d ; BD a b d ; BE a b d ; CA a b d ; CG a b d AE ; EC a b d ; FA a b d ; HB a b d / FS a b c ; EM a b c ; ES a b c ; DS a b c Lösungen II. 7/ A( ); B( ); C( ); D( 9 ); E( 9 ); F(;;); G( ) / A( ); B( 9 ); C( 9 ); D( ); E( ); F( 9 ); G( 9 ); H( ) 9/7 P ( ) b) P ( ) c) P ( ) d) P ( ) /9 Q( ) b) Q( ) c) Q( ) d) Q( ) / a b) a c) a d) a e) a f) a / P( ) b) P( ) c) P( ) d) P( ) 7 / a,; b ; c, b) a ; b 7 ; c / X ( ) b) X ( ) c) X ( ) d) X ( ) e) X ( ) f) X ( ) g) X ( ) h) X ( )
9/ AB ; BA b) AB ; CD ; CD ist Vielfaches von AB [CD] [AB] 9/7 M( ) b) M( ) c) M( ) 9/ M a (,,); M b ( ); M c (,,) b) S( ) 9/9 C( ) b) M (,,); M (,,); M (,,); M (,,); S(,, ) c) E(,7,7 ) 7/ A( ); B( 9) 7/ S( ) in - -Ebene, weil s 7/ C( 9) 7/ M AB (,t,,,t t) M fü t b) S ABC ( t t) S fü t 7/ 9 AB ; CD ; CD ist Vielfaches von AB Paallelogamm AB ; CD ; CD ist Vielfaches von AB Paallelogamm /,; /-; /-7; ff/,9,-: siehe I.b kollineae Vektoen: / k b) k c) k d) k R beliebig e) k f) keine Lösung Lösungen II. 9/ ; ;,; ;,; b) ; ; ; ; ; 9/ z. B. A( ), B( ), C( ), D( ), E(,,), F( π π π) 9/ P: ja ( ); Q: nein b) P: ja ( ); Q: nein 9/ AB: ; AC: ; BC: ; OS: σ 9/ nein b) ja (soga B M AC ) / nein (weil auf AC imme gilt) b) fü k
/ [;,], [,;,], [ ; ], [,;,] b) [ ; [, ] ] ;, ; [,; [ / [AB]\{A}; P: ja (fü ); QC: ja (fü ) b) [CD[; P: nein; QC: ja (fü ) Lösungen II. / (; ), (; ), ( 7 ; ), (,; ), (,; ), ( ; ) / A(, ), B( ), C(, ), D( 7, ) / E: b) E: τ σ / E: b) P: ja (, ); Q: nein / P: ja (, ); Q: ja (( ) /7 E: b) da B g ist, gibt es unendlich viele Möglichkeiten / - -Ebene: b) E: /9 nein: z. B. ABC: ; D ABC b) ja: z. B. ABC: ; D ABC / Geade duch den Punkt mit Otsvekto u a und Richtungsvekto v b) Halbgeade vom Punkt mit Otvekto v a aus und Richtungsvekto u c). Quadant de aufgespannten Ebene (wenn die Achsen in Richtung de Vektoen u und v gehen) d) Rechteck mit Eckpunkten, deen Otsvektoen a, u a, v a, v u a sind e) Deieck mit Eckpunkten, deen Otsvektoen a, u a, v a sind / z. B. P( ), Q( 9), R( ), S( 7), T( 7 ), U( )... b) A: nein; B: ja ( ) c) z. B.,, C(, ); ode, D( ); ode, B usw. usf. d) in E einsetzen P ( )
/ ABC: ; O ABC mit, O liegt auf de Seite [AC] b) ABC: ; D ABC mit,,, D liegt außehalb des Deiecks / A( ), B( ), C( ) b) OAC: P OAC mit,,, P liegt im Innen des Paallelogamms Q OAC mit,,, Q liegt außehalb des Paallelogamms Lösungen II. / A: nein, B: ja b) P: nein, Q: nein, R: nein /7 P und Q b) k / b) c) d) /9 b) / b) R: nein; S: ja / ABC: D ABC b) RST: U RST, V RST / hat keine Lösung b) 7 c) nein / beide Geaden enthalten denselben Punkt P, ihe Richtungsvektoen sind nicht paallel zueinande b) c) nein / zwei nicht zueinande paallele Richtungsvektoen: und b) / P: ja (fü t ); Q: ja (fü alle t) / jeweils nu eine mögliche Fom angegeben! E: b) E: c) E: d) E: e) E: f) E: 9
/7 b) c) / b) c) Lösungen II.7 Zwei Geaden / paallel, weil jeweils die beiden Richtungsvektoen Vielfache voneinande sind echt paallel b) identisch / AB ist paallel zu PQ g und h sind paallel; A PQ g und h sind identisch / die Vektoen,, sind nicht komplana (bzw. die Gleichung hat keine Lösung) /7 die Vektoen,, sind komplana (bzw. die Gleichung hat genau eine Lösung) S( ) ( ) / schneiden sich; S( 7 ) ( ) b) schneiden sich; S( ) ( ; ) c) windschief /9 identisch b) schneiden sich c) schneiden sich / g : ; g : ; windschief b) g : ; g : ; schneiden sich / S( ) ( ; ); E: / tivial! b) g schneidet -Achse; h schneidet keine
/ k 7; S( ) ( ; ) b) Geade und Ebene 7/ nein b) ja 7/ ja 7/7 schneiden sich; S( ) ( ) b) (echt) paallel c) schneiden sich; S(, ) (,) d) g liegt in E 7/ (echt) paallel b) liegt dain c) schneiden sich 7/9 ABC: ; S( ) ( ; ; ) 7/ PQ: ; ABC: ; S(9 ); ( ; ; ) b) nein 7/ g: ; E: nein b) g: ; E: ja c) Zwei Ebenen (s. auch FS f/c,) fü die Schnittgeaden ist nu jeweils eine Möglichkeit angegeben! 7/ nein b) ja 7/ nein /7 b) / 7 b),,, /9 gleichsetzen... ρ
/7 E : ; E : ja b) E : ; E : ja /7 E E, sonst keine paallel E E :,, ρ ; E E : 9 7 ρ /7 S( ) b) S(7 ) ( ; ) /7 E ABC: ; S( 7 7 9) /7 LGS hat keine Lösung b) Fall : kein Ebenenpaa ist paallel /77 kein gemeinsame Punkt fü t, (Fall ); genau ein Schnittpunkt fü t, /7 z. B. E mit E t (t ) schneiden g: diese Geade liegt in E und auch in allen andeen E t gemeinsame Schnittgeade alle Ebenen; diese liegen so zueinande wie in Fall bei /. d) Geaden im Koodinatensystem /7 g: b) g: c) / paallel zu -Achse, duch P( ) b) duch Uspung und Q( ) (Winkelhalbieende des. Oktanten?!?) c) duch Uspung und R( ) (Winkelhalbieende des. Quadanten de - -Ebene) d) paallel zu - -Ebene, duch S( ) / g : geht duch ( ), paallel zu -Achse g :
g : geht duch ( ), paallel zu -Achse g : g : geht duch ( ), paallel zu -Achse g : g : geht duch ( ), paallel zu -Achse g : 7/ g: S eistiet nicht; S ( ); S ( 9, ) h: S ( 9 ); S ( ); S (, 7, ) b) AB: S ( ) e) Ebenen im Koodinatensystem / E : ist - -Ebene E : geht duch ( 7 ); paallel zu - -Ebene E : 7 E : geht duch ( ); paallel zu - -Ebene E : 9/ ist beliebig, b) ist beliebig, ; c) ist beliebig; ; d) ;, sind beliebig e), sind beliebig; f), sind beliebig, 9/ ; ist beliebig b), sind beliebig; c) und sind fest; ist beliebig d) ist fest; und sind beliebig e) ( ) ( ) ( ) < / E ist die - -Ebene b) E - -Ebene / b) c) beliebige Zahl d) ode diekt: / S ( ); S (, ); S ( ) b) s :, ; s : ; s :,, / S S S O b) S ( ); S eistiet nicht; S ( ) c) S ( ); S ( ); S ( )
/7 s : α ; s : β ; s : γ S ( ); S ( ); S eistiet nicht /7 E ABC: s : α ; s : β ; s :, γ /9 h: S ( ) 7/9 b) 7/ S ( ); S ( ); S ( ) b) s : α ; s : β ; s : γ 7/ b) S ( ); S ( ); S (,) c) s : α ; s :, β ; s :, γ 7/ d) S ( ); S ( ); S ( ) e) kein S ; S (, ); S ( ) f) S ( ); S ( ); kein S 7/ b) 7/ b)
Lösungen zu den kompleen Aufgaben (Buch:.) /79 hat keine Lösung b) AB ; AC nicht paallel A, B, C liegen nicht auf eine Geaden legen eindeutig eine Ebene fest E: ; E: ; E: E -Achse c) S ( ); S ( ) s : ρ d) g und E schneiden sich; falls s h (?): g und h sind windschief / Paallele zu -Achse duch Q: ; k ; S( ) ( ; ) b) c) S( ) fü k d) e) t ; S( ) 9/ A( ), B( ), S( )... ABS: b) Sonnenstahl duch S: ; - -Ebene S ( ) 9/ g: ; in - -Ebene b) S ( ) c) ja; E: 9 9 9/ fü k : g liegt in E; ansonsten: g schneidet E 9/ k mit k, also eine Ebenengleichung E:
9/ k 9/ fü die Otsvektoen gilt: 9, 9, k k k k OP k, also eine Geadengleichung b) kein Schnittpunkt (P k in E einsetzen keine Lösung) 9/7 duch schneiden (einsetzen) egibt sich: g liegt in allen Ebenen de Scha 9/ g mit E t schneiden (einsetzen); die sich egebende Gleichung hat nu dann keine Lösung, wenn t b) nein (kein Schnittpunkt!) 9/9 nein b) nein c),, k sind fü kein k komplana 9/9 /bc!!! 9/9 b) paallel fü t, sonst Schnitt c) t, y 9, z 7 9/9 ABC: ; D ABC mit, D AB b) AB, CD paallel, abe nicht gleich lang Tapez c) Diagonalen eines Tapezes schneiden sich AC: ; BD: ρ S( ) ( ρ ) 9/9 S ( ); S ( ); S ( ) c) s : b) Kügelchen fällt entlang Geade: ; E * R( ) P 9/9 fü alle, da AB und AC nu fü Vielfache voneinande sind
b,c)??? genau fü gibt es keine Ebene! 9/9 P liegt nicht auf g zwei nicht paallele Richtungsvektoen b) E: k d) Aufpunkt: P; Richtungsvekto: von P zu bel. Punkt von g k e) nein k c) P h g h h E 9/97 b)