An Herrn Dr. Martin Lieberherr MNG Rämibühl Physikinstitut Rämistrasse 54 8001 Zürich Kondensatorspalt Die Kapazität eines Plattenkondensators mit Luftspalt wird als Funktion der Spaltbreite gemessen sowie die Messung mit der Theorie verglichen. Eve Echantillon und Max Muster Klasse 40a Mathematisch Naturwissenschaftliches Gymnasium Rämibühl 8001 Zürich Bericht zum Physikpraktikum vom 23. September 2016
"Kondensatorspalt" E. Echantillon, M. Muster Seite 2 1. Einleitung Der Kondensator ist eine Anordnung aus Leitern und Isolatoren, die elektrostatisch Ladung speichern kann. Das Prinzip ist von Ewald Georg von Kleist (1745) und unabhängig durch Pieter van Ziebenhopf Muschenbroek in Leiden (1746, Leidener Flasche) entdeckt worden. "Kleist hatte bei Experimenten einen Nagel in eine wassergefüllte Flasche gesteckt und an eine Elektrisiermaschine angeschlossen. Beim späteren Herausziehen des Nagels erhielt er einen kräftigen elektrischen Schlag." [1]. In seiner heutigen Form besteht dieser Kondensator aus einer zylindrischen Glasflasche, die innen und aussen mit Metallfolie bedeckt ist. Die Folien stellen zwei Leiter dar, die durch einen Isolator (Glas) getrennt sind. Die Leidener Flasche ist ein spezieller Zylinderkondensator. Rechnerisch sehr einfach ist der Plattenkondensator, der aus zwei ebenen Metallplatten mit engen Spalt besteht. Die eine, isolierte Platte wird mit elektrischer Ladung belegt, die andere, meist geerdete Platte lädt sich durch Influenz entgegengesetzt gleich auf. Der Kondensator als ganzes ist elektrisch neutral. [2] Technische Kondensatoren werden beispielsweise für die Umwandlung von Wechsel- in Gleichstrom benötigt: Nach der Gleichrichtung sieht der Verlauf eines Wechselstroms wie der Betrag einer Sinusfunktion aus, mit zwei Nullstellen pro Periode des Sinus. Damit der elektrische Strom (Ladungsfluss!) nicht auf Null geht, wird ein Kondensator aufgeladen, der den Ladungsfluss über diese Nullstellen hinweg glättet. [3]
"Kondensatorspalt" E. Echantillon, M. Muster Seite 3 2. Theorie Die in einem Kondensator gespeicherte Ladung Q wächst proportional zur angelegten Spannung U (A. Volta, 1782 [4]). Das Verhältnis von Ladung zu Spannung heisst Kapazität C und ist die wichtigste Kenngrösse eines Kondensators (auch wichtig ist die maximale Spannung, mit der ein Kondensator belegt werden darf). C= Q U Kapazität eines Kondensators Die Kapazität hat die Einheit Coulomb pro Volt, welche mit Farad (F) bezeichnet wird. Die Kapazität eines technischen Kondensators ist auf dem Kondensator notiert oder im Datenblatt zu finden. Für besonders einfache Kondensatoren kann die Kapazität formal berechnet werden: C= ε r ε 0 A d Kapazität eines Plattenkondensators [5] wobei A die innere Fläche einer der Platten, d der Abstand der zwei Platten, ε 0 die elektrische Feldkonstante und ε r die Dielektrizitätszahl der Spaltfüllung ist. Für einen Luftspalt darf ε r =1 gesetzt werden.
"Kondensatorspalt" E. Echantillon, M. Muster Seite 4 3. Experiment Abbildung 1 zeigt den im Experiment verwendeten Plattenkondensator. Abbildung 1: Plattenkondensator mit Kapazitätsmessgerät Die Spaltbreite liess sich mit einer Schraube verstellen und an einer Skala mit Auflösung 0.1 mm ablesen. Die Kapazität wurde mit einem parallel geschalteten, digitalen Multimeter direkt gemessen. a) Berechnung der Kapazität inklusive Fehlerschranke Für den im Protokoll (Seite 10) und Abb. 1 beschriebenen Kondensator erhalten wir für die Spaltbreite 2.0 mm folgende Kapazität: C= ε A 0 d = ε π 0 D2 4 d = 8.854 10 12 As /(Vm) π (0.26 m) 2 =0.2340nF 4 2 10 3 m Fehlerschranke addiert oder subtrahiert, damit das Resultat möglichst gross wird: C max = 8.854 10 12 As /(Vm) π ((0.260+0.001)m) 2 =0.2632nF 4 (2.0 0.2) 10 3 m Δ C=C max C=0.2632nF 0.2340nF=0.0292nF C = (0.23 ± 0.03) nf Der Messwert beträgt (0.32 ± 0.05) nf und stimmt mit dem theoretisch aus den Abmessungen berechneten Wert knapp nicht überein.
"Kondensatorspalt" E. Echantillon, M. Muster Seite 5 b) Graphische Darstellung der Messwerte mit dem theoretischen Verlauf 10 1 C (nf) 0,1 0,01 C (nf) Theorie 0 0,1 1 10 100 d (mm) Abbildung 2: Gemessene Kapazitäten C nach Protokoll als Funktion der gemessenen Spaltbreite d (Punkte) sowie die aus dem Plattendurchmesser berechnete Kapazität als Funktion der Spaltbreite (Linie). Beide Achsen sind logarithmisch skaliert. Residuen (nc) 0,2 0,1 0 0,1 1,0 10,0 100,0-0,1 d (mm) -0,2 Abbildung 3: Residuen (Messwerte abzüglich Theoriewerte nach Abbildung 2) Die vertikale Achse (Ordinate) ist linear, die horizontale (Abszisse) logarithmisch skaliert. Die Residuen sind systematisch zu hoch. Die mittlere Abweichung ist grösser als der Offset des Multimeters von 0.05 nf.
"Kondensatorspalt" E. Echantillon, M. Muster Seite 6 c) Zusatz: Subtraktion eines Offsets Offenbar sind die Messwerte im Vergleich zur Theorie systematisch zu hoch. Ein Grund könnte sein, dass das Multimeter selber eine Kapazität aufweist. Subtrahiert man diesen Offset von 0.05 nf von den Messwerten, wird die Passung zwischen Theorie und Experiment besser. Am Besten wird sie allerdings, wenn ein Offset von 0.083 nf gewählt wird, siehe Abbildung 4. Dann können die Messwerte, bis auf einen Ausreisser beim kleinsten Abstand, sehr gut durch eine Potenzfunktion mit Exponent -1 dargestellt werden (es sollte ja C 1/d=d 1 gelten). 10,000 1,000 C-C0 (nf) 0,100 0,010 f(x) = 0,48502 x^-1,00953 0,001 0 1 10 100 d (mm) Abbildung 4: Messwerte C für die Kapazität eines Plattenkondensators abzüglich eines Offsets C 0 = 0.083 nf als Funktion der Spaltbreite d (ausgefüllte Punkte). Die durchgezogene Linie ist der Graph der Ausgleichsfunktion f (x )=a x b wobei x der Spaltbreite in Millimetern und f(x) der Kapazität in Nanofarad entspricht. Der Exponent ist sehr nahe bei minus Eins, wie bei einer umgekehrten Proportionalität erwartet.
"Kondensatorspalt" E. Echantillon, M. Muster Seite 7 4. Schlussfolgerungen a) Resultate Die Kapazität eines Plattenkondensators nimmt mit wachsendem Luftspalt ab. Für einen Kondensator mit Platten von 260 mm Durchmesser und 2.0 mm Luftspalt wurden (0.32 ± 0.05) nf gemessen und (0.23 ± 0.03) nf mit der Theorie berechnet. Die Werte stimmen knapp nicht überein, weil wir einen Offset des Messgeräts von 0.05 nf als Fehlerschranke genommen hatten. Subtrahiert man von den Messwerte 0.083 nf, so können sie sehr schön durch eine Funktion C d 1 dargestellt werden, wie sie auch von der Theorie her erwartet wird. b) Reflexion Die Messung war einfach durchzuführen, aber bei der Auswertung stiessen wir auf Schwierigkeiten, weil das Messgerät für die Kapazität bereits einen Wert anzeigte, wenn noch gar nichts angeschlossen war (Offset). Wir haben dieses Problem gelöst, indem wir eine Konstante ähnlicher Grösse vom Messwert subtrahierten. Beim Schreiben des Berichts hatten wir Schwierigkeiten mit dem Programm LibreOffice 5.1.6.2, das sich oftmals störrisch verhielt. Deshalb sind manche Stellen nicht perfekt formatiert. Man könnte den Versuch erweitern, indem man den Spalt mit einem isolierenden Material füllt.
"Kondensatorspalt" E. Echantillon, M. Muster Seite 8 5. Quellen [1] https://de.wikipedia.org/wiki/leidener_flasche (Abruf am 11. 1. 2017) [2] Theorieheft Eve Echantillon, MNG Rämibühl, Klasse 40a, 2017 [3] https://de.wikipedia.org/wiki/glättungskondensator (Abruf am 11. 1. 2017) [4] A. Volta, Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1782 72, 237-xxxiii [5] DMK/DPK/DCK "Formeln, Tabellen, Begriffe", 5. erweiterte Auflage 2015, Seite 174, Orell Füssli Verlag, Zürich 6. Anhang Versuchsanleitung und visiertes Originalprotokoll
Seite 9 Kondensatorspalt Lie. Sie sollen die Kapazität eines Kondensators als Funktion der Breite des Luftspalts messen und mit der Theorie vergleichen. Material verstellbarer Plattenkondensator, Multimeter Experiment Messen Sie die Kapazität des Plattenkondensators als Funktion der Breite des Luftspalts. Notieren Sie den Durchmesser der Platten. Auswertung a) Vergleichen Sie den Messwert der Kapazität für einen Spalt von etwa 2 mm Breite mit der Theorie für dieselbe Spaltbreite. Berechnen Sie auch die Fehlerschranke des Theoriewerts. Stimmen die zwei Werte innerhalb der Fehlerschranken überein? b) Stellen Sie in einem Diagramm die gemessene Kapazität als Funktion der Spaltbreite dar. Zeichnen Sie den theoretisch erwarteten Verlauf dazu. Diskutieren Sie mögliche Unterschiede.
Seite 10 Protokoll zum Versuch Kondensatorspalt Eve Echantillon, Max Muster, MNG Rämibühl, Klasse 40a, 23.9.2016 d (mm) 0.1 0.5 0.3 0.7 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0 7.0 10.0 20.0 40.0 70.0 0.2 0.1 0.2 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.3 1.6 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 C (nf) 4.57 1.08 1.77 0.76 0.55 0.39 0.32 0.24 0.20 0.18 0.15 0.13 0.11 0.095 0.09 2.68 6.89 2.45 2.68 1.57 1.30 0.97 0.88 0.75 0.67 0.61 0.58 0.45 0.39 0.33 0.20 0.16 0.14 0.13 Tabelle 1: Kapazität C eines Plattenkondensators in Nanofarad als Funktion der Spaltbreite d in Millimetern. Trennt man das Multimeter vom Kondensator, lässt aber die Kabel am Multimeter, so zeigt das Messgerät 0.05nF an. Die Auflösung der Messgeräte beträgt 0.1 mm und 0.01 nf. Die Fehlerschranken der Messungen sind 0.2 mm und 0.05 nf Eine Platte des Kondensators hat 260 mm Durchmesser(Auflösung 1 mm, Fehlerschranke 1 mm) Lehrervisum: 23. Sept. 2016, Lie.