Mathematik Aufnahmeprüfung 2013 Profile m,n,s Zeit: 2 Stunden. Rechner: TI30/TI34 oder vergleichbare. Hinweis: Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein, ansonsten werden keine Teilpunkte vergeben. Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Summe Punkte 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 5 47 3
Mathematik Aufnahmeprüfung 2013 Profile m,n,s Vorname: Name: Aufgabe 1 Die Zahl 72 lässt sich auf mehrere Weise als Summe von zwei Primzahlen schreiben: 72 = 13+59 = 41+31 =... = 19+53 Wie lässt sich die Zahl 58 als Summe von zwei Primzahlen schreiben? Finde durch Probieren alle Möglichkeiten. Aufgabe 2 Vereinfache den Term und gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an: 3b+8ab 4b 2 9a 1 3b 1 Aufgabe 3 Löse die Gleichungen nach auf. Gib das Resultat als ganze Zahl oder als gekürzten Bruch an. (a) 3[2 1 (1 )] = 4 2(2+3) (b) 1 2 = 1 ( 1 2 3 3 ) 2 2 3 Aufgabe 4 In einer Mensa werden jeden Tag drei verschiedene Gerichte angeboten. Menu A kostet Fr. 13.50, Menu B kostet Fr. 25.20, und Menu C kostet Fr. 11.70. Das Essen soll in Zukunft nicht mehr bar, sondern mit Essensmarken bezahlt werden. Wie viele Rappen muss eine solche Marke kosten, damit jedes der drei Gerichte mit möglichst wenigen dieser Marken eakt bezahlt werden kann? Mit wie vielen Essensmarken müssen dann Menu A, B bzw. C bezahlt werden? Hinweis: Rechne in Rappen. 1
Aufgabe 5 Betrachte die folgende Figur. Der Punkt M ist das Kreiszentrum. Der Winkel γ misst 36, der Winkel β ist gleich 130. Berechne den Winkel α. M γ β α Aufgabe 6 Eine Kompanie Soldaten übt das Marschieren. Am Vormittag marschieren sie in 4er Reihen (d.h. 4 Soldaten marschieren jeweils nebeneinander). Weil es nicht aufgeht, sind in der hintersten Reihe nur 3 Soldaten. Am Nachmittag fehlen 3 Soldaten, weil sie Küchendienst haben. Jetzt wird in 6er Reihen marschiert. Es hat 7 Reihen weniger als am Vormittag, aber in allen Reihen marschieren genau 6 Soldaten. Wie viele 6er Reihen hatte es am Nachmittag, und aus wie vielen Soldaten besteht die Kompanie? Bezeichne die Anzahl 6er Reihen am Nachmittag mit. Stelle eine Gleichung für auf und löse sie. Aufgabe 7 Zeichne ein Rechteck ABCD dessen Seite AB doppelt so lang wie BC ist, sowie den Diagonalenschnittpunkt M. Konstruiere einen Punkt P im Inneren des Rechtecks mit den folgenden beiden Eigenschaften: Er hat zur Seite DC und der Diagonale AC denselben Abstand. Er ist von D und M gleichweit entfernt. Aufgabe 8 Fink fährt mit dem Velo nach Hause, begleitet von seinem Hund. 100 m vor dem Haus trennt sich der Hund von Fink, rennt bis zur Haustüre und dann wieder zurück zu Fink. Der Hund rennt mit 10 m/s, Fink fährt mit 3.6 m/s. Wie viele Meter vor dem Haus trifft Fink auf seinen Hund? Gib das Resultat in Meter auf eine Stelle nach dem Komma genau an. 2
Aufgabe 9 Die Abbildung zeigt ein Quadrat mit der Seitenlänge a cm. Die Punkte A und C liegen in cm Entfernung von der Ecke B. Genau so liegen die Punkte D und F in cm Entfernung von der Ecke E. So entsteht das Sechseck ABCDEF. F E D (a) Stelle eine Formel auf, mit der sich der Flächeninhalt des Sechsecks ABCDEF aus a und berechnen lässt. A (b) Der Flächeninhalt des Sechsecks ABCDEF sei (24 ) cm 2. Ermittle durch Probieren mit dem Taschenrechner die Länge auf mm genau so, dass der Flächeninhalt möglichst nahe an 72 cm 2 kommt. B C Aufgabe 10 In einem Pleiglaswürfel mit der Kantenlänge 18 cm ist ein Metallkörper eingebaut. Dieser Körper ist zusammengesetzt aus fünf gleichgrossen Würfeln der Kantenlänge 6 cm. Der Pleiglaswürfel ist zum Teil mit Wasser gefüllt. In der Ausgangslage (Figur 1) liegt die Wasseroberfläche 9 cm über der Bodenfläche. Figur 1 Figur 2 Der Pleiglaswürfel wird nun auf eine Seitenfläche gestellt (Figur 2). Auf welcher Höhe über dem Boden steht das Wasser in dieser Situation? Aufgabe 11 Ein Hubschrauberpilot in Ausbildung muss folgenden Übungsparcours fliegen: Von seinem Startplatz aus zuerst 200 m senkrecht nach oben, dann auf gleicher Höhe 600 m nach Osten, danach 50 m senkrecht nach unten, sodann auf gleicher Höhe 300 m nach Norden. Am Schluss muss er auf dem kürzesten Weg zurück zum Startplatz fliegen. (a) Veranschauliche die Flugbahn durch eine räumliche Skizze. (b) Wie lang ist dieser kürzeste Rückweg? Gib das Resultat auf Meter genau an. 3
Aufgabe 12 Gegeben sind zwei Punkte M und P, deren Abstand 3.5 cm beträgt. Konstruiere ein Rechteck mit den Seitenlängen 8 cm und 4 cm und den folgenden beiden Eigenschaften: M ist der Mittelpunkt des Rechtecks. P liegt auf einer der vier Seiten des Rechtecks. Führe die Konstruktion direkt auf diesem Blatt aus und schreibe dazu einen Konstruktionsbericht. Der Konstruktionsbericht soll so formuliert werden, dass die entscheidende Idee zum Ausdruck kommt, und die ausgeführte Konstruktion Schritt für Schritt nachvollziehbar ist. Skizze: Konstruktion: M P Konstruktionsbericht: 4