Fakultät Statistik. April 08 Blatt Aufgabe.: Wir betrachten das Zufallsexperiment gleichzeitiges Werfen zweier nicht unterscheidbarer Würfel. Sei A das Ereignis, dass die Augensumme beider Würfel ungerade ist und B das Ereignis, dass mindestens einer der Würfel eine zeigt. Weiterhin sei C das Ereignis, in dem die Summe beider Würfel 7 ergibt. a) Geben Sie einen geeigneten Ergebnisraum an. b) Geben Sie folgende Ereignisse an: (i) D = A B, (ii) D = B C, (iii) D = (A B) C, (iv) D 4 = A (B C), (v) D 5 = C \ A, (vi) D 6 = A B C. Aufgabe.: Gegeben sei der Ergebnisraum Ω = [, ] = {(x, y) R x, y } und folgende Teilmengen von Ω: A = {(x, y) Ω x + y 0}, B = {(x, y) Ω x + y }, C = {(x, y) Ω x y}. Bestimmen Sie A, A B, B C und stellen Sie die Mengen graphisch dar. Aufgabe.: Sei Ω eine nichtleere Menge und {A i i I} ein System von Teilmengen von Ω. Dabei ist I eine beliebige (also gerne auch überabzählbare), nichtleere Indexmenge. Beweisen Sie: i I A i = i I A i und A i = A i. i I i I
Fakultät Statistik. April 08 Blatt Aufgabe.: An einem Fußball-Turnier nehmen Mannschaften teil. Diese spielen zunächst eine Vorrunde, aufgeteilt in vier Gruppen. Bei der Auslosung der Mannschaften auf die Gruppen sind verschiedene Verfahren denkbar. Verfahren : Alle Mannschaften werden nacheinander blind aus einer Urne gezogen. Die ersten vier Mannschaften werden der Gruppe A zugeordnet, die nächsten vier der Gruppe B, usw. Verfahren : Die Mannschaften werden vorher anhand Ihrer bisherigen Leistungen auf vier Lostöpfe aufgeteilt. Für jede Gruppe wird jeweils aus jedem Lostopf eine Mannschaft gezogen. Somit begegnen sich Mannschaften aus dem selben Lostopf nicht in der Vorrunde. a) Wie viele Möglichkeiten der Gruppeneinteilungen gibt es jeweils bei den beiden Verfahren? Dabei soll die Reihenfolge der Mannschaften innerhalb einer Gruppe unberücksichtigt bleiben. b) Mannschaft X hält Mannschaft Y für einen schweren Gegner. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Mannschaften in der Vorrunde aufeinandertreffen? Dabei soll für Verfahren angenommen werden, dass sich die Mannschaften in unterschiedlichen Lostöpfen befinden. Aufgabe.: In einer dunklen Ecke des Campus verkaufen ältere Studenten für fünf Euro Lösungen zum aktuellen Analysis-II-Übungszettel. Sechs Studenten möchten diese Lösungen kaufen. Drei von ihnen haben einen Fünf-Euro-Schein, drei nur einen Zehn-Euro-Schein. Wie wahrscheinlich ist es, dass es dabei zu einem Wechselgeldproblem kommt, wenn die älteren Studenten vor Beginn ihres Verkaufs a) 0, b), c) und d) Fünf-Euro-Scheine als Wechselgeld in ihrer Kasse haben?
Fakultät Statistik 0. April 08 Blatt Aufgabe.: Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und Ereignisse A, B A mit P (A) = 0.7, P (B) = 0.6 und P (A B) = 0.5. a) Skizzieren Sie folgende Mengen durch Venn-Diagramme: (i) A B, (ii) A, (iii) B, (iv) A B, (v) A B, (vi) (A B) (A B). b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten obiger Mengen. Aufgabe.: Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und Ereignisse A, B, C A mit P (A) = 4, P (B) =, P (C) =, P (A B) = 4, P (B C) = 5, P (A C) = 0. 6 Berechnen Sie P (A B C). Aufgabe.: Sei Ω = {0,, }. Geben Sie a) die kleinste und b) die größte σ-algebra über Ω an. Wie sieht die von {{0, }, {}} erzeugte σ-algebra über Ω aus?
Fakultät Statistik 07. Mai 08 Blatt 4 Aufgabe 4.: Wir betrachten den messbaren Raum (Ω, A ) = (N, P(N)). Sei n 0 N beliebig fest, sowie a, b R. Wir betrachten die Abbildung P : A R, für die gelte: a, n n 0 P ({n}) = n N. b, n > n 0 a) Wie muss P (A) für beliebiges A N definiert werden und wie müssen a und b gewählt werden, damit P ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist? b) Bestimmen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten: (i) P ({}), (ii) P ({}), (iii) P ({n 0 + }), (iv) P ({, }). Aufgabe 4.: Betrachten Sie erneut die Situation aus Aufgabe.: Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und Ereignisse A, B, C A mit P (A) = 4, P (B) =, P (C) =, P (A B) = 4, P (B C) = 5, P (A C) = 0. 6 Die Zufallsvariable X sei definiert über X(ω) = A (ω) + B (ω) + C (ω), wobei A (ω) die zur Menge A gehörende Indikatorfunktion beschreibe. a) Berechnen Sie P (X = n) für alle n N 0. b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X und stellen Sie diese graphisch dar. Aufgabe 4.: Seien (Ω, A ) und (Ω, B) messbare Räume mit Ω = Ω = {0, }, A = {, {0, }} und B = {, {0}, {}, {0, }}. Des Weiteren sei X : Ω Ω mit X(ω) = ω ω Ω. Ist X A -B-messbar?
Fakultät Statistik 4. Mai 08 Blatt 5 Aufgabe 5.: Es sei X Geom(p) mit p (0, ). Zeigen Sie p X (i) =. i=0 Aufgabe 5.: Gegeben sei f(x) = ( θ) x θ (0,) (x) mit 0 < θ <. a) Zeigen Sie, dass f eine Wahrscheinlichkeitsdichte definiert. b) Bestimmen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion. c) X sei eine Zufallsvariable, die obige Wahrscheinlichkeitsdichte besitze. Sei θ = 0.5. Bestimmen Sie P (X 0.5), P (X > 0.5) und P (0. < X < 0.9). Aufgabe 5.: Die Größe von Bäumen im Thetaburger Wald lasse sich durch eine Normalverteilung mit µ = 4.m und σ = 0.m beschreiben. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Baum mindestens 4. Meter groß ist. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Baum zwischen 4.5 und 4.45 Meter groß ist? c) Der Wald soll gelichtet werden. Dazu sollen die 40% kleinsten Bäume gefällt werden. Wie groß muss ein Baum mindestens sein, damit er stehen bleibt?
Fakultät Statistik. Mai 08 Blatt 6 Aufgabe 6.: Gegeben seien zwei diskrete Zufallsvariablen X und Y, jeweils mit Träger {,, }. Es sei P (X = i) = P (Y = i) =, i =,, und P (X = i, Y = i) =, i =,,. 0 P (X = i, Y = j), i j sei für alle i, j =,, identisch. a) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeiten als zweidimensionale Wahrscheinlichkeitstabelle dar. Wie groß ist P (X = i, Y = j), i j? b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Z := X + Y. c) Bestimmen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von Z. Aufgabe 6.: Gegeben Sei die zweidimensionale Dichtefunktion f X,Y (x, y) = (x + ) y [ 0.5,0.5] (x) [,] (y). a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von (X, Y ). Berechnen Sie P (X 0, Y.5) und P (X 0.4, Y.). b) Bestimmen Sie die Randdichten f X (x) und f Y (y).
Fakultät Statistik 8. Mai 08 Blatt 7 Aufgabe 7.: Wegen einer nahenden Grippeepidemie ließen sich 60% der Bevölkerung impfen. Die Wahrscheinlichkeit ohne Impfung zu erkranken beträgt 0.. Aus der Krankenstatistik ist ersichtlich, dass ein Erkrankter mit Wahrscheinlichkeit vorher geimpft wurde. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit trotz der Impfung zu erkranken? Aufgabe 7.: Ein Firma bezieht ein Bauteil von vier Lieferanten L, L, L, L 4 in folgenden Anteilen: L : 0%, L : 0%, L : 40%, L 4 : 0%. Der Anteil fehlerhafter Bauteile beträgt bei L : 0%, L : 5%, L : 5%, L 4 : 90%. Die Firma baut zufällig eins von den gelieferten Bauteilen ein. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das eingebaute Bauteil fehlerhaft ist? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein fehlerhaftes Bauteil von der Firma L stammt? Aufgabe 7.: Sei Ω = {0, } = {ω = (ω, ω, ω ) ω i {0, }, i =,, }. Auf dem messbaren Raum (Ω, P(Ω)) ist durch falls ω 4 i ungerade P ({ω}) = i= 0 sonst ein eindeutig bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß P gegeben. Wir betrachten die Mengen A i = {ω Ω ω i = 0}, i =,,. a) Zeigen Sie, dass die Mengen A, A, A paarweise stochastisch unabhängig sind. b) Zeigen Sie, dass die Mengen A, A, A nicht vollständig stochastisch unabhängig sind.
Fakultät Statistik 04. Juni 08 Blatt 8 Aufgabe 8.: Die Verteilung zweier Zufallsvariablen X und Y ist durch folgende Tabelle gegeben: 0 Y X 0 0 0 4 a) Geben Sie die Randzähldichten von X und Y an. Benennen Sie die Verteilung von Y. b) Bestimmen Sie die Verteilungen der Zufallsvariablen V = X + Y und W = X Y. Sind V und W stochastisch unabhängig? c) Wie müssten die Einträge in obiger Tabelle unter Unabhängigkeit von X und Y aussehen, wenn die Randverteilungen von X und Y festgehalten werden? Sind nun auch V und W stochastisch unabhängig? Aufgabe 8.: Gegeben sei die gemeinsame Zähldichte zweier Zufallsvariablen X und Y durch f X,Y (x, y) = ( ) y λ y x y! px ( p) y x exp( λ) {0,...,y} (x) N0 (y), λ > 0, p (0, ). a) Bestimmen Sie die Randzähldichte von Y. Benennen Sie die Verteilung von Y. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (X = 0, Y N 0 ) und P (X =, Y N 0 ) für λ = 4 und p = 0.8.
Fakultät Statistik. Juni 08 Blatt 9 Aufgabe 9.: Betrachten Sie erneut die Verteilung von X und Y von Aufgabe 8.: 0 Y X 0 0 0 4 a) Bestimmen Sie die bedingte Dichte p X Y =n von X gegeben Y = n. b) Bestimmen Sie die bedingte Dichte p X X+Y =n von X gegeben X + Y = n. Aufgabe 9.: Gegeben seien N N unabhängig identisch exponential-verteilte Zufallsvariablen X,..., X N mit Parameter λ > 0. Die Dichte von X hat also die Gestalt f X (x) = λ exp( λx) (0, ) (x). a) Bestimmen Sie die Dichte von Y := X + X. b) Bestimmen Sie die Dichte von n= X i = Y + X. c) Bestimmen Sie die Dichte von Z := N X i für beliebiges N N. n=
Fakultät Statistik 8. Juni 08 Blatt 0 Aufgabe 0.: Betrachten Sie einen sechsseitigen Würfel mit den Zahlen bis 6. Berechnen Sie die erwartete Augenzahl beim Würfeln in folgenden Situationen: a) Alle Seiten sind gleichwahrscheinlich, b) Die Zahlen, und sind jeweils doppelt so wahrscheinlich wie die Zahlen 4, 5 und 6. c) Die Zahl fällt mit Wahrscheinlichkeit 0.5. Das Auftreten der anderen Zahlen ist jeweils gleichwahrscheinlich. Aufgabe 0.: Betrachten Sie erneut die Verteilung von X und Y von Aufgabe 8. und 9.: 0 Y X 0 0 0 4 Bestimmen Sie E(X), E(Y ), E(X + Y ) und E( X Y ). Aufgabe 0.: Berechnen Sie (falls existent!) den Erwartungswert folgender Verteilungen bei gegebenen Dichten: a) f(x) = π ( + x ), b) f(x) = (x a) (b a)(c a) [a,c](x) + (b x) (b a)(b c) (c,b](x), a, b, c R mit a c b und a < b.
Fakultät Statistik 5. Juni 08 Aufgabe.: Blatt Betrachten Sie erneut den sechsseitigen Würfel mit den Zahlen bis 6 aus Aufgabe 0.. Berechnen Sie die Varianz beim Würfeln in folgenden Situationen: a) Alle Seiten sind gleichwahrscheinlich, b) Die Zahlen, und sind jeweils doppelt so wahrscheinlich wie die Zahlen 4, 5 und 6. c) Die Zahl fällt mit Wahrscheinlichkeit 0.5. Das Auftreten der anderen Zahlen ist jeweils gleichwahrscheinlich. Aufgabe.: Betrachten Sie erneut die Verteilung von X und Y von Aufgabe 8., 9. und 0.: X 0 Y 0 0 0 4 Bestimmen Sie V ar(x), V ar(y ), V ar(x + Y ) und V ar( X Y ). Aufgabe.: Die sogenannte Pareto-Verteilung hängt von zwei Parametern α, β > 0 ab und hat folgende Dichte: f(x) = βαβ x β+ [α, )(x). Ob Erwartungswert und Varianz dieser Verteilung existieren, hängt von der Größe des Parameters β ab. a) Berechnen Sie den Erwartungswert einer Pareto-verteilten Zufallsvariable. Für welche Werte von β existiert der Erwartungswert? b) Berechnen Sie die Varianz einer Pareto-verteilten Zufallsvariable. Für welche Werte von β existiert die Varianz?
Fakultät Statistik 0. Juli 08 Blatt Aufgabe.: Betrachten Sie erneut die Verteilung von X und Y von Aufgabe 8., 9., 0. und.: 0 Y X 0 0 0 4 Bestimmen Sie die Korrelation zwischen X und Y. Aufgabe.: Betrachten Sie erneut die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y aus Aufgabe 6.: f X,Y (x, y) = (x + ) y [ 0.5,0.5] (x) [,] (y). a) Berechnen Sie die Erwartungswerte von X und Y. b) Berechnen Sie die Varianzen von X und Y. c) Berechnen Sie Kovarianz und Korrelation zwischen X und Y.
Fakultät Statistik 09. Juli 08 Blatt Aufgabe.: Sei X eine Zufallsvariable mit E(X) = µ und V ar(x) = σ. Von Interesse ist P ( X µ kσ), k =,,. a) Bestimmen Sie eine allgemeine obere Schranke für obige Wahrscheinlichkeit. b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit exakt für die Fälle (i) X N(µ, σ ), µ R, σ > 0, (ii) X Exp(λ), λ > 0. c) Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse aus a) und b). Aufgabe.: Ein Hersteller von Schrauben möchte wissen, ob er mit 90% Wahrscheinlichkeit in einer beliebigen Woche zwischen 400 und 600 Schrauben verkauft. Er weiß, dass er im Erwartungswert 500 Schrauben pro Woche verkauft und dabei eine Standardabweichung von 50 Schrauben auftritt. a) Geben Sie eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit an, dass der Hersteller in einer Woche zwischen 400 und 600 Schrauben verkauft. Erreicht der Hersteller sicher die gewünschten 90%? b) Wie groß dürfte die Standardabweichung maximal sein, damit die gewünschten 90% sicher erreicht würden? c) Angenommen die Anzahl der verkauften Schrauben ließe sich durch eine Normalverteilung mit Parametern µ = 500 und σ = 50 beschreiben. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 400 und 600 Schrauben verkauft werden?
Fakultät Statistik. Juli 08 Blatt 4 Aufgabe 4.: Ein fairer sechsseitiger Würfel wird 000 mal geworfen. a) Approximieren Sie die Wahrscheinlichkeit, dass 6 oder 7 mal eine Sechs geworfen wird. b) Wie oft müssen Sie approximativ würfeln, damit der relative Anteil der Sechsen mit 95% Wahrscheinlichkeit zwischen 0.0 und + 0.0 liegt? 6 6 Aufgabe 4.: Sie werfen eine (unfaire) Münze, das Ereignis Zahl tritt mit Wahrscheinlichkeit p = 0.5 auf. a) Wie oft müssen Sie approximativ die Münze werfen, damit der relative Anteil des Ereignisses Zahl mit 95% Sicherheit die wahre Erfolgswahrscheinlichkeit um maximal 0.0 über- oder unterschätzen? b) Sie werfen die Münze 5 Mal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der relative Anteil des Ereignisses Zahl schon jetzt nur noch approximativ um 0.0 von der wahren Erfolgswahrscheinlichkeit entfernt? Aufgabe 4.: Seien X,..., X N, unabhängig, identisch exponential-verteilte Zufallsvariablen mit Parameter λ > 0. Bestimmen Sie lim P N λ N X n N n= 0 N.