Grundlagen der Signalverarbeitung Digitale und analoge Filter Wintersemester 6/7
Wiederholung Übertragung eines sinusförmigen Signals u t = U sin(ω t) y t = Y sin ω t + φ ω G(ω) Amplitude: Y = G ω U Phase: φ ω = arg G ω Beispiel RC-Glied u(t) R C i(t) y t Beschreibung im Bildbereich Y s = U(s) + RC s G s Frequenzgang G ω = G s ቚ = s=jω + jωrc Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand
Frequenzgang RC-Glied Betrag G( ) db - -4 G ω db db 3dB G ω = +,4 jω - - 3 / (rad/s) Phasenwinkel / /s -45 45-9 - - 3 / (rad/s) 3 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand
Filterung mit RC-Glied Sinussignale verrauschtes Signal Signale Signale Signale u(t) = sin(. t) u(t) y(t) - 4 6 8 Zeit / s u(t) = sin(.5 t) u(t) y(t) - 4 6 8 Zeit / s u(t) = sin(. t) u(t) y(t) - 4 6 8 Zeit / s Signale.5.5 -.5 - -.5 Filtern hochfrequenter Störungen Rohsignal gefiltertes Signal - 4 6 8 Zeit / s 4 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand
Filterklassen Tiefpass normierte Frequenz H ω H Ω Ω = ω T A ω A ω A ω N ω D ω S ω N ω Ω D Ω S π Ω Hochpass Bandpass Bandsperre H ω H ω H ω ω D ω D ω D ω D ω ω D ω S ω ω N ω S ω S ω N ω S ω S ω N ω 5 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand
Filterkennwerte Definition häufig verwendeter Filterkennwerte Leistungsverstärkung H ω H ω db = log H ω = log H ω Dämpfung d ω = log H ω Gruppenlaufzeit T G ω = d arg H ω dω 3dB-Grenzfrequenz H ω G db = H db 3 db H ω G = H Bandbreite ω B = ω G Dauer der Impulsantwort T I = max h t න h(t) dt 6 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand
Moving Average Filter Sprungantwort (M = ) Sinussignal (M = ) Sprungantwort Moving Average Filter, M = Sinussignal u(t) = sin(. t), T A =.s, MA-Filter: M =.8.6 y[k].8.6.4. M y k = M u[k] m= 5 5 k u, y.4. -. -.4 -.6 u(t) u[k] -.8 y(t) y[k] - 3 4 5 6 7 8 Zeit / s Signalverzögerung (Gruppenlaufzeit) T G = M T A =,45s 7 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand
Moving Average Filter Frequenzgang H Ω = M Ω e jωm sin M = e jω M sin Ω e jm Ω Ω Ω = Nullstellen.9 Betrag des Moving Average Filters M = M = Ω = m π M ω = m π = m ω A M T A M.8.7.6 H( ).5 Konstante Gruppenlaufzeit.4.3 T G = dφ ω dω = M T A...4.6.8 8 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand. / db
Windowed Sinc Filter Frequenzgang des idealen Tiefpasses Impulsantwort (ω G = π, T A =,s) H ω.5 Fenster /T A Impulsantwort.5 ω G ω G ω -.5 - -5 - -5 5 5 k M M H ω = ቊ ω ω G sonst H ω = ቊ /T A ω ω G sonst inverse FT DTFT h t = ω G π sinc ω G π t h[k] = ω G π sinc ω G π T A k 9 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand
Windowed Sinc Filter Impulsantwort Frequenzgang h k = ω G π T A sinc ω G π T A k M k M (Rechteckfenster) Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand
Windowed Sinc Filter Sprungantwort Frequenzgang. Sprungantwort Windowed Sinc Filter, M = 5 u(t) = sin( t), T A =.s, Windowed Sinc Filter mit Hann-Fenster.8.6.8.4 y[k].6.4 Rechteckfenster Hann-Fenster u, y. -.. -.4 -. 5 5 5 3 35 4 k -.6 u(t) u[k] -.8 y(t) y[k] - 3 4 5 Zeit / s Gruppenlaufzeit T G = M T A =,5s Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand
Windowed Sinc Filter als Hochpass Frequenzgang Idealer Tiefpass H TP ω Idealer Hochpass H HP ω ω G ω G ω ω G ω G ω H TP ω = ቊ ω ω G sonst H HP ω = H TP ω Impulsantwort kontinuierlich h TP t = ω G π sinc ω G π t h HP t = δ t ω G π sinc ω G π t Impulsantwort diskret und verschoben h TP k = ω G π T A sinc ω G π T A k M h HP [k] = δ k M ω G π T A sinc ω G π T A k M Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand
Windowed Sinc Filter als Hochpass Impulsantwort Frequenzgang h k = δ k M ω G π T A sinc ω G π T A k M k M (Rechteckfenster) 3 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand
Butterworth-Filter Vorgabe des Frequenzgangs mit 3-dB Grenzfrequenz ω G H ω = + ω ω G N 5-5 Butterworth Filter, G = 3dB Butterworth-Filter H s = N s s s N s s s s s s N s n = ω G e jπn+n N, n =,,, N H( ) - -5 - -5-3 -35 N = N = N = 3 Diskretisierung mit Bilinearer Transformation -4 - - / (rad/s) s = T A z z + H z = H s ቚ s= T z A z+ 4 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand
Transformation Tiefpass Hochpass Tiefpass aus Aufgabe 5.3 Transformation in Hochpass G TP s = s + s +, ω G = G HP s = G TP ω G s = s s + s + 5 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand
Butterworth Filter ω G = π, T A =,s, N = Impuls- und Sprungantwort Sinusförmiges Signal u t = sin(, 5πt).4 Impulsantwort Butterworth-Filter. Ordnung Sinussignal u(t) = sin(.5 t), T A =.s h[k] y[k].3.. -..8.6.4. 4 6 8 4 6 k Sprungantwort Butterworth-Filter. Ordnung 4 6 8 4 6 k u, y.8.6.4. -. -.4 -.6 u(t) u[k] -.8 y(t) y[k] - 3 4 5 Zeit / s 6 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand
Butterworth Filter ω G = π, T A =,s, N = Impuls- und Sprungantwort Sinusförmiges Signal u t = sin(, 5πt).4 Impulsantwort Butterworth-Filter. Ordnung Sinussignal u(t) = sin(.5 t), T A =.s h[k] y[k].3.. -..8.6.4. 4 6 8 4 6 k Sprungantwort Butterworth-Filter. Ordnung 4 6 8 4 6 k leichtes Überschwingen u, y.8.6.4. -. -.4 -.6 u(t) u[k] -.8 y(t) y[k] - 3 4 5 Zeit / s höhere Dämpfung 7 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand