24 Lineare Abbildungen und Matrizen Definition 24 Seien V, W zwei K-Vektorräume Eine Abbildung f : V W heißt lineare Abbildung (lineare Transformation, linearer Homomorphismus, Vektorraumhomomorphismus falls gilt: (LA x, y V : f(x + y = f(x + f(y (LA2 x V, λ K: f(λ x = λ f(x (Additivität; (Homogenität Die Menge aller linearen Abbildungen von V nach W wird mit Hom K (V, W bezeichnet Falls f Hom K (V, W bijektiv ist, so nennt man f einen linearen Isomorphismus (oder Vektorraumisomorphismus Bemerkung Die Bedingungen (LA und (LA2 können auch in einer einzigen Bedingung zusammengefasst werden: (LA3 x, y V, λ, µ K gilt f(λ x + µ y = λ f(x + µ f(y Erinnerung Seien V und W K-Vektorräume eines K-Vektorraums mittels der Operationen Abb(V, W hat die Struktur f + g : V W : x f(x + g(x λ f : V W : x λf(x Satz 242 Seien U, V, W K-Vektorräume ( Hom K (V, W ist ein Untervektorraum von Abb(V, W (2 f Hom K (U, V, g Hom K (V, W = g f Hom K (U, W (3 Falls f Hom K (V, W ein linearer Isomorphismus ist, so ist die Umkehrabbildung f : W V auch ein linearer Isomorphismus Beispiel ( V = R[X], W = R Sei r R Definiere die Abbildung, die durch Auswerten (Evaluieren des Polynoms in r gegeben ist: ev r : R[X] R : P (X P (r (Beispiel: ev 2 (X 3 2X + = 2 3 2 2 + = 5 Dann gilt ev r Hom R (R[X], R 5
(2 Sei I R ein Intervall und sei Diff(I, R die Menge der differenzierbaren Funktionen I R Dies ist ein Untervektorraum von Abb(I, R Wir definieren: D : Diff(I, R Abb(I, R : f f Dann gilt D Hom R (Diff(I, R, Abb(I, R (3 Sei f Diff(I, R, r R und D r : Diff(I, R R : f f (r Dann ist D r = ev r D Hom R (Diff(I, R, R (ev r definiert wie in ( (4 Seien K ein Körper und a,, a n K, und betrachte f : K n K : (x,, x n n i= a ix i Dann gilt: f Hom K (K n, K (dies wurde schon implizit im Beweis von Satz 224 mitbewiesen Beispiel Wir bezeichnen Spaltenvektoren in K n von nun an mit x (um sie von Zeilenvektoren zu unterscheiden Sei e =,, e n = die Standardbasis in K n, und sei ϕ Hom K (K n, K m Sei nun ϕ( e i = a i a mi K m und x = x x n K n Dann ist x = n i= x i e i und damit wegen der Linearität von ϕ: n a x + + a n x n ϕ( x = x i ϕ( e i = i= a m x + + a mn x n ( Kennt man also die Bilder ϕ( e i, dann lässt sich ϕ( x für jedes x K n mittels ( bestimmen Definition 243 (Matrix-Vektor-Produkt Für a a n A = a m a mn M m n (K und x = 5 x x n K n
definiert man das Matrix-Vektor-Produkt A x wie folgt: a x + + a n x n A x := a m x + + a mn x n Anders ausgedrückt: Wenn a i := a i a mi die i-te Spalte in obigem A ist, so schreiben wir auch A = ( a a 2 mit x wie zuvor gilt: a n und A x = x a + x 2 a 2 + + x n a n Bemerkung Im Matrix-Vektor-Produkt muss die Anzahl der Spalten der Matrix gleich der Anzahl der Zeilen (die Länge des Spaltenvektors sein Beispiel ( 2 2 3 2 3 = ( 2 +( 2 +2 2 2 +3 +( 3 = ( 6 oder auch ( 2 2 3 2 3 = 2 ( + ( 2 3 + 3 ( 2 = ( 6 Bemerkung 244 Mit den Notationen in vorheriger Definition und mit e,, e n der üblichen Standardbasis in K n gilt: A e i = a i, die i-te Spalte von A Satz 245 Seien V, W zwei K-Vektorräume und f, g Hom K (V, W Sei (v i i I eine Basis von V (dim(v = I darf hierbei auch sein Dann gilt: f = g f(v i = g(v i i I Dh lineare Abbildungen sind schon durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt Satz 246 Sei A M m n (K Dann ist die Abbildung L A := K n K m : x A x 52
linear, dh L A Hom K (K n, K m Falls auch B M m n (K so gilt: L A = L B A = B Korollar 247 (Notationen wie in Definition 243 und Satz 246 Die Abbildung M m n (K Hom K (K n, K m : A L A ist bijektiv Insbesondere existiert zu jedem f Hom K (K n, K m eine eindeutig bestimmte Matrix A M m n (K mit f = L A Die so zu f gehörige Matrix A erhält man wie folgt: Sei f( e i = a i, i n, und A = ( a a 2 a n M m n (K Dann gilt f = L A, dh x K n gilt f( x = A x Definition 248 ( Matrizenaddition: Seien A, B M m n (K, wobei A = ( a a 2 a n und B = ( b b2 b n mit Spaltenvektoren a i, b i K m Dann definiert man die Summe A + B wie folgt: A + B = ( a + b a 2 + b 2 a n + b n Anders ausgedrückt mittels der Koeffizienten der Matrizen A und B: A = (a ij, B = (b ij M m n (K, so definiert man A + B = (c ij M m n (K mittels c ij = a ij + b ij für i m, j n (2 Matrizenmultiplikation: Seien A M l m (K, B = ( b b2 bn M m n (K Dann existieren also die Matrix-Vektor-Produkte A b i K l, und man definiert das Matrizenprodukt AB := (A b A b 2 A b n M l n (K Anders ausgedrückt mittels der Koeffizienten von A, B: seien A = (a ij M l m (K, B = (b ij M m n (K, so definiert man AB = (c ij M l n (K mittels m c ij = a ik b kj für i l, j n k= Bemerkung (i Die so definierte Matrizenaddition A + B existiert nur, falls A und B die gleichen Spaltenzahlen und die gleichen Zeilenzahlen haben (ii Das so definierte Matrizenprodukt AB existiert nur falls In diesem Fall gilt Anzahl der Spalten von A = Anzahl der Zeilen von B Anzahl der Zeilen von AB = Anzahl der Zeilen von A Anzahl der Spalten von AB = Anzahl der Spalten von B 53
Beispiel A M 4 5 (K, B M 5 4 (K, C M 4 4 (K Dann existieren die folgenden Matrizenprodukte: AB M 4 4 (K, BA M 5 5 (K, BC M 5 4 (K, CA M 4 5 (K, CC M 4 4 (K Die folgenden Matrizenprodukte existieren nicht: AA, BB, CB, AC Beispiel ( 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 ( 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 = = ( 22 28 49 64 7 8 9 3 4 5 9 2 2 Satz 249 Seien A M l m (K, B M m n (K, AB M l n (K Seien ferner L A : K m K l : x A x L B : K n K m : x B x L AB : K n K l : x AB x Dann gilt L A L B = L AB Notation Wir schreiben in M n n (K: I n := I n M n n (K wird auch die n n Einheitsmatrix genannt Satz 24 (Rechenregeln für Matrizen (a Gegeben A M k l (K, B M l m (K, C M m n (K Dann gilt: A(BC = (ABC, dh Matrizenmultiplikation ist assoziativ (sofern die Produkte definiert sind (b Gegeben A, B M l m (K, C, D M m n (K Dann gilt A(C + D = AC+AD, (A+BC = AC+BC, dh Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation sind distributiv (sofern die Produkte/Summen definiert sind (c Gegeben A M m n (K Dann gilt: I m A = A = AI n 54
Korollar 24 M n (K := M n n (K ist mit der obigen Matrizenaddition und der obigen Matrizenmultiplikation ein Ring mit der Nullmatrix n M n n (K (in der alle Koeffizienten sind als Nullelement, und der Einheitsmatrix I n als Einselement Bemerkung n = : M (K = K (als Ring M (K ist aber im eigentlichen Sinne nicht identisch mit K: M (K sind die Elemente aus K mit Klammern drumherum n 2: M n (K ist nicht kommutativ, zb für n = 2: ( ( ( = aber ( ( = ( Definition und Satz 242 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen V und W Der Kern von f ist definiert als Das Bild von f ist definiert als Dann gilt: Kern(f ist ein Untervektorraum von V Bild(f ist ein Untervektorraum von W Kern(f = {x V f(x = } ; Bild(f = {f(x x V } Bemerkung Insbesondere in der englischsprachigen Literatur schreibt man oft ker(f statt Kern(f (engl kernel und im(f statt Bild(f (engl image Satz 243 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen V und W Dann gilt: f injektiv Kern(f = {} [ x V : f(x = = x = ] Satz 244 (Dimensionsformel für lineare Abbildungen Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen V und W, wobei dim V = n < Dann gilt 55
dim V = dim Kern(f + dim Bild(f Beweisskizze Zeige: endliche Basis von Kern(f, sagen wir, (x,, x k mit k n (benütze 232 Ergänze dies zu einer Basis (x,, x k, x k+,, x n von V (warum geht das? Zeige: Bild(f = span(f(x k+,, f(x n Zeige: (f(x k+,, f(x n ist eine linear unabhängige Familie in Bild(f Folgere hieraus: (f(x k+,, f(x n ist eine Basis von Bild(f Zeige schließlich: dim V = dim Kern(f + dim Bild(f Bemerkung Diese Formel gilt im Prinzip auch, falls dim V = ist Denn dann gilt dim Kern(f = oder dim Bild(f = (Warum? Korollar 245 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen V und W mit dim V = dim W = n < Dann gilt: f injektiv f surjektiv f bijektiv Sei nun A M m n (K, b K m, und sei der Nullvektor in K m (Elemente in K m schreiben wir heirbei als Spaltenvektoren Betrachte das LGS (A b Dann gilt offenbar für die Lösungsmenge und daher L(A b = { x K n A x = b} = { x K n L A ( x = b} Korollar 246 L(A = Kern(L A Insbesondere gilt: Sei  M m n (K eine Matrix, die durch elementare Zeilenumformungen aus A gewonnen werden kann Wir wissen, dass L(A = L( Daher auch Kern(L A = Kern(L Definition 247 Sei V ein K-Vektorraum Eine nichtleere Teilmenge U V heißt affiner Unterraum von V falls es einen Untervektorraum W von V und ein v V gibt mit U = v + W := {v + w w W } ( ( x Beispiel ( Die Gerade, die durch die Gleichung = { ( y 2 (mit t R gegeben ist Hier: W = t t R} und v = 56 ( 2 +t (
(2 Die Ebene {(x, y, z x y + z = } in R 3 Hier hat man dann W = {(x, y, z x y + z = } = L((, v = (,, (oder v = (,,, oder Wir haben damit: U = + R + R } {{ } W (3 A M m n (K, b K m L(A b ist affiner Unterraum von K n sofern es eine Lösung c K n gibt (dh A c = b: dann gilt L(A b = c + L(A Satz 248 Seien V ein K-Vektorraum, v, v V, und W, W Untervektorräume von V ( v + W = v + W W = W und v v W (2 Der affine Unterraum U = v+w ist ein Untervektorraum von V v W U Bemerkung 249 In Aufgabe 84 wurde mittels eines Untervektorraums W eines K-Vektorraums V die folgende Relation auf V definiert (hierbei seien v, v V v W v : v v W Es war zu zeigen, dass dies eine Äquivalenzrelation ist, deren Äquivalenzklassen mit [v] W bezeichnet werden, und dass die Menge der Äquivalenzklassen V/W = {[v] W v V } auf natürliche Weise zu einem K-Vektorraum wird mittels [v] W + [v ] W := [v + v ] W, λ[v] W := [λv] W (v, v V, λ K, genannt der Quotientenraum von V bzgl W Man überzeugt sich nun leicht, dass [v] W = v + W gilt, die Elemente des Quotientenraums sind also affine Unterräume Man überlege sich, wie in obigen Beispielen ( und (2 die Elemente des Quotientenraums aussehen Man fertige hierzu eine Skizze in einem Koordinatensystem des R 2 (Bsp ( bzw R 3 (Bsp (2 an 57